Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

A
Katalog macierzy Butsona
Dodatek ten stanowi rozwinięcie charakterystyki macierzy typu Butsona zdefiniowanych
w (1.2.1.b) z wyszczególnieniem podstawowych reprezentantów klas zbioru H(q, N) dla
N = 2, . . . , 16.
Rozważmy pewną macierz Hadamarda typu Butsona H(a) = F ◦ EXP (i R(a)) , która
jest reprezentantem jednowymiarowej rodziny afinicznej zależnej od fazy a ∈ [0, 2 π),
oraz F ∈ H(q, N). Można pokazać, że wtedy H(a) ∈ H(k q, N), przy czym parametr a
przyjmuje postać a = 2 π/k q. Wynika z tego, że klasy macierzy Butsona stanowią zbiór
nieskończony. Z tego powodu poniżej zostaną wypisani jedynie reprezentanci rodzin dla
najmniejszego q.
Przy ustalonym wymiarze N macierze uporządkowane są według rosnącej wartości pa-
rametru q. Wybór każdego przedstawiciela danej klasy jest określony z dokładnością do
permutacji wierszy i kolumn. Zgodnie z wcześniejszą umową • oznacza fazę zerową (od-
powiadającą jedności).
N = 2
N = 3
H2 = F2 ∈ H(2, 2); LOG(F2) =
⎡ ⎤
•
= π ⎣
•
•
⎦ .
1
F3 ∈ H(3, 3); LOG(F3) =
= 2
3 π
⎡
•
⎢
⎣ •
•
•
1
2
⎤
•
⎥
2 ⎥
⎦
1
.
39