Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ... Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
1.2 Macierze Hadamarda 1.2.1 Klasyczna definicja Definicja 1.2.1. Macierz kwadratową H wymiaru N, której wszystkie elementy są uni- modularne |[H]j, k| 2 = 1, nazywamy macierzą Hadamarda, gdy spełniony jest warunek HH † = N , (1.4) gdzie † oznacza sprzężenie hermitowskie natomiast - macierz identyczności wymiaru N. Można wyróżnić: a) rzeczywiste macierze Hadamarda, [H]j, k ∈ R, b) macierze Hadamarda typu Butsona H(q, N), dla których q [H]j, k = 1, c) zespolone 1 macierze Hadamarda, [H]j, k ∈ C. Symbolem HN oznaczany będzie zbiór wszystkich macierzy Hadamarda o wymiarze N. Klasycznym przykładem macierzy Hadamarda jest macierz Fouriera postaci FN j, k dla j, k = 1, . . . , N, czyli w przypadku N = 6 gdzie w = exp( 1 3 π i). ⎢ F6 = ⎢ ⎣ ⎛ ⎞ 2 π i (j − 1) (k − 1) = exp ⎝ ⎠, (1.5) N ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 w 1 w 2 −1 w 4 w 5 1 w 2 w 4 1 w 2 w 4 1 −1 1 −1 1 −1 1 w 4 w 2 1 w 4 w 2 1 w 5 w 4 −1 w 2 w 1 ⎤ ⎥ , (1.6) ⎥ ⎦ 1 Dalsza część pracy dotyczyć będzie w ogólności zespolonych macierzy Hadamarda, które zawierają obie pozostałe klasy macierzy. 10
Macierze Butsona 2 zdefiniowane w (1.2.1.b) stanowią ważną i ciekawą klasę zespolonych macierzy Hadamarda. Rzeczywiste macierze Hadamarda mogą być uogólniane na różne sposoby. Butson zapro- ponował zbiór H(q, N) macierzy Hadamarda wymiaru N, których elementy są pierwiast- kami q−tego stopnia z jedności [7], [8]. Zatem H(2, N) reprezentuje zbiór rzeczywistych macierzy Hadamarda, natomiast H(4, N) - zbiór macierzy Hadamarda o elementach ±1 lub ±i. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wtedy zbiór H(p, N) jest niepusty o ile wymiar N = mp przy pewnej liczbie naturalnej m [7]. Istnieje przypuszczenie, że macierze tego typu istnieją dla każdego wymiaru [3]. W najprostszym przypadku dla m = 1 zbiór H(N, N) = ⊘ dla każdego wymiaru N, a jego oczywistymi elementami są macierze Fouriera (1.5), FN ∈ H(N, N). 1.2.2 Macierze typu "log-Hadamard" Zapisując macierze Hadamarda często wygodnie jest używać notacji wykładniczej w po- staci [H]j, k = exp i · [ΦH]j, k , (1.7) gdzie fazy [ΦH]j, k ∈ [0, 2 π). Na przykład rozważanej wcześniej macierzy F6 (1.6) będzie odpowiadać macierz faz postaci H(6, 6) ∋ F6 ←→ ΦF6 = π ⎡ • ⎢ • ⎢ • ⎢ 3 ⎢ • ⎢ ⎣ • • 1 2 3 4 • 2 4 • 2 • 3 • 3 • • 4 2 • 4 ⎤ • ⎥ 5 ⎥ 4 ⎥ . 3 ⎥ 2 ⎥ ⎦ (1.8) • 5 4 3 2 1 1.2.3 Równoważność macierzy Hadamarda Definicja 1.2.2. Dwie macierze Hadamarda H1 and H2 nazywamy równoważnymi, pisząc H1 H2, jeśli istnieją unitarne macierze diagonalne D1, D2 oraz macierze permu- tacji P1, P2 takie, że H1 = D1 · P1 · H2 · P2 · D2. (1.9) Problem rozstrzygnięcia, czy dane dwie macierze Hadamarda są równoważne nie jest pro- 2 Więcej informacji o macierzach Butsona wraz z katalogiem ich głównych reprezentantów można znaleźć w Dodatku A. 11
- Page 1 and 2: Uniwersytet Jagielloński Wydział
- Page 3: Pragnę podziękować panu Profesor
- Page 6 and 7: 6 Podsumowanie 37 6.1 Odnaleziona n
- Page 8 and 9: zauważy zapewne, iż część ze w
- Page 12 and 13: sty i staje się uciążliwy podcza
- Page 14 and 15: 1.3 MUHs Definicja 1.3.1. Dwie maci
- Page 17 and 18: Rozdział 2 Macierze Hadamarda w fi
- Page 19: W szczególności N = 6 jest najmni
- Page 22 and 23: RF6 = ⎡ • ⎢ • ⎢ • ⎢
- Page 25 and 26: Rozdział 4 Wyniki numeryczne Do ni
- Page 27 and 28: gdzie: oraz β1(t) = α(t) = t 1
- Page 29 and 30: Relacja równoważności, która po
- Page 31 and 32: ⎡ 1 ⎢ • ⎢ • PL = ⎢ •
- Page 33 and 34: Rozdział 5 Wyniki analityczne W ma
- Page 35 and 36: Zauważmy ponadto, że J = F −1
- Page 37 and 38: Rozdział 6 Podsumowanie 6.1 Odnale
- Page 39 and 40: A Katalog macierzy Butsona Dodatek
- Page 41 and 42: N = 7 D6 ∈ H(4, 6); LOG(D6) = = 1
- Page 43 and 44: N = 9 F8 ∈ H(8, 8); LOG(F8) = = 1
- Page 45 and 46: F3 ⊗ F2 ⊗ F2 F6 ⊗ F2 ∈ H(6
- Page 47 and 48: N = 13 F13 ∈ H(13, 13); LOG(F13)
- Page 49 and 50: N = 15 N = 16 F15 F3 ⊗ F5 ∈ H(
- Page 51 and 52: F8 ⊗ H2 ∈ H(8, 16); LOG(F8 ⊗
- Page 53 and 54: B Opis użytych metod numerycznych
- Page 55: #07 JEŻELI Z(M ′ 1, M ′ 2) < Z
- Page 58: [14] I. D. Ivanović, Geometrical d
Macierze Butsona 2 zdefiniowane w (1.2.1.b) stanowią ważną i ciekawą klasę zespolonych<br />
macierzy <strong>Hadamarda</strong>.<br />
Rzeczywiste <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> mogą być uogólniane na różne sposoby. Butson zapro-<br />
ponował zbiór H(q, N) macierzy <strong>Hadamarda</strong> wymiaru N, których elementy są pierwiast-<br />
kami q−tego stopnia z jedności [7], [8]. Zatem H(2, N) reprezentuje zbiór rzeczywistych<br />
macierzy <strong>Hadamarda</strong>, natomiast H(4, N) - zbiór macierzy <strong>Hadamarda</strong> o elementach ±1<br />
lub ±i.<br />
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wtedy zbiór H(p, N) jest niepusty o ile wymiar N = mp przy<br />
pewnej liczbie naturalnej m [7]. Istnieje przypuszczenie, że <strong>macierze</strong> tego typu istnieją<br />
dla każdego wymiaru [3]. W najprostszym przypadku dla m = 1 zbiór H(N, N) = ⊘<br />
dla każdego wymiaru N, a jego oczywistymi elementami są <strong>macierze</strong> Fouriera (1.5),<br />
FN ∈ H(N, N).<br />
1.2.2 Macierze typu "log-Hadamard"<br />
Zapisując <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> często wygodnie jest używać notacji wykładniczej w po-<br />
staci<br />
[H]j, k = exp <br />
<br />
i · [ΦH]j, k , (1.7)<br />
gdzie fazy [ΦH]j, k ∈ [0, 2 π). Na przykład rozważanej wcześniej macierzy F6 (1.6) będzie<br />
odpowiadać macierz faz postaci<br />
H(6, 6) ∋ F6 ←→ ΦF6 = π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
3 ⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
•<br />
2<br />
4<br />
•<br />
2<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
•<br />
4<br />
2<br />
•<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥ .<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
(1.8)<br />
• 5 4 3 2 1<br />
1.2.3 Równoważność macierzy <strong>Hadamarda</strong><br />
Definicja 1.2.2. Dwie <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> H1 and H2 nazywamy równoważnymi,<br />
pisząc H1 H2, jeśli istnieją unitarne <strong>macierze</strong> diagonalne D1, D2 oraz <strong>macierze</strong> permu-<br />
tacji P1, P2 takie, że<br />
H1 = D1 · P1 · H2 · P2 · D2. (1.9)<br />
Problem rozstrzygnięcia, czy dane dwie <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> są równoważne nie jest pro-<br />
2 Więcej informacji o macierzach Butsona wraz z katalogiem ich głównych reprezentantów można<br />
znaleźć w Dodatku A.<br />
11
Change language