Čas ke studiu kapitoly: 30 minut 0 KOMBINATORIKA ... - Atrey

0 KOMBINATORIKA – OPAKOVÁNÍ U IVA ZE SŠ
as ke studiu kapitoly: 30 minut
Cíl: Po prostudování této kapitoly budete um t použít
• základní pojmy kombinatoriky
• vztahy pro výpo et kombinatorických úloh
- 6 -

Výklad:
0.1 Kombinatorika – co to je?
Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravd podobnosti. Zabývá se r znými zp soby
výb ru prvk z daného souboru. Už jste si vzpomn li? Jde p ece o sou ást st edoškolské
matematiky. Ale protože opakování je matkou moudrosti, jdeme na to ...
Nejd íve si ujasn me s jakými výb ry se v praxi m žeme setkat. Prvním kritériem je
uspo ádanost výb ru.
A. Uspo ádaný výb r (= Variace)
je takový výb r, p i n mž záleží na po adí vybraných prvk .
P .: Kolik trojciferných ísel lze sestavit z ísel 1; 3; 8; 9?
íslo 139 a íslo 391 považujeme za dv r zné variace výb ru.
B. Neúspo ádaný výb r (= Kombinace)
je oproti tomu výb rem, p i kterém na po adí vybraných prvk nezáleží.
P .: Kolik je možností jak vsadit Sportku?
7 ísel ze 49 – nap . kombinace {1;2;3;4;5;6;7} je totožná s kombinací
{2;3;1;6;7;4;5} – nezáleží na tom v jakém po adí jsme ísla zaškrtali.
Druhým kritériem je skute nost, zda se prvky po výb ru do p vodní množiny vracejí i
nikoliv. Podle toho se výb ry rozlišují na:
A. Výb ry s opakováním
tj. vybrané prvky se vracejí do p vodní množiny
P .: Z množiny {1;3;8;9} lze mimo jiné vytvo it troj íslí {131; 188; 888; 119; 139 ...}
B. Výb ry bez opakování
tj. vybrané prvky se do p vodní množiny nevracejí
Matematicky je jednodušší popis výb r s opakováním, avšak v praxi se ast ji setkáte
s výb ry bez opakování (test není možno opakovat, nap . tažnost trubky m žete testovat
pouze jednou, pro další test je zapot ebí použít novou trubku)
- 7 -

0.2 Základní kombinatorická pravidla
0.2.1 Kombinatorické pravidlo sou inu
Toto pravidlo používáme v b žném život zcela automaticky. Než uvedeme jeho
matematickou formulaci, ukážeme si jeho využití na p íkladu.
ešený p íklad:
U stánku nabízejí ty i druhy zmrzliny a t i polevy. Kolik r zných zmrzlin s polevou lze
vytvo it, jestliže nechceme míchat více druh ani více polev?
ešení:
Následující diagram zobrazuje všechny možnosti výb ru:
vanilková
jahodová
meru ková
citrónová
okoládová poleva
O íšková poleva
Ovocná poleva
okoládová poleva
O íšková poleva
Ovocná poleva
okoládová poleva
O íšková poleva
Ovocná poleva
okoládová poleva
O íšková poleva
Ovocná poleva
- 8 -

Ke každému ze ty druh zmrzliny m žeme p idat jednu ze t í polev, celkem je proto možné
vytvo it 4 · 3 = 12 r zných zmrzlin s polevou.
Výklad:
Zobecn ním p edchozí úvahy dojdeme k následujícímu pravidlu nazývanému
kombinatorické pravidlo sou inu:
Po et všech uspo ádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n1 zp soby, druhý len
po výb ru prvního lenu n2 zp soby atd. až k-tý len po výb ru všech p edcházejících
len nk zp soby, je roven n1 · n2 · … · nk.
V úvodním p íklad jsme hledali uspo ádané dvojice druh − poleva, jejichž první len (druh)
lze vybrat ty mi zp soby a druhý len (polevu) lze vybrat t emi zp soby. Tedy k = 2, n1 = 4,
n2 = 3; n1 · n2 = 12.
0.2.2 Kombinatorické pravidlo sou tu
Také toto pravidlo v život asto využíváme, aniž si to uv domujeme. Jestliže máme nap . t i
žluté, dv modré a ty i zelené pastelky, umí každý snadno spo ítat, že dohromady máme 3 +
2 + 4 = 9 pastelek. Matematicky se toto pravidlo formuluje takto:
Jsou-li A1, A2, …, An kone né množiny, které mají po ad p1, p2, …, pn prvk ,
a jsou-li každé dv disjunktní, pak po et prvk množiny A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
je roven p1 + p2 + … + pn.
0.3 Uspo ádané výb ry (variace)
Znovu si p ipome me, že u variací záleží na po adí vybíraných prvk .
0.3.1 Variace k-té t ídy bez opakování
Nech M je libovolná množina n prvk . Každá uspo ádaná k-tice (skupina k prvk )
z navzájem r zných prvk množiny M se nazývá variace k-té t ídy množiny M bez opakování
a zna íme ji Vk(n) – varia ní íslo.
Po et variací Vk(n) se ur uje podle vztahu:
V k
( n)
=
n.(
n −1).(
n − 2)
- 9 -
n!
( n − k + 1)
=
( n − k)!

ešený p íklad:
Z dvaceti lenného zastupitelstva (8 z ODS, 6 z SSD, 4 z KDU- SL, 2 ze SZ) se musí zvolit
p ti lenné p edsednictvo (p edseda, místop edseda, 3 lenové). Kolika r znými zp soby lze
p edsednictvo sestavit:
a) nejsou-li na výb r funkcí žádná další omezení
b) je-li stanoveno, že p edseda a místop edseda musí být ze dvou nejsiln jších stran
ešení:
a) Nejsou-li stanovena žádná omezení pro výb r p edsednictva, jde o typický p íklad variací
páté t ídy bez opakování:
Výklad:
V
5
( 20)
20!
20!
= = =
( 20 − 5)!
15!
20.
19.
18.
17.
16
- 10 -
= 1860480
V tomto p ípad tedy existuje 1860480 možností jak sestavit p edsednictvo zastupitelstva.
b) Nyní je stanoveno, že p edseda a místop edseda musí být ze dvou nejsiln jších stran (není
e eno, že p edseda musí být z nejsiln jší strany). Možností jak zvolit p edsedu a
místop edsedu je tedy:
8 . 6 + 6.
8 = 96
Po et možností, jak zvolit p edsedu z ODS a zárove místop edsedup edsedu z SSD
Zbylá t i místa v p edsednictvu mohou obsadit libovolní t i lidé ze zbývajících osmnácti (bez
ohledu na stranickou p íslušnost). Takových možností je:
V
3
( 18)
18!
18!
= = = 18.
17.
16 = 4896
( 18 − 3)!
15!
Po et možností, jak zvolit p edsedu z ODS
a zárove místop edsedup edsedu z SSD
Uplatníme-li kombinatorické pravidlo sou inu, zjistíme že celkový po et možností, jak
v p ípad takovýchto požadavk sestavit p edsednictvo je 470016 (= 96 . 4896).
V p ípad , že velikost výb ru je totožná s rozsahem množiny M (k=n) používáme pro tento
typ variací název permutace. U permutací tak nejde v podstat o výb r, nýbrž o r zná
uspo ádání téže množiny (p esmy ky).

0.3.2 Permutace bez opakování
Permutace množiny M (bez opakování) jsou všechna navzájem r zná uspo ádání množiny M.
Po et permutací n prvkové množiny stanovíme na základ vztahu:
ešený p íklad:
Výklad:
ešený p íklad:
n!
P( n)
= Vn
( n)
= = n!
( n − n)!
Vra me se op t k volb p edsednictva zastupitelstva. P edpokládejme však, že p edsednictvo
je už zvoleno a je pouze t eba rozd lit si funkce. Kolik je možností, jak si funkce rozd lit?
ešení:
Je z ejmé, že jde o permutace (p esmy ky) 5-ti lenné množiny:
P ( 5)
= 5!
= 5.
4.
3.
2.
1 = 120
P edsednictvo si tedy m že rozd lit funkce 120-ti zp soby.
Definujme si op t M jako libovolnou n-prvkovou množinu.
0.3.3 Variace k-té t ídy s opakováním
tak nazýváme každou uspo ádanou k-tici prvk z množiny M, v níž se jednotlivé prvky
mohou opakovat.
Po et variací k-té t ídy s opakováním ur uje výraz V ’ k(n)
V ( n)
= n
Ur ete kolik je možností jak sestavit 6-ti místné telefonní íslo.
,
k
k
- 11 -

ešení:
V tomto p ípad si zvolíme množinu M, M={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Pot ebujeme obsadit 6
míst.
Je z ejmé, že existuje celkem
možností jak uspo ádat 10 íslic do šestice.
Výklad:
6
V ( 10)
= 10
'
6
V tuto chvíli si musíme uv domit, že telefonní íslo nem že za ínat „0“, proto musíme tyto
možnosti od celkového po tu ode íst.
V ( 10)
= 10
'
5
Mezi všemi 6-ti místnými ísly je 10 5 ísel za ínajících „0“. Existuje tedy 900 000 (10 6 –10 5 )
možností jak vytvo it 6-ti místné telefonní íslo.
0.3.4 Permutace s opakováním
M jme uspo ádanou n-tici k r zných prvk , v níž se jednotlivé prvky opakují ni (i = 1, 2, ... ,
k) krát. Permutace s opakováním vznikají r zným uspo ádáním p vodní n-tice.
Platí:
Po et permutací s opakováním je dán vztahem:
P
'
n1
, n2
, , nk
0
=
P
k
i =1
ni
n =
P(
n)
- 12 -
5
n!
( n ) . P(
n ) . . P(
n ) n !. n !. . n !
1
2
V ’ 5(10)
k
=
1
2
k

ešený p íklad:
Na plakátovací plochu o kapacit 10 míst se mají vylepit reklamní plakáty 4 spole ností.
Spole nost ARMA si p edplatila 3 plakáty, spole nost BRUNO 2 plakáty, spole nost CEKO
1 plakát a spole nost DINA 4 plakáty. Ur ete kolika r znými zp soby lze ploch pokrýt.
ešení:
P edpokládáme-li, že každá spole nost dodala pouze jediný druh plakátu, pak jednotlivé
varianty polepení tvo í permutace s opakováním:
Výklad:
P
'
43 , 2,
1,
4
10!
10.
9.
8.
7.
6.
5
= =
= 12600
3!.
2!.
1!.
4!
3.
2.
2
Plakátovací plochu lze polepit 12600 r znými zp soby.
0.4 Neuspo ádané výb ry (kombinace)
Kombinace se používají v p ípadech, kdy se ze skupiny prvk vybírá menší podskupina, jejíž
prvky nemají specifickou roli, tj. jsou vzájemn zam nitelné (nezáleží na po adí vybraných
prvk ).
P íkladem takovéto podskupiny je závodní družstvo mladších žák pro b h na 1500 metr
(reprezentujících jistou ZŠ).
Definujme si znovu M jako libovolnou n prvkovou množinu.
0.4.1 Kombinace k-té t ídy bez opakování
pak nazv me každou k prvkovou podmnožinu sestavenou z navzájem r zných prvk množiny
M.
Po et r zných kombinací Ck(n) se ur í na základ vzorce:
Hodnota Ck(n) se nazývá kombina ní íslo.
C k
n n!
( n)
= =
k ( n − k)!.
k!
- 13 -

ešený p íklad:
Ve tvrtém ro níku ZŠ studuje 30 chlapc a 50 d v at. Pro reprezentaci ro níku v lehké
atletice je t eba sestavit smíšené 10-ti lenné družstvo (5 chlapc , 5 dívek). Kolik je možností
jak takovéto družstvo sestavit?
ešení:
Pro výpo et použijeme kombinatorické pravidlo o sou inu: Celkový po et možností jak
sestavit družstvo (n) je dán sou inem po tu možností jak vybrat 5 chlapc ze 30-ti (n1) a 5
dívek z 50-ti (n2).
Po et možností jak vybrat 5 chlapc ze 30-ti je z ejm :
Výklad:
n
1
= C
5
( 30)
=
30
5
=
( 30
30!
−
5)!.
5!
Po et možností jak vybrat 5 dívek z 50-ti je z ejm
n
2
= C
5
( 50)
=
- 14 -
30.
29.
28.
27.
26
5.
4.
3.
2.
1
= 142506
50 50!
50.
49.
48.
47.
46
= = =
= 2118760
5 ( 50 − 5)!.
5!
5.
4.
3.
2.
1
A celkový po et možností jak sestavit družstvo je tedy:
n = n n = 142506.
2118760=
301.
936012560 , tj. tém 302 miliard.
1 . 2
0.4.2 Kombinace k-té t ídy s opakováním
nazv me každou k- lennou skupinu sestavenou z prvk množiny M tak, že se prvky ve
skupin mohou opakovat a p itom nezáleží na jejich po adí.
Po et kombinací k-té t ídy s opakováním je dán vztahem:
'
n + k −1
( n + k −1)!
Ck ( n)
= C k ( n + k −1)
= =
k ( n −1)!.
k!
Kvalita výrobku se rozlišuje t emi stupni jakosti: A, B, C.
a) Ur ete kolik r zných výsledk m že mít výstupní kontrola výroby, testuje-li se kvalita
10-ti náhodn vybraných vzork .

) Kolik r zných výsledk nebude obsahovat ani jeden výrobek kvality C?
ešení:
a) Testovaný vzorek je 10-ti prvková skupina složená z výrobk t í typu jakosti. Po et
r zných výsledk kontroly je tedy dán vztahem:
Shrnutí:
C
'
10
( 3)
3 + 10 −1
=
=
10
( 12
( 12)!
−
- 15 -
10)!.
10!
Existuje 66 r zných výsledk kontroly kvality 10-ti výrobk .
12.
11
= = 66
2.
1
b) Chceme-li zjistit, kolik výb r 10-ti výrobk neobsahuje výrobek kvality C, musíme
omezit po et povolených t íd ve vzorku na 2 (A, B).
C
'
10
( 2)
2 + 10 −1
=
=
10
( 2
( 11)!
11
= = 11
−1)!.
10!
1
V 11-ti r zných výsledcích kontroly kvality nenajdeme výrobek kvality C.
Uspo ádané
výb ry
Neuspo ádané
výb ry
Bez
opakování
S
opakováním
Bez
opakování
S
opakováním
• Kombinatorické pravidlo o sou inu
Variace bez
opakování
Vk ( n)
= n.(
n −1).(
n − 2).
n
.( n − k + 1)
=
( n −
Permutace bez
opakování
n!
P( n)
= Vn
( n)
= = n!
( n − n)!
Variace s
opakováním
, k
V k ( n)
= n
Permutace s
opakováním
'
Pn 1 , n2
,
P(
n)
, n = k P(
n1
) . P(
n2
) .
n!
=
. P(
nk
) n1!.
n2!.
. nk!
Kombinace bez
opakování
Ck ( n)
=
n
k
n!
=
( n − k)!.
k!
Kombinace s
opakováním
'
C k ( n)
= C k ( n + k −1)
=
n + k −1
k
( n + k −
=
( n −1)!.
Po et všech uspo ádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n1 zp soby, druhý len
po výb ru prvního lenu n2 zp soby atd. až k-tý len po výb ru všech p edcházejících
len nk zp soby, je roven n1 · n2 · … · nk.
• Kombinatorické pravidlo o sou tu
Jsou-li A1, A2, …, An kone né množiny, které mají po ad p1, p2, …, pn prvk ,
a jsou-li každé dv disjunktní, pak po et prvk množiny A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
je roven p1 + p2 + … + pn.
!
k)!
1)!
k!

Otázky
1. Co je to kombinatorika?
2. Jaká kritéria rozlišení výb ru v kombinatorice znáte?
3. Definujte:
a) variace bez opakování
b) variace s opakováním
c) permutace bez opakování
d) permutace s opakováním
e) kombinace bez opakování
f) kombinace s opakováním
- 16 -

Úlohy k ešení
Z kolika prvk lze vytvo it 90 variací druhé t ídy (bez opakování) ?
2. Z kolika prvk lze vytvo it 55 kombinací druhé t ídy (bez opakování) ?
Zmenší-li se po et prvk o dva, zmenší se po et permutací (bez opakování)
ty icetdvakrát. Ur ete po et prvk .
Z kolika prvk lze vytvo it padesátkrát více variací t etí t ídy (bez opakování) než variací
druhé t ídy (bez opakování) ?
V prodejn si m žete vybrat ze sedmi druh pohlednic. Kolika zp soby lze koupit:
a) 10 pohlednic,
b) 5 pohlednic,
c) 5 r zných pohlednic
V knihkupectví prodávají 10 titul knižních novinek. Kolika zp soby lze koupit
4 knižní novinky,
5 r zných knižních novinek?
7. Na hokejovém turnaji, kterého se ú astní 8 družstev, sehraje každý tým s ostatními práv
1 utkání. Kolik zápas bude celkem sehráno?
8. Z 5 bílých a 4 ervených kuli ek tvo íme trojice tak, aby v každé trojici byly vždy 2 bílé a
1 ervená kuli ka. Kolik trojic spl ujících tuto podmínky lze vytvo it?
9. Hokejový tým odjel na OH s 23 hrá i, a to s 12 úto níky, 8 obránci a 3 branká i. Kolik
r zných sestav m že trenér teoreticky vytvo it?
10. Kolika p ímkami lze spojit 7 bod v rovin , jestliže:
a) žádné t i z nich neleží v p ímce,
b) t i z nich leží v jedné p ímce?
11. Kolik kružnic je ur eno 10 body v rovin , jestliže žádné t i z nich neleží na p ímce a
žádné ty i z nich neleží na kružnici?
Kolik r zných hod m žeme provést
a) dv mi,
t emi r znobarevnými kostkami?
13. Kolik r zných zna ek teoreticky existuje v Morseov abeced , sestavují-li se te ky a
árky ve skupiny po jedné až p ti?
- 17 -

14. Kolik prvk obsahuje množina všech p ticiferných p irozených ísel?
15. Deset p átel si vzájemn poslalo pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic celkem
rozeslali?
16. Kolikrát více je variací k-té t ídy z n prvk než kombinací k-té t ídy z t chto prvk (bez
opakování) ?
17. V pln obsazené lavici sedí 6 žák a, b, c, d, e, f.
a) Kolika zp soby je lze p esadit?
b) Kolika zp soby je lze p esadit tak, aby žáci a, b sed li vedle sebe?
c) Kolika zp soby je lze p esadit tak, aby žák c sed l na kraji?
d) Kolika zp soby je lze p esadit tak, aby žák c sed l na kraji a žáci a, b sed li vedle
sebe?
18. Student má v knihovn 4 r zné u ebnice pružnosti, 3 r zné u ebnice matematiky a 2
r zné u ebnice angli tiny. Kolika zp soby je lze se adit, mají-li z stat u ebnice
jednotlivých obor vedle sebe?
Kolika zp soby lze rozd lit 8 ú astník finále v b hu na 100 m do 8 drah?
20. Kolik r zných permutací lze vytvo it použitím všech písmen slova
a) statistika,
b) matematika?
21. eta voják má vyslat na stráž 4 muže. Kolik muž má eta, je-li možno úkol splnit 210
zp soby?
22. Kolik úhlop í ek má konvexní n-úhelník?
23. V zásobníku je 7 ostrých a 3 slepé náboje. Ur ete, kolika zp soby lze namátkou ze
zásobníku vyjmout 5 náboj , z nichž alespo 3 jsou ostré.
24. Kolika zp soby je možno na tvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby
všechna t i pole nem la stejnou barvu?
25. Kolika zp soby je možno na šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všechna neležela
v jednom sloupci?
- 18 -

1. n = 10
2. n = 11
3. n = 7
4. n = 52
5. a) 8 008 možností
b) 462 možností
c) 21 možností
6. a) 715 možností
b) 252 možností
7. 28 zápas
8. 40 možností
9. 18 480 možností
10. a) 21 p ímkami
b) 19 p ímkami
11. 120 kružnic
12. a) 36 r zných hod
b) 216 r zných hod
13. 62 r zných zna ek
14. 90 000 ísel
15. 90 pohled
ešení:
16. Variací je k! krát více než kombinací
17. a) 720 možností
b) 240 možností
c) 240 možností
d) 96 možností
18. 1728 zp sob
19. 40 320 zp sob
- 19 -

20. a) 75 600 p esmy ek
b) 151 200 p esmy ek
21. 10 voják
22.
n
( n − 3)
2
23. 231 možností
úhlop í ek
24. 31 744 možností
25. 41 216 možností
- 20 -