Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ... Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
C = [c, c L, c L 2 , . . . , c L N−1 ] T ⎢ = ⎢ ⎣ ⎡ c1 c2 c3 . . . cN cN c1 c2 . . . cN−1 cN−1 cN c1 . . . cN−2 . . c2 c3 c4 . . . c1 . . ⎤ ⎥ . (5.4) ⎥ ⎦ Twierdzenie 5.1.1. Przy powyższych oznaczeniach, jeżeli C jest macierzą cykliczną po- staci (5.4), to jej rozkład spektralny jest następującej postaci: C = F · J · F −1 , (5.5) gdzie J = diag T F c , natomiast F jest macierzą Fouriera (1.5). Dowód: Niech D = diag 1, w, . . . , w N−1 , gdzie w = exp 2 N Zauważmy, że: Zatem czyli jest macierzą diagonalną. π i . [L · F ] m, n = e T (m+1) · 1, w 1(n−1) , w 2(n−1) , . . . , w N(n−1) T = w m(n−1) = w (n−1) · w (m−1)(n−1) = w (n−1) · 1, w 1(m−1) , w 2(m−1) , . . . , w N(m−1) · en = [F · D] m, n . L = F · D · F −1 , (5.6) F −1 · L · F (5.7) 34
Zauważmy ponadto, że J = F −1 · C · F = F −1 · = N k=1 ck L k−1 N ck F −1 · L k−1 · F k=1 N = ck k=1 · F F −1 · L · F k−1 . Na podstawie (5.7) wnioskujemy, że J także jest macierzą diagonalną. Pozostaje zatem wykazać, że J = diag T F c . W tym celu policzmy: co kończy dowód twierdzenia. T F c m = 5.2 Kolejna para MUHs N ck w (k−1)(m−1) k=1 N = ckD k=1 k−1 m, m = F −1 · C · F m, m , Korzystając z twierdzenia (5.1.1) przeprowadźmy analogiczne rozumowanie dla konkret- nych macierzy otrzymując pary MUHs. Rozważmy macierz C6 w postaci nie odfazowanej (3.8). Na mocy wspomnianego twier- dzenia zachodzi dla niej następujący rozkład: gdzie widmo macierzy cyklicznej C6 = F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1 , (5.8) J6 = diag (λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, λ6) (5.9) 35
- Page 1 and 2: Uniwersytet Jagielloński Wydział
- Page 3: Pragnę podziękować panu Profesor
- Page 6 and 7: 6 Podsumowanie 37 6.1 Odnaleziona n
- Page 8 and 9: zauważy zapewne, iż część ze w
- Page 10 and 11: 1.2 Macierze Hadamarda 1.2.1 Klasyc
- Page 12 and 13: sty i staje się uciążliwy podcza
- Page 14 and 15: 1.3 MUHs Definicja 1.3.1. Dwie maci
- Page 17 and 18: Rozdział 2 Macierze Hadamarda w fi
- Page 19: W szczególności N = 6 jest najmni
- Page 22 and 23: RF6 = ⎡ • ⎢ • ⎢ • ⎢
- Page 25 and 26: Rozdział 4 Wyniki numeryczne Do ni
- Page 27 and 28: gdzie: oraz β1(t) = α(t) = t 1
- Page 29 and 30: Relacja równoważności, która po
- Page 31 and 32: ⎡ 1 ⎢ • ⎢ • PL = ⎢ •
- Page 33: Rozdział 5 Wyniki analityczne W ma
- Page 37 and 38: Rozdział 6 Podsumowanie 6.1 Odnale
- Page 39 and 40: A Katalog macierzy Butsona Dodatek
- Page 41 and 42: N = 7 D6 ∈ H(4, 6); LOG(D6) = = 1
- Page 43 and 44: N = 9 F8 ∈ H(8, 8); LOG(F8) = = 1
- Page 45 and 46: F3 ⊗ F2 ⊗ F2 F6 ⊗ F2 ∈ H(6
- Page 47 and 48: N = 13 F13 ∈ H(13, 13); LOG(F13)
- Page 49 and 50: N = 15 N = 16 F15 F3 ⊗ F5 ∈ H(
- Page 51 and 52: F8 ⊗ H2 ∈ H(8, 16); LOG(F8 ⊗
- Page 53 and 54: B Opis użytych metod numerycznych
- Page 55: #07 JEŻELI Z(M ′ 1, M ′ 2) < Z
- Page 58: [14] I. D. Ivanović, Geometrical d
C = [c, c L, c L 2 , . . . , c L N−1 ] T ⎢<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
c1 c2 c3 . . . cN<br />
cN c1 c2 . . . cN−1<br />
cN−1 cN c1 . . . cN−2<br />
.<br />
.<br />
c2 c3 c4 . . . c1<br />
.<br />
.<br />
⎤<br />
⎥ . (5.4)<br />
⎥<br />
⎦<br />
Twierdzenie 5.1.1. Przy powyższych oznaczeniach, jeżeli C jest macierzą cykliczną po-<br />
staci (5.4), to jej rozkład spektralny jest następującej postaci:<br />
C = F · J · F −1 , (5.5)<br />
gdzie J = diag <br />
T F c , natomiast F jest macierzą Fouriera (1.5).<br />
Dowód:<br />
Niech D = diag <br />
1, w, . . . , w N−1<br />
, gdzie w = exp 2<br />
N<br />
Zauważmy, że:<br />
Zatem<br />
czyli<br />
jest macierzą diagonalną.<br />
π i <br />
.<br />
[L · F ] m, n = e T (m+1) · <br />
1, w 1(n−1) , w 2(n−1) , . . . , w N(n−1) T<br />
= w m(n−1)<br />
= w (n−1) · w (m−1)(n−1)<br />
= w (n−1) · <br />
1, w 1(m−1) , w 2(m−1) , . . . , w N(m−1)<br />
· en<br />
= [F · D] m, n .<br />
L = F · D · F −1 , (5.6)<br />
F −1 · L · F (5.7)<br />
34
Change language