Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

sty i staje się uciążliwy podczas prób identyfikacji nowych klas macierzy Hadamarda -
patrz Rozdział 4.
1.2.4 Postać odfazowana oraz rdzeń macierzy Hadamarda
Definicja 1.2.3. Macierz Hadamarda jest w postaci odfazowanej, gdy jej pierwszy
wiersz i pierwsza kolumna składają się tylko z jedynek;
[H]1, j = [H]j, 1 = 1 dla j = 1, . . . , N. (1.10)
Każdą macierz można doprowadzić do postaci odfazowanej mnożąc ją z lewej i/lub z pra-
wej strony przez odpowiednio dobrane macierze diagonalne.
Dwie macierze Hadamarda, które mają taką samą postać odfazowaną są równoważne.
Zatem całkowitą informację o postaci macierzy można uzyskać jedynie z elementów ma-
cierzy (N −1)-wymiarowej, leżących poza pierwszym wierszem i pierwszą kolumną - w tak
zwanym rdzeniu macierzy.
W dalszej części używane będą (poza jednym wyjątkiem) wyłącznie macierze w postaci
odfazowanej.
1.2.5 Macierze izolowane oraz defekt macierzy
Definicja 1.2.4. Macierz Hadamarda H jest nazywana macierzą izolowaną, jeżeli ist-
nieje takie otoczenie W macierzy H, w którym nie istnieje żadna inna taka macierz.
Przez otoczenie macierzy należy rozumieć macierz, której elementy powstają z wyjściowej
macierzy poprzez infinitezymalne zaburzenia.
Definicja 1.2.5. Defektem d(H) dla N-wymiarowej macierzy Hadamarda H nazywamy
wymiar przestrzeni generowanej przez rozwiązania układu rzeczywistych równań liniowych
ze zmienną macierzową R ∈ R N×N
R1, k = 0 k ∈ {2, . . . , N} (1.11)
Rj, 1 = 0 j ∈ {1, . . . , N} (1.12)
N
Hj, nHk, n (Rj, n − Rk, n) = 0 1 j < k N (1.13)
n=1
Defekt jest wielkością mogącą posłużyć do określenia czy dana macierz Hadamarda jest
punktem izolowanym w przestrzeni HN. Można udowodnić następujący fakt:
Lemat 1.2.6. Macierz Hadamarda H jest punktem izolowanym, gdy defekt d(H) = 0.
Nie jest to warunek konieczny i wystarczający na orzeczenie, czy dana macierz jest izolowa-
na, jednakże pozwala przypuszczać, czy należy ona do pewnej rodziny. Ilość parametrów,
od których zależy taka rodzina jest co najwyżej równa defektowi macierzy.
12