Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

1.2.6 Ciągłe rodziny macierzy
Poza punktami izolowanymi w przestrzeni HN istnieją także klasy macierzy Hadamarda
zależne od zbioru pewnej ilości parametrów. Rozróżniamy wśród nich rodziny afiniczne
oraz rodziny nieafiniczne.
Definicja 1.2.7. Afiniczna rodzina 3 macierzy Hadamarda generowana przez N-wy-
miarową macierz Hadamarda H jest zbiorem macierzy spełniających warunek (1.4), które
zależą od dodatkowych parametrów należących do podprzestrzeni R przestrzeni wszystkich
rzeczywistych N-wymiarowych macierzy mających zera w pierwszym wierszu i w pierwszej
kolumnie,
H(R) = {H ◦ EXP(i R) : R ∈ R}. (1.14)
Oznaczając rodziny afiniczne stosuje się zapis H(α1, . . . , αm) jeżeli R należy do m-wymia-
rowej przestrzeni, której bazą jest R1, . . . , Rm. Wtedy także H(α1, . . . , αm) oznacza ele-
ment takiej rodziny
H(α1, . . . , αm) = H(R) def
= H ◦ EXP(i R) (1.15)
gdzie R = α1 · R1 + . . . + αm · Rm.
Istnieją także przypadki rodzin nieafinicznych, gdzie zmiany wolnych parametrów 4 nie
mają charakteru liniowego - są na przykład skomplikowanymi funkcjami trygonometrycz-
nymi [19].
Przykładowo rozważmy macierz Fouriera F4 ∈ H(4, 4) ⊂ H4, którą można uogólnić two-
rząc z niej jednowymiarową rodzinę afiniczną zależną od parametru α ∈ [0, 2 π)
⎡
1
⎢ 1
F4 −→ F4(α) = ⎢
⎣ 1
1
i · exp(i α)
−1
1
−1
1
⎤
1
⎥
−i · exp(i α) ⎥ ,
−1 ⎥
⎦
(1.16)
1 −i · exp(i α) −1 i · exp(i α)
podczas, gdy macierz F5 jest "tylko" punktem izolowanym w przestrzeni H5 [11].
3 Często też używa się nazwy afiniczna orbita.
4 Zwane także fazami.
13