Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

dane jest przez:
λ1 = λ4 = + exp − i 1
4 π
,
⎛
⎛
λ2 = λ5 = + exp ⎝+
2
i arc tg ⎝
√
27 − 3 2 √ 3 + 6
2 √
27 − 3 2 √ ⎞⎞
⎠⎠
,
3 − 6
⎛
⎛
λ3 = λ6 = − exp ⎝−
2
i arc tg ⎝
√
27 − 3 2 √ 3 − 6
2 √
27 − 3 2 √ ⎞⎞
⎠⎠
.
3 + 6
Korzystając z (5.8) można dokonać ciągu równoważnych przejść:
C6 = F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1 ⇔ (F6) † · C6 = (F6) † · F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1
co pozwala uznać parę macierzy Hadamarda
za parę MUHs.
⇔ 1
√ 6 · (F6) † · C6 = 6 · J6 · (F6) −1 ∈ H6,
{C6, F6(0, 0)} (5.10)
Twierdzenie o dekompozycji spektralnej macierzy pozwala więc uzyskiwać nowe pary
MUHs dla dowolnego wymiaru N pod warunkiem, że w zbiorze HN istnieją macierze
typu "cyclic-N-roots". W porównaniu z parą znalezioną numerycznie, w tym przypadku
nie było koniecznie permutowanie macierzy Fouriera 2 , a macierz dofazowująca jest ła-
twa do wyliczenia, gdy skorzysta się z twierdzenia (5.1.1). Zauważmy ponadto, że jest to
kolejny przykład MUHs, które są heterogeniczne.
2 Oczywiście o ile przyjmie się, że jej postać kanoniczna jest taka jak podaje to wzór (3.1).
36