Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

More documents

Recommendations

Info

1.3 MUHs Definicja 1.3.1. Dwie macierze Hadamarda H1 oraz H2 wymiaru N nazywamy ma- cierzami wzajemnie nieobciążonymi (Mutually Unbiased Hadamards 5 ), wtedy i tylko wtedy, gdy 1 √ N H † 1H2 ∈ HN. (1.17) Definicję tę można ugólnić na dowolny skończony zbiór macierzy, wtedy każda para tego zbioru musi spełniać warunek (1.17). Rozważając MUHs rozróżnia się dwa ich typy. Definicja 1.3.2. Para macierzy H1 oraz H2 jest homogeniczna (jednorodna), gdy obie macierze są równoważne. W przeciwnym przypadku mówimy o macierzach heterogenicz- nych (niejednorodnych). Klasyczna konstrukcja MUHs opiera się na macierzach Fouriera. Zdefiniujmy macierz diagonalną 2 [DN]j, k = δj, k exp N (j − 1)2 π i , j, k ∈ {1, 2, . . . , N} (1.18) A następnie ciąg macierzy (Hj) j=1,2,...,N Hj = D j−1 N H1, (1.19) przy czym H1 = FN jest macierzą Fouriera postaci (1.5). Można udowodnić następujący lemat: Lemat 1.3.3. Dla j = k zachodzi równoważność 1 N H† j Hk ∈ HN ⇐⇒ N jest liczbą pierwszą. (1.20) A zatem, gdy N jest liczbą pierwszą, to N elementowy zbiór macierzy {H1, . . . , HN} dany wzorem (1.19) stanowi przykład N homogenicznych MUHs. 5 W dalszej części będzie używany skrót MUHs. 14
1.4 MUBs W dalszym ciągu będziemy rozważali skończenie wymiarową przestrzeń Hilberta C N ze standardowym iloczynem skalarnym a wektory tej przestrzeni będziemy oznaczać używa- jąc notacji Diraca. Definicja 1.4.1. Dwie ortogonalne bazy B1 oraz B2 przestrzeni Hilberta C N nazywamy bazami wzajemnie nieobciążonymi (Mutually Unbiased Bases 6 ), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wektora |φ〉 ∈ B1 oraz |ψ〉 ∈ B2. |〈φ|ψ〉| 2 = 1 N (1.21) Mając zbiór k macierzy Hadamarda {H1, . . . , Hk} o wymiarze N będących w relacji MUHs można utworzyć z nich zbiór (k + 1) MUBs w następujący sposób {, 1 √ N H1, . . . , 1 √ N Hk}, (1.22) gdzie kolejne kolumny macierzy stanowią elementy bazy przestrzeni C N . 6 W dalszej części będzie używany skrót MUBs. 15
Page 1 and 2: Uniwersytet Jagielloński Wydział
Page 3: Pragnę podziękować panu Profesor
Page 6 and 7: 6 Podsumowanie 37 6.1 Odnaleziona n
Page 8 and 9: zauważy zapewne, iż część ze w
Page 10 and 11: 1.2 Macierze Hadamarda 1.2.1 Klasyc
Page 12 and 13: sty i staje się uciążliwy podcza
Page 17 and 18: Rozdział 2 Macierze Hadamarda w fi
Page 19: W szczególności N = 6 jest najmni
Page 22 and 23: RF6 = ⎡ • ⎢ • ⎢ • ⎢
Page 25 and 26: Rozdział 4 Wyniki numeryczne Do ni
Page 27 and 28: gdzie: oraz β1(t) = α(t) = t 1
Page 29 and 30: Relacja równoważności, która po
Page 31 and 32: ⎡ 1 ⎢ • ⎢ • PL = ⎢ •
Page 33 and 34: Rozdział 5 Wyniki analityczne W ma
Page 35 and 36: Zauważmy ponadto, że J = F −1
Page 37 and 38: Rozdział 6 Podsumowanie 6.1 Odnale
Page 39 and 40: A Katalog macierzy Butsona Dodatek
Page 41 and 42: N = 7 D6 ∈ H(4, 6); LOG(D6) = = 1
Page 43 and 44: N = 9 F8 ∈ H(8, 8); LOG(F8) = = 1
Page 45 and 46: F3 ⊗ F2 ⊗ F2 F6 ⊗ F2 ∈ H(6
Page 47 and 48: N = 13 F13 ∈ H(13, 13); LOG(F13)
Page 49 and 50: N = 15 N = 16 F15 F3 ⊗ F5 ∈ H(
Page 51 and 52: F8 ⊗ H2 ∈ H(8, 16); LOG(F8 ⊗
Page 53 and 54: B Opis użytych metod numerycznych
Page 55: #07 JEŻELI Z(M ′ 1, M ′ 2) < Z
Page 58: [14] I. D. Ivanović, Geometrical d

Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?