Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

Nowa para MUHs daje nowy sposób przygotowania optymalnego pomiaru składającego
się z trzech ortogonalnych pomiarów von Neumanna dla układu o wymiarze N = 6 [24].
6.2 Problemy otwarte
Nie oznacza to jednak pełnego sukcesu jakim by było niewątpliwie udowodnienie istnienia
zestawu przynajmniej 3 macierzy pozostających w relacji MUHs. Wyniki te pozwalają
jednak przypuszczać, iż jest duża szansa na odnalezienie takiego zbioru w przestrzeni H6,
a następnie utworzenia z nich pierwszego pełnego zestawu baz MUBs w przestrzeni Hil-
berta C 6 .
Ciekawym wydaje się być fakt, że liczba MUBs w przestrzeni o danym wymiarze N
jest związana z charakterem tej liczby. Mianowicie pełny zestaw (N + 1) baz wzajemnie
nieobciążonych otrzymujemy, gdy N jest liczbą pierwszą lub jej kwadratem. Dotychczas
literatura matematyczna nie zawiera twierdzeń, na bazie których można by pokazać, że
skonstruowanie MUBs dla innych wymiarów N jest możliwe, lub niemożliwe. Dla wymia-
rów będących liczbą złożoną udało się jak dotąd otrzymać jedynie wyniki cząstkowe (na
przykład dla N = n 2 , przy dowolnym naturalnym n > 1 [26]), lub podać dolne oszacowa-
nia na maksymalną ilość elementów zbioru MUBs [1]. N = 6 jest jak dotąd najmniejszym
wymiarem, dla którego to pytanie pozostaje bez odpowiedzi, a co za tym idzie rozwią-
zanie problemu optymalnego pomiaru kwantowego dla przestrzeni Hilberta C 6 wciąż jest
otwarte.
Związki macierzy Hadamarda z teorio-liczbowymi twierdzeniami o istnieniu ciał skoń-
czonych w dziedzinie liczb pierwszych sugerują, że być może problem ten da się rozwiązać
używając całkowicie abstrakcyjnych narzędzi. Jednakże obszar tego przenikania się czystej
matematyki z mechaniką kwantową wciąż jest zagadką. Nadal nie wiemy, co decyduje, że
charakter stanów kwantowych daje się bardzo dobrze opisać takim a nie innym językiem.
Także sam zbiór H6 ciągle nie jest do końca zbadany. Jest niemal pewnym przypusz-
czenie, że istnieją w nim całkiem nowe klasy macierzy Hadamarda, których jeszcze nie
udało się opisać. W szczególności postać nowo odnalezionej rodziny B6(t) sugeruje, że
może być ona częścią większej nieafinicznej rodziny 2-wymiarowej. Istnieje ponadto hipo-
teza, że wszystkie dotychczas znane klasy, czyli C6, D6(c), F6(a, b) są tylko szczególnymi
przypadkami reprezentantów jednej wielowymiarowej orbity nieafinicznej, a to z czym ma-
my obecnie do czynienia, to tylko projekcje na podprzestrzenie afiniczne. Jednak stopień
skomplikowania nieznanej rodziny - jeżeli ona istnieje - jest wciąż zbyt duży i nadal czeka
na potencjalne odkrycie. Być może jest to kwestia niedalekiej przyszłości...
38