Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

1.3 MUHs
Definicja 1.3.1. Dwie macierze Hadamarda H1 oraz H2 wymiaru N nazywamy ma-
cierzami wzajemnie nieobciążonymi (Mutually Unbiased Hadamards 5 ), wtedy i tylko
wtedy, gdy
1
√ N H †
1H2 ∈ HN. (1.17)
Definicję tę można ugólnić na dowolny skończony zbiór macierzy, wtedy każda para tego
zbioru musi spełniać warunek (1.17). Rozważając MUHs rozróżnia się dwa ich typy.
Definicja 1.3.2. Para macierzy H1 oraz H2 jest homogeniczna (jednorodna), gdy obie
macierze są równoważne. W przeciwnym przypadku mówimy o macierzach heterogenicz-
nych (niejednorodnych).
Klasyczna konstrukcja MUHs opiera się na macierzach Fouriera.
Zdefiniujmy macierz diagonalną
2
[DN]j, k = δj, k exp
N (j − 1)2
π i , j, k ∈ {1, 2, . . . , N} (1.18)
A następnie ciąg macierzy (Hj) j=1,2,...,N
Hj = D j−1
N H1, (1.19)
przy czym H1 = FN jest macierzą Fouriera postaci (1.5). Można udowodnić następujący
lemat:
Lemat 1.3.3. Dla j = k zachodzi równoważność
1
N H†
j Hk ∈ HN ⇐⇒ N jest liczbą pierwszą. (1.20)
A zatem, gdy N jest liczbą pierwszą, to N elementowy zbiór macierzy {H1, . . . , HN} dany
wzorem (1.19) stanowi przykład N homogenicznych MUHs.
5 W dalszej części będzie używany skrót MUHs.
14