Algebra z geometrią - kurs mały, zestaw 2, 4.03.2013, godz 8.30

Algebra z geometrią - kurs mały, zestaw 2, 4.03.2013,
godz 8.30
Legenda: ”Z” zadania do oddania na kartce, nie przedstawiane na ćwiczeniach. Domyślnie
oddajemy wszystkie zadania nieomówione na ćwiczeniach, chyba, że ustalimy inaczej.
Zadania do oddania na kartkach, do 18.03.2013 z zestawu 1: zadania 2,4,6.
Równania kwadratowe (zadanie 6) rozwiązuje się dokładnie tak samo jak w szkole: jedyna
różnica: ∆ może być ujemna (umiemy już liczyć pierwiastek z liczby ujemnej), a nawet ∆ może
być liczbą zespoloną (takie też już umiemy pierwiastkować).
Wiem, że zadań jest dużo, ale muszą to Państwo wyćwiczyć. Ogólny przepis na sukces z
egzaminu: robić dużo zadań.
Ciekawostka 2
Zadanie 8 z zestawu 1 (i niniejszym traci status zadania).
Zadanie 0
Zadanie 7 z zestawu 1.
Zadanie 1
Proszę zapisać permutację jako złożenie cykli rozłącznych (a w drugim kroku cykle przedstawić
jako iloczyn transpozycji)
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 2 6 1 5 3 4
wyznaczyć ogólny rozkład na transpozycje dla cyklu (i1, i2, i3, . . . , in). Jakie jest najmniejsze
n > 0, takie, że σ n = id?
Zadanie 2Z
S3 — zbiór permutacji trzyelementowych jest grupą (sześcioelementową).
Proszę:
• rozłożyć każdy element tej grupy na transpozycje, jak w zadaniu 3,
• sprawdzić czy permutacja identycznościowa, wraz z dwoma elementami S3, które do rozkładu
wymagają (czyli w sumie 3 elementy) tworzą grupę (z operacją składania permutacji).
• Znaleźć wszystkie podzbiory S3, które stanowią grupę.
• Wypisać tabelkę mnożenia grupowego. Elementy grupy w tabelce posortować po minimalnej
ilości transpozycji występującej w rozkładzie. Jeśli wielkość ta dla dwóch elementów
jest równa jako pierwszy wziąć mniejszy w porządku leksykograficznym. Uwaga ta ma na
celu ułatwienie sprawdzania.
Zadanie 3
Proszę wykazać, że przy pomocy permutacji {(1, 2, . . . , n − 1), (n − 1, n)} można wygenerować
całą grupę S(n).
Zadanie 4 ([1] 1.16)
Proszę dowieść, że: n 1 + i tg x
=
1 − i tg x
1 + i tg nx
Proszę wyznaczyć moduł i argument wyniku.
1 − i tg nx
Zadanie 5 ([1] 1.19)
Proszę rozwiązać równanie (rozwiązania zespolone): sin z = 7.
1

Ciekawostka 3
Proszę rozważyć zbiór Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z}. Proszę uzasadnić, że jest to pierścień przemienny.
Czy liczby pierwsze 2,3,5, są pierwsze w nowym pierścieniu (uwaga: jednościami w tym
pierścieniu są 1, -1, i oraz -i)?
Zadanie 6 (rozdział
drugi [1])
1 i 0 1
Niech A = , B =
−i 2 1 2
• A+B,
• AB, BA (Czy zawsze są równe?)
. Proszę obliczyć:
• Tr(AB),Tr(BA) (Czy zawsze są równe?)
• Det(AB), Det(BA) (czy zawsze są równe?)
Literatura
[1] K. Rościszewski, H. Arodź, Algebra i geometria analityczna w zadaniach
[2] Internet
2