Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

More documents

Recommendations

Info

6 Podsumowanie 37 6.1 Odnaleziona nowa klasa B6(t) oraz heterogeniczne pary MUHs . . . . . . . 37 6.2 Problemy otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Dodatek A: Katalog macierzy Butsona 39 Dodatek B: Opis użytych metod numerycznych 53 Bibliografia 57 6
Wstęp Historia macierzy Hadamarda ma swój początek w roku 1867, kiedy Sylvester postawił w swojej pracy [18] problem parkietaży. Rozważał on macierze posiadające wzajemnie ortogonalne wiersze i kolumny. Dwadzieścia sześć lat później Hadamard rozwiązał słynny problem mówiący o tym, że dla dowolnej macierzy zespolonej H wymiaru N × N o ele- mentach spełniających warunek: |[H]j, k| 1 zachodzi | det H| exp( N ln N), przy czym 2 nierówność wysyca się dla macierzy Vandermonde’a składającej się z pierwiastków N- tego stopnia z jedności [12]. Okazuje się, że macierze posiadające maksymalny (w sensie wartości bezwzględnej) wyznacznik, których elementy należą do zbioru {1, −1} zawierają się także w klasie macierzy opisywanych przez Sylvestera. Historycznie noszą one nazwę macierzy Hadamarda. W momencie intensywnego rozwoju mechaniki kwantowej okazało się, że macierze Ha- darmarda odgrywają w niej kluczową rolę. Przeskalowane przez 1/ √ N w celu uzyskania unitarności wykorzystywane są optyce kwantowej jako symetryczne multiporty, a także przy tworzeniu modeli spinowych. Stanowią podstawę do konstrukcji tzw. baz wzajemnie nieobciążonych w przestrzeni Hilberta, w których pomiar kwantowy jest obarczony najmniejszą niepewnością. W teorii kwantowej kryptografii używane są w protokołach dystrybucji klucza publicznego. Zespolone macierze Hadamarda są ponadto związane z wieloma zagadnieniami czystej matematyki. Są bazą do konstrukcji *-subalgebr w skończonych algebrach von Neumanna. Służą do analizowania bi-unimodularnych ciągów lub znajdowania tzw. "cyclic-N-roots" [6] oraz zbiorów ekwiangularnych linii, czyli prostych, z których każda para przecina się pod jednakowym kątem. Z macierzy tych konstruuje się także tablice korekcji błędów używane w teorii informacji [13], [17]. Celem niniejszej pracy jest próba znalezienia zarówno zespolonych macierzy Hadamar- da, nie znanych w obecnej literaturze przedmiotu, jak również poszukiwanie nowych par nieobciążonych macierzy Hadamarda. Pierwszy rozdział pracy stanowi wprowadzenie do notacji używanej w dalszej części oraz zawiera wszystkie główne definicje i twierdzenia niezbędne do zrozumienia tytułowego problemu. Rozdział drugi stara się przybliżyć sens zajmowania się tematyką macierzy Hadamarda we współczesnej fizyce - w szczególności w mechanice kwantowej. Czytelnik 7
Page 1 and 2: Uniwersytet Jagielloński Wydział
Page 3: Pragnę podziękować panu Profesor
Page 8 and 9: zauważy zapewne, iż część ze w
Page 10 and 11: 1.2 Macierze Hadamarda 1.2.1 Klasyc
Page 12 and 13: sty i staje się uciążliwy podcza
Page 14 and 15: 1.3 MUHs Definicja 1.3.1. Dwie maci
Page 17 and 18: Rozdział 2 Macierze Hadamarda w fi
Page 19: W szczególności N = 6 jest najmni
Page 22 and 23: RF6 = ⎡ • ⎢ • ⎢ • ⎢
Page 25 and 26: Rozdział 4 Wyniki numeryczne Do ni
Page 27 and 28: gdzie: oraz β1(t) = α(t) = t 1
Page 29 and 30: Relacja równoważności, która po
Page 31 and 32: ⎡ 1 ⎢ • ⎢ • PL = ⎢ •
Page 33 and 34: Rozdział 5 Wyniki analityczne W ma
Page 35 and 36: Zauważmy ponadto, że J = F −1
Page 37 and 38: Rozdział 6 Podsumowanie 6.1 Odnale
Page 39 and 40: A Katalog macierzy Butsona Dodatek
Page 41 and 42: N = 7 D6 ∈ H(4, 6); LOG(D6) = = 1
Page 43 and 44: N = 9 F8 ∈ H(8, 8); LOG(F8) = = 1
Page 45 and 46: F3 ⊗ F2 ⊗ F2 F6 ⊗ F2 ∈ H(6
Page 47 and 48: N = 13 F13 ∈ H(13, 13); LOG(F13)
Page 49 and 50: N = 15 N = 16 F15 F3 ⊗ F5 ∈ H(
Page 51 and 52: F8 ⊗ H2 ∈ H(8, 16); LOG(F8 ⊗
Page 53 and 54: B Opis użytych metod numerycznych
Page 55: #07 JEŻELI Z(M ′ 1, M ′ 2) < Z
Page 58:
[14] I. D. Ivanović, Geometrical d
show all

Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?