Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

gęstości. Chcąc poznać te parametry należy dokonać serii co najmniej (N + 1) ortogo-
nalnych pomiarów, z których otrzyma się (N − 1) rzeczywistych parametrów. Oczywiście
każdy pomiar powinien nieść ze sobą niezależną od innego informację. Ten ostatni waru-
nek jest zagwarantowany wtedy, gdy każdy z kolejnych pomiarów dokonuje się względem
innej bazy wybranej z MUBs [27].
MUBs jeszcze inne zastosowanie znajdują w kwantowej kryptografii. W szczególności w al-
gorytmie BB84 opisującym protokół Kwantowej Dystrybucji Klucza (QKD) [5].
Same macierze Hadamarda w mechanice kwantowej mogą posłużyć do konstrukcji [25]:
a) Baz operatorów unitarnych, czyli zbioru wzajemnie ortogonalnych operatorów
N 2
unitarnych {Uk} k=1 takich, że Uk ∈ U(N) oraz Tr U †
k Ul = N δk, l dla k, l = 1, . . . , N 2 ,
N 2
b) Baz stanów maksymalnie splątanych, jakim jest przykładowo zbiór {|Ψk〉} k=1,
gdzie każdy element |Ψk〉 należy do złożonej (w sensie iloczynu tensorowego) przestrzeni
Hilberta ze zdefiniowaną operacją częściowego śladu TrN(|Ψk〉〈Ψk|) = /N oraz przy za-
łożeniu wzajemnej ortogonalności 〈Ψk|Ψl〉 = δk, l [28],
N 2
c) Depolaryzatorów unitarnych, reprezentowanych przez zbiór {Uk} k=1, przy czym
dla każdego ograniczonego liniowego operatora A zachodzi
N 2
k=1
U †
k A Uk = N Tr A . (2.2)
Problemy a)-c) są równoważne w tym sensie, że znalezienie rozwiązania jednego z nich au-
tomatycznie rozwiązuje pozostałe, a także odpowiadający im problem teleportacji kwan-
towej lub tzw. algorytmy gęstego kodowania [25]. W szczególności macierze Hadamarda
są użyteczne przy konstrukcji specjalnych klas baz związanych z abstrakcyjnymi grupami
matematycznymi znanymi w literaturze pod nazwą "Nice error basis" [16], [17].
2.3 Warunki istnienia MUBs
Maksymalna ilość MUBs w przestrzeni o wymiarze N 1, to (N + 1). Konstrukcja tych
baz jest związana matematyczną teorią liczb. Opiera się ona na fakcie istnienia ciał skoń-
czonych o N elementach, które ma miejsce jak wiadomo tylko w przypadku, gdy N jest
potęgą liczby pierwszej. Dla przestrzeni o takim właśnie wymiarze możliwe jest skon-
struowanie maksymalnego zestawu MUBs. Problem ten nie jest dotychczas rozwiązany
dla wymiarów będących liczbą złożoną. Można jedynie oszacować [1], że dla przestrzeni,
której wymiar jest iloczynem N = n1n2, maksymalna liczba MMUBs(N) MUBs spełnia
warunek
MMUBs(N) min{MMUBs(n1), MMUBs(n2)}. (2.3)
18