第六章习题

第六章 习题
习题 6—1
1.求点 M ( 1,
−2,
3)
到原点及坐标轴、坐标面的距离.
2.证明:以 A ( 4,
1,
9)
, B ( 10,
−1,
6)
, C ( 2,
4,
3)
为顶点的三角形是等腰三角形.
3.建立球心在点 M ( 1,
3,
−2)
且过坐标原点的球面方程.
⎧
4.求曲线 ⎨
⎩
z = x
z = 4
2
0
+ y
2
在 xOy 面上的投影.
2 2 2
5.求球面 x + y + z = 9 与平面 x + z = 1 的交线在 xOy 面上的投影.
6.画出下列方程所表示的曲线:
7.画出下列曲面围成的立体的图形:
( 1)
x = 0 , y = 0,
z = 0,
y = 1,
3x
+ 4y
+ 2z
−12
= 0 ;
( 2)
2 2
x = 0,
y = 0,
z = 0,
z = x + y , x + y = 1.
1. 求下列函数的定义域:
( 1)
( 3)
习题 6-2
1
z = ; ( 2)
z = ln( x − 2y
+ 1)
;
2 2
x + 2y
2 2
x y
z = 1−
− ;
2 2
a b
( 5)
z = x − y ;
1 1
( 4)
z = + ;
x + 1 x − y
y
( 6)
z = arcsin .
x
4 4
2
2.若 f ( x,
y)
= x + y − 2xy
,试证 f ( tx,
ty)
= t f ( x,
y)
.
3
2
3.已知 f ( x,
y)
= x − 2xy
+ 3y
,求:
1 1
( 1)
f ( 2,
3);
( 2)
f ( , );
x y
( 3)
( 1)
y
f ( 1,
) ;
x
1.求下列极限.
x
2
+ y
x =
3.
2
+ z
2
=
25,
( 2)
x
2
+ 4y
y = 1.
+ 9z
( 4)
f ( x,
y + h)
− f ( x,
h
y)
.
习题 6—3
2
2
=
36,
.

( 1)
( 3)
1−
xy
lim
x y
x →0
2
+
y→1
2 −
lim
x→0
y→0
( 2)
lim(
x + y)
sin
; 2
x →0
2 2
x + y
y→0
xy + 4
;
xy
( 4)
2.证明下列函数的极限不存在:
( 1)
x
lim
x
2
x →0
4
+
y→0
y
y
2
;
3.求下列函数的间断点:
1+
x
lim
2
x
2
x +
y→∞
∞ →
+ y
2
y
x + y
( 2)
lim .
x→0 x − y 0
y→
2
1
;
⎛ sin( xy)
2 ⎞
; ( 5)
lim⎜
+ ( x + y)
⎟ .
x→0⎝
x
⎠
y→2
2
y + 2x
2 2
( 1)
f ( x,
y)
= ; ( 2)
f ( x,
y)
= ln( 1−
x − y ) .
2
y − x
1.求下列函数的一阶偏导数:
y
( 1)
z = arctan ;
x
( 3)
( 5)
2
z = sin( xy)
+ cos ( xy);
x
u = ( )
y
2.求所给函数在指定点的偏导数:
(1)
(2)
z
f ( x,
y)
+ )
;
习题 6-4
( 4)
( 6)
( 2)
y
= ( 1 xy 在点(1,1)处;
3 3
z = x y − y x;
z = sin
u =
x
x y
f ( x,
y)
= sin cos 在点 ( 2,
π ) 处.
y x
3.求下列函数的高阶偏导数:
2
2 2 2
x ∂ z ∂ z ∂ z
( 1)
z = tan ,求 , , ;
2 2
y ∂x
∂y
∂x∂y
( 2)
z
= ,求
2 2
2 2
x
x
+ y
2 2
∂ z ∂ z
, ;
∂x
∂y
2 2
∂ z ∂ z
( 3)
z = arcsin( xy)
,求 , ;
2
∂x
∂x∂y
ln x
( 4)
z = y ,求
2 2
∂ z ∂ z
, ;
2
∂y
∂x∂y
2
x
+ xe
y
z
+ y
2
.
−xy
;

xyz
( 5)
u = e ,求
4 . ( 1)
设
( 2)
设
x
∂ u
∂x∂y∂z
3
.
∂z
∂z
x .
∂x
∂y
2
y
z = e ,求证: 2 + y = 0
1 1
−(
+ )
x y
2 ∂z
2 ∂z
z = e ,求证: x + y = 2z
.
∂x
∂y
1.求下列函数的全微分.
x
( 1)
z = xy + ;
y
习题 6—5
x
( 2)
z = arcsin ;
y
2 2
x 2 2 2
= x ; ( 4)
u e ( x + y + z )
( 3)
z ln + y
x
2.设函数 f ( x,
y,
z)
= z ,求 df ( 1,
1,
1)
.
y
3 4
3.计算 ln( 1.
03 + . 0.
98 −1)
的近似值.
0
0
4.计算 sin 29 , tan 46 的近似值.
= .
5.圆锥体形变时,底半径 R 由 30 厘米增加到 30.1 厘米,高 h 由 60 厘米减少到 59.5 厘米,
求体积变化的近似值.
习 题 6—6
1.求下列复合函数的导数.
x
2 dz
(1) 设 z = arcsin , y = x + 1 ,求 .
y
dx
2 2
(2) 设 z = x y − xy , x = u cosv,
∂ z
y = u sin v ,求 ,
∂u
∂z
.
∂v
x
(3) 设 z = e sin y,
x = uv,
∂ z
y = u + v,
求 ,
∂u
∂z
.
∂v
2 2 xy ∂z
(4) 设 z = f ( x − y , e ) ,求 ,
∂x
∂z
,
∂y
2
∂ z
.
2
∂x
∂z
∂z
(5) 设 F ( x,
x + y,
x + y + z)
= 0 ,求 , .
∂x
∂y

y
∂z
∂z
2.设 z = xy + xF(
u),
u = , F 为可微函数,证明 x + y = z + xy.
x
∂x
∂y
2 y
2 ∂z
∂z
3.设 z = x f ( ) , f 为可微函数,证明 y + xy = 2z.
2
x
∂x
∂y
4 .设 ϕ ( u,
v)
具有连续偏导数,证明由方程 ϕ ( cx − az,
cy − bz)
= 0 所确定的函数
∂z
∂z
z = f ( x,
y)
满足 a + b = c.
∂x
∂y
5.求下列隐函数的导数.
x 2
(1) sin y + e − xy = 0,
dy
求 .
dx
∂ z ∂z
(2) x + 2 y + 2z
− 2 xyz = 0,
求 , .
∂x
∂y
(3) e − xyz = 0,
z
2 2
∂ z ∂ z
求 , .
2
∂x
∂x∂y
2 2 2
∂ z
(4) x + y + z − 4z
= 0,
求
∂x∂y
2
.
1.求下列函数的极值.
(1)
2 2
= 4(
x − y)
− x .
f ( x,
y)
− y
a a
(2) f ( x,
y)
= xy + + ( a > 0)
.
x y
习题 6—7
2 2 x y
2.求函数 z = x + y 在条件 + = 1下的极值.
a b
3.求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
2 2
4.求由原点到曲面 ( x − y)
− z = 1上的点的最短距离.
5.某厂生产产品 A 需用两种原料,其单位价格分别为 2 万元和 1 万元.当这两种原料的投
2
2
入量分别为 x 千克和 y 千克时,可生产 A 产品 Z 千克,且 Z = 20 − x + 10x
− 2y
+ 5y
.若
A 产品单位价格为 5 万元/千克,试确定投入量,使利润最大.
6.工厂为促销某产品需作两项广告宣传.当两项广告费分别为 x , y 时,产品销售量
200x
100y
1
q = + .若销售产品所得利润 L = q − ( x + y)
,且两种手段的广告费共 25 (千
x + 5 y + 10
5
元),问应如何分配两项广告费用才能使利润最大?

7.某厂生产两种产品供应某地区,其需求函数分别为 x = 20 − 5p
x + 3p
y ,
y p 2 p
= 10 + 3 x − y . x y
p , p 分别是两种产品的价格,其成本函数为
2
2
C = 2x
− 2xy
+ y + 37.
5 .求利润最大时的产出水平以及最大利润.
自测题
一、 判断题(将“√”或“×”填入相应的括号内).(每题 2 分,共 20 分).
1.以 ( 1,
0,
0),
( 0,
1,
0),
( 0,
0,
1)
为顶点的三角形为是等边三角形( ).
2 2 2
2.方程 x + y + z − 2x
+ 4y
= 0 代表一个空间球面( ).
3.方程 3 x − 4y
+ 9 = 0 代表一个空间柱面( ).
2 2 2
4.方程 2x
+ 2y
− z = 1代表一个旋转曲面(
).
xy
5.极限 lim 存在( ).
x →0 0 x + y
y→
6.若函数 z = f ( x,
y)
在点 P x , y ) 处连续,则在该点处有极限( ).
0 ( 0 0
7.若函数 z = f ( x,
y)
在点 P x , y ) 处的两个偏导数存在,则函数必在该点连续( ).
0 ( 0 0
8.若函数 z = f ( x,
y)
在点 P x , y ) 处的两个偏导数存在且连续,则函数在该点可微
( ).
0 ( 0 0
2 2
∂ z ∂ z
9. z = f ( x,
y)
的两个混合偏导数 , 未必相等( ).
∂x∂y
∂y∂x
∂z
∂z
10.二元可微函数 z = f ( x,
y)
的极值点只能是使 = = 0 的点( ).
∂x
∂y
二、单项选择题(每题 2 分,共 20 分).
1.平面 y = 2 ( ).
(A)垂直于 xoz 面; (B)平行于 xoy 面;
(C)平行于 xoz 面; (D)平行于oy 轴.
2 2 2
x y z
2.方程 + + = 1所表示的曲面是(
).
2 2 2
a b c
(A)椭圆抛物面; (B)双叶双曲面; (C)单叶双曲面; (D)椭球面.
3.下列各组函数中,定义域相同的是( ).

(A) z
1−
x
1−
y
1 − x
= ;
1 − y
2
2
= ln 与 z 2
2
2
2
(B) z = 1− x + 1−
y 与 z = arcsin x + arcsin y ;
1 1
2 2
2 2
(C) z = + 与 z = ( 1 − x ) + ( 1 − y ) ;
2
2
1−
x 1−
y
2 2
(D) z = x + y − 3 与 z = x + y − 9 .
2
4x
− y
4.二元函数 z = 的定义域是 xOy 平面上的区域( ).
2 2
ln( 1 − x − y )
2 2
2
(A) x + y ≤ 1,
y ≤ 4x
;
2 2
2
2 2
(B) x + y < 1,
y ≤ 4x,
x + y ≠ 0 ;
2 2
2
(C) x + y < 1,
y < 4x
;
2 2
2
2 2
(D) x + y ≤ 1,
y < 4x,
x + y ≠ 0 .
2 2 2
⎧x
+ y + z = 2,
5.空间曲线 Γ : ⎨ 2 2
⎩z
= x + y .
在 xOy 面上的投影为( ).
2 2
2 2
(A) x + y = 2 ; (B) x + y = 1;
2 ⎧x
+ y
(C) ⎨
⎩z
= 0.
2
=
2,
2 ⎧x
+ y
; (D) ⎨
⎩z
= 0.
2
= 1,
.
'
'
6.函数 f ( x,
y)
在点 x , ) 处的两个偏导数 x , y ), f ( x , y ) 存在是该点连续的
( ).
( 0 y0
f x ( 0 0 y 0 0
(A)充分条件而非必要条件; (B)必要条件而非充分条件;
(C)充分必要条件; (D)即非充分条件又非必要条件.
7.若 z = f ( x,
y)
在点 P x , y ) 处的两个偏导数存在,则在该点( ).
0 ( 0 0
(A)有极限; (B)连续; (C)可微; (D)有切线.
( x + ay)
dx + ydy
为某函数的全微分,则 a 等于( ).
( x + y)
8.已知 2
(A) − 1;
(B) 0 ; (C)1; (D) 2 .
2 2
9.函数 z = 1 − x + y 的极值点是( ).
(A)驻点; (B)不可微点;

(C)间断点; (D)可微但全微分不为零的点.
2
∂ u
10.可使 = 2x
− y 成立的函数是( ).
∂x∂y
1 2
1 2
2
2
x y
(A) u = x y + xy ;
(B) u = x y − xy + e + e − 5;
2
2
2 1 2
3 2
(C) u = x y − xy ;
(D) u = 4xy + x y − xy .
2
三、填空题(每题 4 分,共 20 分).
1.过点 A ( 1,
0,
0),
B(
0,
2,
0),
C(
0,
0,
3)
的平面方程为 .
2.锥面 2 0
2 2 2
x + y − z = 和平面 y = 2 的交线是 .
xy + 1−
1
3. lim =
x→0
x + y
y→0
y z
∂z
∂z
4.方程 x = y 确定了函数 z = z(
x,
y)
,则 ⋅ =
∂x
∂y
.
x 2
5.设 f ( x,
y,
z)
= e yz ,其中 z = z(
x,
y)
是由 x + y + z + xyz = 0 确定的隐函数,则
f ( 0,
1,
−1)
= ______.
'
x
四、计算题(每题 10 分,共 30 分).
⎛ x − y + z ⎞ ∂u
∂u
1.设 u = ⎜ ⎟ , 求 , , du.
⎝ x + y − z ⎠ ∂x
∂z
n
2 2
2.求函数 z = xy 在区域 x + y ≤ 1上的最值.
3.某地两个工厂共同生产同种产品供应市场,各厂产量分别为 x, y 单位时,成本函数分
2
2
1
别为 C 1 = 2x
+ 16x
+ 18,
C2
= y + 32y
+ 70 .已知该产品的需求函数为 Q = 30 − p ,
4
其中 p 为售价,且需求量即为两厂的总产量.求使该产品取得最大利润时的总产量、各工
厂产量、产品售价及最大利润.
五、证明题(10 分).
设方程 F ( x,
y)
= 0 确定隐函数 y = f (x)
,且 F ( x,
y)
存在二阶连续偏导数,证明
2
2
'
2
d y − F′
′ xx ( F′
y ) + 2F
′
xy Fx
F′
y − F′
′ yy ( F′
x )
= .
2
3
dx
( F′
)
y
.