Čas ke studiu kapitoly: 30 minut 0 KOMBINATORIKA ... - Atrey
Čas ke studiu kapitoly: 30 minut 0 KOMBINATORIKA ... - Atrey
Čas ke studiu kapitoly: 30 minut 0 KOMBINATORIKA ... - Atrey
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
0 <strong>KOMBINATORIKA</strong> – OPAKOVÁNÍ U IVA ZE SŠ<br />
as <strong>ke</strong> <strong>studiu</strong> <strong>kapitoly</strong>: <strong>30</strong> <strong>minut</strong><br />
Cíl: Po prostudování této <strong>kapitoly</strong> budete um t použít<br />
• základní pojmy kombinatoriky<br />
• vztahy pro výpo et kombinatorických úloh<br />
- 6 -
Výklad:<br />
0.1 Kombinatorika – co to je?<br />
Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravd podobnosti. Zabývá se r znými zp soby<br />
výb ru prvk z daného souboru. Už jste si vzpomn li? Jde p ece o sou ást st edoškolské<br />
matematiky. Ale protože opakování je matkou moudrosti, jdeme na to ...<br />
Nejd íve si ujasn me s jakými výb ry se v praxi m žeme setkat. Prvním kritériem je<br />
uspo ádanost výb ru.<br />
A. Uspo ádaný výb r (= Variace)<br />
je takový výb r, p i n mž záleží na po adí vybraných prvk .<br />
P .: Kolik trojciferných ísel lze sestavit z ísel 1; 3; 8; 9?<br />
íslo 139 a íslo 391 považujeme za dv r zné variace výb ru.<br />
B. Neúspo ádaný výb r (= Kombinace)<br />
je oproti tomu výb rem, p i kterém na po adí vybraných prvk nezáleží.<br />
P .: Kolik je možností jak vsadit Sportku?<br />
7 ísel ze 49 – nap . kombinace {1;2;3;4;5;6;7} je totožná s kombinací<br />
{2;3;1;6;7;4;5} – nezáleží na tom v jakém po adí jsme ísla zaškrtali.<br />
Druhým kritériem je skute nost, zda se prvky po výb ru do p vodní množiny vracejí i<br />
nikoliv. Podle toho se výb ry rozlišují na:<br />
A. Výb ry s opakováním<br />
tj. vybrané prvky se vracejí do p vodní množiny<br />
P .: Z množiny {1;3;8;9} lze mimo jiné vytvo it troj íslí {131; 188; 888; 119; 139 ...}<br />
B. Výb ry bez opakování<br />
tj. vybrané prvky se do p vodní množiny nevracejí<br />
Matematicky je jednodušší popis výb r s opakováním, avšak v praxi se ast ji setkáte<br />
s výb ry bez opakování (test není možno opakovat, nap . tažnost trubky m žete testovat<br />
pouze jednou, pro další test je zapot ebí použít novou trubku)<br />
- 7 -
0.2 Základní kombinatorická pravidla<br />
0.2.1 Kombinatorické pravidlo sou inu<br />
Toto pravidlo používáme v b žném život zcela automaticky. Než uvedeme jeho<br />
matematickou formulaci, ukážeme si jeho využití na p íkladu.<br />
ešený p íklad:<br />
U stánku nabízejí ty i druhy zmrzliny a t i polevy. Kolik r zných zmrzlin s polevou lze<br />
vytvo it, jestliže nechceme míchat více druh ani více polev?<br />
ešení:<br />
Následující diagram zobrazuje všechny možnosti výb ru:<br />
vanilková<br />
jahodová<br />
meru ková<br />
citrónová<br />
okoládová poleva<br />
O íšková poleva<br />
Ovocná poleva<br />
okoládová poleva<br />
O íšková poleva<br />
Ovocná poleva<br />
okoládová poleva<br />
O íšková poleva<br />
Ovocná poleva<br />
okoládová poleva<br />
O íšková poleva<br />
Ovocná poleva<br />
- 8 -
Ke každému ze ty druh zmrzliny m žeme p idat jednu ze t í polev, cel<strong>ke</strong>m je proto možné<br />
vytvo it 4 · 3 = 12 r zných zmrzlin s polevou.<br />
Výklad:<br />
Zobecn ním p edchozí úvahy dojdeme k následujícímu pravidlu nazývanému<br />
kombinatorické pravidlo sou inu:<br />
Po et všech uspo ádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n1 zp soby, druhý len<br />
po výb ru prvního lenu n2 zp soby atd. až k-tý len po výb ru všech p edcházejících<br />
len nk zp soby, je roven n1 · n2 · … · nk.<br />
V úvodním p íklad jsme hledali uspo ádané dvojice druh − poleva, jejichž první len (druh)<br />
lze vybrat ty mi zp soby a druhý len (polevu) lze vybrat t emi zp soby. Tedy k = 2, n1 = 4,<br />
n2 = 3; n1 · n2 = 12.<br />
0.2.2 Kombinatorické pravidlo sou tu<br />
Také toto pravidlo v život asto využíváme, aniž si to uv domujeme. Jestliže máme nap . t i<br />
žluté, dv modré a ty i zelené pastelky, umí každý snadno spo ítat, že dohromady máme 3 +<br />
2 + 4 = 9 pastelek. Matematicky se toto pravidlo formuluje takto:<br />
Jsou-li A1, A2, …, An kone né množiny, které mají po ad p1, p2, …, pn prvk ,<br />
a jsou-li každé dv disjunktní, pak po et prvk množiny A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An<br />
je roven p1 + p2 + … + pn.<br />
0.3 Uspo ádané výb ry (variace)<br />
Znovu si p ipome me, že u variací záleží na po adí vybíraných prvk .<br />
0.3.1 Variace k-té t ídy bez opakování<br />
Nech M je libovolná množina n prvk . Každá uspo ádaná k-tice (skupina k prvk )<br />
z navzájem r zných prvk množiny M se nazývá variace k-té t ídy množiny M bez opakování<br />
a zna íme ji Vk(n) – varia ní íslo.<br />
Po et variací Vk(n) se ur uje podle vztahu:<br />
V k<br />
( n)<br />
=<br />
n.(<br />
n −1).(<br />
n − 2)<br />
- 9 -<br />
n!<br />
( n − k + 1)<br />
=<br />
( n − k)!
ešený p íklad:<br />
Z dvaceti lenného zastupitelstva (8 z ODS, 6 z SSD, 4 z KDU- SL, 2 ze SZ) se musí zvolit<br />
p ti lenné p edsednictvo (p edseda, místop edseda, 3 lenové). Kolika r znými zp soby lze<br />
p edsednictvo sestavit:<br />
a) nejsou-li na výb r funkcí žádná další omezení<br />
b) je-li stanoveno, že p edseda a místop edseda musí být ze dvou nejsiln jších stran<br />
ešení:<br />
a) Nejsou-li stanovena žádná omezení pro výb r p edsednictva, jde o typický p íklad variací<br />
páté t ídy bez opakování:<br />
Výklad:<br />
V<br />
5<br />
( 20)<br />
20!<br />
20!<br />
= = =<br />
( 20 − 5)!<br />
15!<br />
20.<br />
19.<br />
18.<br />
17.<br />
16<br />
- 10 -<br />
= 1860480<br />
V tomto p ípad tedy existuje 1860480 možností jak sestavit p edsednictvo zastupitelstva.<br />
b) Nyní je stanoveno, že p edseda a místop edseda musí být ze dvou nejsiln jších stran (není<br />
e eno, že p edseda musí být z nejsiln jší strany). Možností jak zvolit p edsedu a<br />
místop edsedu je tedy:<br />
8 . 6 + 6.<br />
8 = 96<br />
Po et možností, jak zvolit p edsedu z ODS a zárove místop edsedup edsedu z SSD<br />
Zbylá t i místa v p edsednictvu mohou obsadit libovolní t i lidé ze zbývajících osmnácti (bez<br />
ohledu na stranickou p íslušnost). Takových možností je:<br />
V<br />
3<br />
( 18)<br />
18!<br />
18!<br />
= = = 18.<br />
17.<br />
16 = 4896<br />
( 18 − 3)!<br />
15!<br />
Po et možností, jak zvolit p edsedu z ODS<br />
a zárove místop edsedup edsedu z SSD<br />
Uplatníme-li kombinatorické pravidlo sou inu, zjistíme že celkový po et možností, jak<br />
v p ípad takovýchto požadavk sestavit p edsednictvo je 470016 (= 96 . 4896).<br />
V p ípad , že velikost výb ru je totožná s rozsahem množiny M (k=n) používáme pro tento<br />
typ variací název permutace. U permutací tak nejde v podstat o výb r, nýbrž o r zná<br />
uspo ádání téže množiny (p esmy ky).
0.3.2 Permutace bez opakování<br />
Permutace množiny M (bez opakování) jsou všechna navzájem r zná uspo ádání množiny M.<br />
Po et permutací n prvkové množiny stanovíme na základ vztahu:<br />
ešený p íklad:<br />
Výklad:<br />
ešený p íklad:<br />
n!<br />
P( n)<br />
= Vn<br />
( n)<br />
= = n!<br />
( n − n)!<br />
Vra me se op t k volb p edsednictva zastupitelstva. P edpokládejme však, že p edsednictvo<br />
je už zvoleno a je pouze t eba rozd lit si funkce. Kolik je možností, jak si funkce rozd lit?<br />
ešení:<br />
Je z ejmé, že jde o permutace (p esmy ky) 5-ti lenné množiny:<br />
P ( 5)<br />
= 5!<br />
= 5.<br />
4.<br />
3.<br />
2.<br />
1 = 120<br />
P edsednictvo si tedy m že rozd lit funkce 120-ti zp soby.<br />
Definujme si op t M jako libovolnou n-prvkovou množinu.<br />
0.3.3 Variace k-té t ídy s opakováním<br />
tak nazýváme každou uspo ádanou k-tici prvk z množiny M, v níž se jednotlivé prvky<br />
mohou opakovat.<br />
Po et variací k-té t ídy s opakováním ur uje výraz V ’ k(n)<br />
V ( n)<br />
= n<br />
Ur ete kolik je možností jak sestavit 6-ti místné telefonní íslo.<br />
,<br />
k<br />
k<br />
- 11 -
ešení:<br />
V tomto p ípad si zvolíme množinu M, M={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Pot ebujeme obsadit 6<br />
míst.<br />
Je z ejmé, že existuje cel<strong>ke</strong>m<br />
možností jak uspo ádat 10 íslic do šestice.<br />
Výklad:<br />
6<br />
V ( 10)<br />
= 10<br />
'<br />
6<br />
V tuto chvíli si musíme uv domit, že telefonní íslo nem že za ínat „0“, proto musíme tyto<br />
možnosti od celkového po tu ode íst.<br />
V ( 10)<br />
= 10<br />
'<br />
5<br />
Mezi všemi 6-ti místnými ísly je 10 5 ísel za ínajících „0“. Existuje tedy 900 000 (10 6 –10 5 )<br />
možností jak vytvo it 6-ti místné telefonní íslo.<br />
0.3.4 Permutace s opakováním<br />
M jme uspo ádanou n-tici k r zných prvk , v níž se jednotlivé prvky opakují ni (i = 1, 2, ... ,<br />
k) krát. Permutace s opakováním vznikají r zným uspo ádáním p vodní n-tice.<br />
Platí:<br />
Po et permutací s opakováním je dán vztahem:<br />
P<br />
'<br />
n1<br />
, n2<br />
, , nk<br />
0<br />
=<br />
P<br />
k<br />
i =1<br />
ni<br />
n =<br />
P(<br />
n)<br />
- 12 -<br />
5<br />
n!<br />
( n ) . P(<br />
n ) . . P(<br />
n ) n !. n !. . n !<br />
1<br />
2<br />
V ’ 5(10)<br />
k<br />
=<br />
1<br />
2<br />
k
ešený p íklad:<br />
Na plakátovací plochu o kapacit 10 míst se mají vylepit reklamní plakáty 4 spole ností.<br />
Spole nost ARMA si p edplatila 3 plakáty, spole nost BRUNO 2 plakáty, spole nost CEKO<br />
1 plakát a spole nost DINA 4 plakáty. Ur ete kolika r znými zp soby lze ploch pokrýt.<br />
ešení:<br />
P edpokládáme-li, že každá spole nost dodala pouze jediný druh plakátu, pak jednotlivé<br />
varianty polepení tvo í permutace s opakováním:<br />
Výklad:<br />
P<br />
'<br />
43 , 2,<br />
1,<br />
4<br />
10!<br />
10.<br />
9.<br />
8.<br />
7.<br />
6.<br />
5<br />
= =<br />
= 12600<br />
3!.<br />
2!.<br />
1!.<br />
4!<br />
3.<br />
2.<br />
2<br />
Plakátovací plochu lze polepit 12600 r znými zp soby.<br />
0.4 Neuspo ádané výb ry (kombinace)<br />
Kombinace se používají v p ípadech, kdy se ze skupiny prvk vybírá menší podskupina, jejíž<br />
prvky nemají specifickou roli, tj. jsou vzájemn zam nitelné (nezáleží na po adí vybraných<br />
prvk ).<br />
P íkladem takovéto podskupiny je závodní družstvo mladších žák pro b h na 1500 metr<br />
(reprezentujících jistou ZŠ).<br />
Definujme si znovu M jako libovolnou n prvkovou množinu.<br />
0.4.1 Kombinace k-té t ídy bez opakování<br />
pak nazv me každou k prvkovou podmnožinu sestavenou z navzájem r zných prvk množiny<br />
M.<br />
Po et r zných kombinací Ck(n) se ur í na základ vzorce:<br />
Hodnota Ck(n) se nazývá kombina ní íslo.<br />
C k<br />
n n!<br />
( n)<br />
= =<br />
k ( n − k)!.<br />
k!<br />
- 13 -
ešený p íklad:<br />
Ve tvrtém ro níku ZŠ studuje <strong>30</strong> chlapc a 50 d v at. Pro reprezentaci ro níku v lehké<br />
atletice je t eba sestavit smíšené 10-ti lenné družstvo (5 chlapc , 5 dívek). Kolik je možností<br />
jak takovéto družstvo sestavit?<br />
ešení:<br />
Pro výpo et použijeme kombinatorické pravidlo o sou inu: Celkový po et možností jak<br />
sestavit družstvo (n) je dán sou inem po tu možností jak vybrat 5 chlapc ze <strong>30</strong>-ti (n1) a 5<br />
dívek z 50-ti (n2).<br />
Po et možností jak vybrat 5 chlapc ze <strong>30</strong>-ti je z ejm :<br />
Výklad:<br />
n<br />
1<br />
= C<br />
5<br />
( <strong>30</strong>)<br />
=<br />
<strong>30</strong><br />
5<br />
=<br />
( <strong>30</strong><br />
<strong>30</strong>!<br />
−<br />
5)!.<br />
5!<br />
Po et možností jak vybrat 5 dívek z 50-ti je z ejm<br />
n<br />
2<br />
= C<br />
5<br />
( 50)<br />
=<br />
- 14 -<br />
<strong>30</strong>.<br />
29.<br />
28.<br />
27.<br />
26<br />
5.<br />
4.<br />
3.<br />
2.<br />
1<br />
= 142506<br />
50 50!<br />
50.<br />
49.<br />
48.<br />
47.<br />
46<br />
= = =<br />
= 2118760<br />
5 ( 50 − 5)!.<br />
5!<br />
5.<br />
4.<br />
3.<br />
2.<br />
1<br />
A celkový po et možností jak sestavit družstvo je tedy:<br />
n = n n = 142506.<br />
2118760=<br />
<strong>30</strong>1.<br />
936012560 , tj. tém <strong>30</strong>2 miliard.<br />
1 . 2<br />
0.4.2 Kombinace k-té t ídy s opakováním<br />
nazv me každou k- lennou skupinu sestavenou z prvk množiny M tak, že se prvky ve<br />
skupin mohou opakovat a p itom nezáleží na jejich po adí.<br />
Po et kombinací k-té t ídy s opakováním je dán vztahem:<br />
'<br />
n + k −1<br />
( n + k −1)!<br />
Ck ( n)<br />
= C k ( n + k −1)<br />
= =<br />
k ( n −1)!.<br />
k!<br />
Kvalita výrobku se rozlišuje t emi stupni jakosti: A, B, C.<br />
a) Ur ete kolik r zných výsledk m že mít výstupní kontrola výroby, testuje-li se kvalita<br />
10-ti náhodn vybraných vzork .
) Kolik r zných výsledk nebude obsahovat ani jeden výrobek kvality C?<br />
ešení:<br />
a) Testovaný vzorek je 10-ti prvková skupina složená z výrobk t í typu jakosti. Po et<br />
r zných výsledk kontroly je tedy dán vztahem:<br />
Shrnutí:<br />
C<br />
'<br />
10<br />
( 3)<br />
3 + 10 −1<br />
=<br />
=<br />
10<br />
( 12<br />
( 12)!<br />
−<br />
- 15 -<br />
10)!.<br />
10!<br />
Existuje 66 r zných výsledk kontroly kvality 10-ti výrobk .<br />
12.<br />
11<br />
= = 66<br />
2.<br />
1<br />
b) Chceme-li zjistit, kolik výb r 10-ti výrobk neobsahuje výrobek kvality C, musíme<br />
omezit po et povolených t íd ve vzorku na 2 (A, B).<br />
C<br />
'<br />
10<br />
( 2)<br />
2 + 10 −1<br />
=<br />
=<br />
10<br />
( 2<br />
( 11)!<br />
11<br />
= = 11<br />
−1)!.<br />
10!<br />
1<br />
V 11-ti r zných výsledcích kontroly kvality nenajdeme výrobek kvality C.<br />
Uspo ádané<br />
výb ry<br />
Neuspo ádané<br />
výb ry<br />
Bez<br />
opakování<br />
S<br />
opakováním<br />
Bez<br />
opakování<br />
S<br />
opakováním<br />
• Kombinatorické pravidlo o sou inu<br />
Variace bez<br />
opakování<br />
Vk ( n)<br />
= n.(<br />
n −1).(<br />
n − 2).<br />
n<br />
.( n − k + 1)<br />
=<br />
( n −<br />
Permutace bez<br />
opakování<br />
n!<br />
P( n)<br />
= Vn<br />
( n)<br />
= = n!<br />
( n − n)!<br />
Variace s<br />
opakováním<br />
, k<br />
V k ( n)<br />
= n<br />
Permutace s<br />
opakováním<br />
'<br />
Pn 1 , n2<br />
,<br />
P(<br />
n)<br />
, n = k P(<br />
n1<br />
) . P(<br />
n2<br />
) .<br />
n!<br />
=<br />
. P(<br />
nk<br />
) n1!.<br />
n2!.<br />
. nk!<br />
Kombinace bez<br />
opakování<br />
Ck ( n)<br />
=<br />
n<br />
k<br />
n!<br />
=<br />
( n − k)!.<br />
k!<br />
Kombinace s<br />
opakováním<br />
'<br />
C k ( n)<br />
= C k ( n + k −1)<br />
=<br />
n + k −1<br />
k<br />
( n + k −<br />
=<br />
( n −1)!.<br />
Po et všech uspo ádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n1 zp soby, druhý len<br />
po výb ru prvního lenu n2 zp soby atd. až k-tý len po výb ru všech p edcházejících<br />
len nk zp soby, je roven n1 · n2 · … · nk.<br />
• Kombinatorické pravidlo o sou tu<br />
Jsou-li A1, A2, …, An kone né množiny, které mají po ad p1, p2, …, pn prvk ,<br />
a jsou-li každé dv disjunktní, pak po et prvk množiny A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An<br />
je roven p1 + p2 + … + pn.<br />
!<br />
k)!<br />
1)!<br />
k!
Otázky<br />
1. Co je to kombinatorika?<br />
2. Jaká kritéria rozlišení výb ru v kombinatorice znáte?<br />
3. Definujte:<br />
a) variace bez opakování<br />
b) variace s opakováním<br />
c) permutace bez opakování<br />
d) permutace s opakováním<br />
e) kombinace bez opakování<br />
f) kombinace s opakováním<br />
- 16 -
Úlohy k ešení<br />
Z kolika prvk lze vytvo it 90 variací druhé t ídy (bez opakování) ?<br />
2. Z kolika prvk lze vytvo it 55 kombinací druhé t ídy (bez opakování) ?<br />
Zmenší-li se po et prvk o dva, zmenší se po et permutací (bez opakování)<br />
ty icetdvakrát. Ur ete po et prvk .<br />
Z kolika prvk lze vytvo it padesátkrát více variací t etí t ídy (bez opakování) než variací<br />
druhé t ídy (bez opakování) ?<br />
V prodejn si m žete vybrat ze sedmi druh pohlednic. Kolika zp soby lze koupit:<br />
a) 10 pohlednic,<br />
b) 5 pohlednic,<br />
c) 5 r zných pohlednic<br />
V knihkupectví prodávají 10 titul knižních novinek. Kolika zp soby lze koupit<br />
4 knižní novinky,<br />
5 r zných knižních novinek?<br />
7. Na ho<strong>ke</strong>jovém turnaji, kterého se ú astní 8 družstev, sehraje každý tým s ostatními práv<br />
1 utkání. Kolik zápas bude cel<strong>ke</strong>m sehráno?<br />
8. Z 5 bílých a 4 ervených kuli ek tvo íme trojice tak, aby v každé trojici byly vždy 2 bílé a<br />
1 ervená kuli ka. Kolik trojic spl ujících tuto podmínky lze vytvo it?<br />
9. Ho<strong>ke</strong>jový tým odjel na OH s 23 hrá i, a to s 12 úto níky, 8 obránci a 3 branká i. Kolik<br />
r zných sestav m že trenér teoreticky vytvo it?<br />
10. Kolika p ímkami lze spojit 7 bod v rovin , jestliže:<br />
a) žádné t i z nich neleží v p ímce,<br />
b) t i z nich leží v jedné p ímce?<br />
11. Kolik kružnic je ur eno 10 body v rovin , jestliže žádné t i z nich neleží na p ímce a<br />
žádné ty i z nich neleží na kružnici?<br />
Kolik r zných hod m žeme provést<br />
a) dv mi,<br />
t emi r znobarevnými kostkami?<br />
13. Kolik r zných zna ek teoreticky existuje v Morseov abeced , sestavují-li se te ky a<br />
árky ve skupiny po jedné až p ti?<br />
- 17 -
14. Kolik prvk obsahuje množina všech p ticiferných p irozených ísel?<br />
15. Deset p átel si vzájemn poslalo pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic cel<strong>ke</strong>m<br />
rozeslali?<br />
16. Kolikrát více je variací k-té t ídy z n prvk než kombinací k-té t ídy z t chto prvk (bez<br />
opakování) ?<br />
17. V pln obsazené lavici sedí 6 žák a, b, c, d, e, f.<br />
a) Kolika zp soby je lze p esadit?<br />
b) Kolika zp soby je lze p esadit tak, aby žáci a, b sed li vedle sebe?<br />
c) Kolika zp soby je lze p esadit tak, aby žák c sed l na kraji?<br />
d) Kolika zp soby je lze p esadit tak, aby žák c sed l na kraji a žáci a, b sed li vedle<br />
sebe?<br />
18. Student má v knihovn 4 r zné u ebnice pružnosti, 3 r zné u ebnice matematiky a 2<br />
r zné u ebnice angli tiny. Kolika zp soby je lze se adit, mají-li z stat u ebnice<br />
jednotlivých obor vedle sebe?<br />
Kolika zp soby lze rozd lit 8 ú astník finále v b hu na 100 m do 8 drah?<br />
20. Kolik r zných permutací lze vytvo it použitím všech písmen slova<br />
a) statistika,<br />
b) matematika?<br />
21. eta voják má vyslat na stráž 4 muže. Kolik muž má eta, je-li možno úkol splnit 210<br />
zp soby?<br />
22. Kolik úhlop í ek má konvexní n-úhelník?<br />
23. V zásobníku je 7 ostrých a 3 slepé náboje. Ur ete, kolika zp soby lze namátkou ze<br />
zásobníku vyjmout 5 náboj , z nichž alespo 3 jsou ostré.<br />
24. Kolika zp soby je možno na tvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby<br />
všechna t i pole nem la stejnou barvu?<br />
25. Kolika zp soby je možno na šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všechna neležela<br />
v jednom sloupci?<br />
- 18 -
1. n = 10<br />
2. n = 11<br />
3. n = 7<br />
4. n = 52<br />
5. a) 8 008 možností<br />
b) 462 možností<br />
c) 21 možností<br />
6. a) 715 možností<br />
b) 252 možností<br />
7. 28 zápas<br />
8. 40 možností<br />
9. 18 480 možností<br />
10. a) 21 p ímkami<br />
b) 19 p ímkami<br />
11. 120 kružnic<br />
12. a) 36 r zných hod<br />
b) 216 r zných hod<br />
13. 62 r zných zna ek<br />
14. 90 000 ísel<br />
15. 90 pohled<br />
ešení:<br />
16. Variací je k! krát více než kombinací<br />
17. a) 720 možností<br />
b) 240 možností<br />
c) 240 možností<br />
d) 96 možností<br />
18. 1728 zp sob<br />
19. 40 320 zp sob<br />
- 19 -
20. a) 75 600 p esmy ek<br />
b) 151 200 p esmy ek<br />
21. 10 voják<br />
22.<br />
n<br />
( n − 3)<br />
2<br />
23. 231 možností<br />
úhlop í ek<br />
24. 31 744 možností<br />
25. 41 216 možností<br />
- 20 -