Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...

Uniwersytet Jagielloński
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Wojciech T. Bruzda
Zespolone macierze Hadamarda
a zbiór baz optymalnych
pomiarów kwantowych
Praca magisterska napisana
pod kierunkiem
Profesora Karola Życzkowskiego
Kraków 2006

.
2

Pragnę podziękować panu Profesorowi Karolowi Życzkowskiemu
za wyrozumiałość, cierpliwość i pomoc okazaną
3
w trakcie pisania tej pracy

Spis treści
Wstęp 7
1 Definicje używane w pracy 9
1.1 Notacja używana w tekście . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Macierze Hadamarda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Klasyczna definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Macierze typu "log-Hadamard" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Równoważność macierzy Hadamarda . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Postać odfazowana oraz rdzeń macierzy Hadamarda . . . . . . . . . 12
1.2.5 Macierze izolowane oraz defekt macierzy . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6 Ciągłe rodziny macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 MUHs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 MUBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Macierze Hadamarda w fizyce 17
2.1 Pomiar kwantowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 MUBs oraz macierze Hadamarda w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . 17
2.3 Warunki istnienia MUBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Przykład konstrukcji MUBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Opis zbioru macierzy Hadamarda o wymiarze N = 6 21
3.1 Uogólniona macierz Fouriera - F6(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Macierz D6(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Macierz typu "cyclic-6-roots" - C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Macierz spektralna - S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Wyniki numeryczne 25
4.1 Nowa klasa macierzy B6(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Nowa para wzajemnie nieobciążonych macierzy Hadamarda . . . . . . . . . 30
5 Wyniki analityczne 33
5.1 Dekompozycja spektralna macierzy cyklicznej . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Kolejna para MUHs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5

6 Podsumowanie 37
6.1 Odnaleziona nowa klasa B6(t) oraz heterogeniczne pary MUHs . . . . . . . 37
6.2 Problemy otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Dodatek A: Katalog macierzy Butsona 39
Dodatek B: Opis użytych metod numerycznych 53
Bibliografia 57
6

Wstęp
Historia macierzy Hadamarda ma swój początek w roku 1867, kiedy Sylvester postawił
w swojej pracy [18] problem parkietaży. Rozważał on macierze posiadające wzajemnie
ortogonalne wiersze i kolumny. Dwadzieścia sześć lat później Hadamard rozwiązał słynny
problem mówiący o tym, że dla dowolnej macierzy zespolonej H wymiaru N × N o ele-
mentach spełniających warunek: |[H]j, k| 1 zachodzi | det H| exp( N ln N), przy czym
2
nierówność wysyca się dla macierzy Vandermonde’a składającej się z pierwiastków N-
tego stopnia z jedności [12]. Okazuje się, że macierze posiadające maksymalny (w sensie
wartości bezwzględnej) wyznacznik, których elementy należą do zbioru {1, −1} zawierają
się także w klasie macierzy opisywanych przez Sylvestera. Historycznie noszą one nazwę
macierzy Hadamarda.
W momencie intensywnego rozwoju mechaniki kwantowej okazało się, że macierze Ha-
darmarda odgrywają w niej kluczową rolę. Przeskalowane przez 1/ √ N w celu uzyskania
unitarności wykorzystywane są optyce kwantowej jako symetryczne multiporty, a także
przy tworzeniu modeli spinowych. Stanowią podstawę do konstrukcji tzw. baz wzajem-
nie nieobciążonych w przestrzeni Hilberta, w których pomiar kwantowy jest obarczony
najmniejszą niepewnością. W teorii kwantowej kryptografii używane są w protokołach
dystrybucji klucza publicznego.
Zespolone macierze Hadamarda są ponadto związane z wieloma zagadnieniami czystej
matematyki. Są bazą do konstrukcji *-subalgebr w skończonych algebrach von Neumanna.
Służą do analizowania bi-unimodularnych ciągów lub znajdowania tzw. "cyclic-N-roots"
[6] oraz zbiorów ekwiangularnych linii, czyli prostych, z których każda para przecina się
pod jednakowym kątem. Z macierzy tych konstruuje się także tablice korekcji błędów
używane w teorii informacji [13], [17].
Celem niniejszej pracy jest próba znalezienia zarówno zespolonych macierzy Hadamar-
da, nie znanych w obecnej literaturze przedmiotu, jak również poszukiwanie nowych par
nieobciążonych macierzy Hadamarda.
Pierwszy rozdział pracy stanowi wprowadzenie do notacji używanej w dalszej części oraz
zawiera wszystkie główne definicje i twierdzenia niezbędne do zrozumienia tytułowego
problemu. Rozdział drugi stara się przybliżyć sens zajmowania się tematyką macierzy
Hadamarda we współczesnej fizyce - w szczególności w mechanice kwantowej. Czytelnik
7

zauważy zapewne, iż część ze wspomnianych tam tematów stanowić będą problemy otwar-
te, co świadczy o nietrywialności zagadnienia mimo bardzo prostego języka w jakim są
sformułowane. W rozdziale trzecim przedstawiony został szczegółowo zbiór macierzy Ha-
damarda o wymiarze N = 6, w stanie jakim był znany do maja br. Kolejne dwa rozdziały
to część główna tej pracy, czyli opis wyników numerycznych i analitycznych jakie udało się
uzyskać badając macierze Hadamarda. I ostatni - szósty - rozdział jest podsumowaniem
i komentarzem do całości pracy.
Praca ta stanowi przyczynek do większego projektu jakim jest Katalog Zespolonych Ma-
cierzy Hadamarda [20], przy tworzeniu którego współpracowałem:
http://chaos.if.uj.edu.pl/~karol/hadamard,
w skład którego wchodzi także katalog macierzy typu Butsona, który umieściłem w do-
datku do tej pracy.
Pisząc pracę korzystałem z uprzejmości Ingemara Bengtssona oraz Remusa Nicoary, któ-
rzy udostępnili mi swoje nieopublikowane jeszcze preprinty.
8

Rozdział 1
Definicje używane w pracy
1.1 Notacja używana w tekście
Aby ułatwić zapis pewnych operacji na macierzach, w dalszej części tekstu będą używane
następujące oznaczenia:
symbol ◦ będzie oznaczał iloczyn Hadamarda (Kroneckera) dwóch macierzy
[H1 ◦ H2]j, k = [H1]j, k · [H2]j, k, (1.1)
natomiast symbol EXP - wartość eksponenty na poszczególnych elementach macierzy
EXP(H)
W sposób analogiczny zdefiniowana zostanie operacja LOG jako
j, k
gdzie H jest dowolną macierzą kwadratową.
= exp [H]j, k . (1.2)
H = LOG(i EXP(H)), (1.3)
Dla dowolnej liczby zespolonej z ∈ C, z będzie oznaczać jej sprzężenie zespolone. Przy
założeniu, że |z| = 1 symbol kreski nad liczbą z jest równoważny ułamkowi 1/z.
Ponadto, aby uzyskać przejrzystość zapisu, symbol • będzie oznaczać 0 (zero).
Definicje przedstawione w tym rozdziale opracowano na podstawie [11], [20].
9

1.2 Macierze Hadamarda
1.2.1 Klasyczna definicja
Definicja 1.2.1. Macierz kwadratową H wymiaru N, której wszystkie elementy są uni-
modularne |[H]j, k| 2 = 1, nazywamy macierzą Hadamarda, gdy spełniony jest warunek
HH † = N , (1.4)
gdzie † oznacza sprzężenie hermitowskie natomiast - macierz identyczności wymiaru N.
Można wyróżnić:
a) rzeczywiste macierze Hadamarda, [H]j, k ∈ R,
b) macierze Hadamarda typu Butsona H(q, N), dla których q [H]j, k = 1,
c) zespolone 1 macierze Hadamarda, [H]j, k ∈ C.
Symbolem HN oznaczany będzie zbiór wszystkich macierzy Hadamarda o wymiarze N.
Klasycznym przykładem macierzy Hadamarda jest macierz Fouriera postaci
FN
j, k
dla j, k = 1, . . . , N, czyli w przypadku N = 6
gdzie w = exp( 1
3
π i).
⎢
F6 = ⎢
⎣
⎛
⎞
2 π i (j − 1) (k − 1)
= exp ⎝ ⎠, (1.5)
N
⎡
1 1 1 1 1 1
1 w 1 w 2 −1 w 4 w 5
1 w 2 w 4 1 w 2 w 4
1 −1 1 −1 1 −1
1 w 4 w 2 1 w 4 w 2
1 w 5 w 4 −1 w 2 w 1
⎤
⎥ , (1.6)
⎥
⎦
1 Dalsza część pracy dotyczyć będzie w ogólności zespolonych macierzy Hadamarda, które zawierają
obie pozostałe klasy macierzy.
10

Macierze Butsona 2 zdefiniowane w (1.2.1.b) stanowią ważną i ciekawą klasę zespolonych
macierzy Hadamarda.
Rzeczywiste macierze Hadamarda mogą być uogólniane na różne sposoby. Butson zapro-
ponował zbiór H(q, N) macierzy Hadamarda wymiaru N, których elementy są pierwiast-
kami q−tego stopnia z jedności [7], [8]. Zatem H(2, N) reprezentuje zbiór rzeczywistych
macierzy Hadamarda, natomiast H(4, N) - zbiór macierzy Hadamarda o elementach ±1
lub ±i.
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wtedy zbiór H(p, N) jest niepusty o ile wymiar N = mp przy
pewnej liczbie naturalnej m [7]. Istnieje przypuszczenie, że macierze tego typu istnieją
dla każdego wymiaru [3]. W najprostszym przypadku dla m = 1 zbiór H(N, N) = ⊘
dla każdego wymiaru N, a jego oczywistymi elementami są macierze Fouriera (1.5),
FN ∈ H(N, N).
1.2.2 Macierze typu "log-Hadamard"
Zapisując macierze Hadamarda często wygodnie jest używać notacji wykładniczej w po-
staci
[H]j, k = exp
i · [ΦH]j, k , (1.7)
gdzie fazy [ΦH]j, k ∈ [0, 2 π). Na przykład rozważanej wcześniej macierzy F6 (1.6) będzie
odpowiadać macierz faz postaci
H(6, 6) ∋ F6 ←→ ΦF6 = π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢
3 ⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
•
2
4
•
2
•
3
•
3
•
•
4
2
•
4
⎤
•
⎥
5 ⎥
4 ⎥ .
3 ⎥
2 ⎥
⎦
(1.8)
• 5 4 3 2 1
1.2.3 Równoważność macierzy Hadamarda
Definicja 1.2.2. Dwie macierze Hadamarda H1 and H2 nazywamy równoważnymi,
pisząc H1 H2, jeśli istnieją unitarne macierze diagonalne D1, D2 oraz macierze permu-
tacji P1, P2 takie, że
H1 = D1 · P1 · H2 · P2 · D2. (1.9)
Problem rozstrzygnięcia, czy dane dwie macierze Hadamarda są równoważne nie jest pro-
2 Więcej informacji o macierzach Butsona wraz z katalogiem ich głównych reprezentantów można
znaleźć w Dodatku A.
11

sty i staje się uciążliwy podczas prób identyfikacji nowych klas macierzy Hadamarda -
patrz Rozdział 4.
1.2.4 Postać odfazowana oraz rdzeń macierzy Hadamarda
Definicja 1.2.3. Macierz Hadamarda jest w postaci odfazowanej, gdy jej pierwszy
wiersz i pierwsza kolumna składają się tylko z jedynek;
[H]1, j = [H]j, 1 = 1 dla j = 1, . . . , N. (1.10)
Każdą macierz można doprowadzić do postaci odfazowanej mnożąc ją z lewej i/lub z pra-
wej strony przez odpowiednio dobrane macierze diagonalne.
Dwie macierze Hadamarda, które mają taką samą postać odfazowaną są równoważne.
Zatem całkowitą informację o postaci macierzy można uzyskać jedynie z elementów ma-
cierzy (N −1)-wymiarowej, leżących poza pierwszym wierszem i pierwszą kolumną - w tak
zwanym rdzeniu macierzy.
W dalszej części używane będą (poza jednym wyjątkiem) wyłącznie macierze w postaci
odfazowanej.
1.2.5 Macierze izolowane oraz defekt macierzy
Definicja 1.2.4. Macierz Hadamarda H jest nazywana macierzą izolowaną, jeżeli ist-
nieje takie otoczenie W macierzy H, w którym nie istnieje żadna inna taka macierz.
Przez otoczenie macierzy należy rozumieć macierz, której elementy powstają z wyjściowej
macierzy poprzez infinitezymalne zaburzenia.
Definicja 1.2.5. Defektem d(H) dla N-wymiarowej macierzy Hadamarda H nazywamy
wymiar przestrzeni generowanej przez rozwiązania układu rzeczywistych równań liniowych
ze zmienną macierzową R ∈ R N×N
R1, k = 0 k ∈ {2, . . . , N} (1.11)
Rj, 1 = 0 j ∈ {1, . . . , N} (1.12)
N
Hj, nHk, n (Rj, n − Rk, n) = 0 1 j < k N (1.13)
n=1
Defekt jest wielkością mogącą posłużyć do określenia czy dana macierz Hadamarda jest
punktem izolowanym w przestrzeni HN. Można udowodnić następujący fakt:
Lemat 1.2.6. Macierz Hadamarda H jest punktem izolowanym, gdy defekt d(H) = 0.
Nie jest to warunek konieczny i wystarczający na orzeczenie, czy dana macierz jest izolowa-
na, jednakże pozwala przypuszczać, czy należy ona do pewnej rodziny. Ilość parametrów,
od których zależy taka rodzina jest co najwyżej równa defektowi macierzy.
12

1.2.6 Ciągłe rodziny macierzy
Poza punktami izolowanymi w przestrzeni HN istnieją także klasy macierzy Hadamarda
zależne od zbioru pewnej ilości parametrów. Rozróżniamy wśród nich rodziny afiniczne
oraz rodziny nieafiniczne.
Definicja 1.2.7. Afiniczna rodzina 3 macierzy Hadamarda generowana przez N-wy-
miarową macierz Hadamarda H jest zbiorem macierzy spełniających warunek (1.4), które
zależą od dodatkowych parametrów należących do podprzestrzeni R przestrzeni wszystkich
rzeczywistych N-wymiarowych macierzy mających zera w pierwszym wierszu i w pierwszej
kolumnie,
H(R) = {H ◦ EXP(i R) : R ∈ R}. (1.14)
Oznaczając rodziny afiniczne stosuje się zapis H(α1, . . . , αm) jeżeli R należy do m-wymia-
rowej przestrzeni, której bazą jest R1, . . . , Rm. Wtedy także H(α1, . . . , αm) oznacza ele-
ment takiej rodziny
H(α1, . . . , αm) = H(R) def
= H ◦ EXP(i R) (1.15)
gdzie R = α1 · R1 + . . . + αm · Rm.
Istnieją także przypadki rodzin nieafinicznych, gdzie zmiany wolnych parametrów 4 nie
mają charakteru liniowego - są na przykład skomplikowanymi funkcjami trygonometrycz-
nymi [19].
Przykładowo rozważmy macierz Fouriera F4 ∈ H(4, 4) ⊂ H4, którą można uogólnić two-
rząc z niej jednowymiarową rodzinę afiniczną zależną od parametru α ∈ [0, 2 π)
⎡
1
⎢ 1
F4 −→ F4(α) = ⎢
⎣ 1
1
i · exp(i α)
−1
1
−1
1
⎤
1
⎥
−i · exp(i α) ⎥ ,
−1 ⎥
⎦
(1.16)
1 −i · exp(i α) −1 i · exp(i α)
podczas, gdy macierz F5 jest "tylko" punktem izolowanym w przestrzeni H5 [11].
3 Często też używa się nazwy afiniczna orbita.
4 Zwane także fazami.
13

1.3 MUHs
Definicja 1.3.1. Dwie macierze Hadamarda H1 oraz H2 wymiaru N nazywamy ma-
cierzami wzajemnie nieobciążonymi (Mutually Unbiased Hadamards 5 ), wtedy i tylko
wtedy, gdy
1
√ N H †
1H2 ∈ HN. (1.17)
Definicję tę można ugólnić na dowolny skończony zbiór macierzy, wtedy każda para tego
zbioru musi spełniać warunek (1.17). Rozważając MUHs rozróżnia się dwa ich typy.
Definicja 1.3.2. Para macierzy H1 oraz H2 jest homogeniczna (jednorodna), gdy obie
macierze są równoważne. W przeciwnym przypadku mówimy o macierzach heterogenicz-
nych (niejednorodnych).
Klasyczna konstrukcja MUHs opiera się na macierzach Fouriera.
Zdefiniujmy macierz diagonalną
2
[DN]j, k = δj, k exp
N (j − 1)2
π i , j, k ∈ {1, 2, . . . , N} (1.18)
A następnie ciąg macierzy (Hj) j=1,2,...,N
Hj = D j−1
N H1, (1.19)
przy czym H1 = FN jest macierzą Fouriera postaci (1.5). Można udowodnić następujący
lemat:
Lemat 1.3.3. Dla j = k zachodzi równoważność
1
N H†
j Hk ∈ HN ⇐⇒ N jest liczbą pierwszą. (1.20)
A zatem, gdy N jest liczbą pierwszą, to N elementowy zbiór macierzy {H1, . . . , HN} dany
wzorem (1.19) stanowi przykład N homogenicznych MUHs.
5 W dalszej części będzie używany skrót MUHs.
14

1.4 MUBs
W dalszym ciągu będziemy rozważali skończenie wymiarową przestrzeń Hilberta C N ze
standardowym iloczynem skalarnym a wektory tej przestrzeni będziemy oznaczać używa-
jąc notacji Diraca.
Definicja 1.4.1. Dwie ortogonalne bazy B1 oraz B2 przestrzeni Hilberta C N nazywamy
bazami wzajemnie nieobciążonymi (Mutually Unbiased Bases 6 ), wtedy i tylko wtedy,
gdy
dla każdego wektora |φ〉 ∈ B1 oraz |ψ〉 ∈ B2.
|〈φ|ψ〉| 2 = 1
N
(1.21)
Mając zbiór k macierzy Hadamarda {H1, . . . , Hk} o wymiarze N będących w relacji MUHs
można utworzyć z nich zbiór (k + 1) MUBs w następujący sposób
{, 1
√ N H1, . . . , 1
√ N Hk}, (1.22)
gdzie kolejne kolumny macierzy stanowią elementy bazy przestrzeni C N .
6 W dalszej części będzie używany skrót MUBs.
15

Rozdział 2
Macierze Hadamarda w fizyce
2.1 Pomiar kwantowy
Podstawą fizyki jest pomiar. Żadna teoria fizyczna nie ma większego sensu, jeżeli nie zosta-
nie potwierdzona w serii niezależnych doświadczeń. Jak wiadomo w mechanice kwantowej
istotą pomiaru rządzi tzw. zasada nieoznaczoności Heisenberga mówiąca o tym, że dla
każdego stanu kwantowego |ψ〉 zachodzi nierówność
〈(δ Â)2 〉〈(δ ˆ B) 2 〉 − 1
4 〈Â, ˆ B
〉 2 , (2.1)
gdzie wartości średnie obliczone są w stanie |ψ〉, natomiast δ jest odchyleniem od wartości
średniej dla danego operatora hermitowskiego. Oznacza to, że dwie wielkości kwantowe są
jednocześnie mierzalne, gdy odpowiadające im operatory komutują. W przeciwnym razie
niepewności pomiarowe powodują, że wyniki doświadczenia tracą sens. Na przykład nie
jest możliwym pomiar trzech składowych spinu elektronu, gdyż jak wiadomo komutator
wszystkich par operatorów spinu (macierzy σi Pauliego) jest wielkością niezerową.
2.2 MUBs oraz macierze Hadamarda w mechanice kwan-
towej
Okazuje się jednak, że przykładowo w kwestii wspomnianych wcześniej spinów, (a tak-
że w innych przypadkach, gdzie mamy do czynienia z brakiem komutacji operatorów),
jest możliwe dość dokładne przewidzenie rezultatu pomiaru wszystkich składowych danej
wielkości. Problem ten znany w literaturze pod nazwą Mean King’s Problem został po-
stawiony i rozwiązany w [24]. W przypadku cząstki o spinie 1/2 do pomiaru wykorzystuje
się jedną z trzech baz złożonych ze stanów własnych operatorów spinu σi. W wyższym
wymiarze N naturalnym rozszerzeniem tej konstrukcji jest zbiór (N + 1) MUBs [10].
MUBs odgrywają kluczową rolę w opisie stanów kwantowych. Dany stan |ψ〉 pewnego
N−wymiarowego zespołu kwantowego charakteryzuje (N 2 − 1) elementów jego macierzy
17

gęstości. Chcąc poznać te parametry należy dokonać serii co najmniej (N + 1) ortogo-
nalnych pomiarów, z których otrzyma się (N − 1) rzeczywistych parametrów. Oczywiście
każdy pomiar powinien nieść ze sobą niezależną od innego informację. Ten ostatni waru-
nek jest zagwarantowany wtedy, gdy każdy z kolejnych pomiarów dokonuje się względem
innej bazy wybranej z MUBs [27].
MUBs jeszcze inne zastosowanie znajdują w kwantowej kryptografii. W szczególności w al-
gorytmie BB84 opisującym protokół Kwantowej Dystrybucji Klucza (QKD) [5].
Same macierze Hadamarda w mechanice kwantowej mogą posłużyć do konstrukcji [25]:
a) Baz operatorów unitarnych, czyli zbioru wzajemnie ortogonalnych operatorów
N 2
unitarnych {Uk} k=1 takich, że Uk ∈ U(N) oraz Tr U †
k Ul = N δk, l dla k, l = 1, . . . , N 2 ,
N 2
b) Baz stanów maksymalnie splątanych, jakim jest przykładowo zbiór {|Ψk〉} k=1,
gdzie każdy element |Ψk〉 należy do złożonej (w sensie iloczynu tensorowego) przestrzeni
Hilberta ze zdefiniowaną operacją częściowego śladu TrN(|Ψk〉〈Ψk|) = /N oraz przy za-
łożeniu wzajemnej ortogonalności 〈Ψk|Ψl〉 = δk, l [28],
N 2
c) Depolaryzatorów unitarnych, reprezentowanych przez zbiór {Uk} k=1, przy czym
dla każdego ograniczonego liniowego operatora A zachodzi
N 2
k=1
U †
k A Uk = N Tr A . (2.2)
Problemy a)-c) są równoważne w tym sensie, że znalezienie rozwiązania jednego z nich au-
tomatycznie rozwiązuje pozostałe, a także odpowiadający im problem teleportacji kwan-
towej lub tzw. algorytmy gęstego kodowania [25]. W szczególności macierze Hadamarda
są użyteczne przy konstrukcji specjalnych klas baz związanych z abstrakcyjnymi grupami
matematycznymi znanymi w literaturze pod nazwą "Nice error basis" [16], [17].
2.3 Warunki istnienia MUBs
Maksymalna ilość MUBs w przestrzeni o wymiarze N 1, to (N + 1). Konstrukcja tych
baz jest związana matematyczną teorią liczb. Opiera się ona na fakcie istnienia ciał skoń-
czonych o N elementach, które ma miejsce jak wiadomo tylko w przypadku, gdy N jest
potęgą liczby pierwszej. Dla przestrzeni o takim właśnie wymiarze możliwe jest skon-
struowanie maksymalnego zestawu MUBs. Problem ten nie jest dotychczas rozwiązany
dla wymiarów będących liczbą złożoną. Można jedynie oszacować [1], że dla przestrzeni,
której wymiar jest iloczynem N = n1n2, maksymalna liczba MMUBs(N) MUBs spełnia
warunek
MMUBs(N) min{MMUBs(n1), MMUBs(n2)}. (2.3)
18

W szczególności N = 6 jest najmniejszym wymiarem, dla którego to pytanie pozostaje
wciąż otwarte.
2.4 Przykład konstrukcji MUBs
Klasyczną konstrukcję MUBs dla przestrzeni, której wymiar jest liczbą pierwszą przedsta-
wił w swojej pracy Ivanović [14]. Podobne konstrukcje dla wymiarów będących kwadratem
liczby pierwszej można także znaleźć w literaturze [15], [27]. Dla pozostałych przestrze-
ni udało się osiągnąć dotychczas jedynie cząstkowe wyniki. Przykładowo przedstawiona
zostanie taka konstrukcja dla przestrzeni o wymiarze będącym kwadratem dowolnej - nie-
koniecznie pierwszej - liczby.
Załóżmy, że mamy pewną macierz Hadamarda H wymiaru N = n 2 dla n > 1, której
kolejne kolumny oznaczone są symbolem h ∈ C n . Ponadto niech m ∈ {0, 1} N będzie
pewnym - wybranym w sposób szczególny - wektorem, tzw. wektorem incydencji ściśle
powiązanym ze zbiorem kwadratów łacińskich dla danego wymiaru, którego ilość elemen-
tów niezerowych (support) jest równa n. Zdefiniujmy następującą operację [26]
N
h ↑ m ≡ h[k]|sk〉, (2.4)
k=1
gdzie h[k] oznacza k-ty element wektora h natomiast posortowane rosnąco elementy |sk〉
wskazujące support wektora m stanowią standardową bazę C N . Mniej formalnie ↑ ozna-
cza przemnożenie kolejnych jedynek wektora m przez kolejne elementy wektora h.
Mając odpowiedni zbiór M takich wektorów m ostatecznie konstruuje się M zbiorów
(dla b = 1, . . . , M) wzajemnie ortogonalnych baz w przestrzeni C N
Bb ≡ { 1
√ (hl ↑ mbi ) | l = 1, . . . , N, i = 1, . . . , N}, (2.5)
N
które dla b = b ′ implikują warunek MUBs.
Należy zaznaczyć, że jest to tylko szczególna, przykładowa konstrukcja nie sprawdzająca
się w przestrzeniach o dowolnym wymiarze.
19

Rozdział 3
Opis zbioru macierzy Hadamarda
o wymiarze N = 6
W pracy uwaga została skoncentrowana na macierzach o wymiarze N = 6, gdyż jest to
najmniejszy wymiar, dla którego problem istnienia MUBs pozostaje otwarty. Rozdział ten
jest poświęcony opisowi wszystkich klas macierzy Hadamarda H6 znanych do maja br.
Nowo znaleziona klasa, która uogólnia dwie z poniższych, zostanie szczegółowo przedsta-
wiona w następnym rozdziale.
3.1 Uogólniona macierz Fouriera - F6(a, b)
Klasyczną macierz Fouriera wspomnianą już wcześniej we wzorze (1.6) można uogólnić
na 2-wymiarową rodzinę afiniczną zależną od paremetrów a, b ∈ [0, 2 π)
⎡
1
⎢ 1
⎢
F6(a, b) = ⎢
⎣
1
w
1 1 1 1
1 · exp(i a) w2 · exp(i b) w3 w4 · exp(i a) w5 1 w
· exp(i b)
2 w4 1 w2 w4 1 w3 · exp(i a) exp(i b) w3 exp(i a) w3 1 w
· exp(i b)
4 w2 1 w4 w2 1 w5 · exp(i a) w4 · exp(i b) w3 w2 exp(i a) w1 ⎤
⎥ ,
⎥
⎦
(3.1)
· exp(i b)
gdzie w = exp( 1
3
Innymi słowy
π i).
gdzie F6 jest postaci (1.6), natomiast
F6(a, b) = F6 ◦ EXP(i RF6), (3.2)
21

RF6 =
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
a
•
a
•
•
b
•
b
•
•
•
•
•
•
•
a
•
a
•
⎤
•
⎥
b ⎥
• ⎥ .
b ⎥
• ⎥
⎦
(3.3)
• a b • a b
W przypadku a = b = 0 otrzymujemy na powrót klasyczną macierz Fouriera.
3.2 Macierz D6(c)
Kolejna klasa macierzy, której twórcą jest P. Dițǎ [9] ma postać
⎡
1
⎢ 1
⎢ 1
D6(c) = ⎢ 1
⎢
⎣ 1
1
−1
i
−i
−i
1
i
−1
i · exp(− i c)
−i · exp(− i c)
1
−i
i · exp(i c)
−1
i
1
−i
−i · exp(i c)
i
−1
⎤
1
⎥
i ⎥
−i ⎥ ,
−i · exp(− i c) ⎥
i · exp(− i c) ⎥
⎦
1 i −i −i · exp(i c) i · exp(i c) −1
(3.4)
stanowi więc 1-wymiarową rodzinę afiniczną macierzy Hadamarda zależną od parame-
tru c ∈ [0, 2 π).
3.3 Macierz typu "cyclic-6-roots" - C6
Innym elementem zbioru H6 jest tzw. macierz "cyclic-6-roots"
⎡
1 1 1 1 1 1
⎢ 1
⎢
C6 = ⎢
⎣
−1 −d −d2 d2 1 −d
d
−1 1 d2 −d3 d2 1 −d−2 d−2 −1 d2 −d2 1 d−2 −d−3 d−2 1 −d
1 d−1 d−2 −d−2 −d−1 −1
gdzie element d jest pierwiastkiem równania
⎤
⎥ , (3.5)
⎥
⎦
d 2 − (1 − √ 3) d + 1 = 0, (3.6)
22

czyli
d = 1 − √ 3
2
⎛√
⎞
3
+ i · ⎝ ⎠
2
1/2
. (3.7)
Nazwa macierzy staje się jasna, gdy rozważy się jej postać nie odfazowaną, w której
widoczna jest cykliczna rotacja sześciu elementów
⎡
⎢
˜C6
⎢
= ⎢
⎣
1 i d −d −i −d −1 i d −1
i d −1 1 i d −d −i −d −1
−d −1 i d −1 1 i d −d −i
−i −d −1 i d −1 1 i d −d
−d −i −d −1 i d −1 1 i d
i d −d −i −d −1 i d −1 1
⎤
⎥
⎦
(3.8)
Więcej na temat konstrukcji macierzy typu "cyclic-N-roots", o wymiarach N > 6, co
wychodzi poza tematykę tej pracy, można znaleźć w [6], [11].
3.4 Macierz spektralna - S6
Ostatnim znanym reprezentantem 6-wymiarowych zespolonych macierzy Hadamarda za-
proponowanym przez T. Tao w roku 2004 [23] jest macierz spektralna
gdzie w = exp( 2
3
π i).
⎡
⎢
S6 = ⎢
⎣
1 1 1 1 1 1
1 1 w w w 2 w 2
1 w 1 w 2 w 2 w
1 w w 2 1 w w 2
1 w 2 w 2 w 1 w
1 w 2 w w 2 w 1
Macierz Tao 1 jest punktem izolowanym w przestrzeni H6.
⋆ ⋆ ⋆
⎤
⎥ , (3.9)
⎥
⎦
Zauważmy, że trzy z powyższych klas przynależą do następujących typów Butsona: F6(a, b) ∈
H(6, 6), D6(c) ∈ H(4, 6), S6 ∈ H(3, 6) - patrz Dodatek A.
1 W trakcie przygotowywania tej pracy ogłoszono wiadomość, że Terence Tao otrzymał w roku 2006
medal Fieldsa. Omawiając jego różnorakie osiągnięcia w matematyce nie wymieniono jednakże odkrycia
macierzy S6.
23

Rozdział 4
Wyniki numeryczne
Do niedawna wydawało się, że poszczególne klasy macierzy przedstawionych w poprzed-
nim rozdziale stanowią odrębne obiekty w przestrzni H6. W szczególności oznaczało to, że
żadnego reprezentanta danej klasy nie da się przedstawić - stosując operacje permutacji
wierszy i kolumn oraz dofazowania macierzami diagonalnymi - jako macierzy z klasy innej.
Jakkolwiek pewne było to, że jedynie macierz S6 stanowi punkt izolowany, tak dla ca-
łej reszty istniało silne przypuszczenie, iż każda z nich być może należy do jakiejś ogólnej
wielowymiarowej orbity. Potwierdzały te przypuszczenia numerycznie wyliczone wartości
defektu, który dla F6(a, b), D6(c) oraz C6 ma wartość 4.
Postać macierzy sugerowała, że hipotetyczna rodzina wielo- (co najwyżej 4-) wymiarowa
będzie rodziną nieafiniczną. W stosunku do macierzy C6 udowodniono nawet teoretycznie,
że nie może być ona generatorem żadnej afinicznej orbity [22].
Poszukiwanie nowych macierzy Hadamarda odbywało się numerycznie metodą wielowy-
miarowego błądzenia losowego po 25−wymiarowej przestrzeni rzeczywistej odpowiadają-
cej fazom rdzenia poszukiwanej macierzy H. Zasada działania algorytmu polegała na mi-
nimalizowaniu funkcji celu Z(H) jaką był funkcjonał normy Frobeniusa: Z(H) ≡ ||M||F =
√ Tr MM † , gdzie M = HH † − 6 . Więcej na temat użytych metod numerycznych znaj-
duje się w Dodatku B.
Identyfikowanie nowych znalezionych numerycznie macierzy Hadamarda jest utrudnio-
ne przez wspomnianą wcześniej relację równoważności. Sedno problemu leży w tym, iż dla
hipotetycznie nowej macierzy jest bardzo trudno odnaleźć zestaw macierzy permutacji
oraz macierzy diagonalnych, które przetransformowałyby ją do jednej ze znanych postaci.
A z drugiej strony jeszcze większej trudności nastręcza dowód, że jest to całkiem nowa
klasa. Dotychczas nie istnieje żadna uniwersalna metoda, która pozwoliłaby rozwiązywać
ten problem w krótkim czasie dla dowolnej macierzy. Każdy przypadek należy traktować
indywidualnie.
25

Przykładowo dwie poniższe macierze należą do tej samej 1-wymiarowej orbity afinicz-
nej (3.4), co na pierwszy rzut oka jest trudne do stwierdzenia ze względu na pozornie
różną ilość wolnych parametrów; p = exp(2 π i φ), φ ∈ [0, 1)
⎡
1
⎢ 1
⎢ 1
⎢ 1
⎢
⎣ 1
1
−1
i
−i
−i
1
i
−1
i p
−i p
1
−i
i p
−1
i
1
−i
−i p
i
−1
⎤ ⎡
1 1
⎥ ⎢
i ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1
⎥ ⎢
−i ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1
⎥ ⎢
−i p ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1
⎥ ⎢
i p ⎥ ⎢
⎦ ⎣ 1
1
1
−1
i
−i
1
−1
p
i p
−p
1
−i
−i p
−1
i
1
i
−p
−i
−1
⎤
1
⎥
−1 ⎥
i p ⎥ .
−i p ⎥
p ⎥
⎦
1 i −i −i p i p −1 1 −1 −i p i p p −p
Jednakże wyniki numeryczne pozwoliły odgadnąć postać analityczną elementów pewnych
macierzy, a dalsze obliczenia analityczne pokazały, że jest to nowa rodzina, która uogól-
nia dotychczas znane C6 oraz D6(c) czyniąc je dwoma przypadkami szczególnymi jednej
nieafinicznej orbity 1-wymiarowej.
4.1 Nowa klasa macierzy B6(t)
Rozważmy następującą rodzinę 1 macierzy zależną od parametru t
przy czym 2 :
W6 t = t(φ)
⎡
1
⎢ 1
⎢ 1
= ⎢ 1
⎢
⎣ 1
1
−1
−x
−β
β
1
−α
1/y
β
1/y
1
−t
t
−1
−γ
1
t
1
−1/z
1/y
⎤
1
⎥
α ⎥
−1/z ⎥ ,
1/z ⎥
−α ⎥
⎦
(4.1)
1 x −γ γ −x −1
x(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
1 + 2 t − t 2 , (4.2)
y(t) =
1 + 2 t − t2
t(−1 + 2 t + t2 , (4.3)
)
z(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
−1 + 2 t + t 2 , (4.4)
1 Symbol B użyty w tytule stanie się jasny w dalszej części rozdziału.
2 Pozioma kreska nad niektórymi czynnikami oznacza, zgodnie z umową z Rodziału 1, sprzężenie ze-
spolone.
26

gdzie:
oraz
β1(t) =
α(t) =
t 1 − t + 3 t2 + t3 + t2 2 t − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 1 + t 2 + t 3 + t
3 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
, (4.5)
β(t) = β1β2 − β3
, (4.6)
β4 − β5
3 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 + t2
−1
t
(−1 + 2 t + t2 )
1 + t + 3 t2 + t3 − √ 2 t2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 , (4.7)
β2(t) = 1 + t 2
2
+ t 2 t − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4
(4.8)
β3(t) = −3 + t2 + t
2 t − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4
1 − 2 t + t2 , (4.9)
β4(t) = −2 − t + 2 t2 + t3 + √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 − t2
−1
t
1 + t + 3 t2 + t3 − √ 2 t2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 , (4.10)
β5(t) =
√ 2 t 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
1 + t + 3 t2 + t3 − √ 2 t2 √ 1 + 2 t + 2 t3 , (4.11)
+ t4 γ(t) = 2 t(1 − t2 )
1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4
(−1 − 2 t + t2 ) 2 (1 − 6 t2 + t4 , (4.12)
)
natomiast parametr t jest funkcją fazy φ
której dziedziną - aby zachować warunek (1.4) - jest
t(φ) = exp(2 π i φ), (4.13)
27

arc cos 1
2 (√ 3 − 1)
2 π
< φ < 1 − arc cos 1
2 (√ 3 − 1)
2 π
. (4.14)
Nie jest to więc "pełna" orbita, tak jak w przypadku pozostałych klas, gdyż fazy, od
których zależy nie przebiegają całego odcinka [0, 2 π).
Rodzina W6(t) została odnaleziona numerycznie w postaci kilkunastu macierzy repre-
zentantów. Następnie korzystając z wzajemnej ortogonalności wierszy i kolumn, a także
dzięki temu, że udało się zauważyć pewne zależności funkcyjne między liczbami, zostały
wyliczone wzory analityczne na jej poszczególne elementy (x, y, z, α, β, γ).
Mniej więcej w tym samym czasie niezależnych obliczeń dokonał R. Nicoara oraz jego
student K. Beauchamp. Ich celem było także odnalezienie hipotetycznej orbity wychodzą-
cej z macierzy C6. Rodzina B6(t), którą znaleźli jest równoważna rodzinie W6(t) z tym, że
- jak widać - wzory, które przedstawili są zgrabniejsze od tych opisujących rodzinę W6(t).
Mianowicie
gdzie:
B6 t = t(φ)
⎡
1
⎢ 1
⎢ 1
= ⎢ 1
⎢
⎣ 1
1
−1
−x
−1/t
1/t
1
−1/x
1
1/t
y
1
−t
t
−1
−z
1
t
1/y
−1/z
1
⎤
1
⎥
1/x ⎥
−1/z ⎥ ,
1/z ⎥
−1/x ⎥
⎦
(4.15)
1 x −z z −x −1
x(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
1 + 2 t − t 2 , (4.16)
y(t) =
1 + 2 t − t2
t(−1 + 2 t + t2 , (4.17)
)
z(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4
−1 + 2 t + t 2 . (4.18)
Dziedzina parametru t(φ) jest zgodna ze wzorem (4.14).
W szczególności oznacza to, że parametry α, β oraz γ użyte do opisu rodziny W6(t) są
skomplikowanymi funkcjami parametrów x, y oraz z.
28

Relacja równoważności, która pokazuje równość tych dwóch rodzin jest następująca:
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ 1
•
1
•
•
•
1
•
•
•
•
•
•
•
1
•
•
•
1
•
•
⎤ ⎡
• 1
⎥ ⎢
• ⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥ ⎢
• ⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥·W6(t)·
⎢
• ⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥ ⎢
• ⎥ ⎢
⎦ ⎣ •
•
−1/x
•
•
•
•
•
y
•
•
•
•
•
1/t
•
•
•
•
•
1
•
•
•
•
•
⎤ ⎡
1
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥·
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣ •
•
•
•
1
•
•
•
1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
⎤
•
⎥
• ⎥
1 ⎥ ≡ B6(t).
• ⎥
• ⎥
⎦
• • • • • 1 • • • • • −z • • • 1 • •
(4.19)
Ze względu na prostszy zapis rodziny B6(t), to właśnie ona będzie dalej wymieniana w tek-
ście.
Rodzina B6(t) stanowi bezpośrednie uogólnienie rodziny C6, gdyż jak łatwo sprawdzić
przy doborze parametru t = d 2 , gdzie d jest liczbą zdefiniowaną według wzoru (3.6), za-
chodzi
B6(t) ≡ C6. (4.20)
Ponadto dla parametru t(φ) = −1, czyli dla φ = 1 otrzymuje się reprezentanta rodziny
2
D6(c). Mówiąc inaczej powyższy dobór fazy stanowi projekcję rodziny B6(t) na orbitę
afiniczną D6(c). Przy czym, aby zachować zgodność z notacją z poprzedniego rozdziału
należy dofazować oraz spermutować macierz B6(t) w następujący sposób
otrzymując ostatecznie
B ′ ⎡
1
⎢ •
⎢ •
6(t) = ⎢ •
⎢
⎣ •
•
i
•
•
•
•
•
−1
•
•
•
•
•
−i
•
•
•
•
•
i
•
•
•
•
•
⎤
⎥ · . . .
⎥
⎦
• • • • • −i
⎡
1
⎢ •
⎢ •
. . . ⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
•
•
•
•
•
•
1
•
•
•
•
•
1
•
•
•
•
•
⎤ ⎡
•
•
⎥ ⎢
• ⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥ ⎢
1 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥ · B6(t) · ⎢
• ⎥ ⎢
⎥ ⎢ •
⎥ ⎢
• ⎥ ⎢
⎦ ⎣ •
•
•
1
•
•
1
•
•
•
•
•
1
•
•
•
•
•
•
•
1
⎤
•
⎥
• ⎥
• ⎥ ,
1 ⎥
• ⎥
⎦
(4.21)
• • • • 1 •
1 • • • • •
29

B ′ 6(t = −1) −→ B ′ ⎢
6 ◦ EXP ⎢
⎣
⎡
• • • • • •
• • • • • •
• • • i c i c •
• • −i c • • −i c
• • −i c • • −i c
• • • i c i c •
⎤
⎥ ≡ D6(c). (4.22)
⎥
⎦
Jest to dowód wprost na to, że zbiór H6 został powiększony o kolejny obiekt.
4.2 Nowa para wzajemnie nieobciążonych macierzy Ha-
damarda
Para ta została także znaleziona numerycznie metodą błądzenia losowego. Tym razem do-
stępna przestrzeń była 9−wymiarowa (6 parametrów dla macierzy diagonalnej DF , która
dofazowywała jedną z macierzy wchodzących w skład iloczynu, oraz 3 parametry odpowia-
dające fazom dla macierzy D6(c) oraz F6(a, b), gdyż założono, że właśnie ta para będzie
badana). Minimalizowana funkcja celu miała postać Z(M1, M2) ≡ || 1
√ 6 M †
1M2−E|| 2 F , gdzie
M1 = D6(c), M2 = DF (α1, . . . , α6) · PL · F6(a, b) · PR, natomiast E, to macierz składająca
się z samych jedynek. Po każdym przebiegu zadanej ilości iteracji dla błądzenia losowego
w przypadku nieodnalezienia kandydatów na MUHs brano kolejne wartości macierzy per-
mutacji PL oraz PR. Stopień dokładności obliczeń był na tyle wysoki, że pozwoliło to na
odgadnięcie postaci analitycznej macierzy DF , oraz parametrów b i c. Parametr a został
wyliczony przy założeniu unimodularności wynikowej macierzy.
Wyliczone fazy to:
a = − arc cot
1
−
2
5
4
π, b = 0, c = −π , (4.23)
2
natomiast macierz diagonalna dofazowująca macierz Fouriera z lewej strony jest postaci
1
DF = diag EXP
12
Wtedy przy macierzach permutacji:
π i [0, 22, 8, 3, 7, 11] . (4.24)
30

⎡
1
⎢ •
⎢ •
PL = ⎢ •
⎢
⎣ •
•
•
•
•
•
•
1
•
•
•
•
•
•
1
•
•
•
1
•
•
⎤
•
⎥
• ⎥
• ⎥ ,
• ⎥
1 ⎥
⎦
⎡
1
⎢ •
⎢ •
PR = ⎢ •
⎢
⎣ •
•
•
•
1
•
•
1
•
•
•
•
•
•
•
1
•
•
1
•
•
⎤
•
⎥
• ⎥
• ⎥ ,
• ⎥
• ⎥
⎦
(4.25)
• 1 • • • •
• • • • • 1
otrzymuje się heterogeniczną parę MUHs: {D6(c), F ′ }, gdzie
Aby udowodnić tę własność należy policzyć iloczyn
F ′ = DF · PL · F6(a, b) · PR. (4.26)
1
√ 6 · (D6(c)) † · DF · PL · F6(a, b) · PR = M (4.27)
i pokazać, że M jest macierzą unimodularną typu (1.4),
|[M]j, k| 2 = 1. (4.28)
Wzory na tę parę macierzy MUHs wyrażone explicite są następującej postaci:
gdzie
D6(c = − π
⎡
1
⎢ 1
⎢ 1
) = ⎢
2 ⎢ 1
⎢
⎣ 1
1
−1
i
−i
−i
1
i
−1
−1
1
1
−i
1
−1
i
1
−i
−1
i
−1
⎤
1
⎥
i ⎥
−i ⎥ ,
1 ⎥
−1 ⎥
⎦
(4.29)
1 i −i −1 1 −1
F ′ = EXP (i FR(a)) , (4.30)
31

a faza a dana jest wzorem (4.23).
⎡
•
⎢ •
⎢
FR(a) = ⎢
⎣
•
•
•
2
3
• • •
π 2 π 3
2 − π 3
2 − 3 π
• • − 2 π 3
2 − 3 π 2
3 π 2
3 π
•
•
π
π
a + π
a −
a • π
1 π 3
2 a + π 3
2 − 3 π 1
3 π
• π a + 1 π 3
2 a − 3 π 2 π 3
1 − 3 π
⎤
⎥ ,
⎥
⎦
(4.31)
32

Rozdział 5
Wyniki analityczne
W matematyce od dawna znane jest twierdzenie o dekompozycji spektralnej mówiące
o tym, że dowolną macierz normalną 1 M można zapisać w postaci
M = S · J · S −1 . (5.1)
W języku matematyki oznacza to, że macierze M i J są macierzami podobnymi natomiast
S jest macierzą przejścia do takiej bazy, w której M przyjmuje postać diagonalną J. In-
nymi słowy macierz M można zapisać jako iloczyn macierzy S składającej się z wektorów
własnych macierzy M, jej odwrotności S −1 oraz diagonalnej macierzy wartości własnych
M.
Okazuje się, że twierdzenie to można z powodzeniem zastosować do odnalezienia kolejnych
par MUHs.
5.1 Dekompozycja spektralna macierzy cyklicznej
Niech c ∈ C N będzie wektorem o N składowych
Rozważmy macierz L
c = [c1, c2, . . . , cN]. (5.2)
L = [eN, e1, . . . , eN−1], (5.3)
składającą się z wektorów ek bazy kanonicznej R N i za jej pomocą skonstruujmy kolejną
macierz
1 Macierz normalna spełnia warunek: MM † = M † M.
33

C = [c, c L, c L 2 , . . . , c L N−1 ] T ⎢
= ⎢
⎣
⎡
c1 c2 c3 . . . cN
cN c1 c2 . . . cN−1
cN−1 cN c1 . . . cN−2
.
.
c2 c3 c4 . . . c1
.
.
⎤
⎥ . (5.4)
⎥
⎦
Twierdzenie 5.1.1. Przy powyższych oznaczeniach, jeżeli C jest macierzą cykliczną po-
staci (5.4), to jej rozkład spektralny jest następującej postaci:
C = F · J · F −1 , (5.5)
gdzie J = diag
T F c , natomiast F jest macierzą Fouriera (1.5).
Dowód:
Niech D = diag
1, w, . . . , w N−1
, gdzie w = exp 2
N
Zauważmy, że:
Zatem
czyli
jest macierzą diagonalną.
π i
.
[L · F ] m, n = e T (m+1) ·
1, w 1(n−1) , w 2(n−1) , . . . , w N(n−1) T
= w m(n−1)
= w (n−1) · w (m−1)(n−1)
= w (n−1) ·
1, w 1(m−1) , w 2(m−1) , . . . , w N(m−1)
· en
= [F · D] m, n .
L = F · D · F −1 , (5.6)
F −1 · L · F (5.7)
34

Zauważmy ponadto, że
J = F −1 · C · F = F −1 ·
=
N
k=1
ck L k−1
N
ck F −1 · L k−1 · F
k=1
N
= ck
k=1
· F
F −1 · L · F k−1
.
Na podstawie (5.7) wnioskujemy, że J także jest macierzą diagonalną. Pozostaje zatem
wykazać, że J = diag
T F c . W tym celu policzmy:
co kończy dowód twierdzenia.
T
F c
m =
5.2 Kolejna para MUHs
N
ck w (k−1)(m−1)
k=1
N
= ckD
k=1
k−1
m, m
=
F −1 · C · F
m, m ,
Korzystając z twierdzenia (5.1.1) przeprowadźmy analogiczne rozumowanie dla konkret-
nych macierzy otrzymując pary MUHs.
Rozważmy macierz C6 w postaci nie odfazowanej (3.8). Na mocy wspomnianego twier-
dzenia zachodzi dla niej następujący rozkład:
gdzie widmo macierzy cyklicznej
C6 = F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1 , (5.8)
J6 = diag (λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, λ6) (5.9)
35

dane jest przez:
λ1 = λ4 = + exp − i 1
4 π
,
⎛
⎛
λ2 = λ5 = + exp ⎝+
2
i arc tg ⎝
√
27 − 3 2 √ 3 + 6
2 √
27 − 3 2 √ ⎞⎞
⎠⎠
,
3 − 6
⎛
⎛
λ3 = λ6 = − exp ⎝−
2
i arc tg ⎝
√
27 − 3 2 √ 3 − 6
2 √
27 − 3 2 √ ⎞⎞
⎠⎠
.
3 + 6
Korzystając z (5.8) można dokonać ciągu równoważnych przejść:
C6 = F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1 ⇔ (F6) † · C6 = (F6) † · F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1
co pozwala uznać parę macierzy Hadamarda
za parę MUHs.
⇔ 1
√ 6 · (F6) † · C6 = 6 · J6 · (F6) −1 ∈ H6,
{C6, F6(0, 0)} (5.10)
Twierdzenie o dekompozycji spektralnej macierzy pozwala więc uzyskiwać nowe pary
MUHs dla dowolnego wymiaru N pod warunkiem, że w zbiorze HN istnieją macierze
typu "cyclic-N-roots". W porównaniu z parą znalezioną numerycznie, w tym przypadku
nie było koniecznie permutowanie macierzy Fouriera 2 , a macierz dofazowująca jest ła-
twa do wyliczenia, gdy skorzysta się z twierdzenia (5.1.1). Zauważmy ponadto, że jest to
kolejny przykład MUHs, które są heterogeniczne.
2 Oczywiście o ile przyjmie się, że jej postać kanoniczna jest taka jak podaje to wzór (3.1).
36

Rozdział 6
Podsumowanie
6.1 Odnaleziona nowa klasa B6(t) oraz heterogeniczne
pary MUHs
Cel tej pracy, jakim była próba rozszerzenia zbioru macierzy H6 o nowe, nieznane wcze-
śniej elementy, został osiągnięty. Udało się pokazać, że istnieje ogólna 1−parametrowa
nieafiniczna rodzina macierzy B6(t), która zawiera w sobie jako przypadek szczególny
macierz cykliczną C6. Natomiast przyjęcie parametru t = −1 stanowi projekcję nowej
rodziny B6(t) na rodzinę afiniczną D6(c). Jest to więc pewien ogólniejszy twór od tych
znanych dotychczas.
Nowa rodzina może automatycznie posłużyć do konstrukcji baz maksymalnie splątanych,
a także być użyta do nowych algorytmów kwantowej teleportacji lub gęstego kodowania
(Dense Coding Schemes - protokoły wymiany informacji kwantowej bazujące na stanach
splątanych) [25]. Inną zaletą wynikającą z powiększenia zbioru H6 jest rozszerzenie do-
meny poszukiwań kolejnych potencjalnych par, lub trójek MUHs. Każda nowa klasa może
teoretycznie zawierać w sobie nieznanego przedstawiciela niezbędnego do takiej konstruk-
cji.
Innym celem - związanym właśnie z MUHs - jaki udało się osiągnąć, było pokazanie,
że istnieje nowa heterogeniczna para takich macierzy, a ponadto zaproponowano uniwer-
salną metodę konstrukcji takich par bazującą na twierdzeniu o dekompozycji spektralnej
macierzy normalnej, przy założeniu istnienia dla danego wymiaru macierzy cyklicznych
postaci (5.4). Znalezione pary, to:
{C6, F6(0, 0)}, {D6(c), F ′ 6(a, 0)}, (6.1)
gdzie macierz F ′ 6 oznacza dofazowaną i spermutowaną zgodnie z (4.26) wyjściową macierz
Fouriera F6 natomiast parametry a i c określono w (4.23).
37

Nowa para MUHs daje nowy sposób przygotowania optymalnego pomiaru składającego
się z trzech ortogonalnych pomiarów von Neumanna dla układu o wymiarze N = 6 [24].
6.2 Problemy otwarte
Nie oznacza to jednak pełnego sukcesu jakim by było niewątpliwie udowodnienie istnienia
zestawu przynajmniej 3 macierzy pozostających w relacji MUHs. Wyniki te pozwalają
jednak przypuszczać, iż jest duża szansa na odnalezienie takiego zbioru w przestrzeni H6,
a następnie utworzenia z nich pierwszego pełnego zestawu baz MUBs w przestrzeni Hil-
berta C 6 .
Ciekawym wydaje się być fakt, że liczba MUBs w przestrzeni o danym wymiarze N
jest związana z charakterem tej liczby. Mianowicie pełny zestaw (N + 1) baz wzajemnie
nieobciążonych otrzymujemy, gdy N jest liczbą pierwszą lub jej kwadratem. Dotychczas
literatura matematyczna nie zawiera twierdzeń, na bazie których można by pokazać, że
skonstruowanie MUBs dla innych wymiarów N jest możliwe, lub niemożliwe. Dla wymia-
rów będących liczbą złożoną udało się jak dotąd otrzymać jedynie wyniki cząstkowe (na
przykład dla N = n 2 , przy dowolnym naturalnym n > 1 [26]), lub podać dolne oszacowa-
nia na maksymalną ilość elementów zbioru MUBs [1]. N = 6 jest jak dotąd najmniejszym
wymiarem, dla którego to pytanie pozostaje bez odpowiedzi, a co za tym idzie rozwią-
zanie problemu optymalnego pomiaru kwantowego dla przestrzeni Hilberta C 6 wciąż jest
otwarte.
Związki macierzy Hadamarda z teorio-liczbowymi twierdzeniami o istnieniu ciał skoń-
czonych w dziedzinie liczb pierwszych sugerują, że być może problem ten da się rozwiązać
używając całkowicie abstrakcyjnych narzędzi. Jednakże obszar tego przenikania się czystej
matematyki z mechaniką kwantową wciąż jest zagadką. Nadal nie wiemy, co decyduje, że
charakter stanów kwantowych daje się bardzo dobrze opisać takim a nie innym językiem.
Także sam zbiór H6 ciągle nie jest do końca zbadany. Jest niemal pewnym przypusz-
czenie, że istnieją w nim całkiem nowe klasy macierzy Hadamarda, których jeszcze nie
udało się opisać. W szczególności postać nowo odnalezionej rodziny B6(t) sugeruje, że
może być ona częścią większej nieafinicznej rodziny 2-wymiarowej. Istnieje ponadto hipo-
teza, że wszystkie dotychczas znane klasy, czyli C6, D6(c), F6(a, b) są tylko szczególnymi
przypadkami reprezentantów jednej wielowymiarowej orbity nieafinicznej, a to z czym ma-
my obecnie do czynienia, to tylko projekcje na podprzestrzenie afiniczne. Jednak stopień
skomplikowania nieznanej rodziny - jeżeli ona istnieje - jest wciąż zbyt duży i nadal czeka
na potencjalne odkrycie. Być może jest to kwestia niedalekiej przyszłości...
38

A
Katalog macierzy Butsona
Dodatek ten stanowi rozwinięcie charakterystyki macierzy typu Butsona zdefiniowanych
w (1.2.1.b) z wyszczególnieniem podstawowych reprezentantów klas zbioru H(q, N) dla
N = 2, . . . , 16.
Rozważmy pewną macierz Hadamarda typu Butsona H(a) = F ◦ EXP (i R(a)) , która
jest reprezentantem jednowymiarowej rodziny afinicznej zależnej od fazy a ∈ [0, 2 π),
oraz F ∈ H(q, N). Można pokazać, że wtedy H(a) ∈ H(k q, N), przy czym parametr a
przyjmuje postać a = 2 π/k q. Wynika z tego, że klasy macierzy Butsona stanowią zbiór
nieskończony. Z tego powodu poniżej zostaną wypisani jedynie reprezentanci rodzin dla
najmniejszego q.
Przy ustalonym wymiarze N macierze uporządkowane są według rosnącej wartości pa-
rametru q. Wybór każdego przedstawiciela danej klasy jest określony z dokładnością do
permutacji wierszy i kolumn. Zgodnie z wcześniejszą umową • oznacza fazę zerową (od-
powiadającą jedności).
N = 2
N = 3
H2 = F2 ∈ H(2, 2); LOG(F2) =
⎡ ⎤
•
= π ⎣
•
•
⎦ .
1
F3 ∈ H(3, 3); LOG(F3) =
= 2
3 π
⎡
•
⎢
⎣ •
•
•
1
2
⎤
•
⎥
2 ⎥
⎦
1
.
39

N = 4
N = 5
N = 6
H4 H2 ⊗ H2 ∈ H(2, 4) 1 ; LOG(H4) =
⎡
•
⎢ •
= π ⎢
⎣ •
•
1
•
•
•
1
⎤
•
⎥
1 ⎥ ,
1 ⎥
⎦
• 1 1 •
F4 ∈ H(4, 4); LOG(F4) =
= 1
2 π
⎡
•
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
•
2
•
⎤
•
⎥
3 ⎥ .
2 ⎥
⎦
• 3 2 1
F5 ∈ H(5, 5); LOG(F5) =
= 2
5 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
•
2
4
1
•
3
1
4
⎤
•
⎥
4 ⎥
3 ⎥ .
⎥
2 ⎥
⎦
• 4 3 2 1
S6 ∈ H(3, 6); LOG(S6) =
= 2
3 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
•
1
1
2
•
1
•
2
2
•
1
2
•
1
•
2
2
1
•
⎤
•
⎥
2 ⎥
1 ⎥ ,
2 ⎥
1 ⎥
⎦
• 2 1 2 1 •
1 Więcej informacji na temat (nie)równoważności produktów tensorowych macierzy Fouriera można
znaleźć w pracy W. Tadeja [21].
40

N = 7
D6 ∈ H(4, 6); LOG(D6) =
= 1
2 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
2
1
3
3
•
1
2
1
3
•
3
1
2
1
•
3
3
1
2
⎤
•
⎥
1 ⎥
3 ⎥ ,
3 ⎥
1 ⎥
⎦
• 1 3 3 1 2
F6 F2 ⊗ F3 ∈ H(6, 6); LOG(F6) =
= 1
3 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
•
2
4
•
2
•
3
•
3
•
•
4
2
•
4
⎤
•
⎥
5 ⎥
4 ⎥ .
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 5 4 3 2 1
P7 ∈ H(6, 7); LOG(P7) =
= 1
3 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
4
5
3
3
•
4
1
3
5
3
•
5
3
1
4
1
•
3
5
4
1
1
•
3
3
1
1
4
⎤
•
⎥
1 ⎥
1 ⎥
3 ⎥ ,
⎥
3 ⎥
5 ⎥
⎦
• 1 1 3 3 5 4
F7 ∈ H(7, 7); LOG(F7) =
= 2
7 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
•
2
4
6
1
3
•
3
6
2
5
1
•
4
1
5
2
6
•
5
3
1
6
4
⎤
•
⎥
6 ⎥
5 ⎥
4 ⎥ .
⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 6 5 4 3 2 1
41

N = 8
H8 H2 ⊗ H2 ⊗ H2 H4 ⊗ H2 ∈ H(2, 8); LOG(H8) =
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
= π ⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
•
1
•
1
•
•
•
1
1
•
•
1
•
1
1
•
•
1
1
•
•
•
•
1
1
1
•
1
•
1
1
•
1
•
•
1
1
1
1
•
⎤
•
⎥
1
⎥
1 ⎥
• ⎥ ,
1 ⎥
• ⎥
• ⎥
⎦
• 1 1 • 1 • • 1
H2 ⊗ F4 ∈ H(4, 8); LOG(H2 ⊗ F4) =
= 1
2 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
1
3
•
1
2
•
2
•
2
•
2
•
•
3
2
1
•
3
2
•
•
•
•
2
2
2
•
1
2
3
2
3
•
•
2
•
2
2
•
2
⎤
•
⎥
3
⎥
2 ⎥
1 ⎥ ,
2 ⎥
1 ⎥
• ⎥
⎦
• 3 2 1 2 1 • 3
S8 ∈ H(4, 8); LOG(S8) =
= 1
2 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
•
1
1
2
2
3
•
2
1
3
3
1
2
•
2
3
1
1
3
2
•
2
•
2
•
2
•
•
1
2
3
1
•
3
•
3
2
1
3
•
1
⎤
•
⎥
•
⎥
3 ⎥
3 ⎥ ,
2 ⎥
2 ⎥
1 ⎥
⎦
• 3 • • 2 2 2 1
42

N = 9
F8 ∈ H(8, 8); LOG(F8) =
= 1
4 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
6
•
2
4
6
•
2
4
•
3
6
1
4
7
2
•
4
•
4
•
4
•
•
5
2
7
4
1
6
•
6
4
2
•
6
4
⎤
•
⎥
7
⎥
6 ⎥
5 ⎥ .
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 7 6 5 4 3 2 1
F3 ⊗ F3 ∈ H(3, 9); LOG(F3 ⊗ F3) =
= 2
3 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
•
1
2
•
1
•
2
1
•
2
1
•
2
•
•
•
1
1
1
2
2
•
1
2
1
2
•
2
•
•
2
1
1
•
2
2
1
•
•
•
2
2
2
1
1
•
1
2
2
•
1
1
2
⎤
•
⎥
2 ⎥
1 ⎥
2 ⎥
1 ⎥ ,
⎥
• ⎥
1 ⎥
• ⎥
⎦
• 2 1 2 1 • 1 • 2
F9 ∈ H(9, 9); LOG(F9) =
= 2
9 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
6
7
•
2
4
6
8
1
3
5
•
3
6
•
3
6
•
3
•
4
8
3
7
2
6
1
•
5
1
6
2
7
3
8
•
6
3
•
6
3
•
6
•
7
5
3
1
8
6
4
⎤
•
⎥
8 ⎥
7 ⎥
6 ⎥
5 ⎥ .
⎥
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 8 7 6 5 4 3 2 1
43

N = 10
N = 11
N = 12
F10 = F2 ⊗ F5 ∈ H(10, 10); LOG(F10) =
= 1
5 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎣
•
1
2
3
4
5
6
7
8
•
2
4
6
8
•
2
4
6
•
3
6
9
2
5
8
1
4
•
4
8
2
6
•
4
8
2
•
5
•
5
•
5
•
5
•
•
6
2
8
4
•
6
2
8
•
7
4
1
8
5
2
9
6
•
8
6
4
2
•
8
6
4
⎤
•
⎥
9 ⎥
8
⎥
7 ⎥
6 ⎥ .
5 ⎥
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 9 8 7 6 5 4 3 2 1
F11 ∈ H(11, 11); LOG(F11) =
= 2
11 π
⎡
⎤
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎣
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
•
2
4
6
8
10
1
3
5
7
•
3
6
9
1
4
7
10
2
5
•
4
8
1
5
9
2
6
10
3
•
5
10
4
9
3
8
2
7
1
•
6
1
7
2
8
3
9
4
10
•
7
3
10
6
2
9
5
1
8
•
8
5
2
10
7
4
1
9
6
•
9
7
5
3
1
10
8
6
4
•
⎥
10 ⎥
9 ⎥
8 ⎥
7 ⎥
6 ⎥ .
⎥
5 ⎥
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
D6 ⊗ F2 ∈ H(4, 12); LOG(D6 ⊗ F2) =
= 1
2 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
•
•
2
2
1
1
3
3
3
3
1
•
2
2
•
1
3
3
1
3
1
1
•
•
1
1
2
2
1
1
3
3
3
•
2
1
3
2
•
1
3
3
1
3
•
•
3
3
1
1
2
2
1
1
3
•
2
3
1
1
3
2
•
1
3
3
•
•
3
3
3
3
1
1
2
2
1
•
2
3
1
3
1
1
3
2
•
1
•
•
1
1
3
3
3
3
1
1
2
⎤
•
⎥
2 ⎥
1 ⎥
3 ⎥
3 ⎥
1 ⎥ ,
3 ⎥
1 ⎥
1
⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 2 1 3 3 1 3 1 1 3 2 •
44

F3 ⊗ F2 ⊗ F2 F6 ⊗ F2 ∈ H(6, 12); LOG(F3 ⊗ F2 ⊗ F2) =
= 1
3 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
3
•
3
•
3
•
3
•
3
•
•
•
3
3
•
•
3
3
•
•
3
•
3
3
•
•
3
3
•
•
3
3
•
•
•
•
2
2
2
2
4
4
4
•
3
•
3
2
5
2
5
4
1
4
•
•
3
3
2
2
5
5
4
4
1
•
3
3
•
2
5
5
2
4
1
1
•
•
•
•
4
4
4
4
2
2
2
•
3
•
3
4
1
4
1
2
5
2
•
•
3
3
4
4
1
1
2
2
5
⎤
•
⎥
3 ⎥
3 ⎥
• ⎥
4 ⎥
1 ⎥ ,
1 ⎥
4 ⎥
2
⎥
5 ⎥
5 ⎥
⎦
• 3 3 • 4 1 1 4 2 5 5 2
S6 ⊗ F2 ∈ H(6, 12); LOG(S6 ⊗ F2) =
= 1
3 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
3
•
3
•
3
•
3
•
3
•
•
•
•
•
2
2
2
2
4
4
4
•
3
•
3
2
5
2
5
4
1
4
•
•
2
2
•
•
4
4
4
4
2
•
3
2
5
•
3
4
1
4
1
2
•
•
2
2
4
4
•
•
2
2
4
•
3
2
5
4
1
•
3
2
5
4
•
•
4
4
4
4
2
2
•
•
2
•
3
4
1
4
1
2
5
•
3
2
•
•
4
4
2
2
4
4
2
2
•
⎤
•
⎥
3 ⎥
4 ⎥
1 ⎥
2 ⎥
5 ⎥ ,
4 ⎥
1 ⎥
2
⎥
5 ⎥
• ⎥
⎦
• 3 4 1 2 5 4 1 2 5 • 3
45

F12 F3 ⊗ F4 ∈ H(12, 12); LOG(F12) =
= 1
6 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
•
2
4
6
8
10
•
2
4
6
8
•
3
6
9
•
3
6
9
•
3
6
•
4
8
•
4
8
•
4
8
•
4
•
5
10
3
8
1
6
11
4
9
2
•
6
•
6
•
6
•
6
•
6
•
•
7
2
9
4
11
6
1
8
3
10
•
8
4
•
8
4
•
8
4
•
8
•
9
6
3
•
9
6
3
•
9
6
•
10
8
6
4
2
•
10
8
6
4
⎤
•
⎥
11 ⎥
10 ⎥
9 ⎥
8 ⎥
7 ⎥ ,
6 ⎥
5 ⎥
4
⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
S12 ∈ H(36, 12); LOG(S12) =
= 1
36 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
12
24
27
3
15
•
12
24
27
3
•
24
12
•
24
12
•
24
12
•
24
•
28
20
•
28
20
18
10
2
18
10
•
4
8
•
4
8
18
22
26
18
22
•
16
32
•
16
32
18
34
14
18
34
•
•
•
18
18
18
9
9
9
27
27
•
12
24
9
21
33
•
12
24
9
21
•
24
12
18
6
30
•
24
12
18
6
•
•
•
18
18
18
27
27
27
9
9
•
12
24
18
30
6
18
30
6
•
12
⎤
•
⎥
24 ⎥
12 ⎥
18 ⎥
6 ⎥
30 ⎥ .
18 ⎥
6 ⎥
30
⎥
• ⎥
24 ⎥
⎦
• 15 12 2 26 14 27 33 30 9 24 12
46

N = 13
F13 ∈ H(13, 13); LOG(F13) =
= 2
13 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
•
2
4
6
8
10
12
1
3
5
7
9
•
3
6
9
12
2
5
8
11
1
4
7
•
4
8
12
3
7
11
2
6
10
1
5
•
5
10
2
7
12
4
9
1
6
11
3
•
6
12
5
11
4
10
3
9
2
8
1
•
7
1
8
2
9
3
10
4
11
5
12
•
8
3
11
6
1
9
4
12
7
2
10
•
9
5
1
10
6
2
11
7
3
12
8
•
10
7
4
1
11
8
5
2
12
9
6
•
11
9
7
5
3
1
12
10
8
6
4
⎤
•
⎥
12 ⎥
11 ⎥
10 ⎥
9 ⎥
8 ⎥
7 ⎥ ,
⎥
6 ⎥
5 ⎥
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
P13 ∈ H(30, 13); LOG(P13) =
= 1
30 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
30
20
40
10
25
55
5
35
8
32
56
•
20
30
10
40
55
25
35
5
8
32
56
•
40
10
30
20
5
35
25
55
32
8
44
•
10
40
20
30
35
5
55
25
32
8
44
•
25
55
45
15
30
20
40
10
56
44
32
•
55
25
15
45
20
30
10
40
56
44
32
•
45
15
25
55
40
10
30
20
44
56
8
•
15
45
55
25
10
40
20
30
44
56
8
•
32
32
8
8
44
44
56
56
40
20
20
•
8
8
32
32
56
56
44
44
20
40
20
•
44
44
56
56
8
8
32
32
20
20
40
⎤
•
⎥
56 ⎥
56 ⎥
44 ⎥
44 ⎥
32 ⎥
32 ⎥ .
⎥
8 ⎥
8 ⎥
20 ⎥
20 ⎥
20 ⎥
⎦
• 44 44 56 56 8 8 32 32 20 20 20 40
47

N = 14
P7 ⊗ F2 ∈ H(6, 14); LOG(P7 ⊗ F2) =
= 1
3 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
3
•
3
•
3
•
3
•
3
•
3
•
•
•
1
1
4
4
5
5
3
3
3
3
1
•
3
1
4
4
1
5
2
3
•
3
•
1
•
•
4
4
1
1
3
3
5
5
3
3
1
•
3
4
1
1
4
3
•
5
2
3
•
1
•
•
5
5
3
3
1
1
4
4
1
1
3
•
3
5
2
3
•
1
4
4
1
1
4
3
•
•
3
3
5
5
4
4
1
1
1
1
3
•
3
3
•
5
2
4
1
1
4
1
4
3
•
•
3
3
3
3
1
1
1
1
4
4
5
•
3
3
•
3
•
1
4
1
4
4
1
5
•
•
1
1
1
1
3
3
3
3
5
5
4
⎤
•
⎥
3 ⎥
1 ⎥
4 ⎥
1 ⎥
4 ⎥
3 ⎥ ,
• ⎥
3 ⎥
•
⎥
5 ⎥
2 ⎥
4 ⎥
⎦
• 3 1 4 1 4 3 • 3 • 5 2 4 1
F14 F7 ⊗ F2 ∈ H(14, 14); LOG(F14) =
= 1
7 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
•
2
4
6
8
10
12
•
2
4
6
8
10
•
3
6
9
12
1
4
7
10
13
2
5
8
•
4
8
12
2
6
10
•
4
8
12
2
6
•
5
10
1
6
11
2
7
12
3
8
13
4
•
6
12
4
10
2
8
•
6
12
4
10
2
•
7
•
7
•
7
•
7
•
7
•
7
•
•
8
2
10
4
12
6
•
8
2
10
4
12
•
9
4
13
8
3
12
7
2
11
6
1
10
•
10
6
2
12
8
4
•
10
6
2
12
8
•
11
8
5
2
13
10
7
4
1
12
9
6
•
12
10
8
6
4
2
•
12
10
8
6
4
⎤
•
⎥
13 ⎥
12 ⎥
11 ⎥
10 ⎥
9 ⎥
8 ⎥ .
7 ⎥
6 ⎥
5
⎥
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
48

N = 15
N = 16
F15 F3 ⊗ F5 ∈ H(15, 15); LOG(F15) =
= 2
15 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
•
2
4
6
8
10
12
14
1
3
5
7
9
11
•
3
6
9
12
•
3
6
9
12
•
3
6
9
•
4
8
12
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
•
5
10
•
5
10
•
5
10
•
5
10
•
5
•
6
12
3
9
•
6
12
3
9
•
6
12
3
•
7
14
6
13
5
12
4
11
3
10
2
9
1
•
8
1
9
2
10
3
11
4
12
5
13
6
14
•
9
3
12
6
•
9
3
12
6
•
9
3
12
•
10
5
•
10
5
•
10
5
•
10
5
•
10
•
11
7
3
14
10
6
2
13
9
5
1
12
8
•
12
9
6
3
•
12
9
6
3
•
12
9
6
•
13
11
9
7
5
3
1
14
12
10
8
6
4
⎤
•
⎥
14 ⎥
13 ⎥
12 ⎥
11 ⎥
10 ⎥
9 ⎥
8 ⎥ .
⎥
7 ⎥
6 ⎥
5 ⎥
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
H16 = H2 ⊗ H2 ⊗ H2 ⊗ H2 ∈ H(2, 16); LOG(F16) =
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
= π ⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
•
1
•
1
•
1
•
1
•
1
•
1
•
•
•
1
1
•
•
1
1
•
•
1
1
•
•
1
•
1
1
•
•
1
1
•
•
1
1
•
•
1
1
•
•
•
•
1
1
1
1
•
•
•
•
1
1
1
•
1
•
1
1
•
1
•
•
1
•
1
1
•
1
•
•
1
1
1
1
•
•
•
•
1
1
1
1
•
•
1
1
•
1
•
•
1
•
1
1
•
1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
1
1
1
1
1
1
•
1
•
1
•
1
•
1
1
•
1
•
1
•
1
•
•
1
1
•
•
1
1
1
1
•
•
1
1
•
•
1
1
•
•
1
1
•
1
•
•
1
1
•
•
•
•
•
•
1
1
1
1
1
1
1
1
•
•
•
•
1
•
1
1
•
1
•
1
•
1
•
•
1
•
•
•
1
1
1
1
•
•
1
1
•
•
•
•
1
⎤
•
⎥
1 ⎥
1 ⎥
• ⎥
1 ⎥
• ⎥
• ⎥
1 ⎥ ,
1 ⎥
• ⎥
•
⎥
1 ⎥
• ⎥
1 ⎥
1 ⎥
⎦
• 1 1 • 1 • • 1 1 • • 1 • 1 1 •
49

F4 ⊗ F4 ∈ H(4, 16); LOG(F4 ⊗ F4) =
= 1
2 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
•
1
2
3
•
1
2
3
•
1
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
•
3
2
1
•
3
2
1
•
3
2
1
•
3
2
•
•
•
•
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
•
1
2
3
1
2
3
•
2
3
•
1
3
•
1
•
2
•
2
1
3
1
3
2
•
2
•
3
1
3
•
3
2
1
1
•
3
2
2
1
•
3
3
2
1
•
•
•
•
2
2
2
2
•
•
•
•
2
2
2
•
1
2
3
2
3
•
1
•
1
2
3
2
3
•
•
2
•
2
2
•
2
•
•
2
•
2
2
•
2
•
3
2
1
2
1
•
3
•
3
2
1
2
1
•
•
•
•
•
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
•
1
2
3
3
•
1
2
2
3
•
1
1
2
3
•
2
•
2
3
1
3
1
2
•
2
•
1
3
1
⎤
•
⎥
3 ⎥
2 ⎥
1 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
1 ⎥
• ⎥ ,
2 ⎥
1 ⎥
•
⎥
3 ⎥
1 ⎥
• ⎥
3 ⎥
⎦
• 3 2 1 3 2 1 • 2 1 • 3 1 • 3 2
S8 ⊗ H2 ∈ H(4, 16); LOG(S8 ⊗ H2) =
= 1
2 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
2
•
•
•
•
•
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
•
2
•
2
1
3
1
3
2
•
2
•
3
1
3
•
•
2
2
1
1
3
3
3
3
1
1
2
2
•
•
2
2
•
1
3
3
1
3
1
1
3
2
•
•
•
•
2
2
3
3
1
1
1
1
3
3
2
2
•
•
2
2
•
3
1
1
3
1
3
3
1
2
•
•
•
•
2
2
•
•
2
2
•
•
2
2
•
•
2
•
2
2
•
•
2
2
•
•
2
2
•
•
2
2
•
•
1
1
2
2
3
3
1
1
•
•
3
3
2
•
2
1
3
2
•
3
1
1
3
•
2
3
1
2
•
•
3
3
2
2
1
1
3
3
•
•
1
1
2
•
2
3
1
2
•
1
3
3
1
•
2
1
3
2
•
•
•
•
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
⎤
•
⎥
2 ⎥
• ⎥
2 ⎥
3 ⎥
1 ⎥
3 ⎥
1 ⎥ ,
2 ⎥
• ⎥
2
⎥
• ⎥
1 ⎥
3 ⎥
1 ⎥
⎦
• 2 3 1 • 2 • 2 2 • 2 • 2 • 1 3
50

F8 ⊗ H2 ∈ H(8, 16); LOG(F8 ⊗ H2) =
= 1
4 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
4
•
4
•
4
•
4
•
4
•
4
•
4
•
•
•
1
1
2
2
3
3
4
4
7
7
6
6
5
•
4
1
5
2
6
3
7
4
•
7
3
6
2
5
•
•
2
2
4
4
6
6
•
•
2
2
4
4
6
•
4
2
6
4
•
6
2
•
4
2
6
4
•
6
•
•
3
3
6
6
1
1
4
4
5
5
2
2
7
•
4
3
7
6
2
1
5
4
•
5
1
2
6
7
•
•
4
4
•
•
4
4
•
•
4
4
•
•
4
•
4
4
•
•
4
4
•
•
4
4
•
•
4
4
•
•
7
7
2
2
5
5
4
4
1
1
6
6
3
•
4
7
3
2
6
5
1
4
•
1
5
6
2
3
•
•
6
6
4
4
2
2
•
•
6
6
4
4
2
•
4
6
2
4
•
2
6
•
4
6
2
4
•
2
•
•
5
5
6
6
7
7
4
4
3
3
2
2
1
⎤
•
⎥
4 ⎥
5 ⎥
1 ⎥
6 ⎥
2 ⎥
7 ⎥
3 ⎥ ,
4 ⎥
• ⎥
3
⎥
7 ⎥
2 ⎥
6 ⎥
1 ⎥
⎦
• 4 5 1 6 2 7 3 4 • 3 7 2 6 1 5
S16 ∈ H(8, 16); LOG(S16) =
= 1
8 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
4
•
4
•
4
•
4
•
4
•
4
•
4
•
•
6
4
2
•
6
4
2
•
6
4
2
•
6
4
•
2
4
6
•
2
4
6
6
•
2
4
6
•
2
•
7
6
5
4
3
2
1
•
7
6
5
4
3
2
•
3
6
1
4
7
2
5
•
3
6
1
4
7
2
•
5
2
7
4
1
6
3
•
5
2
7
4
1
6
•
1
2
3
4
5
6
7
•
1
2
3
4
5
6
•
•
•
•
5
5
5
5
4
4
4
4
1
1
1
•
4
•
4
•
4
•
4
4
•
4
•
4
•
4
•
6
4
2
•
6
4
2
4
2
•
6
4
2
•
•
2
4
6
•
2
4
6
2
4
6
•
2
4
6
•
•
•
•
1
1
1
1
4
4
4
4
5
5
5
•
4
•
4
4
•
4
•
4
•
4
•
•
4
•
•
6
4
2
4
2
•
6
4
2
•
6
•
6
4
⎤
•
⎥
2 ⎥
4 ⎥
6 ⎥
4 ⎥
6 ⎥
• ⎥
2 ⎥ ,
4 ⎥
6 ⎥
•
⎥
2 ⎥
• ⎥
2 ⎥
4 ⎥
⎦
• 4 2 4 1 5 3 7 1 • 6 • 5 4 2 6
51

F16 ∈ H(16, 16); LOG(F16) =
= 1
8 π
⎡
•
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢ •
⎢
⎣ •
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
•
2
4
6
8
10
12
14
•
2
4
6
8
10
12
•
3
6
9
12
15
2
5
8
11
14
1
4
7
10
•
4
8
12
•
4
8
12
•
4
8
12
•
4
8
•
5
10
15
4
9
14
3
8
13
2
7
12
1
6
•
6
12
2
8
14
4
10
•
6
12
2
8
14
4
•
7
14
5
12
3
10
1
8
15
6
13
4
11
2
•
8
•
8
•
8
•
8
•
8
•
8
•
8
•
•
9
2
11
4
13
6
15
8
1
10
3
12
5
14
•
10
4
14
8
2
12
6
•
10
4
14
8
2
12
•
11
6
1
12
7
2
13
8
3
14
9
4
15
10
•
12
8
4
•
12
8
4
•
12
8
4
•
12
8
•
13
10
7
4
1
14
11
8
5
2
15
12
9
6
•
14
12
10
8
6
4
2
•
14
12
10
8
6
4
⎤
•
⎥
15 ⎥
14 ⎥
13 ⎥
12 ⎥
11 ⎥
10 ⎥
9 ⎥ .
8 ⎥
7 ⎥
6
⎥
5 ⎥
4 ⎥
3 ⎥
2 ⎥
⎦
• 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
52

B
Opis użytych metod numerycznych
Poszukując nowych klas macierzy w zbiorze H6 a także nowych par MUHs używane były
algorytmy napisane w języku C. Otrzymane dane numeryczne zostały następnie "wygła-
dzone" analitycznie w Mathematice otrzymując ścisłe zależności funkcyjne między po-
szczególnymi elementami.
Poniżej przedstawione zostaną schematy ideowe i opis dwóch algorytmów. Pierwszy -
poszukujący macierzy unitarnej w zbiorze macierzy H6. I drugi - poszukujący par będą-
cych w relacji MUHs.
Algorytm 1:
#01 ZAALOKUJ PAMIĘĆ DLA 36-ELEMENTOWEJ MACIERZY ZESPOLONEJ U
−− ↓
#02 LOSUJ 25 FAZ RDZENIA MACIERZY U, POZOSTAŁE USTALONE JAKO 1
(co daje gwarancję unimodularności)
−− ↓
#03 POLICZ FUNKCJĘ CELU Z(U) ≡ ||M||F = √ Tr MM † , GDZIE M = UU † − 6
#04 → #07
#05 ZABURZ LEKKO FAZY RDZENIA I POLICZ FUNKCJĘ Z(U ′ )
−− ↓
U ′ - oznacza zaburzoną macierz U
#06 JEŻELI Z(U ′ ) < Z(U) → PODSTAW U = U ′ .
−− ↓
#07 JEŻELI Z(U) < 10 −7 → ZAPISZ WYNIK → #09
−− ↓
#08 POWTARZAJ #5 DO CZASU WYCZERPANIA LIMITU ZADANYCH ITERACJI
#09 WYCZYŚĆ PAMIĘĆ → POWRÓT DO SYSTEMU NADRZĘDNEGO
Zasada działania powyższego algorytmu sprowadza się do wielowymiarowego błądzenia
53

losowego po przestrzeni R 25 odpowiadającej rdzeniowi poszukiwanej macierzy U. Mia-
ra kolejnego kroku jest zdeterminowana przez dokładność unitarności jaką się otrzymuje
w kolejnych iteracjach - im większa dokładność tym mniejszy krok (przez krok należy
rozumieć zaburzenie wszystkich, lub tylko niektórych - przy ustaleniu pozostałych - ele-
mentów rdzenia macierzy U). Warunkiem wyboru danego kierunku w kolejnym kroku było
obniżenie wartości funkcji celu Z(U) zdefiniowanej jako funkcjonał normy Frobeniusa
Z(U) ≡ ||M||F = √ Tr MM † , (6.2)
gdzie M = UU † − 6 . W przypadku, gdy program natrafiał na minimum lokalne normy,
przy którym Z(U) było większe od zadanej z góry granicy (na przykład 10 −7 ) następowało
przywrócenie wartości początkowej kroku oraz nowe losowanie punktu startowego - czyli
25 faz. Z otrzymanej macierzy U uzyskujemy macierz Hadamarda przez przeskalowanie
H = √ 6 U.
Napisany algorytm w bardzo krótkim czasie (rzędu kilkunastu sekund) zwracał kolej-
ne macierze z dokładnością unitarności ≈ 10 −10 , co pozwalało na ich dalsze badanie przy
użyciu algebry symbolicznej.
Algorytm 2 2 :
#01 ZAALOKUJ PAMIĘĆ DLA DWÓCH MACIERZY M1, M2,
−− ↓
DWÓCH MACIERZY PERMUTACJI PL, PR,
ORAZ MACIERZY DIAGONALNEJ DF
#02 LOSUJ (LUB BIERZ KOLEJNO) PERMUTACJE PL, PR
−− ↓
#03 LOSUJ FAZY MACIERZY DF ORAZ PARAMETRY a, b, c
−− ↓
#04 POLICZ FUNKCJĘ CELU Z(M1, M2) ≡ || 1 √ 6 M †
1M2 − E|| 2 F ,
GDZIE E OZNACZA MACIERZ ZŁOŻONĄ Z SAMYCH JEDYNEK,
#05 → #08
M1 = D6(c),
M2 = DF (α1, . . . , α6) · PL · F6(a, b) · PR
#06 ZABURZ LEKKO FAZY DF ORAZ PARAMETRY a, b, c I POLICZ FUNKCJĘ Z(M ′ 1, M ′ 2)
−− ↓
′ - podobnie jak wyżej oznaczają zaburzone parametry
2 Zakładamy, że szukamy MUHs dla D6(c) oraz F6(a, b)
54

#07 JEŻELI Z(M ′ 1, M ′ 2) < Z(M1, M2) → PODSTAW DF = D ′ F , a = a ′ , . . .
−− ↓
#08 JEŻELI Z(M1, M2) < 10 −7 → ZAPISZ WYNIK → #10
−− ↓
#09 POWTARZAJ #6 DO CZASU WYCZERPANIA LIMITU ZADANYCH ITERACJI
−− ↓
#09 PO WYCZERPANIU LIMITU ITERACJI → #10 LUB #02
#10 WYCZYŚĆ PAMIĘĆ → POWRÓT DO SYSTEMU NADRZĘDNEGO
Powyższy algorytm także działa na zasadzie błądzenia losowego z tym, że dostępna prze-
strzeń ogranicza się do R 9 , co odpowiada fazom macierzy DF , oraz parametrom a, b i c.
Pozostała część jest powtórzeniem idei Algorytmu 1.
55

Bibliografia
[1] S. Bandyopadhyay, P. O. Boykin, V. Roychowdhury, F. Vatan, A new proof of the
existence of mutually unbiased bases, Algorithmica 34, 512, quant-ph/0103162 (2002)
[2] K. Beauchamp, R. Nicoara, Orthogonal maximal abelian ∗-subalgebras of the 6 × 6
matrices, preprint math.OA/0609076 (2006)
[3] J. H. Beder, Conjectures about Hadamard matrices, J. Stat. Plan. and Inference 72,
7-14 (1998)
[4] I. Bengtsson et al., MUBs and Hadamards of order six, preprint (2007)
[5] C. H. Bennet, G. Brassard, Quantum cryptography: Public key distribution and coin
tossing, IEEE, NY (1984)
[6] G. Björk, R. Fröberg, A faster way to count the solutions of inhomogeneous systems of
algebraic equations, with applications to cyclic–n–roots, J. Symbolic Comp. 12, 329-
336 (1991)
[7] A. T. Butson, Generalized Hadamard matrices, Proc. Am. Math. Soc. 13, 894-898
(1962)
[8] A. T. Butson, Relations among generalized Hadamard matrices, relative difference
sets, and maximal length linear recurring sequences, Can. J. Math. 15, 42-48 (1963)
[9] P. Dițǎ, Some results on the parametrization of complex Hadamard matrices, J. Phys.
A: Math. Gen. 37, 5355-5374 (2004)
[10] B.-G. Englert, Y. Aharonov, The mean king’s problem: Prime degrees of freedom,
Phys. Lett. A 284, 1 (2001)
[11] U. Haagerup, Orthogonal maximal abelian ∗-subalgebras of the n × n matrices and
cyclic–n–roots, Operator Algebras and Quantum Field Theory (Rome), (Cambridge,
MA: International Press) pp 296-322 (1996)
[12] J. Hadamard, Resolution d’une question relative aux determinants, Bull. Sci. Math.
17, 240-6 (1893)
[13] I. Heng, C. H. Cooke, Error correcting codes associated with complex Hadamard ma-
trices, Appl. Math. Lett. 11, 77-80 (1998)
57

[14] I. D. Ivanović, Geometrical description of quantal state determination, J. Phys. A
14, 3241-3245 (1982)
[15] A. Klappenecker, M. Rötteler, Constructions of mutually unbiased bases, Lect. Notes
Comput. Sc. 2948, 137, preprint quant-ph/0309120 (2004)
[16] A. Klappenecker and M. Rötteler, Beyond Stabilizer Codes I: Nice Error Bases. IEEE
Trans. Inform. Theory, 48, 2392–2395 (2002)
[17] E. Knill, Group representations, error bases and quantum codes, preliminary reports,
preprint: quant-ph/9608049, (1996)
[18] J. J. Sylvester, Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign-
successions, and tessellated pavements in two or more colors, with applications to
Newton s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers, Phil. Mag. 34, 461-
75 (1867)
[19] M. Petrescu, Existence of continuous families of complex Hadamard matrices of cer-
tain prime dimensions, Ph.D thesis, UCLA (1997)
[20] W. Tadej, K. Życzkowski, A concise guide to complex Hadamard matrices, Open
Systems and Infor. Dyn. 13, 133-177 (2006)
[21] W. Tadej, Permutation equivalence classes of Kronecker Products of unitary Fourier
matrices, preprint math.RA/0501233 (2005)
[22] W. Tadej et al., The defect of a unitary Fourier matrix, preprint (2006)
[23] T. Tao, Fuglede’s conjecture is false in 5 and higher dimensions, Math. Res. Letters
11, 251-258 (2004)
[24] L. Vaidman, Y. Aharonov, D. Z. Albert, How to ascertain the values of σx, σy and
σz, Phys. Rev. Lett., 58, 1385-1387 (1987)
[25] R. F. Werner, All teleportation and dense coding schemes, J. Phys. A: Math. Gen.
34 7081-94 (2001)
[26] P. Wocjan, T. Beth, New Construction of MUBs in Square Dimensions, IAKS, quant-
ph/0407081 (2004)
[27] W. K. Wootters, B. D. Fields, Optimal state-determination by mutually unbiased
measurements, Ann. Phys. (N. Y.) 191, 363-381 (1981)
[28] A. Wójcik, A. Grudka, R. Chhajlany, Generation of inequivalent generalized Bell
bases, Quant. Inf. Proc. 2, 201-206 (2003)
58