Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1.2 Macierze <strong>Hadamarda</strong><br />
1.2.1 Klasyczna definicja<br />
Definicja 1.2.1. Macierz kwadratową H wymiaru N, której wszystkie elementy są uni-<br />
modularne |[H]j, k| 2 = 1, nazywamy macierzą <strong>Hadamarda</strong>, gdy spełniony jest warunek<br />
HH † = N , (1.4)<br />
gdzie † oznacza sprzężenie hermitowskie natomiast - macierz identyczności wymiaru N.<br />
Można wyróżnić:<br />
a) rzeczywiste <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong>, [H]j, k ∈ R,<br />
b) <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> typu Butsona H(q, N), dla których q [H]j, k = 1,<br />
c) zespolone 1 <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong>, [H]j, k ∈ C.<br />
Symbolem HN oznaczany będzie zbiór wszystkich macierzy <strong>Hadamarda</strong> o wymiarze N.<br />
Klasycznym przykładem macierzy <strong>Hadamarda</strong> jest macierz Fouriera postaci<br />
<br />
FN<br />
j, k<br />
dla j, k = 1, . . . , N, czyli w przypadku N = 6<br />
gdzie w = exp( 1<br />
3<br />
π i).<br />
⎢<br />
F6 = ⎢<br />
⎣<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 π i (j − 1) (k − 1)<br />
= exp ⎝ ⎠, (1.5)<br />
N<br />
⎡<br />
1 1 1 1 1 1<br />
1 w 1 w 2 −1 w 4 w 5<br />
1 w 2 w 4 1 w 2 w 4<br />
1 −1 1 −1 1 −1<br />
1 w 4 w 2 1 w 4 w 2<br />
1 w 5 w 4 −1 w 2 w 1<br />
⎤<br />
⎥ , (1.6)<br />
⎥<br />
⎦<br />
1 Dalsza część pracy dotyczyć będzie w ogólności zespolonych macierzy <strong>Hadamarda</strong>, które zawierają<br />
obie pozostałe klasy macierzy.<br />
10
Change language