答案

03—04 学年高等数学参考答案
一、判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√
二、填空题
2 2x
1. 36 2. 3. 4 ( 1+
x)
e 4. 5 A 5. 1+ sin x 6. <
3
7.
三、计算题
cos x
1. 原式
2
2
x , 2x
cos 8. 2
= lim
x→0
e =
= 1
1
sin x x
( 1+
sin )
x
sin x
e
ln 9. 2 dx + dy 10.∫
2 d ∫
cos x
2.
2 x 2x
2x
2
e e
( e −1)
2
2x
2x
1
π
θ
0 0
R
………………… 3 分
…………………… 5 分
2x
2x
2x
2x
1 1 2e
( e −1)
− e ⋅ 2e
y ′ = ⋅ ⋅
……… 2 分
e
e −1
2e
−1
2x
= 2x
⋅ 2x
e
2x
− 2e
( e −1)
2
−1
……………………………… 4 分
x
e 2
1
= …………………………………… 5 分
1−
sin x − cos x
3.原式= ∫ dx 2
(sin x + cos x)
……………………………… 2 分
1
= −∫
d(sin
x + cos x)
………………… 4 分
2
(sin x + cos x)
f ( r cos 2θ
) rdr
1
=
+ C
………………………………… 5 分
sin x + cos x
4.设 x = 2sin
t 则 dx = 2costdt
………………………… 1 分
原式=∫
π
2
0
4sin
2
t
⋅ 2cost
⋅ 2costdt

5.
∂z
∂y
= 16
= 4
∫
∫
π
2
0
π
2
0
sin
sin
2
2
2
t ⋅ cos tdt
…………………………… 3 分
2tdt
= 2
∫
π
2
0
( 1−
cos 4t)
dt
π 1
= 2( t − sin 4t)
2 = π
…………………………… 5 分
0 4
2 y
− x ⋅
2
2 x + y
=
2 2
x + y
2 y ( x
∂ z
= −
∂x∂
y
2
+
y
2
)
3
2
2
−
( x
=
xy
2
−
+
⋅
( x
2
2
xy
+
3
( x
2
2 3
y )
2
y
+
2
y
)
3
2
2
)
1
2
⋅ 2 x
………… 2 分
……… 4 分
2 3 2 2
( 2x
y − y ) x + y
= ……………………… 5 分
2 2 3
( x + y )
6.两边同时微分得:
1
2dy − dx = ( dx − dy)
ln( x − y)
+ ( x − y)
( dx − dy)
……… 2 分
x − y
即 2dy − dx = ln( x − y)
dx − ln( x − y)
dy + ( dx − dy)
2 + ln( x − y)
故 dy = dx
…………………………… 5 分
3 + ln( x − y)
(本题求出导数后,用 dy = y′
dx 解出结果也可)
sin y
∫∫ = 1
y
0
D
7. dxdy ∫ dy∫
= ∫
1
0
y
y
2
sin y
dx
y
(sin y − y sin y)
dy
1
0
1
0
∫
1
…………………… 2 分
= −cosy
+ y cosy
− cos ydy ………………… 4 分
0

= 1− cos1+
cos1−
sin y
= 1− sin1
……………………………………… 6 分
dx 1 1
8.原方程可化为 + x = ………………………… 2 分
dy y ln y y
1
ln
−∫
dy
dy
y y ∫ y y 1
通解为 x = e [ ∫ e ⋅ dy + C]
y
y x =1
−ln
ln y
= e [ ∫ e
ln ln y
1
ln
1
⋅ dy + C]
y
1 1
1 1 2
= [ ln ydy + C]
ln y ∫ = [ (ln y)
+ C]
y
ln y 2
1
0
1 C
= ln y +
………………………………………… 4 分
2 ln y
= e 代入通解得 1 = C …………………………………… 5 分
2
故所求特解为: (ln y ) − 2x
ln y + 1 = 0 …………………………… 6 分
2
四、解: f ′ ( x)
= 3x
+ 2ax
+ b
因为 f (x)
在 x = 1处有极值
− 2 ,所以 x = 1必为驻点
…………………………………… 1 分
故 f ′ ( 1)
= 3 + 2a
+ b = 0 ………………………………………… 3 分
又 f ( 1)
= 1+
a + b = −2
解得: a = 0 , b = −3
………………………………………… 4 分
3 2
于是 f ( x)
= x − 3x
f ′ ( x)
= 3(
x −1)
f ′ ( x)
= −6x
………………………………………… 5 分
由 f ′ ( x)
= 0 得 x = ± 1,从而
3

f ′
( 1)
= 6 > 0 , 在 x = 1处有极小值
f ( 1)
= −2
…………………… 6 分
f ′
( −1)
= −6
< 0 ,在 x = −1处有极大值
f ( −1)
= 2 …………………… 7 分
五、1.解:设船速为 x ( km / h)
,依题意每航行 1 km 的耗费为
1 3
y = ( kx + 96)
…………………………………… 3 分
x
又 x = 10 时, 10 6
3 k ⋅ = 故得 k = 0.
006 , 所以有
1 3
y = ( 0.
006x
+ 96)
, x ∈ ( 0 , + ∞)
……………………… 4 分
x
0. 012 3
令 y ′ = ( x − 8000)
= 0 , 得驻点 x = 20
………… 5 分
2
x
由极值第一充分条件检验得 x = 20 是极小值点.由于在 ( 0 , + ∞)
上该函数处处可导,且只
有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点,所以求得船速为 20( km / h)
时,每航行 1km
2 96
的耗费最少,其值为 y min = 0.
006×
20 + = 7.
2 (元)
20
……………………… 7 分
y 0
2.解:(1)设切线与抛物线交点为 ( x 0 , y0
) ,则切线的斜率为 ,
x −1
2
又因为 y = x − 2 上的切线斜率满足 2 y ⋅ y′
= 1,在
x , ) 上即有 y y′
= 1
4
( 0 y0
y0
所以 2y
0 ⋅ = 1 ,即 2y ′ 0 = x0
−1
………………………………… 2 分
x −1
0
又因为 x , ) 满足 y = x − 2 ,解方程组
( 0 y0
2
0
0
2
⎪⎧
2y
0 = x0
−1
⎨ 2
⎪⎩ y = x − 2
0
0
1
所以切线方程为 y = ( x −1)
…………………………………… 3 分
2
则所围成图形的面积为:
1
2
1
S = ∫ [ 2 + y − ( 2y
+ 1)]
dy = ………… ……………………… 5 分
0
6
得
⎧x
⎨
⎩y
0
0
= 3
= 1
0
2 0

(2)图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为:
1 1
3
2
π
V = π ∫ ( x −1)
dx −π
( − 2)
=
0 4 ∫ x dx ………………………… 7 分
2
6
f ( x)
xf
′ ( x)
− f ( x)
xf
′ ( x)
− [ f ( x)
− f ( 0)]
六、证: [ ] ′ =
=
…………… 2 分
2
2
x x
x
在 [ 0,
x ] 上,对 f (x)
应用拉格朗日中值定理,则存在一点 ξ ∈ ( 0,
x)
,使得
f ( x)
− f ( 0)
= xf
′ ( ξ )
f ( x)
xf
′ ( x)
− f ( ξ )
代入上式得 [ ] ′ =
……………………… 4 分
2
x x
由假设 f ′ ( x)
> 0 知 f ′ (x)
为增函数,又 x > ξ ,则 f ′ ( x)
> f ′ ( ξ ) ,
f ( x)
f ( x)
于是 f ′ ( x)
− f ′ ( ξ ) > 0 ,从而 [ ] ′ > 0 ,故 在 ( 0,
a ) 内单调增加.
x
x
……………………………… 7 分
5