Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Zespolone macierze Hadamarda a zbior baz optymalnych pomiarow ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Uniwersytet Jagielloński<br />
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej<br />
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego<br />
Wojciech T. Bruzda<br />
<strong>Zespolone</strong> <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong><br />
a zbiór <strong>baz</strong> <strong>optymalnych</strong><br />
pomiarów kwantowych<br />
Praca magisterska napisana<br />
pod kierunkiem<br />
Profesora Karola Życzkowskiego<br />
Kraków 2006
.<br />
2
Pragnę podziękować panu Profesorowi Karolowi Życzkowskiemu<br />
za wyrozumiałość, cierpliwość i pomoc okazaną<br />
3<br />
w trakcie pisania tej pracy
Spis treści<br />
Wstęp 7<br />
1 Definicje używane w pracy 9<br />
1.1 Notacja używana w tekście . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.2 Macierze <strong>Hadamarda</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2.1 Klasyczna definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2.2 Macierze typu "log-Hadamard" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.2.3 Równoważność macierzy <strong>Hadamarda</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.2.4 Postać odfazowana oraz rdzeń macierzy <strong>Hadamarda</strong> . . . . . . . . . 12<br />
1.2.5 Macierze izolowane oraz defekt macierzy . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.2.6 Ciągłe rodziny macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.3 MUHs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.4 MUBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2 Macierze <strong>Hadamarda</strong> w fizyce 17<br />
2.1 Pomiar kwantowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.2 MUBs oraz <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . 17<br />
2.3 Warunki istnienia MUBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.4 Przykład konstrukcji MUBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
3 Opis <strong>zbior</strong>u macierzy <strong>Hadamarda</strong> o wymiarze N = 6 21<br />
3.1 Uogólniona macierz Fouriera - F6(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.2 Macierz D6(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.3 Macierz typu "cyclic-6-roots" - C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.4 Macierz spektralna - S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
4 Wyniki numeryczne 25<br />
4.1 Nowa klasa macierzy B6(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
4.2 Nowa para wzajemnie nieobciążonych macierzy <strong>Hadamarda</strong> . . . . . . . . . 30<br />
5 Wyniki analityczne 33<br />
5.1 Dekompozycja spektralna macierzy cyklicznej . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
5.2 Kolejna para MUHs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
5
6 Podsumowanie 37<br />
6.1 Odnaleziona nowa klasa B6(t) oraz heterogeniczne pary MUHs . . . . . . . 37<br />
6.2 Problemy otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
Dodatek A: Katalog macierzy Butsona 39<br />
Dodatek B: Opis użytych metod numerycznych 53<br />
Bibliografia 57<br />
6
Wstęp<br />
Historia macierzy <strong>Hadamarda</strong> ma swój początek w roku 1867, kiedy Sylvester postawił<br />
w swojej pracy [18] problem parkietaży. Rozważał on <strong>macierze</strong> posiadające wzajemnie<br />
ortogonalne wiersze i kolumny. Dwadzieścia sześć lat później Hadamard rozwiązał słynny<br />
problem mówiący o tym, że dla dowolnej macierzy zespolonej H wymiaru N × N o ele-<br />
mentach spełniających warunek: |[H]j, k| 1 zachodzi | det H| exp( N ln N), przy czym<br />
2<br />
nierówność wysyca się dla macierzy Vandermonde’a składającej się z pierwiastków N-<br />
tego stopnia z jedności [12]. Okazuje się, że <strong>macierze</strong> posiadające maksymalny (w sensie<br />
wartości bezwzględnej) wyznacznik, których elementy należą do <strong>zbior</strong>u {1, −1} zawierają<br />
się także w klasie macierzy opisywanych przez Sylvestera. Historycznie noszą one nazwę<br />
macierzy <strong>Hadamarda</strong>.<br />
W momencie intensywnego rozwoju mechaniki kwantowej okazało się, że <strong>macierze</strong> Ha-<br />
darmarda odgrywają w niej kluczową rolę. Przeskalowane przez 1/ √ N w celu uzyskania<br />
unitarności wykorzystywane są optyce kwantowej jako symetryczne multiporty, a także<br />
przy tworzeniu modeli spinowych. Stanowią podstawę do konstrukcji tzw. <strong>baz</strong> wzajem-<br />
nie nieobciążonych w przestrzeni Hilberta, w których pomiar kwantowy jest obarczony<br />
najmniejszą niepewnością. W teorii kwantowej kryptografii używane są w protokołach<br />
dystrybucji klucza publicznego.<br />
<strong>Zespolone</strong> <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> są ponadto związane z wieloma zagadnieniami czystej<br />
matematyki. Są <strong>baz</strong>ą do konstrukcji *-subalgebr w skończonych algebrach von Neumanna.<br />
Służą do analizowania bi-unimodularnych ciągów lub znajdowania tzw. "cyclic-N-roots"<br />
[6] oraz <strong>zbior</strong>ów ekwiangularnych linii, czyli prostych, z których każda para przecina się<br />
pod jednakowym kątem. Z macierzy tych konstruuje się także tablice korekcji błędów<br />
używane w teorii informacji [13], [17].<br />
Celem niniejszej pracy jest próba znalezienia zarówno zespolonych macierzy Hadamar-<br />
da, nie znanych w obecnej literaturze przedmiotu, jak również poszukiwanie nowych par<br />
nieobciążonych macierzy <strong>Hadamarda</strong>.<br />
Pierwszy rozdział pracy stanowi wprowadzenie do notacji używanej w dalszej części oraz<br />
zawiera wszystkie główne definicje i twierdzenia niezbędne do zrozumienia tytułowego<br />
problemu. Rozdział drugi stara się przybliżyć sens zajmowania się tematyką macierzy<br />
<strong>Hadamarda</strong> we współczesnej fizyce - w szczególności w mechanice kwantowej. Czytelnik<br />
7
zauważy zapewne, iż część ze wspomnianych tam tematów stanowić będą problemy otwar-<br />
te, co świadczy o nietrywialności zagadnienia mimo bardzo prostego języka w jakim są<br />
sformułowane. W rozdziale trzecim przedstawiony został szczegółowo zbiór macierzy Ha-<br />
damarda o wymiarze N = 6, w stanie jakim był znany do maja br. Kolejne dwa rozdziały<br />
to część główna tej pracy, czyli opis wyników numerycznych i analitycznych jakie udało się<br />
uzyskać badając <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong>. I ostatni - szósty - rozdział jest podsumowaniem<br />
i komentarzem do całości pracy.<br />
Praca ta stanowi przyczynek do większego projektu jakim jest Katalog Zespolonych Ma-<br />
cierzy <strong>Hadamarda</strong> [20], przy tworzeniu którego współpracowałem:<br />
http://chaos.if.uj.edu.pl/~karol/hadamard,<br />
w skład którego wchodzi także katalog macierzy typu Butsona, który umieściłem w do-<br />
datku do tej pracy.<br />
Pisząc pracę korzystałem z uprzejmości Ingemara Bengtssona oraz Remusa Nicoary, któ-<br />
rzy udostępnili mi swoje nieopublikowane jeszcze preprinty.<br />
8
Rozdział 1<br />
Definicje używane w pracy<br />
1.1 Notacja używana w tekście<br />
Aby ułatwić zapis pewnych operacji na macierzach, w dalszej części tekstu będą używane<br />
następujące oznaczenia:<br />
symbol ◦ będzie oznaczał iloczyn <strong>Hadamarda</strong> (Kroneckera) dwóch macierzy<br />
[H1 ◦ H2]j, k = [H1]j, k · [H2]j, k, (1.1)<br />
natomiast symbol EXP - wartość eksponenty na poszczególnych elementach macierzy<br />
<br />
EXP(H) <br />
W sposób analogiczny zdefiniowana zostanie operacja LOG jako<br />
j, k<br />
gdzie H jest dowolną macierzą kwadratową.<br />
<br />
= exp [H]j, k . (1.2)<br />
H = LOG(i EXP(H)), (1.3)<br />
Dla dowolnej liczby zespolonej z ∈ C, z będzie oznaczać jej sprzężenie zespolone. Przy<br />
założeniu, że |z| = 1 symbol kreski nad liczbą z jest równoważny ułamkowi 1/z.<br />
Ponadto, aby uzyskać przejrzystość zapisu, symbol • będzie oznaczać 0 (zero).<br />
Definicje przedstawione w tym rozdziale opracowano na podstawie [11], [20].<br />
9
1.2 Macierze <strong>Hadamarda</strong><br />
1.2.1 Klasyczna definicja<br />
Definicja 1.2.1. Macierz kwadratową H wymiaru N, której wszystkie elementy są uni-<br />
modularne |[H]j, k| 2 = 1, nazywamy macierzą <strong>Hadamarda</strong>, gdy spełniony jest warunek<br />
HH † = N , (1.4)<br />
gdzie † oznacza sprzężenie hermitowskie natomiast - macierz identyczności wymiaru N.<br />
Można wyróżnić:<br />
a) rzeczywiste <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong>, [H]j, k ∈ R,<br />
b) <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> typu Butsona H(q, N), dla których q [H]j, k = 1,<br />
c) zespolone 1 <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong>, [H]j, k ∈ C.<br />
Symbolem HN oznaczany będzie zbiór wszystkich macierzy <strong>Hadamarda</strong> o wymiarze N.<br />
Klasycznym przykładem macierzy <strong>Hadamarda</strong> jest macierz Fouriera postaci<br />
<br />
FN<br />
j, k<br />
dla j, k = 1, . . . , N, czyli w przypadku N = 6<br />
gdzie w = exp( 1<br />
3<br />
π i).<br />
⎢<br />
F6 = ⎢<br />
⎣<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 π i (j − 1) (k − 1)<br />
= exp ⎝ ⎠, (1.5)<br />
N<br />
⎡<br />
1 1 1 1 1 1<br />
1 w 1 w 2 −1 w 4 w 5<br />
1 w 2 w 4 1 w 2 w 4<br />
1 −1 1 −1 1 −1<br />
1 w 4 w 2 1 w 4 w 2<br />
1 w 5 w 4 −1 w 2 w 1<br />
⎤<br />
⎥ , (1.6)<br />
⎥<br />
⎦<br />
1 Dalsza część pracy dotyczyć będzie w ogólności zespolonych macierzy <strong>Hadamarda</strong>, które zawierają<br />
obie pozostałe klasy macierzy.<br />
10
Macierze Butsona 2 zdefiniowane w (1.2.1.b) stanowią ważną i ciekawą klasę zespolonych<br />
macierzy <strong>Hadamarda</strong>.<br />
Rzeczywiste <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> mogą być uogólniane na różne sposoby. Butson zapro-<br />
ponował zbiór H(q, N) macierzy <strong>Hadamarda</strong> wymiaru N, których elementy są pierwiast-<br />
kami q−tego stopnia z jedności [7], [8]. Zatem H(2, N) reprezentuje zbiór rzeczywistych<br />
macierzy <strong>Hadamarda</strong>, natomiast H(4, N) - zbiór macierzy <strong>Hadamarda</strong> o elementach ±1<br />
lub ±i.<br />
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wtedy zbiór H(p, N) jest niepusty o ile wymiar N = mp przy<br />
pewnej liczbie naturalnej m [7]. Istnieje przypuszczenie, że <strong>macierze</strong> tego typu istnieją<br />
dla każdego wymiaru [3]. W najprostszym przypadku dla m = 1 zbiór H(N, N) = ⊘<br />
dla każdego wymiaru N, a jego oczywistymi elementami są <strong>macierze</strong> Fouriera (1.5),<br />
FN ∈ H(N, N).<br />
1.2.2 Macierze typu "log-Hadamard"<br />
Zapisując <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> często wygodnie jest używać notacji wykładniczej w po-<br />
staci<br />
[H]j, k = exp <br />
<br />
i · [ΦH]j, k , (1.7)<br />
gdzie fazy [ΦH]j, k ∈ [0, 2 π). Na przykład rozważanej wcześniej macierzy F6 (1.6) będzie<br />
odpowiadać macierz faz postaci<br />
H(6, 6) ∋ F6 ←→ ΦF6 = π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
3 ⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
•<br />
2<br />
4<br />
•<br />
2<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
•<br />
4<br />
2<br />
•<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥ .<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
(1.8)<br />
• 5 4 3 2 1<br />
1.2.3 Równoważność macierzy <strong>Hadamarda</strong><br />
Definicja 1.2.2. Dwie <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> H1 and H2 nazywamy równoważnymi,<br />
pisząc H1 H2, jeśli istnieją unitarne <strong>macierze</strong> diagonalne D1, D2 oraz <strong>macierze</strong> permu-<br />
tacji P1, P2 takie, że<br />
H1 = D1 · P1 · H2 · P2 · D2. (1.9)<br />
Problem rozstrzygnięcia, czy dane dwie <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> są równoważne nie jest pro-<br />
2 Więcej informacji o macierzach Butsona wraz z katalogiem ich głównych reprezentantów można<br />
znaleźć w Dodatku A.<br />
11
sty i staje się uciążliwy podczas prób identyfikacji nowych klas macierzy <strong>Hadamarda</strong> -<br />
patrz Rozdział 4.<br />
1.2.4 Postać odfazowana oraz rdzeń macierzy <strong>Hadamarda</strong><br />
Definicja 1.2.3. Macierz <strong>Hadamarda</strong> jest w postaci odfazowanej, gdy jej pierwszy<br />
wiersz i pierwsza kolumna składają się tylko z jedynek;<br />
[H]1, j = [H]j, 1 = 1 dla j = 1, . . . , N. (1.10)<br />
Każdą macierz można doprowadzić do postaci odfazowanej mnożąc ją z lewej i/lub z pra-<br />
wej strony przez odpowiednio dobrane <strong>macierze</strong> diagonalne.<br />
Dwie <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong>, które mają taką samą postać odfazowaną są równoważne.<br />
Zatem całkowitą informację o postaci macierzy można uzyskać jedynie z elementów ma-<br />
cierzy (N −1)-wymiarowej, leżących poza pierwszym wierszem i pierwszą kolumną - w tak<br />
zwanym rdzeniu macierzy.<br />
W dalszej części używane będą (poza jednym wyjątkiem) wyłącznie <strong>macierze</strong> w postaci<br />
odfazowanej.<br />
1.2.5 Macierze izolowane oraz defekt macierzy<br />
Definicja 1.2.4. Macierz <strong>Hadamarda</strong> H jest nazywana macierzą izolowaną, jeżeli ist-<br />
nieje takie otoczenie W macierzy H, w którym nie istnieje żadna inna taka macierz.<br />
Przez otoczenie macierzy należy rozumieć macierz, której elementy powstają z wyjściowej<br />
macierzy poprzez infinitezymalne zaburzenia.<br />
Definicja 1.2.5. Defektem d(H) dla N-wymiarowej macierzy <strong>Hadamarda</strong> H nazywamy<br />
wymiar przestrzeni generowanej przez rozwiązania układu rzeczywistych równań liniowych<br />
ze zmienną macierzową R ∈ R N×N<br />
R1, k = 0 k ∈ {2, . . . , N} (1.11)<br />
Rj, 1 = 0 j ∈ {1, . . . , N} (1.12)<br />
N<br />
Hj, nHk, n (Rj, n − Rk, n) = 0 1 j < k N (1.13)<br />
n=1<br />
Defekt jest wielkością mogącą posłużyć do określenia czy dana macierz <strong>Hadamarda</strong> jest<br />
punktem izolowanym w przestrzeni HN. Można udowodnić następujący fakt:<br />
Lemat 1.2.6. Macierz <strong>Hadamarda</strong> H jest punktem izolowanym, gdy defekt d(H) = 0.<br />
Nie jest to warunek konieczny i wystarczający na orzeczenie, czy dana macierz jest izolowa-<br />
na, jednakże pozwala przypuszczać, czy należy ona do pewnej rodziny. Ilość parametrów,<br />
od których zależy taka rodzina jest co najwyżej równa defektowi macierzy.<br />
12
1.2.6 Ciągłe rodziny macierzy<br />
Poza punktami izolowanymi w przestrzeni HN istnieją także klasy macierzy <strong>Hadamarda</strong><br />
zależne od <strong>zbior</strong>u pewnej ilości parametrów. Rozróżniamy wśród nich rodziny afiniczne<br />
oraz rodziny nieafiniczne.<br />
Definicja 1.2.7. Afiniczna rodzina 3 macierzy <strong>Hadamarda</strong> generowana przez N-wy-<br />
miarową macierz <strong>Hadamarda</strong> H jest <strong>zbior</strong>em macierzy spełniających warunek (1.4), które<br />
zależą od dodatkowych parametrów należących do podprzestrzeni R przestrzeni wszystkich<br />
rzeczywistych N-wymiarowych macierzy mających zera w pierwszym wierszu i w pierwszej<br />
kolumnie,<br />
H(R) = {H ◦ EXP(i R) : R ∈ R}. (1.14)<br />
Oznaczając rodziny afiniczne stosuje się zapis H(α1, . . . , αm) jeżeli R należy do m-wymia-<br />
rowej przestrzeni, której <strong>baz</strong>ą jest R1, . . . , Rm. Wtedy także H(α1, . . . , αm) oznacza ele-<br />
ment takiej rodziny<br />
H(α1, . . . , αm) = H(R) def<br />
= H ◦ EXP(i R) (1.15)<br />
gdzie R = α1 · R1 + . . . + αm · Rm.<br />
Istnieją także przypadki rodzin nieafinicznych, gdzie zmiany wolnych parametrów 4 nie<br />
mają charakteru liniowego - są na przykład skomplikowanymi funkcjami trygonometrycz-<br />
nymi [19].<br />
Przykładowo rozważmy macierz Fouriera F4 ∈ H(4, 4) ⊂ H4, którą można uogólnić two-<br />
rząc z niej jednowymiarową rodzinę afiniczną zależną od parametru α ∈ [0, 2 π)<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 1<br />
F4 −→ F4(α) = ⎢<br />
⎣ 1<br />
1<br />
i · exp(i α)<br />
−1<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
⎤<br />
1<br />
⎥<br />
−i · exp(i α) ⎥ ,<br />
−1 ⎥<br />
⎦<br />
(1.16)<br />
1 −i · exp(i α) −1 i · exp(i α)<br />
podczas, gdy macierz F5 jest "tylko" punktem izolowanym w przestrzeni H5 [11].<br />
3 Często też używa się nazwy afiniczna orbita.<br />
4 Zwane także fazami.<br />
13
1.3 MUHs<br />
Definicja 1.3.1. Dwie <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> H1 oraz H2 wymiaru N nazywamy ma-<br />
cierzami wzajemnie nieobciążonymi (Mutually Unbiased Hadamards 5 ), wtedy i tylko<br />
wtedy, gdy<br />
1<br />
√ N H †<br />
1H2 ∈ HN. (1.17)<br />
Definicję tę można ugólnić na dowolny skończony zbiór macierzy, wtedy każda para tego<br />
<strong>zbior</strong>u musi spełniać warunek (1.17). Rozważając MUHs rozróżnia się dwa ich typy.<br />
Definicja 1.3.2. Para macierzy H1 oraz H2 jest homogeniczna (jednorodna), gdy obie<br />
<strong>macierze</strong> są równoważne. W przeciwnym przypadku mówimy o macierzach heterogenicz-<br />
nych (niejednorodnych).<br />
Klasyczna konstrukcja MUHs opiera się na macierzach Fouriera.<br />
Zdefiniujmy macierz diagonalną<br />
<br />
2<br />
[DN]j, k = δj, k exp<br />
N (j − 1)2 <br />
π i , j, k ∈ {1, 2, . . . , N} (1.18)<br />
A następnie ciąg macierzy (Hj) j=1,2,...,N<br />
Hj = D j−1<br />
N H1, (1.19)<br />
przy czym H1 = FN jest macierzą Fouriera postaci (1.5). Można udowodnić następujący<br />
lemat:<br />
Lemat 1.3.3. Dla j = k zachodzi równoważność<br />
1<br />
N H†<br />
j Hk ∈ HN ⇐⇒ N jest liczbą pierwszą. (1.20)<br />
A zatem, gdy N jest liczbą pierwszą, to N elementowy zbiór macierzy {H1, . . . , HN} dany<br />
wzorem (1.19) stanowi przykład N homogenicznych MUHs.<br />
5 W dalszej części będzie używany skrót MUHs.<br />
14
1.4 MUBs<br />
W dalszym ciągu będziemy rozważali skończenie wymiarową przestrzeń Hilberta C N ze<br />
standardowym iloczynem skalarnym a wektory tej przestrzeni będziemy oznaczać używa-<br />
jąc notacji Diraca.<br />
Definicja 1.4.1. Dwie ortogonalne <strong>baz</strong>y B1 oraz B2 przestrzeni Hilberta C N nazywamy<br />
<strong>baz</strong>ami wzajemnie nieobciążonymi (Mutually Unbiased Bases 6 ), wtedy i tylko wtedy,<br />
gdy<br />
dla każdego wektora |φ〉 ∈ B1 oraz |ψ〉 ∈ B2.<br />
|〈φ|ψ〉| 2 = 1<br />
N<br />
(1.21)<br />
Mając zbiór k macierzy <strong>Hadamarda</strong> {H1, . . . , Hk} o wymiarze N będących w relacji MUHs<br />
można utworzyć z nich zbiór (k + 1) MUBs w następujący sposób<br />
{, 1<br />
√ N H1, . . . , 1<br />
√ N Hk}, (1.22)<br />
gdzie kolejne kolumny macierzy stanowią elementy <strong>baz</strong>y przestrzeni C N .<br />
6 W dalszej części będzie używany skrót MUBs.<br />
15
Rozdział 2<br />
Macierze <strong>Hadamarda</strong> w fizyce<br />
2.1 Pomiar kwantowy<br />
Podstawą fizyki jest pomiar. Żadna teoria fizyczna nie ma większego sensu, jeżeli nie zosta-<br />
nie potwierdzona w serii niezależnych doświadczeń. Jak wiadomo w mechanice kwantowej<br />
istotą pomiaru rządzi tzw. zasada nieoznaczoności Heisenberga mówiąca o tym, że dla<br />
każdego stanu kwantowego |ψ〉 zachodzi nierówność<br />
〈(δ Â)2 〉〈(δ ˆ B) 2 〉 − 1<br />
4 〈Â, ˆ B <br />
〉 2 , (2.1)<br />
gdzie wartości średnie obliczone są w stanie |ψ〉, natomiast δ jest odchyleniem od wartości<br />
średniej dla danego operatora hermitowskiego. Oznacza to, że dwie wielkości kwantowe są<br />
jednocześnie mierzalne, gdy odpowiadające im operatory komutują. W przeciwnym razie<br />
niepewności <strong>pomiarow</strong>e powodują, że wyniki doświadczenia tracą sens. Na przykład nie<br />
jest możliwym pomiar trzech składowych spinu elektronu, gdyż jak wiadomo komutator<br />
wszystkich par operatorów spinu (macierzy σi Pauliego) jest wielkością niezerową.<br />
2.2 MUBs oraz <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> w mechanice kwan-<br />
towej<br />
Okazuje się jednak, że przykładowo w kwestii wspomnianych wcześniej spinów, (a tak-<br />
że w innych przypadkach, gdzie mamy do czynienia z brakiem komutacji operatorów),<br />
jest możliwe dość dokładne przewidzenie rezultatu pomiaru wszystkich składowych danej<br />
wielkości. Problem ten znany w literaturze pod nazwą Mean King’s Problem został po-<br />
stawiony i rozwiązany w [24]. W przypadku cząstki o spinie 1/2 do pomiaru wykorzystuje<br />
się jedną z trzech <strong>baz</strong> złożonych ze stanów własnych operatorów spinu σi. W wyższym<br />
wymiarze N naturalnym rozszerzeniem tej konstrukcji jest zbiór (N + 1) MUBs [10].<br />
MUBs odgrywają kluczową rolę w opisie stanów kwantowych. Dany stan |ψ〉 pewnego<br />
N−wymiarowego zespołu kwantowego charakteryzuje (N 2 − 1) elementów jego macierzy<br />
17
gęstości. Chcąc poznać te parametry należy dokonać serii co najmniej (N + 1) ortogo-<br />
nalnych pomiarów, z których otrzyma się (N − 1) rzeczywistych parametrów. Oczywiście<br />
każdy pomiar powinien nieść ze sobą niezależną od innego informację. Ten ostatni waru-<br />
nek jest zagwarantowany wtedy, gdy każdy z kolejnych pomiarów dokonuje się względem<br />
innej <strong>baz</strong>y wybranej z MUBs [27].<br />
MUBs jeszcze inne zastosowanie znajdują w kwantowej kryptografii. W szczególności w al-<br />
gorytmie BB84 opisującym protokół Kwantowej Dystrybucji Klucza (QKD) [5].<br />
Same <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong> w mechanice kwantowej mogą posłużyć do konstrukcji [25]:<br />
a) Baz operatorów unitarnych, czyli <strong>zbior</strong>u wzajemnie ortogonalnych operatorów<br />
N 2<br />
unitarnych {Uk} k=1 takich, że Uk ∈ U(N) oraz Tr U †<br />
k Ul = N δk, l dla k, l = 1, . . . , N 2 ,<br />
N 2<br />
b) Baz stanów maksymalnie splątanych, jakim jest przykładowo zbiór {|Ψk〉} k=1,<br />
gdzie każdy element |Ψk〉 należy do złożonej (w sensie iloczynu tensorowego) przestrzeni<br />
Hilberta ze zdefiniowaną operacją częściowego śladu TrN(|Ψk〉〈Ψk|) = /N oraz przy za-<br />
łożeniu wzajemnej ortogonalności 〈Ψk|Ψl〉 = δk, l [28],<br />
N 2<br />
c) Depolaryzatorów unitarnych, reprezentowanych przez zbiór {Uk} k=1, przy czym<br />
dla każdego ograniczonego liniowego operatora A zachodzi<br />
N 2<br />
<br />
k=1<br />
U †<br />
k A Uk = N Tr A . (2.2)<br />
Problemy a)-c) są równoważne w tym sensie, że znalezienie rozwiązania jednego z nich au-<br />
tomatycznie rozwiązuje pozostałe, a także odpowiadający im problem teleportacji kwan-<br />
towej lub tzw. algorytmy gęstego kodowania [25]. W szczególności <strong>macierze</strong> <strong>Hadamarda</strong><br />
są użyteczne przy konstrukcji specjalnych klas <strong>baz</strong> związanych z abstrakcyjnymi grupami<br />
matematycznymi znanymi w literaturze pod nazwą "Nice error basis" [16], [17].<br />
2.3 Warunki istnienia MUBs<br />
Maksymalna ilość MUBs w przestrzeni o wymiarze N 1, to (N + 1). Konstrukcja tych<br />
<strong>baz</strong> jest związana matematyczną teorią liczb. Opiera się ona na fakcie istnienia ciał skoń-<br />
czonych o N elementach, które ma miejsce jak wiadomo tylko w przypadku, gdy N jest<br />
potęgą liczby pierwszej. Dla przestrzeni o takim właśnie wymiarze możliwe jest skon-<br />
struowanie maksymalnego zestawu MUBs. Problem ten nie jest dotychczas rozwiązany<br />
dla wymiarów będących liczbą złożoną. Można jedynie oszacować [1], że dla przestrzeni,<br />
której wymiar jest iloczynem N = n1n2, maksymalna liczba MMUBs(N) MUBs spełnia<br />
warunek<br />
MMUBs(N) min{MMUBs(n1), MMUBs(n2)}. (2.3)<br />
18
W szczególności N = 6 jest najmniejszym wymiarem, dla którego to pytanie pozostaje<br />
wciąż otwarte.<br />
2.4 Przykład konstrukcji MUBs<br />
Klasyczną konstrukcję MUBs dla przestrzeni, której wymiar jest liczbą pierwszą przedsta-<br />
wił w swojej pracy Ivanović [14]. Podobne konstrukcje dla wymiarów będących kwadratem<br />
liczby pierwszej można także znaleźć w literaturze [15], [27]. Dla pozostałych przestrze-<br />
ni udało się osiągnąć dotychczas jedynie cząstkowe wyniki. Przykładowo przedstawiona<br />
zostanie taka konstrukcja dla przestrzeni o wymiarze będącym kwadratem dowolnej - nie-<br />
koniecznie pierwszej - liczby.<br />
Załóżmy, że mamy pewną macierz <strong>Hadamarda</strong> H wymiaru N = n 2 dla n > 1, której<br />
kolejne kolumny oznaczone są symbolem h ∈ C n . Ponadto niech m ∈ {0, 1} N będzie<br />
pewnym - wybranym w sposób szczególny - wektorem, tzw. wektorem incydencji ściśle<br />
powiązanym ze <strong>zbior</strong>em kwadratów łacińskich dla danego wymiaru, którego ilość elemen-<br />
tów niezerowych (support) jest równa n. Zdefiniujmy następującą operację [26]<br />
N<br />
h ↑ m ≡ h[k]|sk〉, (2.4)<br />
k=1<br />
gdzie h[k] oznacza k-ty element wektora h natomiast posortowane rosnąco elementy |sk〉<br />
wskazujące support wektora m stanowią standardową <strong>baz</strong>ę C N . Mniej formalnie ↑ ozna-<br />
cza przemnożenie kolejnych jedynek wektora m przez kolejne elementy wektora h.<br />
Mając odpowiedni zbiór M takich wektorów m ostatecznie konstruuje się M <strong>zbior</strong>ów<br />
(dla b = 1, . . . , M) wzajemnie ortogonalnych <strong>baz</strong> w przestrzeni C N<br />
Bb ≡ { 1<br />
√ (hl ↑ mbi ) | l = 1, . . . , N, i = 1, . . . , N}, (2.5)<br />
N<br />
które dla b = b ′ implikują warunek MUBs.<br />
Należy zaznaczyć, że jest to tylko szczególna, przykładowa konstrukcja nie sprawdzająca<br />
się w przestrzeniach o dowolnym wymiarze.<br />
19
Rozdział 3<br />
Opis <strong>zbior</strong>u macierzy <strong>Hadamarda</strong><br />
o wymiarze N = 6<br />
W pracy uwaga została skoncentrowana na macierzach o wymiarze N = 6, gdyż jest to<br />
najmniejszy wymiar, dla którego problem istnienia MUBs pozostaje otwarty. Rozdział ten<br />
jest poświęcony opisowi wszystkich klas macierzy <strong>Hadamarda</strong> H6 znanych do maja br.<br />
Nowo znaleziona klasa, która uogólnia dwie z poniższych, zostanie szczegółowo przedsta-<br />
wiona w następnym rozdziale.<br />
3.1 Uogólniona macierz Fouriera - F6(a, b)<br />
Klasyczną macierz Fouriera wspomnianą już wcześniej we wzorze (1.6) można uogólnić<br />
na 2-wymiarową rodzinę afiniczną zależną od paremetrów a, b ∈ [0, 2 π)<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
F6(a, b) = ⎢<br />
⎣<br />
1<br />
w<br />
1 1 1 1<br />
1 · exp(i a) w2 · exp(i b) w3 w4 · exp(i a) w5 1 w<br />
· exp(i b)<br />
2 w4 1 w2 w4 1 w3 · exp(i a) exp(i b) w3 exp(i a) w3 1 w<br />
· exp(i b)<br />
4 w2 1 w4 w2 1 w5 · exp(i a) w4 · exp(i b) w3 w2 exp(i a) w1 ⎤<br />
⎥ ,<br />
⎥<br />
⎦<br />
(3.1)<br />
· exp(i b)<br />
gdzie w = exp( 1<br />
3<br />
Innymi słowy<br />
π i).<br />
gdzie F6 jest postaci (1.6), natomiast<br />
F6(a, b) = F6 ◦ EXP(i RF6), (3.2)<br />
21
RF6 =<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
a<br />
•<br />
a<br />
•<br />
•<br />
b<br />
•<br />
b<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
a<br />
•<br />
a<br />
•<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
b ⎥<br />
• ⎥ .<br />
b ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
(3.3)<br />
• a b • a b<br />
W przypadku a = b = 0 otrzymujemy na powrót klasyczną macierz Fouriera.<br />
3.2 Macierz D6(c)<br />
Kolejna klasa macierzy, której twórcą jest P. Dițǎ [9] ma postać<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 1<br />
⎢ 1<br />
D6(c) = ⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣ 1<br />
1<br />
−1<br />
i<br />
−i<br />
−i<br />
1<br />
i<br />
−1<br />
i · exp(− i c)<br />
−i · exp(− i c)<br />
1<br />
−i<br />
i · exp(i c)<br />
−1<br />
i<br />
1<br />
−i<br />
−i · exp(i c)<br />
i<br />
−1<br />
⎤<br />
1<br />
⎥<br />
i ⎥<br />
−i ⎥ ,<br />
−i · exp(− i c) ⎥<br />
i · exp(− i c) ⎥<br />
⎦<br />
1 i −i −i · exp(i c) i · exp(i c) −1<br />
(3.4)<br />
stanowi więc 1-wymiarową rodzinę afiniczną macierzy <strong>Hadamarda</strong> zależną od parame-<br />
tru c ∈ [0, 2 π).<br />
3.3 Macierz typu "cyclic-6-roots" - C6<br />
Innym elementem <strong>zbior</strong>u H6 jest tzw. macierz "cyclic-6-roots"<br />
⎡<br />
1 1 1 1 1 1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
C6 = ⎢<br />
⎣<br />
−1 −d −d2 d2 1 −d<br />
d<br />
−1 1 d2 −d3 d2 1 −d−2 d−2 −1 d2 −d2 1 d−2 −d−3 d−2 1 −d<br />
1 d−1 d−2 −d−2 −d−1 −1<br />
gdzie element d jest pierwiastkiem równania<br />
⎤<br />
⎥ , (3.5)<br />
⎥<br />
⎦<br />
d 2 − (1 − √ 3) d + 1 = 0, (3.6)<br />
22
czyli<br />
d = 1 − √ 3<br />
2<br />
⎛√<br />
⎞<br />
3<br />
+ i · ⎝ ⎠<br />
2<br />
1/2<br />
. (3.7)<br />
Nazwa macierzy staje się jasna, gdy rozważy się jej postać nie odfazowaną, w której<br />
widoczna jest cykliczna rotacja sześciu elementów<br />
⎡<br />
⎢<br />
˜C6<br />
⎢<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
1 i d −d −i −d −1 i d −1<br />
i d −1 1 i d −d −i −d −1<br />
−d −1 i d −1 1 i d −d −i<br />
−i −d −1 i d −1 1 i d −d<br />
−d −i −d −1 i d −1 1 i d<br />
i d −d −i −d −1 i d −1 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(3.8)<br />
Więcej na temat konstrukcji macierzy typu "cyclic-N-roots", o wymiarach N > 6, co<br />
wychodzi poza tematykę tej pracy, można znaleźć w [6], [11].<br />
3.4 Macierz spektralna - S6<br />
Ostatnim znanym reprezentantem 6-wymiarowych zespolonych macierzy <strong>Hadamarda</strong> za-<br />
proponowanym przez T. Tao w roku 2004 [23] jest macierz spektralna<br />
gdzie w = exp( 2<br />
3<br />
π i).<br />
⎡<br />
⎢<br />
S6 = ⎢<br />
⎣<br />
1 1 1 1 1 1<br />
1 1 w w w 2 w 2<br />
1 w 1 w 2 w 2 w<br />
1 w w 2 1 w w 2<br />
1 w 2 w 2 w 1 w<br />
1 w 2 w w 2 w 1<br />
Macierz Tao 1 jest punktem izolowanym w przestrzeni H6.<br />
⋆ ⋆ ⋆<br />
⎤<br />
⎥ , (3.9)<br />
⎥<br />
⎦<br />
Zauważmy, że trzy z powyższych klas przynależą do następujących typów Butsona: F6(a, b) ∈<br />
H(6, 6), D6(c) ∈ H(4, 6), S6 ∈ H(3, 6) - patrz Dodatek A.<br />
1 W trakcie przygotowywania tej pracy ogłoszono wiadomość, że Terence Tao otrzymał w roku 2006<br />
medal Fieldsa. Omawiając jego różnorakie osiągnięcia w matematyce nie wymieniono jednakże odkrycia<br />
macierzy S6.<br />
23
Rozdział 4<br />
Wyniki numeryczne<br />
Do niedawna wydawało się, że poszczególne klasy macierzy przedstawionych w poprzed-<br />
nim rozdziale stanowią odrębne obiekty w przestrzni H6. W szczególności oznaczało to, że<br />
żadnego reprezentanta danej klasy nie da się przedstawić - stosując operacje permutacji<br />
wierszy i kolumn oraz dofazowania macierzami diagonalnymi - jako macierzy z klasy innej.<br />
Jakkolwiek pewne było to, że jedynie macierz S6 stanowi punkt izolowany, tak dla ca-<br />
łej reszty istniało silne przypuszczenie, iż każda z nich być może należy do jakiejś ogólnej<br />
wielowymiarowej orbity. Potwierdzały te przypuszczenia numerycznie wyliczone wartości<br />
defektu, który dla F6(a, b), D6(c) oraz C6 ma wartość 4.<br />
Postać macierzy sugerowała, że hipotetyczna rodzina wielo- (co najwyżej 4-) wymiarowa<br />
będzie rodziną nieafiniczną. W stosunku do macierzy C6 udowodniono nawet teoretycznie,<br />
że nie może być ona generatorem żadnej afinicznej orbity [22].<br />
Poszukiwanie nowych macierzy <strong>Hadamarda</strong> odbywało się numerycznie metodą wielowy-<br />
miarowego błądzenia losowego po 25−wymiarowej przestrzeni rzeczywistej odpowiadają-<br />
cej fazom rdzenia poszukiwanej macierzy H. Zasada działania algorytmu polegała na mi-<br />
nimalizowaniu funkcji celu Z(H) jaką był funkcjonał normy Frobeniusa: Z(H) ≡ ||M||F =<br />
√ Tr MM † , gdzie M = HH † − 6 . Więcej na temat użytych metod numerycznych znaj-<br />
duje się w Dodatku B.<br />
Identyfikowanie nowych znalezionych numerycznie macierzy <strong>Hadamarda</strong> jest utrudnio-<br />
ne przez wspomnianą wcześniej relację równoważności. Sedno problemu leży w tym, iż dla<br />
hipotetycznie nowej macierzy jest bardzo trudno odnaleźć zestaw macierzy permutacji<br />
oraz macierzy diagonalnych, które przetransformowałyby ją do jednej ze znanych postaci.<br />
A z drugiej strony jeszcze większej trudności nastręcza dowód, że jest to całkiem nowa<br />
klasa. Dotychczas nie istnieje żadna uniwersalna metoda, która pozwoliłaby rozwiązywać<br />
ten problem w krótkim czasie dla dowolnej macierzy. Każdy przypadek należy traktować<br />
indywidualnie.<br />
25
Przykładowo dwie poniższe <strong>macierze</strong> należą do tej samej 1-wymiarowej orbity afinicz-<br />
nej (3.4), co na pierwszy rzut oka jest trudne do stwierdzenia ze względu na pozornie<br />
różną ilość wolnych parametrów; p = exp(2 π i φ), φ ∈ [0, 1)<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 1<br />
⎢ 1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣ 1<br />
1<br />
−1<br />
i<br />
−i<br />
−i<br />
1<br />
i<br />
−1<br />
i p<br />
−i p<br />
1<br />
−i<br />
i p<br />
−1<br />
i<br />
1<br />
−i<br />
−i p<br />
i<br />
−1<br />
⎤ ⎡<br />
1 1<br />
⎥ ⎢<br />
i ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ 1<br />
⎥ ⎢<br />
−i ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ 1<br />
⎥ ⎢<br />
−i p ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ 1<br />
⎥ ⎢<br />
i p ⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣ 1<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
i<br />
−i<br />
1<br />
−1<br />
p<br />
i p<br />
−p<br />
1<br />
−i<br />
−i p<br />
−1<br />
i<br />
1<br />
i<br />
−p<br />
−i<br />
−1<br />
⎤<br />
1<br />
⎥<br />
−1 ⎥<br />
i p ⎥ .<br />
−i p ⎥<br />
p ⎥<br />
⎦<br />
1 i −i −i p i p −1 1 −1 −i p i p p −p<br />
Jednakże wyniki numeryczne pozwoliły odgadnąć postać analityczną elementów pewnych<br />
macierzy, a dalsze obliczenia analityczne pokazały, że jest to nowa rodzina, która uogól-<br />
nia dotychczas znane C6 oraz D6(c) czyniąc je dwoma przypadkami szczególnymi jednej<br />
nieafinicznej orbity 1-wymiarowej.<br />
4.1 Nowa klasa macierzy B6(t)<br />
Rozważmy następującą rodzinę 1 macierzy zależną od parametru t<br />
przy czym 2 :<br />
<br />
W6 t = t(φ) <br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 1<br />
⎢ 1<br />
= ⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣ 1<br />
1<br />
−1<br />
−x<br />
−β<br />
β<br />
1<br />
−α<br />
1/y<br />
β<br />
1/y<br />
1<br />
−t<br />
t<br />
−1<br />
−γ<br />
1<br />
t<br />
1<br />
−1/z<br />
1/y<br />
⎤<br />
1<br />
⎥<br />
α ⎥<br />
−1/z ⎥ ,<br />
1/z ⎥<br />
−α ⎥<br />
⎦<br />
(4.1)<br />
1 x −γ γ −x −1<br />
x(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4<br />
1 + 2 t − t 2 , (4.2)<br />
y(t) =<br />
1 + 2 t − t2<br />
t(−1 + 2 t + t2 , (4.3)<br />
)<br />
z(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4<br />
−1 + 2 t + t 2 , (4.4)<br />
1 Symbol B użyty w tytule stanie się jasny w dalszej części rozdziału.<br />
2 Pozioma kreska nad niektórymi czynnikami oznacza, zgodnie z umową z Rodziału 1, sprzężenie ze-<br />
spolone.<br />
26
gdzie:<br />
oraz<br />
β1(t) =<br />
α(t) =<br />
<br />
t 1 − t + 3 t2 + t3 + t2 2 t − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 1 + t 2 + t 3 + t <br />
3 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4<br />
, (4.5)<br />
β(t) = β1β2 − β3<br />
, (4.6)<br />
β4 − β5<br />
<br />
3 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 + t2 <br />
−1<br />
t<br />
<br />
(−1 + 2 t + t2 ) <br />
1 + t + 3 t2 + t3 − √ 2 t2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 , (4.7)<br />
β2(t) = 1 + t 2 <br />
2<br />
+ t 2 t − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 <br />
(4.8)<br />
β3(t) = −3 + t2 + t <br />
2 t − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 <br />
1 − 2 t + t2 , (4.9)<br />
β4(t) = −2 − t + 2 t2 + t3 + √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 − t2 <br />
−1<br />
t<br />
1 + t + 3 t2 + t3 − √ 2 t2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 , (4.10)<br />
β5(t) =<br />
√ 2 t 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4<br />
1 + t + 3 t2 + t3 − √ 2 t2 √ 1 + 2 t + 2 t3 , (4.11)<br />
+ t4 γ(t) = 2 t(1 − t2 ) <br />
1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t3 + t4 <br />
(−1 − 2 t + t2 ) 2 (1 − 6 t2 + t4 , (4.12)<br />
)<br />
natomiast parametr t jest funkcją fazy φ<br />
której dziedziną - aby zachować warunek (1.4) - jest<br />
t(φ) = exp(2 π i φ), (4.13)<br />
27
arc cos 1<br />
2 (√ 3 − 1) <br />
2 π<br />
< φ < 1 − arc cos 1<br />
2 (√ 3 − 1) <br />
2 π<br />
. (4.14)<br />
Nie jest to więc "pełna" orbita, tak jak w przypadku pozostałych klas, gdyż fazy, od<br />
których zależy nie przebiegają całego odcinka [0, 2 π).<br />
Rodzina W6(t) została odnaleziona numerycznie w postaci kilkunastu macierzy repre-<br />
zentantów. Następnie korzystając z wzajemnej ortogonalności wierszy i kolumn, a także<br />
dzięki temu, że udało się zauważyć pewne zależności funkcyjne między liczbami, zostały<br />
wyliczone wzory analityczne na jej poszczególne elementy (x, y, z, α, β, γ).<br />
Mniej więcej w tym samym czasie niezależnych obliczeń dokonał R. Nicoara oraz jego<br />
student K. Beauchamp. Ich celem było także odnalezienie hipotetycznej orbity wychodzą-<br />
cej z macierzy C6. Rodzina B6(t), którą znaleźli jest równoważna rodzinie W6(t) z tym, że<br />
- jak widać - wzory, które przedstawili są zgrabniejsze od tych opisujących rodzinę W6(t).<br />
Mianowicie<br />
gdzie:<br />
<br />
B6 t = t(φ) <br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 1<br />
⎢ 1<br />
= ⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣ 1<br />
1<br />
−1<br />
−x<br />
−1/t<br />
1/t<br />
1<br />
−1/x<br />
1<br />
1/t<br />
y<br />
1<br />
−t<br />
t<br />
−1<br />
−z<br />
1<br />
t<br />
1/y<br />
−1/z<br />
1<br />
⎤<br />
1<br />
⎥<br />
1/x ⎥<br />
−1/z ⎥ ,<br />
1/z ⎥<br />
−1/x ⎥<br />
⎦<br />
(4.15)<br />
1 x −z z −x −1<br />
x(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4<br />
1 + 2 t − t 2 , (4.16)<br />
y(t) =<br />
1 + 2 t − t2<br />
t(−1 + 2 t + t2 , (4.17)<br />
)<br />
z(t) = 1 + 2 t + t2 − √ 2 √ 1 + 2 t + 2 t 3 + t 4<br />
−1 + 2 t + t 2 . (4.18)<br />
Dziedzina parametru t(φ) jest zgodna ze wzorem (4.14).<br />
W szczególności oznacza to, że parametry α, β oraz γ użyte do opisu rodziny W6(t) są<br />
skomplikowanymi funkcjami parametrów x, y oraz z.<br />
28
Relacja równoważności, która pokazuje równość tych dwóch rodzin jest następująca:<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ 1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
⎤ ⎡<br />
• 1<br />
⎥ ⎢<br />
• ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥ ⎢<br />
• ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥·W6(t)·<br />
⎢<br />
• ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥ ⎢<br />
• ⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣ •<br />
•<br />
−1/x<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
y<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1/t<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
⎤ ⎡<br />
1<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥·<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣ •<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
• ⎥<br />
1 ⎥ ≡ B6(t).<br />
• ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
• • • • • 1 • • • • • −z • • • 1 • •<br />
(4.19)<br />
Ze względu na prostszy zapis rodziny B6(t), to właśnie ona będzie dalej wymieniana w tek-<br />
ście.<br />
Rodzina B6(t) stanowi bezpośrednie uogólnienie rodziny C6, gdyż jak łatwo sprawdzić<br />
przy doborze parametru t = d 2 , gdzie d jest liczbą zdefiniowaną według wzoru (3.6), za-<br />
chodzi<br />
B6(t) ≡ C6. (4.20)<br />
Ponadto dla parametru t(φ) = −1, czyli dla φ = 1 otrzymuje się reprezentanta rodziny<br />
2<br />
D6(c). Mówiąc inaczej powyższy dobór fazy stanowi projekcję rodziny B6(t) na orbitę<br />
afiniczną D6(c). Przy czym, aby zachować zgodność z notacją z poprzedniego rozdziału<br />
należy dofazować oraz spermutować macierz B6(t) w następujący sposób<br />
otrzymując ostatecznie<br />
B ′ ⎡<br />
1<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
6(t) = ⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
i<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
−1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
−i<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
i<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
⎤<br />
⎥ · . . .<br />
⎥<br />
⎦<br />
• • • • • −i<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
. . . ⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
⎤ ⎡<br />
•<br />
•<br />
⎥ ⎢<br />
• ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥ ⎢<br />
1 ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥ · B6(t) · ⎢<br />
• ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ •<br />
⎥ ⎢<br />
• ⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣ •<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
• ⎥<br />
• ⎥ ,<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
(4.21)<br />
• • • • 1 •<br />
1 • • • • •<br />
29
B ′ 6(t = −1) −→ B ′ ⎢<br />
6 ◦ EXP ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
• • • • • •<br />
• • • • • •<br />
• • • i c i c •<br />
• • −i c • • −i c<br />
• • −i c • • −i c<br />
• • • i c i c •<br />
⎤<br />
⎥ ≡ D6(c). (4.22)<br />
⎥<br />
⎦<br />
Jest to dowód wprost na to, że zbiór H6 został powiększony o kolejny obiekt.<br />
4.2 Nowa para wzajemnie nieobciążonych macierzy Ha-<br />
damarda<br />
Para ta została także znaleziona numerycznie metodą błądzenia losowego. Tym razem do-<br />
stępna przestrzeń była 9−wymiarowa (6 parametrów dla macierzy diagonalnej DF , która<br />
dofazowywała jedną z macierzy wchodzących w skład iloczynu, oraz 3 parametry odpowia-<br />
dające fazom dla macierzy D6(c) oraz F6(a, b), gdyż założono, że właśnie ta para będzie<br />
badana). Minimalizowana funkcja celu miała postać Z(M1, M2) ≡ || 1<br />
√ 6 M †<br />
1M2−E|| 2 F , gdzie<br />
M1 = D6(c), M2 = DF (α1, . . . , α6) · PL · F6(a, b) · PR, natomiast E, to macierz składająca<br />
się z samych jedynek. Po każdym przebiegu zadanej ilości iteracji dla błądzenia losowego<br />
w przypadku nieodnalezienia kandydatów na MUHs brano kolejne wartości macierzy per-<br />
mutacji PL oraz PR. Stopień dokładności obliczeń był na tyle wysoki, że pozwoliło to na<br />
odgadnięcie postaci analitycznej macierzy DF , oraz parametrów b i c. Parametr a został<br />
wyliczony przy założeniu unimodularności wynikowej macierzy.<br />
Wyliczone fazy to:<br />
a = − arc cot<br />
<br />
1<br />
−<br />
2<br />
5<br />
4<br />
π, b = 0, c = −π , (4.23)<br />
2<br />
natomiast macierz diagonalna dofazowująca macierz Fouriera z lewej strony jest postaci<br />
<br />
1<br />
DF = diag EXP<br />
12<br />
Wtedy przy macierzach permutacji:<br />
<br />
π i [0, 22, 8, 3, 7, 11] . (4.24)<br />
30
⎡<br />
1<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
PL = ⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
• ⎥<br />
• ⎥ ,<br />
• ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
PR = ⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
• ⎥<br />
• ⎥ ,<br />
• ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
(4.25)<br />
• 1 • • • •<br />
• • • • • 1<br />
otrzymuje się heterogeniczną parę MUHs: {D6(c), F ′ }, gdzie<br />
Aby udowodnić tę własność należy policzyć iloczyn<br />
F ′ = DF · PL · F6(a, b) · PR. (4.26)<br />
1<br />
√ 6 · (D6(c)) † · DF · PL · F6(a, b) · PR = M (4.27)<br />
i pokazać, że M jest macierzą unimodularną typu (1.4),<br />
|[M]j, k| 2 = 1. (4.28)<br />
Wzory na tę parę macierzy MUHs wyrażone explicite są następującej postaci:<br />
gdzie<br />
D6(c = − π<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 1<br />
⎢ 1<br />
) = ⎢<br />
2 ⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣ 1<br />
1<br />
−1<br />
i<br />
−i<br />
−i<br />
1<br />
i<br />
−1<br />
−1<br />
1<br />
1<br />
−i<br />
1<br />
−1<br />
i<br />
1<br />
−i<br />
−1<br />
i<br />
−1<br />
⎤<br />
1<br />
⎥<br />
i ⎥<br />
−i ⎥ ,<br />
1 ⎥<br />
−1 ⎥<br />
⎦<br />
(4.29)<br />
1 i −i −1 1 −1<br />
F ′ = EXP (i FR(a)) , (4.30)<br />
31
a faza a dana jest wzorem (4.23).<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
FR(a) = ⎢<br />
⎣<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
3<br />
• • •<br />
π 2 π 3<br />
2 − π 3<br />
2 − 3 π<br />
• • − 2 π 3<br />
2 − 3 π 2<br />
3 π 2<br />
3 π<br />
•<br />
•<br />
π<br />
π<br />
a + π<br />
a −<br />
a • π<br />
1 π 3<br />
2 a + π 3<br />
2 − 3 π 1<br />
3 π<br />
• π a + 1 π 3<br />
2 a − 3 π 2 π 3<br />
1 − 3 π<br />
⎤<br />
⎥ ,<br />
⎥<br />
⎦<br />
(4.31)<br />
32
Rozdział 5<br />
Wyniki analityczne<br />
W matematyce od dawna znane jest twierdzenie o dekompozycji spektralnej mówiące<br />
o tym, że dowolną macierz normalną 1 M można zapisać w postaci<br />
M = S · J · S −1 . (5.1)<br />
W języku matematyki oznacza to, że <strong>macierze</strong> M i J są macierzami podobnymi natomiast<br />
S jest macierzą przejścia do takiej <strong>baz</strong>y, w której M przyjmuje postać diagonalną J. In-<br />
nymi słowy macierz M można zapisać jako iloczyn macierzy S składającej się z wektorów<br />
własnych macierzy M, jej odwrotności S −1 oraz diagonalnej macierzy wartości własnych<br />
M.<br />
Okazuje się, że twierdzenie to można z powodzeniem zastosować do odnalezienia kolejnych<br />
par MUHs.<br />
5.1 Dekompozycja spektralna macierzy cyklicznej<br />
Niech c ∈ C N będzie wektorem o N składowych<br />
Rozważmy macierz L<br />
c = [c1, c2, . . . , cN]. (5.2)<br />
L = [eN, e1, . . . , eN−1], (5.3)<br />
składającą się z wektorów ek <strong>baz</strong>y kanonicznej R N i za jej pomocą skonstruujmy kolejną<br />
macierz<br />
1 Macierz normalna spełnia warunek: MM † = M † M.<br />
33
C = [c, c L, c L 2 , . . . , c L N−1 ] T ⎢<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
c1 c2 c3 . . . cN<br />
cN c1 c2 . . . cN−1<br />
cN−1 cN c1 . . . cN−2<br />
.<br />
.<br />
c2 c3 c4 . . . c1<br />
.<br />
.<br />
⎤<br />
⎥ . (5.4)<br />
⎥<br />
⎦<br />
Twierdzenie 5.1.1. Przy powyższych oznaczeniach, jeżeli C jest macierzą cykliczną po-<br />
staci (5.4), to jej rozkład spektralny jest następującej postaci:<br />
C = F · J · F −1 , (5.5)<br />
gdzie J = diag <br />
T F c , natomiast F jest macierzą Fouriera (1.5).<br />
Dowód:<br />
Niech D = diag <br />
1, w, . . . , w N−1<br />
, gdzie w = exp 2<br />
N<br />
Zauważmy, że:<br />
Zatem<br />
czyli<br />
jest macierzą diagonalną.<br />
π i <br />
.<br />
[L · F ] m, n = e T (m+1) · <br />
1, w 1(n−1) , w 2(n−1) , . . . , w N(n−1) T<br />
= w m(n−1)<br />
= w (n−1) · w (m−1)(n−1)<br />
= w (n−1) · <br />
1, w 1(m−1) , w 2(m−1) , . . . , w N(m−1)<br />
· en<br />
= [F · D] m, n .<br />
L = F · D · F −1 , (5.6)<br />
F −1 · L · F (5.7)<br />
34
Zauważmy ponadto, że<br />
J = F −1 · C · F = F −1 ·<br />
=<br />
N<br />
k=1<br />
ck L k−1<br />
<br />
N<br />
ck F −1 · L k−1 · F<br />
k=1<br />
N<br />
= ck<br />
k=1<br />
· F<br />
<br />
F −1 · L · F k−1<br />
.<br />
Na podstawie (5.7) wnioskujemy, że J także jest macierzą diagonalną. Pozostaje zatem<br />
wykazać, że J = diag <br />
T F c . W tym celu policzmy:<br />
co kończy dowód twierdzenia.<br />
<br />
T<br />
F c<br />
m =<br />
5.2 Kolejna para MUHs<br />
N<br />
ck w (k−1)(m−1)<br />
k=1<br />
<br />
N<br />
= ckD<br />
k=1<br />
k−1<br />
<br />
m, m<br />
= <br />
F −1 · C · F <br />
m, m ,<br />
Korzystając z twierdzenia (5.1.1) przeprowadźmy analogiczne rozumowanie dla konkret-<br />
nych macierzy otrzymując pary MUHs.<br />
Rozważmy macierz C6 w postaci nie odfazowanej (3.8). Na mocy wspomnianego twier-<br />
dzenia zachodzi dla niej następujący rozkład:<br />
gdzie widmo macierzy cyklicznej<br />
C6 = F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1 , (5.8)<br />
J6 = diag (λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, λ6) (5.9)<br />
35
dane jest przez:<br />
<br />
λ1 = λ4 = + exp − i 1<br />
4 π<br />
<br />
,<br />
⎛<br />
⎛ <br />
λ2 = λ5 = + exp ⎝+<br />
2<br />
i arc tg ⎝<br />
√ <br />
27 − 3 2 √ 3 + 6<br />
<br />
2 √ <br />
27 − 3 2 √ ⎞⎞<br />
⎠⎠<br />
,<br />
3 − 6<br />
⎛<br />
⎛<br />
λ3 = λ6 = − exp ⎝−<br />
2<br />
i arc tg ⎝<br />
√ <br />
27 − 3 2 √ 3 − 6<br />
<br />
2 √ <br />
27 − 3 2 √ ⎞⎞<br />
⎠⎠<br />
.<br />
3 + 6<br />
Korzystając z (5.8) można dokonać ciągu równoważnych przejść:<br />
C6 = F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1 ⇔ (F6) † · C6 = (F6) † · F6 · √ 6 · J6 · (F6) −1<br />
co pozwala uznać parę macierzy <strong>Hadamarda</strong><br />
za parę MUHs.<br />
⇔ 1<br />
√ 6 · (F6) † · C6 = 6 · J6 · (F6) −1 ∈ H6,<br />
{C6, F6(0, 0)} (5.10)<br />
Twierdzenie o dekompozycji spektralnej macierzy pozwala więc uzyskiwać nowe pary<br />
MUHs dla dowolnego wymiaru N pod warunkiem, że w <strong>zbior</strong>ze HN istnieją <strong>macierze</strong><br />
typu "cyclic-N-roots". W porównaniu z parą znalezioną numerycznie, w tym przypadku<br />
nie było koniecznie permutowanie macierzy Fouriera 2 , a macierz dofazowująca jest ła-<br />
twa do wyliczenia, gdy skorzysta się z twierdzenia (5.1.1). Zauważmy ponadto, że jest to<br />
kolejny przykład MUHs, które są heterogeniczne.<br />
2 Oczywiście o ile przyjmie się, że jej postać kanoniczna jest taka jak podaje to wzór (3.1).<br />
36
Rozdział 6<br />
Podsumowanie<br />
6.1 Odnaleziona nowa klasa B6(t) oraz heterogeniczne<br />
pary MUHs<br />
Cel tej pracy, jakim była próba rozszerzenia <strong>zbior</strong>u macierzy H6 o nowe, nieznane wcze-<br />
śniej elementy, został osiągnięty. Udało się pokazać, że istnieje ogólna 1−parametrowa<br />
nieafiniczna rodzina macierzy B6(t), która zawiera w sobie jako przypadek szczególny<br />
macierz cykliczną C6. Natomiast przyjęcie parametru t = −1 stanowi projekcję nowej<br />
rodziny B6(t) na rodzinę afiniczną D6(c). Jest to więc pewien ogólniejszy twór od tych<br />
znanych dotychczas.<br />
Nowa rodzina może automatycznie posłużyć do konstrukcji <strong>baz</strong> maksymalnie splątanych,<br />
a także być użyta do nowych algorytmów kwantowej teleportacji lub gęstego kodowania<br />
(Dense Coding Schemes - protokoły wymiany informacji kwantowej <strong>baz</strong>ujące na stanach<br />
splątanych) [25]. Inną zaletą wynikającą z powiększenia <strong>zbior</strong>u H6 jest rozszerzenie do-<br />
meny poszukiwań kolejnych potencjalnych par, lub trójek MUHs. Każda nowa klasa może<br />
teoretycznie zawierać w sobie nieznanego przedstawiciela niezbędnego do takiej konstruk-<br />
cji.<br />
Innym celem - związanym właśnie z MUHs - jaki udało się osiągnąć, było pokazanie,<br />
że istnieje nowa heterogeniczna para takich macierzy, a ponadto zaproponowano uniwer-<br />
salną metodę konstrukcji takich par <strong>baz</strong>ującą na twierdzeniu o dekompozycji spektralnej<br />
macierzy normalnej, przy założeniu istnienia dla danego wymiaru macierzy cyklicznych<br />
postaci (5.4). Znalezione pary, to:<br />
{C6, F6(0, 0)}, {D6(c), F ′ 6(a, 0)}, (6.1)<br />
gdzie macierz F ′ 6 oznacza dofazowaną i spermutowaną zgodnie z (4.26) wyjściową macierz<br />
Fouriera F6 natomiast parametry a i c określono w (4.23).<br />
37
Nowa para MUHs daje nowy sposób przygotowania optymalnego pomiaru składającego<br />
się z trzech ortogonalnych pomiarów von Neumanna dla układu o wymiarze N = 6 [24].<br />
6.2 Problemy otwarte<br />
Nie oznacza to jednak pełnego sukcesu jakim by było niewątpliwie udowodnienie istnienia<br />
zestawu przynajmniej 3 macierzy pozostających w relacji MUHs. Wyniki te pozwalają<br />
jednak przypuszczać, iż jest duża szansa na odnalezienie takiego <strong>zbior</strong>u w przestrzeni H6,<br />
a następnie utworzenia z nich pierwszego pełnego zestawu <strong>baz</strong> MUBs w przestrzeni Hil-<br />
berta C 6 .<br />
Ciekawym wydaje się być fakt, że liczba MUBs w przestrzeni o danym wymiarze N<br />
jest związana z charakterem tej liczby. Mianowicie pełny zestaw (N + 1) <strong>baz</strong> wzajemnie<br />
nieobciążonych otrzymujemy, gdy N jest liczbą pierwszą lub jej kwadratem. Dotychczas<br />
literatura matematyczna nie zawiera twierdzeń, na <strong>baz</strong>ie których można by pokazać, że<br />
skonstruowanie MUBs dla innych wymiarów N jest możliwe, lub niemożliwe. Dla wymia-<br />
rów będących liczbą złożoną udało się jak dotąd otrzymać jedynie wyniki cząstkowe (na<br />
przykład dla N = n 2 , przy dowolnym naturalnym n > 1 [26]), lub podać dolne oszacowa-<br />
nia na maksymalną ilość elementów <strong>zbior</strong>u MUBs [1]. N = 6 jest jak dotąd najmniejszym<br />
wymiarem, dla którego to pytanie pozostaje bez odpowiedzi, a co za tym idzie rozwią-<br />
zanie problemu optymalnego pomiaru kwantowego dla przestrzeni Hilberta C 6 wciąż jest<br />
otwarte.<br />
Związki macierzy <strong>Hadamarda</strong> z teorio-liczbowymi twierdzeniami o istnieniu ciał skoń-<br />
czonych w dziedzinie liczb pierwszych sugerują, że być może problem ten da się rozwiązać<br />
używając całkowicie abstrakcyjnych narzędzi. Jednakże obszar tego przenikania się czystej<br />
matematyki z mechaniką kwantową wciąż jest zagadką. Nadal nie wiemy, co decyduje, że<br />
charakter stanów kwantowych daje się bardzo dobrze opisać takim a nie innym językiem.<br />
Także sam zbiór H6 ciągle nie jest do końca zbadany. Jest niemal pewnym przypusz-<br />
czenie, że istnieją w nim całkiem nowe klasy macierzy <strong>Hadamarda</strong>, których jeszcze nie<br />
udało się opisać. W szczególności postać nowo odnalezionej rodziny B6(t) sugeruje, że<br />
może być ona częścią większej nieafinicznej rodziny 2-wymiarowej. Istnieje ponadto hipo-<br />
teza, że wszystkie dotychczas znane klasy, czyli C6, D6(c), F6(a, b) są tylko szczególnymi<br />
przypadkami reprezentantów jednej wielowymiarowej orbity nieafinicznej, a to z czym ma-<br />
my obecnie do czynienia, to tylko projekcje na podprzestrzenie afiniczne. Jednak stopień<br />
skomplikowania nieznanej rodziny - jeżeli ona istnieje - jest wciąż zbyt duży i nadal czeka<br />
na potencjalne odkrycie. Być może jest to kwestia niedalekiej przyszłości...<br />
38
A<br />
Katalog macierzy Butsona<br />
Dodatek ten stanowi rozwinięcie charakterystyki macierzy typu Butsona zdefiniowanych<br />
w (1.2.1.b) z wyszczególnieniem podstawowych reprezentantów klas <strong>zbior</strong>u H(q, N) dla<br />
N = 2, . . . , 16.<br />
Rozważmy pewną macierz <strong>Hadamarda</strong> typu Butsona H(a) = F ◦ EXP (i R(a)) , która<br />
jest reprezentantem jednowymiarowej rodziny afinicznej zależnej od fazy a ∈ [0, 2 π),<br />
oraz F ∈ H(q, N). Można pokazać, że wtedy H(a) ∈ H(k q, N), przy czym parametr a<br />
przyjmuje postać a = 2 π/k q. Wynika z tego, że klasy macierzy Butsona stanowią zbiór<br />
nieskończony. Z tego powodu poniżej zostaną wypisani jedynie reprezentanci rodzin dla<br />
najmniejszego q.<br />
Przy ustalonym wymiarze N <strong>macierze</strong> uporządkowane są według rosnącej wartości pa-<br />
rametru q. Wybór każdego przedstawiciela danej klasy jest określony z dokładnością do<br />
permutacji wierszy i kolumn. Zgodnie z wcześniejszą umową • oznacza fazę zerową (od-<br />
powiadającą jedności).<br />
N = 2<br />
N = 3<br />
H2 = F2 ∈ H(2, 2); LOG(F2) =<br />
⎡ ⎤<br />
•<br />
= π ⎣<br />
•<br />
•<br />
⎦ .<br />
1<br />
F3 ∈ H(3, 3); LOG(F3) =<br />
= 2<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
•<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
1<br />
.<br />
39
N = 4<br />
N = 5<br />
N = 6<br />
H4 H2 ⊗ H2 ∈ H(2, 4) 1 ; LOG(H4) =<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
= π ⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
• 1 1 •<br />
F4 ∈ H(4, 4); LOG(F4) =<br />
= 1<br />
2 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
3 ⎥ .<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 3 2 1<br />
F5 ∈ H(5, 5); LOG(F5) =<br />
= 2<br />
5 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
•<br />
2<br />
4<br />
1<br />
•<br />
3<br />
1<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥ .<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 4 3 2 1<br />
S6 ∈ H(3, 6); LOG(S6) =<br />
= 2<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
•<br />
1<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
1<br />
2<br />
•<br />
1<br />
•<br />
2<br />
2<br />
1<br />
•<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
• 2 1 2 1 •<br />
1 Więcej informacji na temat (nie)równoważności produktów tensorowych macierzy Fouriera można<br />
znaleźć w pracy W. Tadeja [21].<br />
40
N = 7<br />
D6 ∈ H(4, 6); LOG(D6) =<br />
= 1<br />
2 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3<br />
•<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
•<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
•<br />
3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
3 ⎥ ,<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
• 1 3 3 1 2<br />
F6 F2 ⊗ F3 ∈ H(6, 6); LOG(F6) =<br />
= 1<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
•<br />
2<br />
4<br />
•<br />
2<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
•<br />
4<br />
2<br />
•<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥ .<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 5 4 3 2 1<br />
P7 ∈ H(6, 7); LOG(P7) =<br />
= 1<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
4<br />
5<br />
3<br />
3<br />
•<br />
4<br />
1<br />
3<br />
5<br />
3<br />
•<br />
5<br />
3<br />
1<br />
4<br />
1<br />
•<br />
3<br />
5<br />
4<br />
1<br />
1<br />
•<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
1 ⎥<br />
3 ⎥ ,<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
5 ⎥<br />
⎦<br />
• 1 1 3 3 5 4<br />
F7 ∈ H(7, 7); LOG(F7) =<br />
= 2<br />
7 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
1<br />
3<br />
•<br />
3<br />
6<br />
2<br />
5<br />
1<br />
•<br />
4<br />
1<br />
5<br />
2<br />
6<br />
•<br />
5<br />
3<br />
1<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
6 ⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥ .<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 6 5 4 3 2 1<br />
41
N = 8<br />
H8 H2 ⊗ H2 ⊗ H2 H4 ⊗ H2 ∈ H(2, 8); LOG(H8) =<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
= π ⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
1<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥ ,<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
• 1 1 • 1 • • 1<br />
H2 ⊗ F4 ∈ H(4, 8); LOG(H2 ⊗ F4) =<br />
= 1<br />
2 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
1<br />
3<br />
•<br />
1<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
•<br />
3<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
2<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
•<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
2<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
3<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
• 3 2 1 2 1 • 3<br />
S8 ∈ H(4, 8); LOG(S8) =<br />
= 1<br />
2 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
•<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
•<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
•<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
•<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
3 ⎥ ,<br />
2 ⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
• 3 • • 2 2 2 1<br />
42
N = 9<br />
F8 ∈ H(8, 8); LOG(F8) =<br />
= 1<br />
4 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
•<br />
2<br />
4<br />
•<br />
3<br />
6<br />
1<br />
4<br />
7<br />
2<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
•<br />
5<br />
2<br />
7<br />
4<br />
1<br />
6<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
7<br />
⎥<br />
6 ⎥<br />
5 ⎥ .<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 7 6 5 4 3 2 1<br />
F3 ⊗ F3 ∈ H(3, 9); LOG(F3 ⊗ F3) =<br />
= 2<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
•<br />
1<br />
2<br />
•<br />
1<br />
•<br />
2<br />
1<br />
•<br />
2<br />
1<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
•<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
1<br />
1<br />
•<br />
2<br />
2<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
2<br />
2<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
⎥<br />
• ⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
• 2 1 2 1 • 1 • 2<br />
F9 ∈ H(9, 9); LOG(F9) =<br />
= 2<br />
9 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
1<br />
3<br />
5<br />
•<br />
3<br />
6<br />
•<br />
3<br />
6<br />
•<br />
3<br />
•<br />
4<br />
8<br />
3<br />
7<br />
2<br />
6<br />
1<br />
•<br />
5<br />
1<br />
6<br />
2<br />
7<br />
3<br />
8<br />
•<br />
6<br />
3<br />
•<br />
6<br />
3<br />
•<br />
6<br />
•<br />
7<br />
5<br />
3<br />
1<br />
8<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
8 ⎥<br />
7 ⎥<br />
6 ⎥<br />
5 ⎥ .<br />
⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
43
N = 10<br />
N = 11<br />
N = 12<br />
F10 = F2 ⊗ F5 ∈ H(10, 10); LOG(F10) =<br />
= 1<br />
5 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎣<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
2<br />
5<br />
8<br />
1<br />
4<br />
•<br />
4<br />
8<br />
2<br />
6<br />
•<br />
4<br />
8<br />
2<br />
•<br />
5<br />
•<br />
5<br />
•<br />
5<br />
•<br />
5<br />
•<br />
•<br />
6<br />
2<br />
8<br />
4<br />
•<br />
6<br />
2<br />
8<br />
•<br />
7<br />
4<br />
1<br />
8<br />
5<br />
2<br />
9<br />
6<br />
•<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
8<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
9 ⎥<br />
8<br />
⎥<br />
7 ⎥<br />
6 ⎥ .<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
F11 ∈ H(11, 11); LOG(F11) =<br />
= 2<br />
11 π<br />
⎡<br />
⎤<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎣<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
1<br />
3<br />
5<br />
7<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
1<br />
4<br />
7<br />
10<br />
2<br />
5<br />
•<br />
4<br />
8<br />
1<br />
5<br />
9<br />
2<br />
6<br />
10<br />
3<br />
•<br />
5<br />
10<br />
4<br />
9<br />
3<br />
8<br />
2<br />
7<br />
1<br />
•<br />
6<br />
1<br />
7<br />
2<br />
8<br />
3<br />
9<br />
4<br />
10<br />
•<br />
7<br />
3<br />
10<br />
6<br />
2<br />
9<br />
5<br />
1<br />
8<br />
•<br />
8<br />
5<br />
2<br />
10<br />
7<br />
4<br />
1<br />
9<br />
6<br />
•<br />
9<br />
7<br />
5<br />
3<br />
1<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
•<br />
⎥<br />
10 ⎥<br />
9 ⎥<br />
8 ⎥<br />
7 ⎥<br />
6 ⎥ .<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
D6 ⊗ F2 ∈ H(4, 12); LOG(D6 ⊗ F2) =<br />
= 1<br />
2 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
3<br />
•<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
•<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
1<br />
3<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
•<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
3 ⎥<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥<br />
1<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 2 1 3 3 1 3 1 1 3 2 •<br />
44
F3 ⊗ F2 ⊗ F2 F6 ⊗ F2 ∈ H(6, 12); LOG(F3 ⊗ F2 ⊗ F2) =<br />
= 1<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
4<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
2<br />
5<br />
2<br />
5<br />
4<br />
1<br />
4<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
5<br />
5<br />
4<br />
4<br />
1<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
2<br />
5<br />
5<br />
2<br />
4<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
5<br />
2<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
5<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
3 ⎥<br />
• ⎥<br />
4 ⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
1 ⎥<br />
4 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
5 ⎥<br />
⎦<br />
• 3 3 • 4 1 1 4 2 5 5 2<br />
S6 ⊗ F2 ∈ H(6, 12); LOG(S6 ⊗ F2) =<br />
= 1<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
4<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
2<br />
5<br />
2<br />
5<br />
4<br />
1<br />
4<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
2<br />
•<br />
3<br />
2<br />
5<br />
•<br />
3<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
4<br />
•<br />
3<br />
2<br />
5<br />
4<br />
1<br />
•<br />
3<br />
2<br />
5<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
•<br />
3<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
5<br />
•<br />
3<br />
2<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
•<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
4 ⎥<br />
1 ⎥<br />
2 ⎥<br />
5 ⎥ ,<br />
4 ⎥<br />
1 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
• ⎥<br />
⎦<br />
• 3 4 1 2 5 4 1 2 5 • 3<br />
45
F12 F3 ⊗ F4 ∈ H(12, 12); LOG(F12) =<br />
= 1<br />
6 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
•<br />
3<br />
6<br />
•<br />
4<br />
8<br />
•<br />
4<br />
8<br />
•<br />
4<br />
8<br />
•<br />
4<br />
•<br />
5<br />
10<br />
3<br />
8<br />
1<br />
6<br />
11<br />
4<br />
9<br />
2<br />
•<br />
6<br />
•<br />
6<br />
•<br />
6<br />
•<br />
6<br />
•<br />
6<br />
•<br />
•<br />
7<br />
2<br />
9<br />
4<br />
11<br />
6<br />
1<br />
8<br />
3<br />
10<br />
•<br />
8<br />
4<br />
•<br />
8<br />
4<br />
•<br />
8<br />
4<br />
•<br />
8<br />
•<br />
9<br />
6<br />
3<br />
•<br />
9<br />
6<br />
3<br />
•<br />
9<br />
6<br />
•<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
11 ⎥<br />
10 ⎥<br />
9 ⎥<br />
8 ⎥<br />
7 ⎥ ,<br />
6 ⎥<br />
5 ⎥<br />
4<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
S12 ∈ H(36, 12); LOG(S12) =<br />
= 1<br />
36 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
12<br />
24<br />
27<br />
3<br />
15<br />
•<br />
12<br />
24<br />
27<br />
3<br />
•<br />
24<br />
12<br />
•<br />
24<br />
12<br />
•<br />
24<br />
12<br />
•<br />
24<br />
•<br />
28<br />
20<br />
•<br />
28<br />
20<br />
18<br />
10<br />
2<br />
18<br />
10<br />
•<br />
4<br />
8<br />
•<br />
4<br />
8<br />
18<br />
22<br />
26<br />
18<br />
22<br />
•<br />
16<br />
32<br />
•<br />
16<br />
32<br />
18<br />
34<br />
14<br />
18<br />
34<br />
•<br />
•<br />
•<br />
18<br />
18<br />
18<br />
9<br />
9<br />
9<br />
27<br />
27<br />
•<br />
12<br />
24<br />
9<br />
21<br />
33<br />
•<br />
12<br />
24<br />
9<br />
21<br />
•<br />
24<br />
12<br />
18<br />
6<br />
30<br />
•<br />
24<br />
12<br />
18<br />
6<br />
•<br />
•<br />
•<br />
18<br />
18<br />
18<br />
27<br />
27<br />
27<br />
9<br />
9<br />
•<br />
12<br />
24<br />
18<br />
30<br />
6<br />
18<br />
30<br />
6<br />
•<br />
12<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
24 ⎥<br />
12 ⎥<br />
18 ⎥<br />
6 ⎥<br />
30 ⎥ .<br />
18 ⎥<br />
6 ⎥<br />
30<br />
⎥<br />
• ⎥<br />
24 ⎥<br />
⎦<br />
• 15 12 2 26 14 27 33 30 9 24 12<br />
46
N = 13<br />
F13 ∈ H(13, 13); LOG(F13) =<br />
= 2<br />
13 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
1<br />
3<br />
5<br />
7<br />
9<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
12<br />
2<br />
5<br />
8<br />
11<br />
1<br />
4<br />
7<br />
•<br />
4<br />
8<br />
12<br />
3<br />
7<br />
11<br />
2<br />
6<br />
10<br />
1<br />
5<br />
•<br />
5<br />
10<br />
2<br />
7<br />
12<br />
4<br />
9<br />
1<br />
6<br />
11<br />
3<br />
•<br />
6<br />
12<br />
5<br />
11<br />
4<br />
10<br />
3<br />
9<br />
2<br />
8<br />
1<br />
•<br />
7<br />
1<br />
8<br />
2<br />
9<br />
3<br />
10<br />
4<br />
11<br />
5<br />
12<br />
•<br />
8<br />
3<br />
11<br />
6<br />
1<br />
9<br />
4<br />
12<br />
7<br />
2<br />
10<br />
•<br />
9<br />
5<br />
1<br />
10<br />
6<br />
2<br />
11<br />
7<br />
3<br />
12<br />
8<br />
•<br />
10<br />
7<br />
4<br />
1<br />
11<br />
8<br />
5<br />
2<br />
12<br />
9<br />
6<br />
•<br />
11<br />
9<br />
7<br />
5<br />
3<br />
1<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
12 ⎥<br />
11 ⎥<br />
10 ⎥<br />
9 ⎥<br />
8 ⎥<br />
7 ⎥ ,<br />
⎥<br />
6 ⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
P13 ∈ H(30, 13); LOG(P13) =<br />
= 1<br />
30 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
30<br />
20<br />
40<br />
10<br />
25<br />
55<br />
5<br />
35<br />
8<br />
32<br />
56<br />
•<br />
20<br />
30<br />
10<br />
40<br />
55<br />
25<br />
35<br />
5<br />
8<br />
32<br />
56<br />
•<br />
40<br />
10<br />
30<br />
20<br />
5<br />
35<br />
25<br />
55<br />
32<br />
8<br />
44<br />
•<br />
10<br />
40<br />
20<br />
30<br />
35<br />
5<br />
55<br />
25<br />
32<br />
8<br />
44<br />
•<br />
25<br />
55<br />
45<br />
15<br />
30<br />
20<br />
40<br />
10<br />
56<br />
44<br />
32<br />
•<br />
55<br />
25<br />
15<br />
45<br />
20<br />
30<br />
10<br />
40<br />
56<br />
44<br />
32<br />
•<br />
45<br />
15<br />
25<br />
55<br />
40<br />
10<br />
30<br />
20<br />
44<br />
56<br />
8<br />
•<br />
15<br />
45<br />
55<br />
25<br />
10<br />
40<br />
20<br />
30<br />
44<br />
56<br />
8<br />
•<br />
32<br />
32<br />
8<br />
8<br />
44<br />
44<br />
56<br />
56<br />
40<br />
20<br />
20<br />
•<br />
8<br />
8<br />
32<br />
32<br />
56<br />
56<br />
44<br />
44<br />
20<br />
40<br />
20<br />
•<br />
44<br />
44<br />
56<br />
56<br />
8<br />
8<br />
32<br />
32<br />
20<br />
20<br />
40<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
56 ⎥<br />
56 ⎥<br />
44 ⎥<br />
44 ⎥<br />
32 ⎥<br />
32 ⎥ .<br />
⎥<br />
8 ⎥<br />
8 ⎥<br />
20 ⎥<br />
20 ⎥<br />
20 ⎥<br />
⎦<br />
• 44 44 56 56 8 8 32 32 20 20 20 40<br />
47
N = 14<br />
P7 ⊗ F2 ∈ H(6, 14); LOG(P7 ⊗ F2) =<br />
= 1<br />
3 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
4<br />
4<br />
5<br />
5<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
•<br />
3<br />
1<br />
4<br />
4<br />
1<br />
5<br />
2<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
5<br />
5<br />
3<br />
3<br />
1<br />
•<br />
3<br />
4<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
•<br />
5<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
5<br />
5<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
3<br />
•<br />
3<br />
5<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
5<br />
5<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
5<br />
2<br />
4<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
3<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
4<br />
5<br />
•<br />
3<br />
3<br />
•<br />
3<br />
•<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
4<br />
1<br />
5<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
5<br />
5<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥<br />
4 ⎥<br />
1 ⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥ ,<br />
• ⎥<br />
3 ⎥<br />
•<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
2 ⎥<br />
4 ⎥<br />
⎦<br />
• 3 1 4 1 4 3 • 3 • 5 2 4 1<br />
F14 F7 ⊗ F2 ∈ H(14, 14); LOG(F14) =<br />
= 1<br />
7 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
12<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
12<br />
1<br />
4<br />
7<br />
10<br />
13<br />
2<br />
5<br />
8<br />
•<br />
4<br />
8<br />
12<br />
2<br />
6<br />
10<br />
•<br />
4<br />
8<br />
12<br />
2<br />
6<br />
•<br />
5<br />
10<br />
1<br />
6<br />
11<br />
2<br />
7<br />
12<br />
3<br />
8<br />
13<br />
4<br />
•<br />
6<br />
12<br />
4<br />
10<br />
2<br />
8<br />
•<br />
6<br />
12<br />
4<br />
10<br />
2<br />
•<br />
7<br />
•<br />
7<br />
•<br />
7<br />
•<br />
7<br />
•<br />
7<br />
•<br />
7<br />
•<br />
•<br />
8<br />
2<br />
10<br />
4<br />
12<br />
6<br />
•<br />
8<br />
2<br />
10<br />
4<br />
12<br />
•<br />
9<br />
4<br />
13<br />
8<br />
3<br />
12<br />
7<br />
2<br />
11<br />
6<br />
1<br />
10<br />
•<br />
10<br />
6<br />
2<br />
12<br />
8<br />
4<br />
•<br />
10<br />
6<br />
2<br />
12<br />
8<br />
•<br />
11<br />
8<br />
5<br />
2<br />
13<br />
10<br />
7<br />
4<br />
1<br />
12<br />
9<br />
6<br />
•<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
13 ⎥<br />
12 ⎥<br />
11 ⎥<br />
10 ⎥<br />
9 ⎥<br />
8 ⎥ .<br />
7 ⎥<br />
6 ⎥<br />
5<br />
⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
48
N = 15<br />
N = 16<br />
F15 F3 ⊗ F5 ∈ H(15, 15); LOG(F15) =<br />
= 2<br />
15 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
12<br />
13<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
14<br />
1<br />
3<br />
5<br />
7<br />
9<br />
11<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
12<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
12<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
•<br />
4<br />
8<br />
12<br />
1<br />
5<br />
9<br />
13<br />
2<br />
6<br />
10<br />
14<br />
3<br />
7<br />
•<br />
5<br />
10<br />
•<br />
5<br />
10<br />
•<br />
5<br />
10<br />
•<br />
5<br />
10<br />
•<br />
5<br />
•<br />
6<br />
12<br />
3<br />
9<br />
•<br />
6<br />
12<br />
3<br />
9<br />
•<br />
6<br />
12<br />
3<br />
•<br />
7<br />
14<br />
6<br />
13<br />
5<br />
12<br />
4<br />
11<br />
3<br />
10<br />
2<br />
9<br />
1<br />
•<br />
8<br />
1<br />
9<br />
2<br />
10<br />
3<br />
11<br />
4<br />
12<br />
5<br />
13<br />
6<br />
14<br />
•<br />
9<br />
3<br />
12<br />
6<br />
•<br />
9<br />
3<br />
12<br />
6<br />
•<br />
9<br />
3<br />
12<br />
•<br />
10<br />
5<br />
•<br />
10<br />
5<br />
•<br />
10<br />
5<br />
•<br />
10<br />
5<br />
•<br />
10<br />
•<br />
11<br />
7<br />
3<br />
14<br />
10<br />
6<br />
2<br />
13<br />
9<br />
5<br />
1<br />
12<br />
8<br />
•<br />
12<br />
9<br />
6<br />
3<br />
•<br />
12<br />
9<br />
6<br />
3<br />
•<br />
12<br />
9<br />
6<br />
•<br />
13<br />
11<br />
9<br />
7<br />
5<br />
3<br />
1<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
14 ⎥<br />
13 ⎥<br />
12 ⎥<br />
11 ⎥<br />
10 ⎥<br />
9 ⎥<br />
8 ⎥ .<br />
⎥<br />
7 ⎥<br />
6 ⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
H16 = H2 ⊗ H2 ⊗ H2 ⊗ H2 ∈ H(2, 16); LOG(F16) =<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
= π ⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
• ⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
•<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
1 ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
• 1 1 • 1 • • 1 1 • • 1 • 1 1 •<br />
49
F4 ⊗ F4 ∈ H(4, 16); LOG(F4 ⊗ F4) =<br />
= 1<br />
2 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
•<br />
3<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
•<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
3<br />
•<br />
1<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
3<br />
1<br />
3<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
•<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
•<br />
3<br />
3<br />
2<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
2<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
•<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
•<br />
3<br />
•<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
•<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
1<br />
3<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥ ,<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
•<br />
⎥<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥<br />
• ⎥<br />
3 ⎥<br />
⎦<br />
• 3 2 1 3 2 1 • 2 1 • 3 1 • 3 2<br />
S8 ⊗ H2 ∈ H(4, 16); LOG(S8 ⊗ H2) =<br />
= 1<br />
2 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
2<br />
•<br />
3<br />
1<br />
3<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
2<br />
•<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
•<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
•<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
•<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
•<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
• ⎥<br />
2 ⎥<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥ ,<br />
2 ⎥<br />
• ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
• ⎥<br />
1 ⎥<br />
3 ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
• 2 3 1 • 2 • 2 2 • 2 • 2 • 1 3<br />
50
F8 ⊗ H2 ∈ H(8, 16); LOG(F8 ⊗ H2) =<br />
= 1<br />
4 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
7<br />
7<br />
6<br />
6<br />
5<br />
•<br />
4<br />
1<br />
5<br />
2<br />
6<br />
3<br />
7<br />
4<br />
•<br />
7<br />
3<br />
6<br />
2<br />
5<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
6<br />
6<br />
•<br />
•<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
6<br />
•<br />
4<br />
2<br />
6<br />
4<br />
•<br />
6<br />
2<br />
•<br />
4<br />
2<br />
6<br />
4<br />
•<br />
6<br />
•<br />
•<br />
3<br />
3<br />
6<br />
6<br />
1<br />
1<br />
4<br />
4<br />
5<br />
5<br />
2<br />
2<br />
7<br />
•<br />
4<br />
3<br />
7<br />
6<br />
2<br />
1<br />
5<br />
4<br />
•<br />
5<br />
1<br />
2<br />
6<br />
7<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
•<br />
7<br />
7<br />
2<br />
2<br />
5<br />
5<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
6<br />
6<br />
3<br />
•<br />
4<br />
7<br />
3<br />
2<br />
6<br />
5<br />
1<br />
4<br />
•<br />
1<br />
5<br />
6<br />
2<br />
3<br />
•<br />
•<br />
6<br />
6<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
•<br />
•<br />
6<br />
6<br />
4<br />
4<br />
2<br />
•<br />
4<br />
6<br />
2<br />
4<br />
•<br />
2<br />
6<br />
•<br />
4<br />
6<br />
2<br />
4<br />
•<br />
2<br />
•<br />
•<br />
5<br />
5<br />
6<br />
6<br />
7<br />
7<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
4 ⎥<br />
5 ⎥<br />
1 ⎥<br />
6 ⎥<br />
2 ⎥<br />
7 ⎥<br />
3 ⎥ ,<br />
4 ⎥<br />
• ⎥<br />
3<br />
⎥<br />
7 ⎥<br />
2 ⎥<br />
6 ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
• 4 5 1 6 2 7 3 4 • 3 7 2 6 1 5<br />
S16 ∈ H(8, 16); LOG(S16) =<br />
= 1<br />
8 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
4<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
6<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
•<br />
2<br />
•<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
•<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
•<br />
3<br />
6<br />
1<br />
4<br />
7<br />
2<br />
5<br />
•<br />
3<br />
6<br />
1<br />
4<br />
7<br />
2<br />
•<br />
5<br />
2<br />
7<br />
4<br />
1<br />
6<br />
3<br />
•<br />
5<br />
2<br />
7<br />
4<br />
1<br />
6<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2<br />
4<br />
6<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
5<br />
5<br />
5<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
4<br />
•<br />
•<br />
4<br />
•<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
6<br />
•<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
4 ⎥<br />
6 ⎥<br />
4 ⎥<br />
6 ⎥<br />
• ⎥<br />
2 ⎥ ,<br />
4 ⎥<br />
6 ⎥<br />
•<br />
⎥<br />
2 ⎥<br />
• ⎥<br />
2 ⎥<br />
4 ⎥<br />
⎦<br />
• 4 2 4 1 5 3 7 1 • 6 • 5 4 2 6<br />
51
F16 ∈ H(16, 16); LOG(F16) =<br />
= 1<br />
8 π<br />
⎡<br />
•<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢ •<br />
⎢<br />
⎣ •<br />
•<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
12<br />
13<br />
14<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
14<br />
•<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
•<br />
3<br />
6<br />
9<br />
12<br />
15<br />
2<br />
5<br />
8<br />
11<br />
14<br />
1<br />
4<br />
7<br />
10<br />
•<br />
4<br />
8<br />
12<br />
•<br />
4<br />
8<br />
12<br />
•<br />
4<br />
8<br />
12<br />
•<br />
4<br />
8<br />
•<br />
5<br />
10<br />
15<br />
4<br />
9<br />
14<br />
3<br />
8<br />
13<br />
2<br />
7<br />
12<br />
1<br />
6<br />
•<br />
6<br />
12<br />
2<br />
8<br />
14<br />
4<br />
10<br />
•<br />
6<br />
12<br />
2<br />
8<br />
14<br />
4<br />
•<br />
7<br />
14<br />
5<br />
12<br />
3<br />
10<br />
1<br />
8<br />
15<br />
6<br />
13<br />
4<br />
11<br />
2<br />
•<br />
8<br />
•<br />
8<br />
•<br />
8<br />
•<br />
8<br />
•<br />
8<br />
•<br />
8<br />
•<br />
8<br />
•<br />
•<br />
9<br />
2<br />
11<br />
4<br />
13<br />
6<br />
15<br />
8<br />
1<br />
10<br />
3<br />
12<br />
5<br />
14<br />
•<br />
10<br />
4<br />
14<br />
8<br />
2<br />
12<br />
6<br />
•<br />
10<br />
4<br />
14<br />
8<br />
2<br />
12<br />
•<br />
11<br />
6<br />
1<br />
12<br />
7<br />
2<br />
13<br />
8<br />
3<br />
14<br />
9<br />
4<br />
15<br />
10<br />
•<br />
12<br />
8<br />
4<br />
•<br />
12<br />
8<br />
4<br />
•<br />
12<br />
8<br />
4<br />
•<br />
12<br />
8<br />
•<br />
13<br />
10<br />
7<br />
4<br />
1<br />
14<br />
11<br />
8<br />
5<br />
2<br />
15<br />
12<br />
9<br />
6<br />
•<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
•<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
⎤<br />
•<br />
⎥<br />
15 ⎥<br />
14 ⎥<br />
13 ⎥<br />
12 ⎥<br />
11 ⎥<br />
10 ⎥<br />
9 ⎥ .<br />
8 ⎥<br />
7 ⎥<br />
6<br />
⎥<br />
5 ⎥<br />
4 ⎥<br />
3 ⎥<br />
2 ⎥<br />
⎦<br />
• 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
52
B<br />
Opis użytych metod numerycznych<br />
Poszukując nowych klas macierzy w <strong>zbior</strong>ze H6 a także nowych par MUHs używane były<br />
algorytmy napisane w języku C. Otrzymane dane numeryczne zostały następnie "wygła-<br />
dzone" analitycznie w Mathematice otrzymując ścisłe zależności funkcyjne między po-<br />
szczególnymi elementami.<br />
Poniżej przedstawione zostaną schematy ideowe i opis dwóch algorytmów. Pierwszy -<br />
poszukujący macierzy unitarnej w <strong>zbior</strong>ze macierzy H6. I drugi - poszukujący par będą-<br />
cych w relacji MUHs.<br />
Algorytm 1:<br />
#01 ZAALOKUJ PAMIĘĆ DLA 36-ELEMENTOWEJ MACIERZY ZESPOLONEJ U<br />
−− ↓<br />
#02 LOSUJ 25 FAZ RDZENIA MACIERZY U, POZOSTAŁE USTALONE JAKO 1<br />
(co daje gwarancję unimodularności)<br />
−− ↓<br />
#03 POLICZ FUNKCJĘ CELU Z(U) ≡ ||M||F = √ Tr MM † , GDZIE M = UU † − 6 <br />
#04 → #07<br />
#05 ZABURZ LEKKO FAZY RDZENIA I POLICZ FUNKCJĘ Z(U ′ )<br />
−− ↓<br />
U ′ - oznacza zaburzoną macierz U<br />
#06 JEŻELI Z(U ′ ) < Z(U) → PODSTAW U = U ′ .<br />
−− ↓<br />
#07 JEŻELI Z(U) < 10 −7 → ZAPISZ WYNIK → #09<br />
−− ↓<br />
#08 POWTARZAJ #5 DO CZASU WYCZERPANIA LIMITU ZADANYCH ITERACJI<br />
#09 WYCZYŚĆ PAMIĘĆ → POWRÓT DO SYSTEMU NADRZĘDNEGO<br />
Zasada działania powyższego algorytmu sprowadza się do wielowymiarowego błądzenia<br />
53
losowego po przestrzeni R 25 odpowiadającej rdzeniowi poszukiwanej macierzy U. Mia-<br />
ra kolejnego kroku jest zdeterminowana przez dokładność unitarności jaką się otrzymuje<br />
w kolejnych iteracjach - im większa dokładność tym mniejszy krok (przez krok należy<br />
rozumieć zaburzenie wszystkich, lub tylko niektórych - przy ustaleniu pozostałych - ele-<br />
mentów rdzenia macierzy U). Warunkiem wyboru danego kierunku w kolejnym kroku było<br />
obniżenie wartości funkcji celu Z(U) zdefiniowanej jako funkcjonał normy Frobeniusa<br />
Z(U) ≡ ||M||F = √ Tr MM † , (6.2)<br />
gdzie M = UU † − 6 . W przypadku, gdy program natrafiał na minimum lokalne normy,<br />
przy którym Z(U) było większe od zadanej z góry granicy (na przykład 10 −7 ) następowało<br />
przywrócenie wartości początkowej kroku oraz nowe losowanie punktu startowego - czyli<br />
25 faz. Z otrzymanej macierzy U uzyskujemy macierz <strong>Hadamarda</strong> przez przeskalowanie<br />
H = √ 6 U.<br />
Napisany algorytm w bardzo krótkim czasie (rzędu kilkunastu sekund) zwracał kolej-<br />
ne <strong>macierze</strong> z dokładnością unitarności ≈ 10 −10 , co pozwalało na ich dalsze badanie przy<br />
użyciu algebry symbolicznej.<br />
Algorytm 2 2 :<br />
#01 ZAALOKUJ PAMIĘĆ DLA DWÓCH MACIERZY M1, M2,<br />
−− ↓<br />
DWÓCH MACIERZY PERMUTACJI PL, PR,<br />
ORAZ MACIERZY DIAGONALNEJ DF<br />
#02 LOSUJ (LUB BIERZ KOLEJNO) PERMUTACJE PL, PR<br />
−− ↓<br />
#03 LOSUJ FAZY MACIERZY DF ORAZ PARAMETRY a, b, c<br />
−− ↓<br />
#04 POLICZ FUNKCJĘ CELU Z(M1, M2) ≡ || 1 √ 6 M †<br />
1M2 − E|| 2 F ,<br />
GDZIE E OZNACZA MACIERZ ZŁOŻONĄ Z SAMYCH JEDYNEK,<br />
#05 → #08<br />
M1 = D6(c),<br />
M2 = DF (α1, . . . , α6) · PL · F6(a, b) · PR<br />
#06 ZABURZ LEKKO FAZY DF ORAZ PARAMETRY a, b, c I POLICZ FUNKCJĘ Z(M ′ 1, M ′ 2)<br />
−− ↓<br />
′ - podobnie jak wyżej oznaczają zaburzone parametry<br />
2 Zakładamy, że szukamy MUHs dla D6(c) oraz F6(a, b)<br />
54
#07 JEŻELI Z(M ′ 1, M ′ 2) < Z(M1, M2) → PODSTAW DF = D ′ F , a = a ′ , . . .<br />
−− ↓<br />
#08 JEŻELI Z(M1, M2) < 10 −7 → ZAPISZ WYNIK → #10<br />
−− ↓<br />
#09 POWTARZAJ #6 DO CZASU WYCZERPANIA LIMITU ZADANYCH ITERACJI<br />
−− ↓<br />
#09 PO WYCZERPANIU LIMITU ITERACJI → #10 LUB #02<br />
#10 WYCZYŚĆ PAMIĘĆ → POWRÓT DO SYSTEMU NADRZĘDNEGO<br />
Powyższy algorytm także działa na zasadzie błądzenia losowego z tym, że dostępna prze-<br />
strzeń ogranicza się do R 9 , co odpowiada fazom macierzy DF , oraz parametrom a, b i c.<br />
Pozostała część jest powtórzeniem idei Algorytmu 1.<br />
55
Bibliografia<br />
[1] S. Bandyopadhyay, P. O. Boykin, V. Roychowdhury, F. Vatan, A new proof of the<br />
existence of mutually unbiased bases, Algorithmica 34, 512, quant-ph/0103162 (2002)<br />
[2] K. Beauchamp, R. Nicoara, Orthogonal maximal abelian ∗-subalgebras of the 6 × 6<br />
matrices, preprint math.OA/0609076 (2006)<br />
[3] J. H. Beder, Conjectures about Hadamard matrices, J. Stat. Plan. and Inference 72,<br />
7-14 (1998)<br />
[4] I. Bengtsson et al., MUBs and Hadamards of order six, preprint (2007)<br />
[5] C. H. Bennet, G. Brassard, Quantum cryptography: Public key distribution and coin<br />
tossing, IEEE, NY (1984)<br />
[6] G. Björk, R. Fröberg, A faster way to count the solutions of inhomogeneous systems of<br />
algebraic equations, with applications to cyclic–n–roots, J. Symbolic Comp. 12, 329-<br />
336 (1991)<br />
[7] A. T. Butson, Generalized Hadamard matrices, Proc. Am. Math. Soc. 13, 894-898<br />
(1962)<br />
[8] A. T. Butson, Relations among generalized Hadamard matrices, relative difference<br />
sets, and maximal length linear recurring sequences, Can. J. Math. 15, 42-48 (1963)<br />
[9] P. Dițǎ, Some results on the parametrization of complex Hadamard matrices, J. Phys.<br />
A: Math. Gen. 37, 5355-5374 (2004)<br />
[10] B.-G. Englert, Y. Aharonov, The mean king’s problem: Prime degrees of freedom,<br />
Phys. Lett. A 284, 1 (2001)<br />
[11] U. Haagerup, Orthogonal maximal abelian ∗-subalgebras of the n × n matrices and<br />
cyclic–n–roots, Operator Algebras and Quantum Field Theory (Rome), (Cambridge,<br />
MA: International Press) pp 296-322 (1996)<br />
[12] J. Hadamard, Resolution d’une question relative aux determinants, Bull. Sci. Math.<br />
17, 240-6 (1893)<br />
[13] I. Heng, C. H. Cooke, Error correcting codes associated with complex Hadamard ma-<br />
trices, Appl. Math. Lett. 11, 77-80 (1998)<br />
57
[14] I. D. Ivanović, Geometrical description of quantal state determination, J. Phys. A<br />
14, 3241-3245 (1982)<br />
[15] A. Klappenecker, M. Rötteler, Constructions of mutually unbiased bases, Lect. Notes<br />
Comput. Sc. 2948, 137, preprint quant-ph/0309120 (2004)<br />
[16] A. Klappenecker and M. Rötteler, Beyond Stabilizer Codes I: Nice Error Bases. IEEE<br />
Trans. Inform. Theory, 48, 2392–2395 (2002)<br />
[17] E. Knill, Group representations, error bases and quantum codes, preliminary reports,<br />
preprint: quant-ph/9608049, (1996)<br />
[18] J. J. Sylvester, Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign-<br />
successions, and tessellated pavements in two or more colors, with applications to<br />
Newton s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers, Phil. Mag. 34, 461-<br />
75 (1867)<br />
[19] M. Petrescu, Existence of continuous families of complex Hadamard matrices of cer-<br />
tain prime dimensions, Ph.D thesis, UCLA (1997)<br />
[20] W. Tadej, K. Życzkowski, A concise guide to complex Hadamard matrices, Open<br />
Systems and Infor. Dyn. 13, 133-177 (2006)<br />
[21] W. Tadej, Permutation equivalence classes of Kronecker Products of unitary Fourier<br />
matrices, preprint math.RA/0501233 (2005)<br />
[22] W. Tadej et al., The defect of a unitary Fourier matrix, preprint (2006)<br />
[23] T. Tao, Fuglede’s conjecture is false in 5 and higher dimensions, Math. Res. Letters<br />
11, 251-258 (2004)<br />
[24] L. Vaidman, Y. Aharonov, D. Z. Albert, How to ascertain the values of σx, σy and<br />
σz, Phys. Rev. Lett., 58, 1385-1387 (1987)<br />
[25] R. F. Werner, All teleportation and dense coding schemes, J. Phys. A: Math. Gen.<br />
34 7081-94 (2001)<br />
[26] P. Wocjan, T. Beth, New Construction of MUBs in Square Dimensions, IAKS, quant-<br />
ph/0407081 (2004)<br />
[27] W. K. Wootters, B. D. Fields, Optimal state-determination by mutually unbiased<br />
measurements, Ann. Phys. (N. Y.) 191, 363-381 (1981)<br />
[28] A. Wójcik, A. Grudka, R. Chhajlany, Generation of inequivalent generalized Bell<br />
bases, Quant. Inf. Proc. 2, 201-206 (2003)<br />
58