Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ... Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
RF6 = ⎡ • ⎢ • ⎢ • ⎢ • ⎢ ⎣ • • a • a • • b • b • • • • • • • a • a • ⎤ • ⎥ b ⎥ • ⎥ . b ⎥ • ⎥ ⎦ (3.3) • a b • a b W przypadku a = b = 0 otrzymujemy na powrót klasyczną macierz Fouriera. 3.2 Macierz D6(c) Kolejna klasa macierzy, której twórcą jest P. Dițǎ [9] ma postać ⎡ 1 ⎢ 1 ⎢ 1 D6(c) = ⎢ 1 ⎢ ⎣ 1 1 −1 i −i −i 1 i −1 i · exp(− i c) −i · exp(− i c) 1 −i i · exp(i c) −1 i 1 −i −i · exp(i c) i −1 ⎤ 1 ⎥ i ⎥ −i ⎥ , −i · exp(− i c) ⎥ i · exp(− i c) ⎥ ⎦ 1 i −i −i · exp(i c) i · exp(i c) −1 (3.4) stanowi więc 1-wymiarową rodzinę afiniczną macierzy Hadamarda zależną od parame- tru c ∈ [0, 2 π). 3.3 Macierz typu "cyclic-6-roots" - C6 Innym elementem zbioru H6 jest tzw. macierz "cyclic-6-roots" ⎡ 1 1 1 1 1 1 ⎢ 1 ⎢ C6 = ⎢ ⎣ −1 −d −d2 d2 1 −d d −1 1 d2 −d3 d2 1 −d−2 d−2 −1 d2 −d2 1 d−2 −d−3 d−2 1 −d 1 d−1 d−2 −d−2 −d−1 −1 gdzie element d jest pierwiastkiem równania ⎤ ⎥ , (3.5) ⎥ ⎦ d 2 − (1 − √ 3) d + 1 = 0, (3.6) 22
czyli d = 1 − √ 3 2 ⎛√ ⎞ 3 + i · ⎝ ⎠ 2 1/2 . (3.7) Nazwa macierzy staje się jasna, gdy rozważy się jej postać nie odfazowaną, w której widoczna jest cykliczna rotacja sześciu elementów ⎡ ⎢ ˜C6 ⎢ = ⎢ ⎣ 1 i d −d −i −d −1 i d −1 i d −1 1 i d −d −i −d −1 −d −1 i d −1 1 i d −d −i −i −d −1 i d −1 1 i d −d −d −i −d −1 i d −1 1 i d i d −d −i −d −1 i d −1 1 ⎤ ⎥ ⎦ (3.8) Więcej na temat konstrukcji macierzy typu "cyclic-N-roots", o wymiarach N > 6, co wychodzi poza tematykę tej pracy, można znaleźć w [6], [11]. 3.4 Macierz spektralna - S6 Ostatnim znanym reprezentantem 6-wymiarowych zespolonych macierzy Hadamarda za- proponowanym przez T. Tao w roku 2004 [23] jest macierz spektralna gdzie w = exp( 2 3 π i). ⎡ ⎢ S6 = ⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 1 1 1 w w w 2 w 2 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w w 2 1 w w 2 1 w 2 w 2 w 1 w 1 w 2 w w 2 w 1 Macierz Tao 1 jest punktem izolowanym w przestrzeni H6. ⋆ ⋆ ⋆ ⎤ ⎥ , (3.9) ⎥ ⎦ Zauważmy, że trzy z powyższych klas przynależą do następujących typów Butsona: F6(a, b) ∈ H(6, 6), D6(c) ∈ H(4, 6), S6 ∈ H(3, 6) - patrz Dodatek A. 1 W trakcie przygotowywania tej pracy ogłoszono wiadomość, że Terence Tao otrzymał w roku 2006 medal Fieldsa. Omawiając jego różnorakie osiągnięcia w matematyce nie wymieniono jednakże odkrycia macierzy S6. 23
- Page 1 and 2: Uniwersytet Jagielloński Wydział
- Page 3: Pragnę podziękować panu Profesor
- Page 6 and 7: 6 Podsumowanie 37 6.1 Odnaleziona n
- Page 8 and 9: zauważy zapewne, iż część ze w
- Page 10 and 11: 1.2 Macierze Hadamarda 1.2.1 Klasyc
- Page 12 and 13: sty i staje się uciążliwy podcza
- Page 14 and 15: 1.3 MUHs Definicja 1.3.1. Dwie maci
- Page 17 and 18: Rozdział 2 Macierze Hadamarda w fi
- Page 19: W szczególności N = 6 jest najmni
- Page 25 and 26: Rozdział 4 Wyniki numeryczne Do ni
- Page 27 and 28: gdzie: oraz β1(t) = α(t) = t 1
- Page 29 and 30: Relacja równoważności, która po
- Page 31 and 32: ⎡ 1 ⎢ • ⎢ • PL = ⎢ •
- Page 33 and 34: Rozdział 5 Wyniki analityczne W ma
- Page 35 and 36: Zauważmy ponadto, że J = F −1
- Page 37 and 38: Rozdział 6 Podsumowanie 6.1 Odnale
- Page 39 and 40: A Katalog macierzy Butsona Dodatek
- Page 41 and 42: N = 7 D6 ∈ H(4, 6); LOG(D6) = = 1
- Page 43 and 44: N = 9 F8 ∈ H(8, 8); LOG(F8) = = 1
- Page 45 and 46: F3 ⊗ F2 ⊗ F2 F6 ⊗ F2 ∈ H(6
- Page 47 and 48: N = 13 F13 ∈ H(13, 13); LOG(F13)
- Page 49 and 50: N = 15 N = 16 F15 F3 ⊗ F5 ∈ H(
- Page 51 and 52: F8 ⊗ H2 ∈ H(8, 16); LOG(F8 ⊗
- Page 53 and 54: B Opis użytych metod numerycznych
- Page 55: #07 JEŻELI Z(M ′ 1, M ′ 2) < Z
- Page 58: [14] I. D. Ivanović, Geometrical d
czyli<br />
d = 1 − √ 3<br />
2<br />
⎛√<br />
⎞<br />
3<br />
+ i · ⎝ ⎠<br />
2<br />
1/2<br />
. (3.7)<br />
Nazwa macierzy staje się jasna, gdy rozważy się jej postać nie odfazowaną, w której<br />
widoczna jest cykliczna rotacja sześciu elementów<br />
⎡<br />
⎢<br />
˜C6<br />
⎢<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
1 i d −d −i −d −1 i d −1<br />
i d −1 1 i d −d −i −d −1<br />
−d −1 i d −1 1 i d −d −i<br />
−i −d −1 i d −1 1 i d −d<br />
−d −i −d −1 i d −1 1 i d<br />
i d −d −i −d −1 i d −1 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(3.8)<br />
Więcej na temat konstrukcji macierzy typu "cyclic-N-roots", o wymiarach N > 6, co<br />
wychodzi poza tematykę tej pracy, można znaleźć w [6], [11].<br />
3.4 Macierz spektralna - S6<br />
Ostatnim znanym reprezentantem 6-wymiarowych zespolonych macierzy <strong>Hadamarda</strong> za-<br />
proponowanym przez T. Tao w roku 2004 [23] jest macierz spektralna<br />
gdzie w = exp( 2<br />
3<br />
π i).<br />
⎡<br />
⎢<br />
S6 = ⎢<br />
⎣<br />
1 1 1 1 1 1<br />
1 1 w w w 2 w 2<br />
1 w 1 w 2 w 2 w<br />
1 w w 2 1 w w 2<br />
1 w 2 w 2 w 1 w<br />
1 w 2 w w 2 w 1<br />
Macierz Tao 1 jest punktem izolowanym w przestrzeni H6.<br />
⋆ ⋆ ⋆<br />
⎤<br />
⎥ , (3.9)<br />
⎥<br />
⎦<br />
Zauważmy, że trzy z powyższych klas przynależą do następujących typów Butsona: F6(a, b) ∈<br />
H(6, 6), D6(c) ∈ H(4, 6), S6 ∈ H(3, 6) - patrz Dodatek A.<br />
1 W trakcie przygotowywania tej pracy ogłoszono wiadomość, że Terence Tao otrzymał w roku 2006<br />
medal Fieldsa. Omawiając jego różnorakie osiągnięcia w matematyce nie wymieniono jednakże odkrycia<br />
macierzy S6.<br />
23
Change language