第六章习题
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第六章 习题<br />
习题 6—1<br />
1.求点 M ( 1,<br />
−2,<br />
3)<br />
到原点及坐标轴、坐标面的距离.<br />
2.证明:以 A ( 4,<br />
1,<br />
9)<br />
, B ( 10,<br />
−1,<br />
6)<br />
, C ( 2,<br />
4,<br />
3)<br />
为顶点的三角形是等腰三角形.<br />
3.建立球心在点 M ( 1,<br />
3,<br />
−2)<br />
且过坐标原点的球面方程.<br />
⎧<br />
4.求曲线 ⎨<br />
⎩<br />
z = x<br />
z = 4<br />
2<br />
0<br />
+ y<br />
2<br />
在 xOy 面上的投影.<br />
2 2 2<br />
5.求球面 x + y + z = 9 与平面 x + z = 1 的交线在 xOy 面上的投影.<br />
6.画出下列方程所表示的曲线:<br />
7.画出下列曲面围成的立体的图形:<br />
( 1)<br />
x = 0 , y = 0,<br />
z = 0,<br />
y = 1,<br />
3x<br />
+ 4y<br />
+ 2z<br />
−12<br />
= 0 ;<br />
( 2)<br />
2 2<br />
x = 0,<br />
y = 0,<br />
z = 0,<br />
z = x + y , x + y = 1.<br />
1. 求下列函数的定义域:<br />
( 1)<br />
( 3)<br />
习题 6-2<br />
1<br />
z = ; ( 2)<br />
z = ln( x − 2y<br />
+ 1)<br />
;<br />
2 2<br />
x + 2y<br />
2 2<br />
x y<br />
z = 1−<br />
− ;<br />
2 2<br />
a b<br />
( 5)<br />
z = x − y ;<br />
1 1<br />
( 4)<br />
z = + ;<br />
x + 1 x − y<br />
y<br />
( 6)<br />
z = arcsin .<br />
x<br />
4 4<br />
2<br />
2.若 f ( x,<br />
y)<br />
= x + y − 2xy<br />
,试证 f ( tx,<br />
ty)<br />
= t f ( x,<br />
y)<br />
.<br />
3<br />
2<br />
3.已知 f ( x,<br />
y)<br />
= x − 2xy<br />
+ 3y<br />
,求:<br />
1 1<br />
( 1)<br />
f ( 2,<br />
3);<br />
( 2)<br />
f ( , );<br />
x y<br />
( 3)<br />
( 1)<br />
y<br />
f ( 1,<br />
) ;<br />
x<br />
1.求下列极限.<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
x =<br />
3.<br />
2<br />
+ z<br />
2<br />
=<br />
25,<br />
( 2)<br />
x<br />
2<br />
+ 4y<br />
y = 1.<br />
+ 9z<br />
( 4)<br />
f ( x,<br />
y + h)<br />
− f ( x,<br />
h<br />
y)<br />
.<br />
习题 6—3<br />
2<br />
2<br />
=<br />
36,<br />
.
( 1)<br />
( 3)<br />
1−<br />
xy<br />
lim<br />
x y<br />
x →0<br />
2<br />
+<br />
y→1<br />
2 −<br />
lim<br />
x→0<br />
y→0<br />
( 2)<br />
lim(<br />
x + y)<br />
sin<br />
; 2<br />
x →0<br />
2 2<br />
x + y<br />
y→0<br />
xy + 4<br />
;<br />
xy<br />
( 4)<br />
2.证明下列函数的极限不存在:<br />
( 1)<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
2<br />
x →0<br />
4<br />
+<br />
y→0<br />
y<br />
y<br />
2<br />
;<br />
3.求下列函数的间断点:<br />
1+<br />
x<br />
lim<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x +<br />
y→∞<br />
∞ →<br />
+ y<br />
2<br />
y<br />
x + y<br />
( 2)<br />
lim .<br />
x→0 x − y 0<br />
y→<br />
2<br />
1<br />
;<br />
⎛ sin( xy)<br />
2 ⎞<br />
; ( 5)<br />
lim⎜<br />
+ ( x + y)<br />
⎟ .<br />
x→0⎝<br />
x<br />
⎠<br />
y→2<br />
2<br />
y + 2x<br />
2 2<br />
( 1)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= ; ( 2)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= ln( 1−<br />
x − y ) .<br />
2<br />
y − x<br />
1.求下列函数的一阶偏导数:<br />
y<br />
( 1)<br />
z = arctan ;<br />
x<br />
( 3)<br />
( 5)<br />
2<br />
z = sin( xy)<br />
+ cos ( xy);<br />
x<br />
u = ( )<br />
y<br />
2.求所给函数在指定点的偏导数:<br />
(1)<br />
(2)<br />
z<br />
f ( x,<br />
y)<br />
+ )<br />
;<br />
习题 6-4<br />
( 4)<br />
( 6)<br />
( 2)<br />
y<br />
= ( 1 xy 在点(1,1)处;<br />
3 3<br />
z = x y − y x;<br />
z = sin<br />
u =<br />
x<br />
x y<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= sin cos 在点 ( 2,<br />
π ) 处.<br />
y x<br />
3.求下列函数的高阶偏导数:<br />
2<br />
2 2 2<br />
x ∂ z ∂ z ∂ z<br />
( 1)<br />
z = tan ,求 , , ;<br />
2 2<br />
y ∂x<br />
∂y<br />
∂x∂y<br />
( 2)<br />
z<br />
= ,求<br />
2 2<br />
2 2<br />
x<br />
x<br />
+ y<br />
2 2<br />
∂ z ∂ z<br />
, ;<br />
∂x<br />
∂y<br />
2 2<br />
∂ z ∂ z<br />
( 3)<br />
z = arcsin( xy)<br />
,求 , ;<br />
2<br />
∂x<br />
∂x∂y<br />
ln x<br />
( 4)<br />
z = y ,求<br />
2 2<br />
∂ z ∂ z<br />
, ;<br />
2<br />
∂y<br />
∂x∂y<br />
2<br />
x<br />
+ xe<br />
y<br />
z<br />
+ y<br />
2<br />
.<br />
−xy<br />
;
xyz<br />
( 5)<br />
u = e ,求<br />
4 . ( 1)<br />
设<br />
( 2)<br />
设<br />
x<br />
∂ u<br />
∂x∂y∂z<br />
3<br />
.<br />
∂z<br />
∂z<br />
x .<br />
∂x<br />
∂y<br />
2<br />
y<br />
z = e ,求证: 2 + y = 0<br />
1 1<br />
−(<br />
+ )<br />
x y<br />
2 ∂z<br />
2 ∂z<br />
z = e ,求证: x + y = 2z<br />
.<br />
∂x<br />
∂y<br />
1.求下列函数的全微分.<br />
x<br />
( 1)<br />
z = xy + ;<br />
y<br />
习题 6—5<br />
x<br />
( 2)<br />
z = arcsin ;<br />
y<br />
2 2<br />
x 2 2 2<br />
= x ; ( 4)<br />
u e ( x + y + z )<br />
( 3)<br />
z ln + y<br />
x<br />
2.设函数 f ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
= z ,求 df ( 1,<br />
1,<br />
1)<br />
.<br />
y<br />
3 4<br />
3.计算 ln( 1.<br />
03 + . 0.<br />
98 −1)<br />
的近似值.<br />
0<br />
0<br />
4.计算 sin 29 , tan 46 的近似值.<br />
= .<br />
5.圆锥体形变时,底半径 R 由 30 厘米增加到 30.1 厘米,高 h 由 60 厘米减少到 59.5 厘米,<br />
求体积变化的近似值.<br />
习 题 6—6<br />
1.求下列复合函数的导数.<br />
x<br />
2 dz<br />
(1) 设 z = arcsin , y = x + 1 ,求 .<br />
y<br />
dx<br />
2 2<br />
(2) 设 z = x y − xy , x = u cosv,<br />
∂ z<br />
y = u sin v ,求 ,<br />
∂u<br />
∂z<br />
.<br />
∂v<br />
x<br />
(3) 设 z = e sin y,<br />
x = uv,<br />
∂ z<br />
y = u + v,<br />
求 ,<br />
∂u<br />
∂z<br />
.<br />
∂v<br />
2 2 xy ∂z<br />
(4) 设 z = f ( x − y , e ) ,求 ,<br />
∂x<br />
∂z<br />
,<br />
∂y<br />
2<br />
∂ z<br />
.<br />
2<br />
∂x<br />
∂z<br />
∂z<br />
(5) 设 F ( x,<br />
x + y,<br />
x + y + z)<br />
= 0 ,求 , .<br />
∂x<br />
∂y
y<br />
∂z<br />
∂z<br />
2.设 z = xy + xF(<br />
u),<br />
u = , F 为可微函数,证明 x + y = z + xy.<br />
x<br />
∂x<br />
∂y<br />
2 y<br />
2 ∂z<br />
∂z<br />
3.设 z = x f ( ) , f 为可微函数,证明 y + xy = 2z.<br />
2<br />
x<br />
∂x<br />
∂y<br />
4 .设 ϕ ( u,<br />
v)<br />
具有连续偏导数,证明由方程 ϕ ( cx − az,<br />
cy − bz)<br />
= 0 所确定的函数<br />
∂z<br />
∂z<br />
z = f ( x,<br />
y)<br />
满足 a + b = c.<br />
∂x<br />
∂y<br />
5.求下列隐函数的导数.<br />
x 2<br />
(1) sin y + e − xy = 0,<br />
dy<br />
求 .<br />
dx<br />
∂ z ∂z<br />
(2) x + 2 y + 2z<br />
− 2 xyz = 0,<br />
求 , .<br />
∂x<br />
∂y<br />
(3) e − xyz = 0,<br />
z<br />
2 2<br />
∂ z ∂ z<br />
求 , .<br />
2<br />
∂x<br />
∂x∂y<br />
2 2 2<br />
∂ z<br />
(4) x + y + z − 4z<br />
= 0,<br />
求<br />
∂x∂y<br />
2<br />
.<br />
1.求下列函数的极值.<br />
(1)<br />
2 2<br />
= 4(<br />
x − y)<br />
− x .<br />
f ( x,<br />
y)<br />
− y<br />
a a<br />
(2) f ( x,<br />
y)<br />
= xy + + ( a > 0)<br />
.<br />
x y<br />
习题 6—7<br />
2 2 x y<br />
2.求函数 z = x + y 在条件 + = 1下的极值.<br />
a b<br />
3.求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.<br />
2 2<br />
4.求由原点到曲面 ( x − y)<br />
− z = 1上的点的最短距离.<br />
5.某厂生产产品 A 需用两种原料,其单位价格分别为 2 万元和 1 万元.当这两种原料的投<br />
2<br />
2<br />
入量分别为 x 千克和 y 千克时,可生产 A 产品 Z 千克,且 Z = 20 − x + 10x<br />
− 2y<br />
+ 5y<br />
.若<br />
A 产品单位价格为 5 万元/千克,试确定投入量,使利润最大.<br />
6.工厂为促销某产品需作两项广告宣传.当两项广告费分别为 x , y 时,产品销售量<br />
200x<br />
100y<br />
1<br />
q = + .若销售产品所得利润 L = q − ( x + y)<br />
,且两种手段的广告费共 25 (千<br />
x + 5 y + 10<br />
5<br />
元),问应如何分配两项广告费用才能使利润最大?
7.某厂生产两种产品供应某地区,其需求函数分别为 x = 20 − 5p<br />
x + 3p<br />
y ,<br />
y p 2 p<br />
= 10 + 3 x − y . x y<br />
p , p 分别是两种产品的价格,其成本函数为<br />
2<br />
2<br />
C = 2x<br />
− 2xy<br />
+ y + 37.<br />
5 .求利润最大时的产出水平以及最大利润.<br />
自测题<br />
一、 判断题(将“√”或“×”填入相应的括号内).(每题 2 分,共 20 分).<br />
1.以 ( 1,<br />
0,<br />
0),<br />
( 0,<br />
1,<br />
0),<br />
( 0,<br />
0,<br />
1)<br />
为顶点的三角形为是等边三角形( ).<br />
2 2 2<br />
2.方程 x + y + z − 2x<br />
+ 4y<br />
= 0 代表一个空间球面( ).<br />
3.方程 3 x − 4y<br />
+ 9 = 0 代表一个空间柱面( ).<br />
2 2 2<br />
4.方程 2x<br />
+ 2y<br />
− z = 1代表一个旋转曲面(<br />
).<br />
xy<br />
5.极限 lim 存在( ).<br />
x →0 0 x + y<br />
y→<br />
6.若函数 z = f ( x,<br />
y)<br />
在点 P x , y ) 处连续,则在该点处有极限( ).<br />
0 ( 0 0<br />
7.若函数 z = f ( x,<br />
y)<br />
在点 P x , y ) 处的两个偏导数存在,则函数必在该点连续( ).<br />
0 ( 0 0<br />
8.若函数 z = f ( x,<br />
y)<br />
在点 P x , y ) 处的两个偏导数存在且连续,则函数在该点可微<br />
( ).<br />
0 ( 0 0<br />
2 2<br />
∂ z ∂ z<br />
9. z = f ( x,<br />
y)<br />
的两个混合偏导数 , 未必相等( ).<br />
∂x∂y<br />
∂y∂x<br />
∂z<br />
∂z<br />
10.二元可微函数 z = f ( x,<br />
y)<br />
的极值点只能是使 = = 0 的点( ).<br />
∂x<br />
∂y<br />
二、单项选择题(每题 2 分,共 20 分).<br />
1.平面 y = 2 ( ).<br />
(A)垂直于 xoz 面; (B)平行于 xoy 面;<br />
(C)平行于 xoz 面; (D)平行于oy 轴.<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
2.方程 + + = 1所表示的曲面是(<br />
).<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
(A)椭圆抛物面; (B)双叶双曲面; (C)单叶双曲面; (D)椭球面.<br />
3.下列各组函数中,定义域相同的是( ).
(A) z<br />
1−<br />
x<br />
1−<br />
y<br />
1 − x<br />
= ;<br />
1 − y<br />
2<br />
2<br />
= ln 与 z 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
(B) z = 1− x + 1−<br />
y 与 z = arcsin x + arcsin y ;<br />
1 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
(C) z = + 与 z = ( 1 − x ) + ( 1 − y ) ;<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
x 1−<br />
y<br />
2 2<br />
(D) z = x + y − 3 与 z = x + y − 9 .<br />
2<br />
4x<br />
− y<br />
4.二元函数 z = 的定义域是 xOy 平面上的区域( ).<br />
2 2<br />
ln( 1 − x − y )<br />
2 2<br />
2<br />
(A) x + y ≤ 1,<br />
y ≤ 4x<br />
;<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
(B) x + y < 1,<br />
y ≤ 4x,<br />
x + y ≠ 0 ;<br />
2 2<br />
2<br />
(C) x + y < 1,<br />
y < 4x<br />
;<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
(D) x + y ≤ 1,<br />
y < 4x,<br />
x + y ≠ 0 .<br />
2 2 2<br />
⎧x<br />
+ y + z = 2,<br />
5.空间曲线 Γ : ⎨ 2 2<br />
⎩z<br />
= x + y .<br />
在 xOy 面上的投影为( ).<br />
2 2<br />
2 2<br />
(A) x + y = 2 ; (B) x + y = 1;<br />
2 ⎧x<br />
+ y<br />
(C) ⎨<br />
⎩z<br />
= 0.<br />
2<br />
=<br />
2,<br />
2 ⎧x<br />
+ y<br />
; (D) ⎨<br />
⎩z<br />
= 0.<br />
2<br />
= 1,<br />
.<br />
'<br />
'<br />
6.函数 f ( x,<br />
y)<br />
在点 x , ) 处的两个偏导数 x , y ), f ( x , y ) 存在是该点连续的<br />
( ).<br />
( 0 y0<br />
f x ( 0 0 y 0 0<br />
(A)充分条件而非必要条件; (B)必要条件而非充分条件;<br />
(C)充分必要条件; (D)即非充分条件又非必要条件.<br />
7.若 z = f ( x,<br />
y)<br />
在点 P x , y ) 处的两个偏导数存在,则在该点( ).<br />
0 ( 0 0<br />
(A)有极限; (B)连续; (C)可微; (D)有切线.<br />
( x + ay)<br />
dx + ydy<br />
为某函数的全微分,则 a 等于( ).<br />
( x + y)<br />
8.已知 2<br />
(A) − 1;<br />
(B) 0 ; (C)1; (D) 2 .<br />
2 2<br />
9.函数 z = 1 − x + y 的极值点是( ).<br />
(A)驻点; (B)不可微点;
(C)间断点; (D)可微但全微分不为零的点.<br />
2<br />
∂ u<br />
10.可使 = 2x<br />
− y 成立的函数是( ).<br />
∂x∂y<br />
1 2<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
x y<br />
(A) u = x y + xy ;<br />
(B) u = x y − xy + e + e − 5;<br />
2<br />
2<br />
2 1 2<br />
3 2<br />
(C) u = x y − xy ;<br />
(D) u = 4xy + x y − xy .<br />
2<br />
三、填空题(每题 4 分,共 20 分).<br />
1.过点 A ( 1,<br />
0,<br />
0),<br />
B(<br />
0,<br />
2,<br />
0),<br />
C(<br />
0,<br />
0,<br />
3)<br />
的平面方程为 .<br />
2.锥面 2 0<br />
2 2 2<br />
x + y − z = 和平面 y = 2 的交线是 .<br />
xy + 1−<br />
1<br />
3. lim =<br />
x→0<br />
x + y<br />
y→0<br />
y z<br />
∂z<br />
∂z<br />
4.方程 x = y 确定了函数 z = z(<br />
x,<br />
y)<br />
,则 ⋅ =<br />
∂x<br />
∂y<br />
.<br />
x 2<br />
5.设 f ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
= e yz ,其中 z = z(<br />
x,<br />
y)<br />
是由 x + y + z + xyz = 0 确定的隐函数,则<br />
f ( 0,<br />
1,<br />
−1)<br />
= ______.<br />
'<br />
x<br />
四、计算题(每题 10 分,共 30 分).<br />
⎛ x − y + z ⎞ ∂u<br />
∂u<br />
1.设 u = ⎜ ⎟ , 求 , , du.<br />
⎝ x + y − z ⎠ ∂x<br />
∂z<br />
n<br />
2 2<br />
2.求函数 z = xy 在区域 x + y ≤ 1上的最值.<br />
3.某地两个工厂共同生产同种产品供应市场,各厂产量分别为 x, y 单位时,成本函数分<br />
2<br />
2<br />
1<br />
别为 C 1 = 2x<br />
+ 16x<br />
+ 18,<br />
C2<br />
= y + 32y<br />
+ 70 .已知该产品的需求函数为 Q = 30 − p ,<br />
4<br />
其中 p 为售价,且需求量即为两厂的总产量.求使该产品取得最大利润时的总产量、各工<br />
厂产量、产品售价及最大利润.<br />
五、证明题(10 分).<br />
设方程 F ( x,<br />
y)<br />
= 0 确定隐函数 y = f (x)<br />
,且 F ( x,<br />
y)<br />
存在二阶连续偏导数,证明<br />
2<br />
2<br />
'<br />
2<br />
d y − F′<br />
′ xx ( F′<br />
y ) + 2F<br />
′<br />
xy Fx<br />
F′<br />
y − F′<br />
′ yy ( F′<br />
x )<br />
= .<br />
2<br />
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