Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

Przykładowo dwie poniższe macierze należą do tej samej 1-wymiarowej orbity afinicz-
nej (3.4), co na pierwszy rzut oka jest trudne do stwierdzenia ze względu na pozornie
różną ilość wolnych parametrów; p = exp(2 π i φ), φ ∈ [0, 1)
⎡
1
⎢ 1
⎢ 1
⎢ 1
⎢
⎣ 1
1
−1
i
−i
−i
1
i
−1
i p
−i p
1
−i
i p
−1
i
1
−i
−i p
i
−1
⎤ ⎡
1 1
⎥ ⎢
i ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1
⎥ ⎢
−i ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1
⎥ ⎢
−i p ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1
⎥ ⎢
i p ⎥ ⎢
⎦ ⎣ 1
1
1
−1
i
−i
1
−1
p
i p
−p
1
−i
−i p
−1
i
1
i
−p
−i
−1
⎤
1
⎥
−1 ⎥
i p ⎥ .
−i p ⎥
p ⎥
⎦
1 i −i −i p i p −1 1 −1 −i p i p p −p
Jednakże wyniki numeryczne pozwoliły odgadnąć postać analityczną elementów pewnych
macierzy, a dalsze obliczenia analityczne pokazały, że jest to nowa rodzina, która uogól-
nia dotychczas znane C6 oraz D6(c) czyniąc je dwoma przypadkami szczególnymi jednej
nieafinicznej orbity 1-wymiarowej.
4.1 Nowa klasa macierzy B6(t)
Rozważmy następującą rodzinę 1 macierzy zależną od parametru t
przy czym 2 :
W6 t = t(φ)
⎡
1
⎢ 1
⎢ 1
= ⎢ 1
⎢
⎣ 1
1
−1
−x
−β
β
1
−α
1/y
β
1/y
1
−t
t
−1
−γ
1
t
1
−1/z
1/y
⎤
1
⎥
α ⎥
−1/z ⎥ ,
1/z ⎥
−α ⎥
⎦
(4.1)
1 x −γ γ −x −1
x(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
1 + 2 t − t 2 , (4.2)
y(t) =
1 + 2 t − t2
t(−1 + 2 t + t2 , (4.3)
)
z(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
−1 + 2 t + t 2 , (4.4)
1 Symbol B użyty w tytule stanie się jasny w dalszej części rozdziału.
2 Pozioma kreska nad niektórymi czynnikami oznacza, zgodnie z umową z Rodziału 1, sprzężenie ze-
spolone.
26