SINHRONIZACIONE SEKVENCE I BIFIKS ANALIZA - KTiOS

UNIVERZITET U NOVOM SADU 

FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA 

KATEDRA ZA TELEKOMUNIKACIJE I OBRADU 

SIGNALA 

SINHRONIZACIONE SEKVENCE I BIFIKS ANALIZA 

kandidat 

Čedomir Stefanović, dipl. ing. 

magistarska teza 

Jun 2006. 

mentor 

prof. dr Dragana Bajić

Sadrˇzaj 

Uvod vi 

1 Sinhronizacija na nivou rama 1 

1.1 Strategijasinhronizacije ............................ 2 

1.1.1 Detekcija sinhro-sekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.2 Heberleoveakvizicionekrive...................... 13 

2 Dizajn optimalnih sinhronizacionih sekvenci 16 

2.1 Barkerovesekvence............................... 17 

2.2 Turinovesekvence ............................... 19 

2.3 Vilardovesekvence ............................... 19 

2.4 Mori-Stajlssekvence .............................. 21 

2.5 Al-Subah-Dˇzonssekvence ........................... 21 

2.6 Distribuiranesekvence............................. 23 

2.7 Meritfaktor................................... 25 

3 Bifiks analiza 28 

3.1 Pretraga u beskonačnomnizupodataka ................... 28 

3.1.1 Pretragazajednomsekvencom .................... 28 

3.1.2 Pretragazavišesekvenci ....................... 36 

3.2 Pretragauramu ................................ 41 

3.2.1 Pretragazajednomsekvencom .................... 41 

3.2.2 Pretragazavišesekvenci ....................... 47 

4 Primena bifiks analize 53 

4.1 Vremeakvizicije(resinhronizacije) ...................... 53 

4.2 Analiza postojećihsinhro-sekvenci ...................... 55 

4.2.1 E1(PDH)sinhro-sekvenca....................... 55 

4.2.2 HDLC fleg ............................... 58 

4.2.3 SDHsinhro-sekvenca.......................... 60 

4.3 Dizajnsinhro-sekvenci............................. 60 

5 Zaključak 64 

i

SADRˇZAJ ii 

A Neke osobine bifiksa 65 

B Pretraga u beskonačnom nizu 67 

B.1 Gustina raspodele verovatnoćepretragezasekvencom ........... 67 

B.2 Očekivanotrajanjepretrage.......................... 69

Slike 

1.1 Strukturniprikazrama............................. 1 

1.2 Principski algoritam hvatanja i provere sinhronizacije na nivou rama . . . 3 

1.3 Primer akvizicije za K =3........................... 4 

1.4 StrategijasinhronizacijekodSDH....................... 5 

1.5 Stvarna stanja u kojima se sistem moˇze naći u odnosu na sinhronizam . . 6 

1.6 Detekcijasinhro-sekvence ........................... 6 

1.7 Kriterijumdetekcije .............................. 8 

1.8 Verovatnoća laˇzne detekcije u zavisnosti od parametra e .......... 9 

1.9 Verovatnoća ispravne detekcije za =10 −2 ................. 9 

1.10 Verovatnoća ispravne detekcije za =10 −6 ................. 10 

1.11 Prosečnotrajanjesinhronizacije........................ 15 

2.1 Regioni pretraˇzivanjauramu ......................... 17 

2.2 Korelacija u kvazi-determinističkom regionu za Barkerovu sekvencu, N =5 19 

2.3 Korelacija u kvazi-determinističkom regionu za Vilardovu sekvencu, N =5 20 

2.4 Korelacija u kvazi-determinističkom regionu za sekvencu 110*0*0 . . . . . 24 

3.1 Pretraga u beskonačnomnizu......................... 29 

3.2 Uzdokazteoreme................................ 33 

3.3 Gustina raspodele trajanja pretrage, N =8 ................. 34 

3.4 Očekivano trajanje pretrage u nizu konačne duˇzine, N =8......... 35 

3.5 Očekivano trajanje pretrage u odnosu na duˇzinu niza, N =8 ....... 35 

3.6 Gustina raspodele trajanja pretrage, N =16 ................ 36 

3.7 Očekivano trajanje pretrage u odnosu na duˇzinu niza, N =16 ....... 37 

3.8 Pretragauramu ................................ 42 

3.9 Pretraga u prvom kvazi-determinističkom regionu, svi bifiksi su kraći od N 2 44 

3.10 Pretraga u prvom kvazi-determinističkom regionu, postoje bifiksi duˇzi od 

N 

2 ........................................ 45 

3.11 Potencijalne simulacije sinhro-sekvence u drugom kvazi-determinističkom 

regionu...................................... 46 

3.12 Pretraga u ramu, N =8, F =80 ....................... 47 

3.13 Pretrage za više sekvenci u prvom kvazi-determinističkom regionu . . . . . 49 

3.14 Pretraga u ramu, e =1............................. 51 

iii

SLIKE iv 

4.1Modelakvizicije................................. 54 

4.2 Pretraga u ramu, N =7, F = 512, e =1 ................... 57 

4.3 Prosečno vreme pojavljivanja karakterističnih sekvenci u nizu ograničene 

duˇzine...................................... 59 

4.4 PrSV za Al-Subah-Dˇzons sekvence, e =1................... 62 

4.5 PrSV za Al-Subah-Dˇzons sekvence, e ∈ {0, 1, 2} ............... 63 

A.1 Preklapanje bifiksa reda većeg od b> ¥ ¦ 

N 

2 .................. 65 

B.1 Pr{k} karakterističnih sekvenci duˇzine 8 u odnosu na 1 

k 2 .......... 69

Tabele 

1.1 Vrednosti parametara K i J zaPDHsisteme ................ 5 

2.1 PoznateBarkerovesekvence.......................... 18 

2.2 Turinovesekvence ............................... 19 

2.3 Vilardovesekvence ............................... 20 

2.4 Mori-Stajlssekvence .............................. 21 

2.5 Al-Subah-Dˇzonssekvence ........................... 23 

2.6 Distribuiranesekvence............................. 24 

3.1 Verovatnoće preˇzivljavanjazasekvenceizprimera.............. 47 


4.1 Broj kros-bifiksazasekvenceizprimera ................... 56 

4.2 Prosečno vreme akvizicije, N =7, F = 512, e =1.............. 57 


4.4 Broj kros-bifiksazasekvenceizprimera ................... 58 

v

Uvod 

Prilikom uobičajenih, školskih razmatranja telekomunikacionih sistema, često se zanemaruje 

problem sinhronizacije izme†u predajnika i prijemnika. Sinhronizacija se podrazumeva, 

iako je njeno postizanje i odrˇzavanje relativno sloˇzen problem, a bez nje 

ispravan prenos ne bi bio moguć. Svako odstupanje od pretpostavljene idealne sinhronizacije 

(koje u praksi neizbeˇzno uvek postoji) dovodi pre svega do povećanja verovatnoće 

greške, a u sloˇzenijom sistemima i do drugih nepovoljnih efekata (moˇze se pretpostaviti 

koji se sve problemi mogu pojaviti u sistemima sa vremenskim multipleksom ili u sistemima 

u kojima se koristi CDMA ili OFDM). 

Sinhronizacija se u digitalnim telekomunikacionim mreˇzama razlaˇze i posmatra odvojeno 

na nekoliko nivoa [1], [2]. Ovakav pristup, tipičan u inˇzenjerstvu i u skladu sa filozofijom 

koju nameće OSI, pretpostavlja nezavisan tretman pojedinih aspekata sinhronizacije 

i lakše rešavanje kompleksnog problema koji se pod sinhronizacijom podrazumeva. 

Ako se posmatra koherentna demodulacija, tada je prvo neophodna sinhronizacija na 

nivou nosioca (carrier synchronization), pod kojom se podrazumeva obnavljanje informacije 

o frekvenciji i fazi nosioca na prijemu radi ispravne demodulacije. Kod sistema 

sa nekoherentnom demodulacijom informacija o fazi signala nije potrebna. 

Na sledećem nivou je simbolska sinhronizacija (symbol synchronization), pomoću koje 

se odre†uju granice signalizacionih intervala i omogućava ispravna detekcija pojedinih 

simbola. Osnovni koncepti koji se tiču fazne i simbolske sinhronizacije se mogu naći u 

[1], [2]. 

U digitalnim telekomunikacijama simboli koji se prenose su uvek organizovani u 

pakete. Obično se paketi koji neposredno podleˇzu transmisiji nazivaju ramovima (još 

se zovu frejmovi ili okviri). Na nivou ramova se vrši vremensko multipleksiranje, komutacija, 

zaštitno kodovanje, detekcija i korekcija grešaka, i razne druge funkcije. Da bi 

se ove funkcije mogle uspešno izvršiti, na prijemu je potrebna je sinhronizacija na nivou 

rama (frame synchronization). Sinhronizacija na nivou rama omogućava grupisanje simbola 

iz toka koji pristiˇze u prijemnik u ramove. Najčešće se ostvaruje upotrebom sinhronizacionih 

sekvenci, koje se, zavisno od konkretne primene/protokola, u literaturi još 

nazivaju i sinhro-rečima (synchro-words), markerima (frame markers), flegovima (flags), 

sinhronizacionim preambulama (synchronization preambules) iliFAW(frame alignment 

words). Sinhro-sekvenca je unapred odre†eni niz simbola koji se uglavnom nalazi na 

početku rama i pomoću kojeg se odre†uje granice rama. 

Do sada nabrojani nivoi sinhronizacije su potrebni za prenos na vezama tipa tačka- 

vi

UVOD vii 

tačka (point-to-point). Kada se posmatra čitava mreˇza sastavljenu od mnoštva primopredajnika, 

u zavisnosti od tipa mreˇze moguće je da se zahteva i mreˇzna sinhronizacija 

(npr. kod PDH i SDH mreˇza). Pod mreˇznom sinhronizacijom se podrazumeva vremensko 

i frekvencijsko uskla†ivanje digitalnih taktova svih ure†aja u okviru jedne mreˇze. 

Više o mreˇznoj sinhronizaciji i modelima mreˇzne sinhronizacije se moˇze pronaći u [1], [2] 

i[3]. 

Tema ovog rada su sinhronizacija na nivou rama i sinhro-sekvence. U radu će se pored 

rekapitulacije dosadašnjih rezultata iz oblasti konstrukcije optimalnih sinhro-sekvenci, 

predstaviti i novi rezulati koji se tiču bifiks (bifix) analize, alata kojim se mogu kreirati 

sinhro-sekvence koje će zadovoljiti neke od parametara bitnih za sinhronizaciju na nivou 

rama (o kojima će biti više reči). Ukratko rečeno, pomoću bifiks analize moguće je 

odrediti gustinu raspodele verovatnoće slučajne simulacije sinhro-sekvence u preostalom 

delu rama. Na ovaj način je moguće, za zadatu duˇzinu rama, odrediti potrebnu duˇzinu 

sekvence kao i njenu strukturu tako da se minimizuje mogućnost pogrešne sinhronizacije. 

Za zadatu sekvencu moguće pronaći optimalnu duˇzinu rama tako da je prosečna učestanost 

simulacije sekvence najmanja. Tako†e, pomoću bifiks analize se mogu egzaktno 

analitički upore†ivati već postojeće sinhro-sekvence, što do sada nije bio slučaj. 

U tekstu koji sledi biće predstavljeni: 

• osnovne karakteristike sinhronizacije na nivou rama, problem akvizicije, i kriterijum 

za optimalno odlučivanje o pronalasku sinhro-sekvence u primljenom toku 

simbola (prvo poglavlje), 

• najčešće korišćeni kriterijumi za konstrukciju optimalnih sinhronizacionih sekvenci 

(drugo poglavlje), 

• bifiks analiza (treće poglavlje), 

• primeri primena bifiks analize (četvrto poglavlje).

Glava 1 

Sinhronizacija na nivou rama 

Kao što je već navedeno, zadatak sinhronizacije na nivou rama je delineacija (identifikacija 

granica) ramova u nizu simbola koji pristiˇzu prijemnik. To se obično postiˇze 

umetanjem specijalnih, unapred definisanih sekvenci zvanih sinhro-sekvence na početak 

i/ili kraj rama (slika 1.1). Postoje i druge tehnike kao što su npr. comma-free kodovanje 

[4], ili hvatanje sinhronizacije pomoću polja koje sluˇzi za proveru ispravnosti prenosa 

koje se koristi kod ATM-a, ali ovo su prilično egzotični koncepti i nisu tema ovog rada. 

SINHRO- 

SEKVENCA 

ZAGLAVLJE PODACI 

Slika 1.1: Strukturni prikaz rama 

Problem sinhronizacije na nivou rama se moˇze odvojeno posmatrati u dva osnovna 

slučaja: 

• kod sinhronog prenosa, kao što je u klasičnim telekomunikacionim mreˇzama (npr. 

PDH, SDH, pa i kod ATM-a na fizičkom nivou), 

• kod asinhronog prenosa, kao što je kod klasičnih računarskih komunikacija (npr. 

Ethernet). 

Uprvomslučaju, problem sinhronizacije je znatno sloˇzeniji. Ramovi su iste duˇzine, 

kontinualno slede jedan za drugim, a vreme na linku je podeljeno na strogi pozicioni 

multipleks. Da bi prenos bio uspešan potrebna je brza akvizicija sinhronizacije, kao i 

njeno konstantno odrˇzavanje. 

Kod asinhronog prenosa, ramovi se emituju samo kada postoji potreba za prenosom. 

Osim toga, ramovi su promenljive duˇzine, jasno me†usobno odvojeni pauzama u toku 

prenosa, i sinhronizacija se uspostavlja za svaki ram nezavisno. Sinhronizaciona sekvenca 

na početku rama je obično duˇza, u sebi sadrˇzi mnoštvo tranzicija i praktično sluˇzi da 

1

GLAVA 1. SINHRONIZACIJA NA NIVOU RAMA 2 

uskladi simbolske taktove predajnika i prijemnika. Drugim rečima, sinhro-sekvenca je 

ovde efektivno namenjena za simbolsku sinhronizaciju. 

Uovomradupaˇznja je posvećena praktično u celosti problemu sinhronizacije kod 

sinhronog prenosa jer je on, kao što je navedeno, znatno sloˇzenijiipruˇza više mogućnosti 

za optimizaciju sinhro-sekvenci sa raznih aspekata. Me†utim, i u jednom i u drugom 

slučaju moguće je optimizovati sinhro-sekvence, u zavisnosti od kriterijuma koji 

su konkretno bitni. 

Sinhro-sekvence se dele na kontinualne (koncentrisane), kada su simboli koji čine 

sinhro-sekvencu grupisani u kontinualan niz bita, i na distribuirane (raspodeljene), kada 

su simboli koji čine sekvencu razbacani po ramu. U svakom slučaju, simboli koji čine 

sekvencu ne nose informaciju i stoga predstavljaju za korisnika redundantni deo rama. 

Stoga je, sa stanovišta iskorišćenja sistema za prenos, bolje da sinhro-sekvenca bude 

što kraća. Me†utim, intuitivno je jasno da što je sekvenca duˇza, manja je verovatnoća 

njene slučajne simulacije u preostalom delu rama, pa je samim tim manja verovatnoća 

pogrešne sinhronizacije. Odre†ene granice na duˇzinu sinhro-sekvence, odnosno duˇzinu 

rama, dobijene korišćenjem bifiks analize biće date u 4. poglavlju. 

Dobra tehnika za ostvarivanje sinhronizacije na nivou rama generalno treba da poseduje 

sledeće osobine [4]: 

• brzo postizanje (akviziciju) sinhronizacije, 

• brzu detekciju ispada iz sinhronizacije kao i brz povratak u sinhronizaciju, 

• malu verovatnoću gubitka sinhronizacije usled grešaka nastalih u prenosu, 

• malu verovatnoću pogrešne sinhronizacije usled slučajne simulacije sinhro-sekvence 

u preostalom delu rama, 

• što manju redundansu unetu u ram od strane sinhro-sekvence, i 

• jednostavnost. 

Na ove osobine se pre svega moˇze uticati pravilnim izborom sinhronizacione sekvence. 

Usledećim poglavljima će biti predstavljeni osnovni modeli problema detekcije, akvizicije 

iodrˇzavanja sinhronizacije, kao i osnovni parametri vezani za prosečno trajanje akvizicije 

dobijeni relativno jednostavnom analizom. 

1.1 Strategija sinhronizacije 

Na ovom mestu ponovićemo još jednom osnovne karakteristike problema sinhronizacije 

koji se razmatra: 

• Uprijemnikstiˇze neprekidan, kontinualan tok podataka organizovanih u ramove. 

Prijemnik na početku ne zna granice ramova i potrebno ih je odrediti, što se postiˇze 

akvizicijom.


sinhro-sekvenca 

nije detektovana 

pretraga za 

sinhrosekvencom 

(S) 


je detektovana 

J uzastopno neispravno 

primljenih sinhro-sekvenci 

neispravno 

primljena 

sinhrosekvenca 

verifikacija 

(V) 

u 

sinhronizmu 

(L) 

ispravno primljena 


K uzastopno ispravno 

primljenih sinhro-sekvenci 

Slika 1.2: Principski algoritam hvatanja i provere sinhronizacije na nivou rama 

• Nakon akvizicije sinhronizacije na nivou rama, prijemnik vrši njenu kontinualnu 

proveru. 

• Ukolikosedetektujedajedošlodoispadaizsinhronizacije,vršiseponovnaakvizicija 

sinhronizacije (resinhronizacija). 

Principska strategija (algoritam) sinhronizacije na nivou rama je data na slici 1.2. 

Ovakav algoritam se koristi kod PDH sistema. 

Vidi se da postoje tri različita stanja u strategiji sinhronizacije. Prirodno početno 

stanje prijemnika je stanje u kome sinhro-sekvenca još uvek nije detektovana i vrši se 

sekvencijalna pretraga primljenih bita, dok se ne donese odluka da je sinhro-sekvenca 

primljena (stanje S). O kriterijumima detekcije sinhro-sekvence biće više reči u odeljku 

1.1.1. Kada se konačno detektuje sinhro-sekvenca, prelazi se u stanje verifikacije (stanje 

V ). 

U stanju verifikacije vrši se provera da li je sinhro-sekvenca na očekivanom mestu u 

naredno primljenim ramovima (kao što je već navedeno, podrazumeva se da su ramovi 

konstantne duˇzine). Potrebno je da se (u odnosu na sinhro-sekvencu) ispravno primi 

uzastopno K ramova, da bi se smatralo da je sinhronizacija konačno uhvaćena i da bi se 

prešlo u stanje sinhronizma (stanje L). Me†utim, ako se utvrdi da sinhro sekvenca nije 

očekivanom mestu, prijemnik se vraća u stanje S, i ponovo se vrši pretraga za sinhrosekvencom. 

U stanju sinhronizma se vrši konstantna provera da li je uhvaćeni sinhronizam ispravan. 

Svaki primljeni ram se ispituje i ako se J puta uzastopno detektuje da sinhrosekvenca 

nije na očekivanom mestu, prijemnik se vraća u početno stanje S. Sadruge 

strane, ako je sinhro-sekvenca na očekivanom mestu, prijemnik ostaje u stanju sinhronizma 

a brojač neispravno primljenih ramova se resetuje.


Prelazak iz stanja S ustanjeL se naziva akvizicijom. Primer toka akvizicija za sistem 

kod koga je K =3je dat na slici 1.3. 

stanje S 

sekvencijalna 

pretraga za sinhro 

sekvencom 

tok bita koji 

pristiže u 

prijemnik 

detekcija 

sinhro-sekvence 

... 

stanje V 

verifikacija sinhro 

sekvence u narednom 

ramu 

stanje V 

stanje S 

stanje L 

stanje V 

sinhro-sekvence detektovana K 

puta uzastopno, verifikacija uspela 

Slika 1.3: Primer akvizicije za K =3 

... 


nije detektovana 

... 

Kao što je na slici prikazano, prijemnik je prvo u stanju S ivršisekvencijalnupretragu 

primljenih bita (tj. simbol po simbol). Kada je detektovana sinhro-sekvenca, 

prijemnik prelazi u stanje V, skače na početak sledećeg rama i proverava da li se tu 

tako†e nalazi sinhro-sekvenca, što u ovom primeru, nije slučaj. Do ovoga moˇze da do†e 

npr. zbog toga što je prethodno detektovana laˇzna sinhro-sekvenca, koja je u stvari 

slučajno simulirana od strane simbola koji prenose informaciju. Tako†e, moguć jescenario 

po kome je prethodno detektovana sinhro-sekvenca bila prava, me†utim verifikacija 

nije uspela jer naredna sinhro-sekvenca nije detektovana zbog prisustva grešaka nastalih 

usled uticaja šuma ili loše simbolske sinhronizacije U svakom slučaju, nakon povratka u 

stanje S, pretraga se nastavlja. U primeru je pretpostavljeno da je nakon sledeće detekcije 

sinhro-sekvence verifikacija uspela (3 puta zaredom je detektovana sinhro-sekvenca 

na očekivanom mestu) i akvizicija je završena. 

Kod realnih sistema, bitno je da ovaj period bude što kraći, ali je tako†e i veoma 

bitno da akvizicija bude ispravna. Pored izbora sinhro-sekvence, na trajanje i ispravnost 

akvizicije se moˇze uticati izborom parametara K i J, ali i izborom kriterijuma detekcije. 

Vrednosti parametara K i J koje ITU-T propisuje za PDH sisteme su dati u tabeli 1.1. 

Postoje razne modifikacije osnovnog algoritma prikazanog na slici 1.3. Na primer, 

kod SDH sistema postoji dodatno stanje izme†u nesinhronizma i sinhronizma (stanje O 

prikazano na slici 1.4). Inače, interesantno je spomenuti da kod SDH postoje sinhro-


PDH 

signal 


nije 

detektovana 

ITU-T 

preporuka 

duˇzina rama 

(u bitima) 


(duˇzina) 

K J 

E1 G.732 512 0011011 (7) 3 3ili4 

E2 G.742 848 1111010000 (10) 3 4 

E3 G.751 1536 1111010000 (10) 3 4 

E4 G.751 2982 111110100000 (12) 3 4 

primljeno M uzastopnih 

neispravnih sinhro-sekvenci 

Tabela 1.1: Vrednosti parametara K i J za PDH sisteme 

O 

primljeno R 

uzastopnih ispravnih 

sinhro-sekvenci 

S L 

primljena 

neispravna 



je 

V 

detektovana 

Slika 1.4: Strategija sinhronizacije kod SDH 

primljeno J uzastopnih 

neispravnih sinhro-sekvenci 

primljano K uzastopnih 

ispravnih sinhro-sekvenci 

primljena 

ispravna sinhrosekvenca 

sekvence različite duˇzine. Duˇza od njih sluˇzi za akviziciju sinhronizacije, jer je manja 

verovatnoća simulacije sinhro-sekvenca. Kraća sekvence (koja je u stvari samo jedan 

deo duˇze) sluˇzi za odrˇzavanje sinhronizacije, jer je tada manja verovatnoća da će doći 

do njenog laˇznog gubitka. Postoje i modifikacije algoritma prikazanog na slici 1.4, kod 

kojih postoje više prelaznih stanja izme†u stanja S i L, i koja odgovaraju stepenima 

ispravnosti sinhro-sekvence [7]. 

Zanimljivo je prikazati i jedan drugi dijagram, dat na slici 1.5, koji prikazuje u 

kojim se stanjima prijemnik moˇze naći u odnosu na stvarnu sinhronizaciju. Naime, zbog 

slučajnih vrednosti informacionih simbola u ramu,delovanjašuma,ineidelnesimbolske 

sinhronizacije, nikad se ne moˇze sa sigurnošću tvrditi da je prijemnik u sinhronizmu, 

odnosno u nesinhronizmu. Postoje četiri različite situacije koje se mogu javiti u realnosti: 

• prijemnik je u pravom sinhronizmu (stanje TL), 

• prijemnik je u laˇznom sinhronizmu (stanje FL), 

• prijemnik je u pravom nesinhronizmu (stanje TS), 

• prijemnik je u laˇznom nesinhronizmu (stanje FS).


lažan 

nesinhronizam 

(FS) 

ispravan 

nesinhronizam 

(TS) 

ispravan 

sinhronizam 

(TL) 

lažan 

sinhronizam 

(FL) 

Slika 1.5: Stvarna stanja u kojima se sistem moˇze naći u odnosu na sinhronizam 

Dobra strategija sinhronizacije treba da minimizuje verovatnoću da se prijemnik na†e 

ustanjimaFL i FS, kaoidaštobrˇze pre†e iz bilo kog stanja u stanje TL. 

1.1.1 Detekcija sinhro-sekvence 

Bez obzira u kom je stanju prijemnik, detekcija sinhro sekvence se vrši na sledeći 

način. Lokalnogenerisanakopijasinhrosekvenceseporedi(koreliše)sasadrˇzajem klizećegprozoraukomesenalazeprimljenisimboli(slika1.6).Akojeprijemnikusinhronizmu, 

tada se klizeći prozor pomera za duˇzinu rama, a ako prijemnik nije u sinhronizmu, 

klizeći prozor se pomera za jedan simbol. 

tok simbola 

koji pristižu u 

prijemnik 

lokalno generisana kopija 


klizeci prozor 

Slika 1.6: Detekcija sinhro-sekvence 

Najjednostivniji kriterijum za procenu da li se u klizećem prozoru nalazi sinhrosekvenca 

je perfektna korelacija sa lokalno generisanom kopijom. Perfektna korelacija 

znači da se ne dozvoljavaju greške u primljenoj sinhro-sekvenci koje mogu nastati usled


uticaja šuma. Ako obeleˇzimo lokalno generisanu sinhro-sekvencu sa s =[s0,s1,...,sN−1], 

gdejeNduˇzina sinhro-sekvence, a sadrˇzaj prozora sa ri =[ri,ri+1,...,ri+N−1], gdejesa 

i označen pomeraj u odnosu na početak primljene sekvence simbola, za izračunavanje 

korelacije koristimo sledeći izraz: 

Ci = 

N−1 X 

j=0 

gdejesaa(x, y) funkcija definisana na sledeći način: 

½ 

1, x = y 

a(x, y) = 

−1, x 6= y 

a(sj,ri+j) (1.1) 

(1.2) 

Perfektna korelacija podrazumeva da se sinhro-sekvenca smatra detektovanom na 

poziciji i ukoliko je: 

Ci =max(Cj) 

=N (1.3) 

j 

Za duˇze sinhro-sekvence kriterijum kao što je perfektna korelacija moˇze biti nepovoljan. 

Naime, ako pretpostavimo da se prenose biti i da se prenos vrši preko binarnog 

simetričnog kanala kod koga je verovatnoća ispravnog prenosa 1 − , tada je verovatnoća 

PTD da će čitava sinhro-sekvenca duˇzine N biti ispravno primljena i detektovana: 

štosezamalo moˇze aproksimirati sa: 

PrTD =(1− ) N 

(1.4) 

PrTD ≈ 1 − N (1.5) 

odnosno, vidimo da što je sinhro-sekvenca duˇza, veća je verovatnoća da će u prisustvu 

šuma biti neispravno prenesena (što je i intuitivno jasno), a to moˇze dovesti do laˇznog 

gubitka sinhronizacije. Stoga se u praksi dozvoljavadakorelacijanemorabitiperfektna, 

odnosno smatra se da je sinhro-sekvenca detektovana ukoliko u njoj ima maksimalno e 

pogrešnih simbola, gde je e neki mali broj (obično je e jednako 2 ili 3). Kriterijum za 

detekciju je sada (slika 1.7): 

Ci ≥ N − e (1.6) 

Drugim rečima, u ovom slučaju je sinhro-sekvenca detektovana ukoliko se u klizećem 

prozoru na†e ne samo sinhro-sekvenca, već i sve sekvence koje su od nje na Hemingovom 

rastojanju koje je e ilimanje,štoje Pe ¡ ¢ N 

k=0 k . 

Me†utim, ovakav pristup nosi sa sobom probleme druge vrste. Verovatnoća da je 

sinhro-sekvenca ispravno detektovana je povećana (što je povoljno): 

eX 

µ 

N 

PrTD = (1 − ) 

k 

N−k k 

(1.7) 

k=0


C i 

N 

e 

prag 

Slika 1.7: Kriterijum detekcije 

ali je i povećana verovatnoća laˇzne detekcije - simulacije sinhro-sekvence od strane informacionih 

simbola (što je nepovoljno): 

PrFD = 

µ 1 

2 

N eX 

k=0 

µ 

N 

k 

i 

(1.8) 

Na graficima 1.8, 1.9 i 1.10 su prikazani, u zavisnosti od parametara e.i N, verovatnoća 

laˇzne detekcije PrFD iverovatnoća ispravne detekcije PrTD za vrednosti verovatnoće 

simbolske greške =10 −2 i =10 −6 . Što se tiče PrFD,sapovećanjem parametra e 

dolazi do stalnog pomaka na grafiku, odnosno PrFD raste. Me†utim, kako N raste, ova 

verovatnoća eksponencijalno opada i vrlo brzo postaje praktično zanemarljiva, odnosno 

samo za male duˇzine sinhro-sekvenci moˇze da smeta ispravnom hvatanju sinhronizacije. 

Što se tiče PrTD, vidi se da za relativno veliku verovatnoću pogrešnog prenosa relaksiranje 

uslova ispravnog prijema sinhro-sekvence daje veliki dobitak za PrTD,dokje 

kod prenosa sa malom verovatnoćom greške dobitak praktično zanemarljiv. Tako†e, sa 

povećenjem e dobitak je sve manji. 

Pri izvo†enju jednačine 1.8 pretpostavljeno je da verovatnoća simulacije sinhrosekvence 

ne zavisi niti od konkretnog oblika sekvence, ni od pozicije na kojoj se pretraga 

vrši (pozicije klizećeg prozora). U 3. poglavlju će biti pokazano da to nije slučaj. 

Naime, verovatnoća pretrage za odre†enom sekvencom u nizu slučajnih simbola zavisi i 

od strukture sekvence i od mesta u nizu na kojem se pretraga vrši, i moˇze se analitički 

odrediti. Pomoćunjesemoˇze izvršiti optimizacije strukture sinhro-sekvence, što je tema 

4. poglavlja. To je u najkraćem rečeno i glavni doprinos ovog rada. 

Optimalna detekcija sinhro-sekvence u prisustvu AWGN-a 

Jedan od najvaˇznijih modela kanala je AWGN kanal. Za razliku od BSC kanala, 

vrednosti simbola koji se javljaju na izlazu kanala su iz skupa realnih brojeva. Klipovanje 

primljenih simbola koje bi prethodilo izračunavanju korelacije (radi detekcije sinhrosekvence) 

kod AWGN kanala ne bi dalo optimalan rezultat, jer se klipovanjem gubi deo 

deo informacije. Naime, iz Teorije informacija je poznato da se moˇze postići odre†eni


Pr FD 

Pr TD 

10 0 

10 −10 

10 −20 

10 −30 

10 −40 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

e = 0 

e = 1 

e = 2 

e = 3 

10 1 

Slika 1.8: Verovatnoća laˇzne detekcije u zavisnosti od parametra e 

e = 0 

e = 1 

e = 2 

e = 3 

10 1 

N 

ε = 10 −2 

Slika 1.9: Verovatnoća ispravne detekcije za =10 −2 

N 

10 2 

10 2


Pr TD 

10 0 

10 −1e−005 

10 −2e−005 

10 −3e−005 

10 −4e−005 

e = 0 

e = 1 

e = 2 

e = 3 

10 1 

ε = 10 −6 

N 

Slika 1.10: Verovatnoća ispravne detekcije za =10 −6 

dobitak ako se koristi tzv. meko odlučivanje (soft decision), kada se prilikom odlučivanja 

koriste primljene vrednosti u svom originalnom obliku, a pored njih se u obzir uzima 

i informacija o njihovoj verodostojnosti. Optimalno pravilo za odlučivanje na AWGN 

kanalu je dato u [8], a ovde će ono ukratko biti rekapitulirano. 

Neka je duˇzina ramova koji se prenose F , i neka se na početku svakog rama nalazi 

sinhro-sekvenca duˇzine N. Sinhro-sekvencu je s =[s0,s1,..,sN−1], apreostalideorama 

koji nosi podatke je d =[d0,d1,..,dL−1], gdejeL = N − F . Prijemnik ne zna gde 

su granice rama i započinje pretragu u okviru prvih N primljenih bita da bi pronašao 

sinhro-sekvencu. Pretpostavimo da su vrednosti simbola iz skupa {−1, 1}. Primljena 

sekvenca je N-dimenziona slučajna promenljiva: 

r =T m (s ∗ d)+n (1.9) 

gdejesa∗označena operacija konkatenacije dve sekvence, T m je ciklični šift za m 

pozicija, pri čemu je m pozicija na kojoj se nalazi sinhro sekvenca, a n je N-dimenziona 

Gausova slučajna promenljiva sa nultom srednjom vrednošću i varijansom N0 

2 .Drugim 

rečima, primljena sekvenca je: 

r =[dL−m,dL−m+1,...,dL−1,s0,s1,...,sF −1,d0,d1,...,dL−1−m]+[n0,n1,...,nN] (1.10) 

Neka je sa ρ označena konkretna primljena sekvenca. Tada se za poziciju sinhrosekvence 

m u okviru nje bira ona pozicija µ za koju se maksimizuje verovatnoća: 

S1 =Pr{m = µ/ρ} (1.11) 

10 2


Korišćenjem Bajesove formule dobija se: 

Pr{m = µ/ρ} = 

Pr{m = µ, ρ} 

p{ρ} 

= p{ρ/m = µ} Pr{m = µ} 

p{ρ} 

(1.12) 

Pretpostavka je da je apriorna verovatnoća da se sinhro-sekvenca nalazi na bilo kojoj 

poziciji ista, tj. Pr{m = µ} = 1 

N , i ne utiče na maksimizaciju (1.11). Isto tako ni p{ρ} ne 

utiče na maksimizaciju (1.11) jer ne zavisi od m. Stoga se moˇze posmatrati maksimizacija 

sledećeg kriterijuma: 

S2 = p{ρ/m = µ} (1.13) 

Konkretna primljena sekvenca ρ je: 

ρ =T m (s ∗ δ)+n (1.14) 

gdejesaδ označen deo sekvence koji odgovara podacima δ =[δ0,δ1,..,δL−1]. 

Dalje je: 

p{ρ/m = µ} = X 

X 

N−L 

p{ρ/m = µ, δ}p{δ} =2 p{ρ/m = µ, δ} (1.15) 

svim δ 

svim δ 

pa se umesto (1.13) moˇze posmatrati maksimizacija sledećeg kriterijuma: 

S3 = X 

p{ρ/m = µ, δ} = X 

p{ρ − T m (s ∗ δ)} (1.16) 

svim δ 

Poštose radioAWGN,vaˇzi: 

p{ρ − T m (s ∗ δ)} = 

µ 1 

√2π 

F N−1 Y 

i=0 

svim δ 

e − (ρi+µ −si )2 

N0 FY −1 

i=N 

e − (ρ i+µ −δ i−N )2 

N 0 (1.17) 

i ako zamenimo ovaj izraz u (1.16), dobijamo sledeći kriterijum maksimizacije: 

S4 = X 

= 

svim δ 

N−1 Y 

i=0 

Ã 

N−1 Y 

i=0 

e − (ρi+µ −si )2 

N0 e − (ρi+µ −si )2 

N0 X 

FY −1 

i=N 

FY −1 

svim δ i=N 

pri čemu je ponovo zanemaren konstantni član 

Vaˇzi: 

e − (ρi+µ −δi−N )2 

! 

N0 e − (ρ i+µ −δ i )2 

N 0 (1.18) 

³ ´ F 

√2π 1 . 

(ρi+µ − si) 2 = ρ 2 i+µ − 2ρi+µsi + s 2 i = ρ 2 i+µ − 2ρi+µsi +1 (1.19) 

(ρi+µ − δi−N) 2 = ρ 2 i+µ − 2ρi+µδi−N + δ 2 i−N = ρ 2 i+µ − 2ρi+µδi−N +1 (1.20)


Pa je: 

N−1 Y 

i=0 

e − (ρi+µ −si )2 

N0 Y 

F −1 

F 

− 

= e N0 e − ρ2 i+µ 

N0 i=0 

X 

FY −1 

svim δ i=N 

N−1 Y 

i=0 

2ρi+µ si e N0 e − (ρ i+µ −δ i−N )2 

N 0 = 

X 

FY −1 

svim δ i=N 

2ρi+µ δi−N e N0 (1.21) 

Simboli informacione sekvence, kao što je već navedeno, mogu imati vrednosti ±1. 

Neka se posmatra suma sa desne strane izraza (1.21). Pošto se sumiranje vrši po svim 

δ, polovina proizvoda pod sumom za prvi član ima e − 2ρN+µ 2ρN+µ N0 , a druga polovina e N0 . 

To znači da se gornja suma moˇze predstavit na sledeći način: 

X 

FY −1 

svim δ i=N 

2ρi+µ δi−N e N0 = X 

= 

svim δ\δ0 

+ X 

svim δ\δ0 

e − 2ρN+µ N0 2ρN+µ e N0 µ 

e − 2ρN+µ 2ρN+µ N0 + e N0 = 2cosh 2ρ N+µ 

N0 

FY −1 

i=N+1 

X 

FY −1 

i=N+1 

2ρi+µ δi−N e N0 + 

X 

svim δ\δ0 i=N+1 

2ρi+µ δi−N e N0 FY −1 

svim δ\δ0 i=N+1 

FY −1 

gdejesaδ\δ0 označena sekvenca informacionih bita bez bita δ0. 

Razvojem izraza (1.22) dobija se: 

X 

FY −1 

svim δ i=N 

Y 

2ρi+µ δ F −1 

i−N 

e N0 = 

i=N 

2cosh 2ρ i+µ 

N0 

2ρi+µ δi−N e N0 2ρi+µ δi−N e N0 (1.22) 

(1.23) 

Zamenom (1.23) u (1.18), kriterijum maksimizacije postaje (pri čemu su zanemareni 

konstantni članovi): 

S5 = 

FY −1 

i=0 

e − ρ2 i+µ 

N0 N−1 Y 

i=0 

Y 

2ρi+µ s F −1 

i 

e N0 i=N 

cosh 2ρ i+µ 

N0 

(1.24) 

U gornjem izrazu prvi član sa desne strane ne zavisi od pozicije sinhro-sekvence µ, 

jer su u proizvodu obuhvaćeni svi primljeni biti, pa se i taj član moˇze zanemariti: 

S6 = 

N−1 Y 

i=0 

Y 

2ρi+µ s F −1 

i 

e N0 i=N 

cosh 2ρ i+µ 

N0 

(1.25)


Logaritmovanjem izraza (1.25) dobija se: 

S7 = 

= 

N−1 X 

i=0 

N−1 X 

i=0 

2ρ i+µsi 

N0 

2ρ i+µsi 

N0 

X 

F −1 

+ 

i=N 

X 

F −1 

+ 

i=0 

µ 

ln 

µ 

ln 

cosh 2ρ i+µ 

N0 

cosh 2ρ i+µ 

N0 

 

N−1 X 

− 

i=0 

µ 

ln 

cosh 2ρ i+µ 

N0 

 

(1.26) 

Pošto u poslednjem izrazu drugi član sa desne strane tako†e ne zavisi od µ, ionse 

moˇze izbaciti: 

N−1 X 

N−1 

2ρ X 

µ 

i+µsi 

S8 = 

− ln cosh 

N0 

2ρ 

i+µ 

N0 

(1.27) 

i=0 

Preure†ivanjem (1.27) konačno se dobija: 

S = 

N−1 X 

i=0 

N−1 X 

ρi+µsi − 

i=0 

i=0 

N0 

2 ln 

µ 

cosh 2ρ 

i+µ 

N0 

(1.28) 

Prvi član sa desne strane je soft-korelacija izme†u dela primljene sekvenca koja se 

računa za 0 ≤ µ ≤ F − 1, a drugi član je korektivni faktor koji daje procenu verodostojnosti 

primljene vrednosti. Ako pretpostavimo da je SNR dovoljno velik, tj. da vaˇzi 

Eb 

N0 

sa: 

= 1 

N0 

³ 

À 1, tadajeln 

cosh 2ρ i+µ 

N0 

S = 

N−1 X 

i=0 

´ ¯ 

≈ 

¯ 2ρ i+µ 

N0 

ρ i+µsi − 

¯ 

¯, pa se izraz (1.28) moˇze aproksimirati 

N−1 X 

i=0 

¯ 

¯ ρi+µ 

Zanimljivo je primetiti da je maksimalna vrednost gornjeg izraza 0. 

1.1.2 Heberleove akvizicione krive 

¯ (1.29) 

U prošlom odeljku su ukratko prikazani neki od kriterujuma detekcije sinhro-sekvence. 

Me†utim, još uvek ništa nije rečeno o tome kakva bi trebala da bude struktura sinhrosekvence, 

i kolika bi trebala da bude njena duˇzina u odnosu na duˇzinu rama. Odgovor 

na drugo pitanje daju Heberleove (Häberle) akvizicione krive [9], koje će biti prikazane 

na ovom mestu. 

Neka je duˇzina rama F ,aduˇzina sinhro-sekvence N. Prijemnik je u stanju pretrage 

za sinhro-sekvencom koju započinje sa pozicije S u okviru rama, 0 ≤ S ≤ F − 1. Neka 

je prosečna verovatnoća simulacije sinhro-sekvence PrFD. U toku pretrage u preostalih 

X = F − S pozicija, sinhro-sekvenca će biti prosečno simulirana X · PrFD puta. Svaki 

putakadasesimulacijadesi,skače sa na sledeći ram, i vrši verifikacija (slika 1.3). Sa 

verovatnoćom PrFD će se verifikacija nastaviti (tj. sinhro-sekvenca će ponovo biti simulirana),asaverovatnoćom 

1−PrFD će se pretraˇzivanje nastaviti dalje. Ako je verifikacija 

uspela, u sledećoj verifikaciji vaˇzi isto - sa verovatnoćom PrFD će se verifikacija nastaviti, 

a sa verovatnoćom 1 − PrFD će se ponovo početi sa pretragom. Radi odre†ivanja


prosečnog broja verifikacija izazvanih uzastopnim simulacijama sinhro-sekvence, definiše 

se slučajna promenljiva Z koja predstavlja broj uzastopnih verifikacija sinhro-sekvence 

na istoj poziciji u susednim ramovima. Vaˇzi: 

p{Z = k} =(PrFD) k−1 (1 − PrFD) (1.30) 

jer tačno k verifikacija znači da je sekvenca simulirana k − 1 put, dok se u poslednjoj 

verifikaciji to nije desilo. 

Prosečan broj ponovljenih verifikacija je: 

E[Z] = 

+∞X 

k=0 

+∞X 

k · p{Z = k} =(1−PrFD) k(PrFD) k−1 

1 

1 

= (1−PrFD) = 

(1.31) 

(1 − PrFD) 2 1 − PrFD 

Neka su intervali u kome se prenosi pojedini biti iz rama jediničnog trajanja. Prosečno 

vreme potrebno da se počevši od pozicije S stigne do kraja rama i konačno detektuje 

prava sinhro-sekvenca (ili, kako je to Heberle nazvao, prosečno vreme sinhronizacije) je: 

X · PrFD 

TSY N = F + X (1.32) 

1 − PrFD µ 

PrFD 

= X 

F +1 

(1.33) 

1 − PrFD 

Izraz (1.32) se moˇze objasniti na sledeći način. Kao što je navedeno, počevši od 

pozicije S, postojiX = F − S pozicija za pretragu, a ispitivanje svake od tih pozicija 

traje jedan interval (drugi član sa desne strane). Na X · PFD pozicija će sinhro-sekvenca 

1 

biti simulirana, tada će vršiti prosečno verifikacija, a svaka verifikacija traje jedan 

1−PFD 

ram, odnosno F bitskih intervala (prvi član sa leve strane). 

Ako pretpostavimo da je prosečna verovatnoća simulacije sinhro-sekvence: 

PrFD = 1 

2 N 

k=1 

(1.34) 

tada je: 

µ 

F 

TSY N = X 

2N − 1 +1 

 

(1.35) 

U najgorem slučaju je S =1,tj.X = F − 1, pa izraz (1.35) postaje: 

µ 

F 

TSY N =(F − 1) 

2N − 1 +1 

µ 

F 

≈ F 

2N − 1 +1 

 

(1.36) 

Grafik 1.11prikazujeprosečno trajanje sinhronizacije u funkciji duˇzine rama i za 

razne vrednosti parametra α = N 

F , tj. odnosa duˇzine sinhro-sekvence i duˇzine rama. 

Krive na grafiku su ograničene sa leve i desne strane. Ograničenje sa leve strane je 

posledica činjenice da sinhro-sekvenca ne moˇze biti kraća od jednog simbola, dok je 

ograničenje uslovljeno time da sinhronizacija ne moˇze kraće trajati od trajanja rama. 

Na osnovu grafika se mogu doneti sledeći zaključci:


• za datu duˇzinu rama, prosečno trajanje sinhronizacije se smanjuje sa povećanjem 

duˇzine sinhro-sekvence (odnosno povećanjem α),što je i logično jer je slučajna 

simulacija duˇzeg niza manje verovatna od slučajne simulacije kraćeg niza, 

• za dato α, prosečno trajanje sinhronizacije zavisi od duˇzine rama, što je pogotovo 

izraˇzenozamalevrednostiα, 

• za dato α, postojiminimalnoprosečno trajanje sinhronizacije, na osnovu kojeg se 

moˇze odrediti optimalna vrednost za N i F . 

T SYN 

10 7 

10 6 

10 5 

10 4 

10 3 

10 2 

10 1 

10 1 

10 2 

10 3 

F 

10 4 

Slika 1.11: Prosečno trajanje sinhronizacije 

α = 10% 

α = 5% 

α = 2% 

α = 1% 

α = 0.4% 

α = 0.2% 

α = 0.1% 

Prilikom izvo†enja jednačine (1.35), učinjeno je nekoliko aproksimacija, o kojima je 

već biloreči u odeljku 1.1.1. Prvo, pretpostavljeno je da prosečna verovatnoća simulacijeistazasvesekvenceisteduˇzine 

i jednaka 1 

2N . Drugo, pretpostavljeno je da ova 

verovatnoća ne zavisi od početne pozicije pretrage u ramu. I jedna i druga pretpostavka 

nisu tačne, što je i sam Heberle u odre†enoj meri elaborirao u [9]. Istim problemom, ali 

sa drugačijeg stanovišta se kasnije pozabavio i Nilsen (Nielsen) u [11]. U 3. poglavlju, 

biće izvedena tačna raspodela verovatnoće slučajne simulacije proizvoljne sekvence u zavisnosti 

od pozicije u ramu i njene strukture (što je i osnovni rezultat ovog rada), na 

osnovu kojij je moguće modifikovati Heberleove akvizicione krive. 

10 5

Glava 2 

Dizajn optimalnih 

sinhronizacionih sekvenci 

U ovom poglavlju biće ukratko prikazane binarne sinhro-sekvence dobijene optimizacijom 

po nekoliko različitih kriterijuma. Svi one se, me†utim, suštinski svode na 

minimizaciju neke mere kojom se procenjuje verovatnoća da će N uzastopnih simbola 

primljene sekvence biti greškom proglašeno za sinhro-sekvencu [4]. U zavisnosti od toga 

kako se mera definiše, dobijaju se različiti kriterijumi za dizajn sinhro-sekvence, odnosno, 

tačnije rečeno, za izbor sinhro-sekvence iz skupa sekvenci date duˇzine. 

Prilikom pretrage za sinhro-sekvencom u ramu razlikujemo dva regiona: 

• tzv. kvazi-deterministički region (overlap region, zona preklapanja) koji se graniči 

sa pozicijama sinhro-sekvenci u tekućem i narednom ramu , 

• i region podataka, u kome se nalaze preostali simboli iz rama (data region). 

Ovo je prikazano na slici 2.1. Kada je klizeći prozor u kvazi-determinističkom regionu, 

u okviru njega se nalaze i simboli sinhro-sekvence i slučajni simboli podataka. 

Pogodnim izborom sinhro-sekvence se moˇze uticati na minimzaciju verovatnoće da se 

desi simulacija sinhro-sekvence u kvazi-determinističkom regionu. Kada se klizeći prozor 

na†e u regionu podataka, tada je njegov sadrˇzaj potpuno slučajan i na njega se ne moˇze 

uticati. Zbog toga se, u principu prilikom dizajna sinhro-sekvence veća paˇznja posvećuje 

kvazi-determinističkom regionu. 

Pre nego što budu dati pojedini kriterijumi za dizajn sinhro-sekvenci, potrebno je 

definisati pojam bifiksa (bifix), koji je prvo uveden u [11]. 

Za sekvencu se kaˇze da ima bifiks duˇzine m, ukoliko su njenih prvih m bita i poslednjih 

m bita istovetni. Drugim rečima, sekvenca ima bifiks duˇzine m, ukoliko postoji 

podsekvenca koja je njen i prefiks i sufiks duˇzine m. Pomoću bifiksa se u stvari opisuju 

unutrašnje sličnosti u strukturi sekvence. 

Postojanja bifiksaseformalnoobeleˇzava pomoću tzv. bifiks indikatora h (i) ,gdei 

označava red (duˇzinu) bifiksa, pri čemu je 0 ≤ i ≤ N, gdejeN duˇzina sinhro-sekvence. 

16

GLAVA 2. DIZAJN OPTIMALNIH SINHRONIZACIONIH SEKVENCI 17 

Vaˇzi: 

Po definiciji je: 

klizeci prozor 

kvazideterministicki 

region 

h (i) = 


ram 

region podataka 


region 

Slika 2.1: Regioni pretraˇzivanja u ramu 

½ 1 sekvenca poseduje bifiks reda i 

0 sekvenca ne poseduje bifiks reda i 

(2.1) 

h (0) = 1 (2.2) 

h (N) = 1 (2.3) 

tj. “ništa” je uvek i prefiks i sufiks, i svaka sekvenca je svoj bifiks. Npr. za sekvencu 

01010 je h (0) =1, h (1) =1, h (2) =0, h (3) =1, h (4) =0,ih (5) =1. Svaka sekvenca ima 

bar dva trivijalna bifiksa (h (0) =1i h (N) =1), a sekvence koje poseduju samo ova dva 

bifiksa se nazivaju sekvencama bez bifiksa (bifix-free). 

Pošto se sinhro-sekvence date u ovoj glavi u principu optimizuju tako da minimizuju 

verovatnoću pogrešne akvizicije u kvazi-determinističkom regionu, sve su ili bez bifiksa 

ili poseduju bifikse malog reda. To je logično, jer se time smanjuje verovatnoća da deo 

sinhro-sekvence koji se zajedno sa podacima na†e u klizećem prozoru tokom pretrage 

“odglumi” čitavu sinhro-sekvencu. Me†utim, kao što će biti pokazano u 3. poglavlju, 

sekvence sa bifiksima imaju neke interesantne karakteristike, Osim toga, u realnim 

situacijama kada su greške u prenosu dozvoljene, bifiksisenemoguseizbeći, što će 

tako†e biti razmatrano u 3. poglavlju. 

2.1 Barkerove sekvence 

Barkerove(Barker)sekvence[12]sume†unajpoznatijim sinhro-sekvencama, i veoma 

često se spominju u literaturi. Kriterijum koji je njih primenjen je minimizacija bočnih 

“lobova” autoperiodične autokorelacije sekvence, pri čemu se simboli podataka iz rama


zanemaruju. Ako pretpostavimo da su simboli sekvence 0 i 1, iakodefinišemo autokorelaciju 

na sledeći način: 

Ci = 

N−1−i X 

j=0 

a(si,sj+i) (2.4) 

pri čemu je a(x, y) definisano izrazom (1.2), i i =0, 1, 2,..,N − 1, tada, po definiciji, za 

Barkerove sekvence vaˇzi: 

max 

i6=0 (|Ci|) =1 (2.5) 

Iako na prvi pogled uslov (2.5) ne deluje posebno zahtevno, pokazuje sa da u pronala- 

ˇzenje sekvenci koje ga zadovoljavaju izuzetno teˇzak problem za koga ne postoji analitičko 

rešenje. Postoji svega nekoliko poznatih sekvenci za koje je ovaj uslov zadovoljen, 

i njihove duˇzine su 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11 i 13. Ne zna se da li postoje sekvence koje 

zadovoljavaju (2.5) za duˇzine većeodovih[13]. DosvihpoznatihBarkerovihsekvenci 

se došlo računarskom pretragom (što vaˇzi i za sve ostale sekvence spomenute u ovom 

odeljku). Poznate Barkerove sekvence su date u tabeli 2.1. Naravno, pored sekvenci 

izlistanih u tabeli, isti uslov zadovoljavaju i sekvence koje se dobijaju inverzijom simbola 

i/ili inverzijom njihovog redosleda (što tako†e vaˇzi za sve sekvence date u ovom 

odeljku). 

duˇzina sekvenca 

2 11, 10 

3 110 

4 1110, 1101 

5 11101 

7 1110010 

11 11100010010 

13 1111100110101 

Tabela 2.1: Poznate Barkerove sekvence 

Ukoliko se posmatra korelacija definisana izrazom (1.1), tada se moˇze reći da će za 

sve pozicije prozora u okviru kvazi-determinističkog regiona Barkerov uslov omogućiti da 

korelacija nikad ne bude jednaka maksimalnoj vrednosti (ako nema grešaka u prenosu), 

što će pomoći ispravnoj sinhronizaciji na nivou rama. 

Na primer, neka se posmatra korelacija Barkerove sekvence 11101 sa primljenom 

sekvencom u kvazi-determinističkom regionu (slika 2.2). Sa punim kruˇzićima su označene 

vrednosti korelacije kada se ne uzimaju u obzir biti podataka. Sa krstićima su 

označene moguće vrednosti korelacije. Vidimo da su maksimalne vrednosti u kvazideterminističkom 

regionu ograničene baš zbog toga što preklapanje Barkerove sekvence 

sa svojom pomerenom verzijom daje mali ili nikakav doprinos ukupnoj vrednosti korelacije. 

U regionu podataka to ne vaˇzi.


region 

podataka 

Ci 


region 

N = 5 

region 

podataka 

Slika 2.2: Korelacija u kvazi-determinističkom regionu za Barkerovu sekvencu, N =5 

2.2 Turinove sekvence 

Kod Turinovih (Turyn) sekvenci je kriterijum izbora minimizacija vrednosti aperiodične 

korelacije u okviru kvazi-determinističkog regiona, uz zanemarivanje bita podataka 

[4]. Ovo je slično kriterijumu kod Barkerovih sekvenci, ali bez ograničenja da 

je maksimalna apsolutna vrednost korelacije 1. U tabeli 2.2 su date neke od Turinovih 

sekvenci. 

2.3 Vilardove sekvence 

5 

3 

1 

-1 

-3 

-5 

duˇzina sekvenca maxi6=0 (|Ci|) 

14 11111001100101 2 

15 111110011010110 2 

16 1110111000010110 2 

17 11001111101010010 2 

18 111110100101110011 2 

19 1111000111011101101 2 

20 11111011100010110100 2 

21 111111010001011000110 2 

22 1111111100011011001010 3 

Tabela 2.2: Turinove sekvence 

Za razliku od kriterijuma primenjenog kod BarkerovihiTurinovihsekvenci,kod 

izbora Vilardovih (Willard) sekvenci se u obzir uzimaju i simboli podataka koji sinhrosekvencu 

okruˇzuju (simboli podataka u kvazi-determinističkom regionu). Mera koju min- 

i


region 

podataka 

Ci 


region 

N = 5 

region 

podataka 

Slika 2.3: Korelacija u kvazi-determinističkom regionu za Vilardovu sekvencu, N =5 

imizuju Vilardove sekvence je totalna verovatnoća simulacije u kvazi-determinističkom 

regionu [4]. Naime, ako za svaku vrednost pomeraja u kvazi-determinističkom regionu 

izračunamo verovatnoću simulacije sinhro-sekvence (koja je posledica grešaka u prenosu), 

i zatim izračunamo sumu svih ovih verovatnoća - dobijamo tzv. totalnu verovatnoću simulacije. 

Za Vilardovu sekvencu date duˇzine vrednost ove sume je minimalna. Ovakvim 

postupkom je moguće pronaći Vilardovu sekvencu za svaku duˇzinu, što ne vaˇzi za 

Barkerove sekvence. U tabeli 2.3 su date Vilardove sekvence do duˇzine 10. 


2 10 

3 110 

4 1100 

5 11010 

7 0101010 

8 00100111 

9 000100111 

10 0000111011 

Tabela 2.3: Vilardove sekvence 

Radi pore†enja sa odgovarajućom Barkerovom sekvencom, na slici 2.3 je data korelacija 

u kvazi-determinističkom regionu za Vilardovu sekvencu duˇzine 5. Ponovo su 

sa punim kruˇzićima označene vrednosti korelacije kada se zanemaruju simboli podataka, 

doksusakrstićima označene moguće vrednosti korelacije kada seioniuzimajuuobzir. 

Vidimo da su u ovom slučaju maksimalne vrednosti korelacije manje nego za Barkerovu 

sekvencu iste duˇzine (slika 2.2). 

5 

3 

1 

-1 

-3 

-5 

i


2.4 Mori-Stajls sekvence 

Kriterijum za dizajn Mori-Stajls (Maury-Styles) sekvenci je sličan onom koji je primenjen 

kod Vilardovih [4]. I ovom slučaju se minimizuje totalna verovatnoća simulacije 

u kvazi-determinističkom regionu, pri čemu se dozvoljavaju dve greške nastale prenosu. 

Drugim rečima, ne vrši se pretraga ne za samo jednom sekvencom, već izasvimsekvencama 

koje su na rastojanju e ≤ 2 od nje, što je ukupno 1+N + ¡ N¢ 

2 ,gdejeNduˇzina sekvence. Zbog načina na koji je kriterijum definisan, moguće je pronaći Mori-Stajls 

sekvencu za svaku duˇzinu.Nekeodnjihsudateutabeli2.4. 


7 1011000 

8 10111000 

9 101110000 

10 1101111000 

11 10110111000 

12 110101100000 

13 1110101100000 

14 11110100110000 

15 111011001011000 

Tabela 2.4: Mori-Stajls sekvence 

2.5 Al-Subah-Dˇzons sekvence 

Za razliku od prethodno pobrojanih autora, Al-Subah i Dˇzons (Al-Subbagh, Jones) 

su se u [15], pored uticaja kvazi-determinističkog regiona, pozabavili i uticajem regiona 

podataka na ispravnu akviziciju. Kriterijum izbora sinhro-sekvence je vezan za proces 

pretrage u ramu za sinhro-sekvencom, i predstavlja maksimizaciju zdruˇzene verovatnoće 

sledeća dva doga†aja: da sinhro-sekvenca neće biti slučajno simulirana pre svoje 

stvarne pozicije, i da će sinhro-sekvence biti uhvaćena kada se stvarno pojavi. Ovo je jednim 

imenom nazvano verovatnoća preˇzivljavanja pretrage. U svojim razmatranjima su 

ova dva autora ispitivali uticaj duˇzine rama, duˇzine sinhro-sekvence, dozvoljenog broja 

grešaka i strukture sekvence na verovatnoću preˇzivljavanja. Iako nisu raspolagali analitičkim 

izrazima izvedenim u ovom radu, sluˇzeći se isključivo računarskim simulacijama 

došlisudonekolikovaˇznih zaključaka: 

1. Verovatnoća simulacije sekvence sa bifiksima je manja u regionu podataka, a veća 

u kvazi-determinističkom regionu (obrnuto vaˇzi za sekvence sa bifiksom). 

2. Što se tiče sekvenci bez bifiksa, one se u regionu podataka ponašaju isto, dok se 

razlike me†u njima se pojavljuju u kvazi-determinističkom regionu u zavisnosti od 

broja dozvoljenih grešaka e.


3. Verovatnoća preˇzivljavanja zavisi od toga koliki je deo rama obuhvaćen pretragom 

(što indirektno zavisi i od duˇzine rama), 

4. Za svaku sekvencu sa bifiksima postoji tzv. tačka preloma (turning point), nakon 

koje njena verovatnoća pre-ˇzivljavanja postaje veća nego verovatnoće preˇzivljavanja 

sekvence bez bifiksa. Poloˇzaj ove tačke zavisi od toga koliko bifiksa ima 

sekvenca i za veći broj bifiksa veća je vrednost tačke preloma. 

5. Poloˇzaj tačke preloma zavisi od duˇzine sekvence, što je sekvenca duˇza vrednost 

tačka preloma je udaljenija, pri čemu simulacije pokazuju da je ova zavisnost eksponencijalna. 

6. Poloˇzaj tačke preloma zavisi od dozvoljenog broja grešaka e, što je njihov broj 

veći, manja je vrednost ovog parametra. 

Za svaku sekvencu moˇze se izračunati suma verovatnoća preˇzivljavanja za svaki 

poloˇzaj pretrage počevši od očekivane startne pozicije. Za konkretnu sinhro-sekvencu 

treba izabrati onu sekvencu za koju je ova suma maksimalna. Primenom ovog kriterijuma 

za različite očekivane vrednosti pretrage, duˇzine rama, duˇzine i strukture sinhro-sekvence 

se dobijaju sledeći rezultati: 

• Za kratke sinhro-sekvence (duˇzine oko deset bita i manje) veliki uticaj ima očekivana 

vrednost pozicije od koje će pretraga započinjati. Ukoliko je ova vrednost 

dosta veća od vrednosti tačke preloma za dati dozvoljeni broj grešaka, tada se 

moˇze desiti da je bolji izbor (što je pomalo neočekivano) sekvenca sa bifiksima. To 

je zbog toga što ove sekvence imaju veće verovatnoće preˇzivljavanja nakon tačke 

preloma, što kompenzuje manje verovatnoće preˇzivljavanja pre ove tačke (i prvo i 

drugo se posmatra u odnosu na sekvencu bez bifiksa). 

• Ako je očekivana startna pozicija u blizini tačke preloma, ili manja od nje, tada je 

generalno bolji izbor sekvenca bez bifiksa. I me†u sekvencama bez bifiksa postoje 

razlike, pa treba izabrati onu za koju je pod datim uslovima ukupna suma verovatnoća 

preˇzivljavanja najveća.Zaprimernavedimodajevrednosttačke preloma za 

e =0izaN =8negde oko 200, azaN =10negde oko 1500 (od broja bifiksa 

zavisi i konkretna vrednost). 

• Ukoliko je sinhro-sekvenca duˇza tada je poloˇzaj tačke preloma veoma velik, daleko 

veći nego duˇzine ramova koje se koriste u praksi (npr. za e =0i N =16je tačka 

preloma reda veličine 100000 bita) pa su sekvence bez bifiksa u principu bolji izbor. 

Tako†e, i u ovom slučaju me†u njima treba izabrati one koje imaju najveću totalnu 

verovatnoću preˇzivljavanja za dato e. 

U tabeli 2.5 su date sekvence za nekoliko duˇzina i nekoliko vrednosti dozvoljenih 

grešaka. Analitička derivacija ovih rezultata, kao i njihov opis i tumačenje su dati u 

poglavljima koja slede.


duˇzina e =0 e =1 e =2 

7 0001011 0001011 / 

8 00011011 00011011 00011101 

9 000100111 000100111 000011101 

10 0000111011 0000111011 0000111011 

11 00010010111 00010010111 00011101101 

12 000001101011 000001101011 000001101011 

13 0000011010111 0000011010111 0000011010111 

14 00000101100111 00000101100111 00000101100111 

15 000001011100111 000010100110111 000010100110111 

2.6 Distribuirane sekvence 

Tabela 2.5: Al-Subah-Dˇzons sekvence 

Zarazlikuoddosadarazmatranihsekvenci, kod distribuiranih sekvenci su sinhronizacioni 

simboli pomešani sa simbolima podataka. Na primer, jedna distribuirana 

sinhro-sekvenca je 100*1**00*1. Ovde je duˇzina sekvence L =12, broj sinhro-simbola 

je N =7, dok znak ∗ predstavlja simbol podataka koji moˇze uzeti proizvoljnu vrednost. 

Pretraga za sinhro-sekvencom se smatra uspešnom ukoliko se u klizećem prozoru 

na†e bilo koja od 2L−N sekvenci koja na pozicijama sinhro-simbola ima odgovarajuće 

vrednosti. 

Ono zbog čega su distribuirane sekvence interesantne je širi kvazi-deterministički 

region nego kod kontinualne sekvence sa istim brojem sinhro-simbola, jer je duˇzina distribuirane 

sekvence veća. Samim tim je povećana mogućnost uticaja na pretragu u 

ramu. 

Što se tiče konstrukcije distribuirane sinhro-sekvence, jedan od načina moˇze biti već 

spomenuta minimizacija aperiodične autokorelacije u kvazi-determinističkoj zoni. U [16] 

je kao kriterijum uzet uslov sličan Barkerovom: 

max 

i6=0 (|Ci|) 

⎛ 

⎞ 

L−1−i X 

=max⎝ 

a(si,sj+i) ⎠ =1 (2.6) 

i6=0 

pri čemu je funkcija a(x, y) redefinisana u odnosu na izraz (1.2): 

⎧ 

⎨ 1, x = y 

a(x, y) = −1, 

⎩ 

0, 

x 6= y 

x = ∗ ili y = ∗ 

j=0 

(2.7) 

odnosno ima vrednost nula ukoliko je bilo koji od argumenata simbol podataka. Pomoću 

metoda opisanih u [16] mogu se konstruisati distribuirane sekvence minimalne i 

maksimalne duˇzine sa datim brojem sinhro-simbola koje zadovoljavaju uslov (2.6). 

Radi pore†enja sa kontinualnim sekvencama, neka se posmatra distribuirana sekvenca 

110*0*0, koja ima 5 sinhro-simbola i duˇzinu 7. Njena aperiodična autokorelacija je


region 

podataka 

Ci 

kvazi-deterministicki 

region 

N = 5 

region 

podataka 

Slika 2.4: Korelacija u kvazi-determinističkom regionu za sekvencu 110*0*0 

prikazana na grafiku 2.4. Kao i u prethodnim slučajevima, sa punim kruˇzićima su 

označene vrednosti autokorelacije kada se zanemare simboli podataka, dok krstići predstavljaju 

moguće vrednosti autokorelacije kada se i oni uzimaju u obzir. U odnosu na 

autoperiodičnu autokorelaciju Barkerove (kontinualne) sekvence, datoj na grafiku 2.2, 

vidi se da je kvazi-deterministički region znatni širi. U okviru njega (ako je prijem 

ispravan) se ne moˇze desiti pogrešna detekcija sinhro-sekvence. 

U tabeli 2.6 su date za primer neke distribuirane sekvence minimalne i maksimalne 

duˇzine koje zadovoljavaju uslov (2.6) i koje su uvek bez bifiksa,bezobzirakojesu 

konkretne vrednosti simboli podataka [16]. 

N minimalna sekvenca L maksimalna sekvenca L 

5 11*010 6 110*0*0 7 

6 11*0010 7 1110**0**0 10 

7 1110010 7 111**0***0*10 13 

8 11011*10*0 10 111**0***0***0*10 17 

9 111*10*0110 11 111**0***0***0*10**0 20 

10 1110*01001*0 12 11****110**0**1****0*0*0 24 

11 11100010010 11 111**0*0****0****0******0110 28 

12 1111*0*1001010 14 111**0*0*0****0****0********0110 32 

13 1111*00110*1010 15 111**0*0*0****0****0****0********0110 37 

5 

3 

1 

-1 

-3 

-5 

Tabela 2.6: Distribuirane sekvence 

i


2.7 Merit faktor 

Ukoliko uperedimo kriterijume razmatrane u prethodnim odeljcima, moˇzemo primetiti 

da principski postoje dva pristupa: 

• minimizacija korelacije izme†u sekvence i njenih aperiodičnih pomeraja (Barker, 

Turin), 

• minimizacija verovatnoće slučajnesimulacijesekvence(Vilard,Mori-Stajls,Al- 

Subah-Dˇzons). 

I dok je drugi pristup suštinski primereniji problemu sinhronizacije na nivou rama, 

jer pored simbola sinhro-sekvence razmatra efekte simbola podataka na akviziciju, prvi 

pristup je vezan za problem tzv. merit-faktora (merit factor). 

Mnogi autori su se bavili ovim problemom [13], me†u njima je najznačajniji Golej 

(Golay)kojijeidefinisao merit-faktor (faktor vrednosti) na sledeći način: ako je data 

binarna sekvenca s =[s0,s1,...,sN−1] duˇzine N, pričemu su simboli sekvence iz skupa 

{0, 1}, tada je njen merit-faktor: 

F (s) = 

C 2 0 

2 P N−1 

i=1 C2 i 

= 

N 2 

2 P N−1 

i=1 C2 i 

gde je Ci vrednost aperiodične autokorelacije za pomeraj i: 

Ci = 

N−1−i X 

k=0 

(2.8) 

a(sk,sk+i), 0 ≤ i ≤ N − 1 (2.9) 

a funkcija a(x, y) je definisana izrazom (1.2). Što je veći merit-faktor, sekvenca je bolja. 

Ako se obeleˇzi maksimalnu vrednost merit-faktora za duˇzinu N sa FN: 

FN =maxF 

(s) (2.10) 

s∈SN 

gdejesaSN označenskupsvihbinarnihsekvenciduˇzine N, moˇze se definisati meritfaktor 

problem kao odre†ivanje sledećeg granične vrednosti: 

Problem 1 Odrediti vrednost lim sup N→∞ FN. 

Trenutna saznanja koja se tiču merit-faktor problema se mogu sumirati sledećom 

nejednakošću: 

6 ≤ lim sup FN ≤∞ (2.11) 

N→∞ 

Sam problem je veoma sloˇzen i ne postoje analitički metodi za njegovo rešavanje. Postoje 

odre†eni algoritmi pomoću kojih je moguće konstruisati sekvence sa relativno velikim 

merit-faktorom [14], ali je pitanje koliko su one blizu vrednosti FN za datu duˇzinu. 

Trenutno se vrednosti FN pouzdano znaju za N ≤ 50, azaveće duˇzine se se samo


barata sa pretpostavkama. Najveći poznati merit-faktor ima Barkerova sekvenca duˇzine 

13 za koju je FN =14, 083. Za više informacija i dobar pregled trenutnih saznanja 

vezanih za ovaj problem, čitalacseupućuje na [13] i [14]. 

Zanimljivo je navesti da merit-faktor moˇze da posluˇzi i kao procena dobrote sekvence 

za proširenje spektra signala kod prenosa u proširenom spektru, tzv. direktne sekvence 

(direct sequence spread spectrum). Naime, za ovu primenu je potrebno da direktna 

sekvenca što bolje “razmaˇze” spektar signala, tj. da podjednako budu zastupljene sve 

učestanosti u opsegu od interesa, jer to znači i bolju otpornost na ometanja. 

Neka se umesto simbola iz skupa {0, 1} koristi {−1, 1}. Spektar direktne sekvence je 

(učestanost je normalizovana sa frekvencijom pojavljivanja simbola): 

Snaga direktne sekvence je: 

S(ν) = 

Z1 

0 

N−1 X 

n=0 

|S(ν)| 2 dν = 

sne −j2πnν , 0 ≤ ν ≤ 1 (2.12) 

N−1 X 

n=0 

s 2 n = C0 = N (2.13) 

Kao mera dobrote direktne sekvence se definiše devijacija spektralne gustine snage u 

odnosu na snagu, tj. 

Z1 

³ 

|S(ν)| 2 ´ 2 

− N dν. Što je ova vrednost manja, snaga direktne 

0 

sekvence je ujednačenije raspodeljena po frekventnom opsegu. Vaˇzi: 

Z1 

0 

³ 

|S(ν)| 2 ´ 2 

− N dν = 

= 

Z1 

0 

1 

Z 

0 

|S(ν)| 4 dν − 2N 

|S(ν)| 4 dν − N 2 

Relativno jednostavno se moˇze se pokazati da je: 

Z1 

pa se zamenom u (2.14) dobija: 

Z1 

0 

0 

Z1 

|S(ν)| 4 dν = N 2 N−1 X 

+2 

i=1 

³ 

|S(ν)| 2 ´ N−1 

2 X 

− N dν =2 

i=1 

0 

|S(ν)| 2 dν + N 2 

Z1 

dν 

C 2 i 

C 2 i = 

N 2 

F (s) 

0 

(2.14) 

(2.15) 

(2.16) 

Drugim rečima, što je merit-faktor veći, direktna sekvenca bolje proširuje spektar. 

Do ovog zaključka se moˇze doći i posmatranjem vrednosti aperiodične autokorelacije.


Npr. na slici 2.2, gde su punim kruˇzićima date ove vrednosti, jasno se vidi da postoji 

izraˇzen pik u nuli i relativno male vrednosti u ostalim tačkama, što veoma liči na diskretni 

δ-impuls. Sa druge strane, dobro je poznato da su u Furijeovoj transformaciji δ-impulsa 

podjednako zastupljene sve učestanosti.

Glava 3 

Bifiks analiza 

U prethodnom poglavlju je kroz primere pokazano da na sinhronizacione karakteristike 

sekvence pored duˇzine, veoma utiče i njena struktura. Prve analitičke rezultate koji 

potkrepljuju ovu tvrdnju je u [11] izneo Nilsen, koji je i uveo upotrebu termin bifiks na 

predlog Dˇzejmsa Mesija (James Massey). 

U [11] je dato očekivano trajanje pretrage za nekom (kontinualnom) sekvencom u 

beskonačnom nizu slučajnih jednakoverovatnih simbola, što bi se moglo interpretirati 

kao pretraga u regionu podataka koji je beskonačno dugačak. Ova vrednost je: 

T = 

NX 

h (i) A i NX 

− N =1− N + 

i=0 

i=1 

h (i) A i 

(3.1) 

gde su h (i) bifiks indikatori, A je broj simbola u alfabetu, a N je duˇzina sekvence. 

Sam dokaz dat u [11] je pomalo zaobilaznog tipa, jer Nilsen nije raspolagao izrazom 

(3.4). Kasnije je isti rezultat dobijen korišćenjem Markovljevih lanaca [17]. Ako se izraz 

(3.1) paˇzljivije razmotri, vidi se da očekivano trajanje pretrage raste sa brojem bifiksa 

u sekvenci, odnosno što više bifiksa sekvenca ima, ona se re†e pojavljuje u (beskonačno 

dugačkom) regionu podataka. Ovakav pojednostavljeni model ne odgovara situaciji u 

praksi, gde kvazi-deterministički region ima značajan uticaj, što pogotovo vaˇzi za kraće 

ramove. 

U odeljcima koji slede biće izvedena gustina raspodele verovatnoća i za slučaj pretrage 

ubeskonačnom regionu podataka i za slučaj pretrage u ramu. Biće razmatrane varijante 

kada se vrši pretraga za jednom ili više sekvenci. Tako†e će biti dati osnovni momenti 

ovakvogjednogprocesa-očekivano vreme pretrage i njegova varijansa. 

3.1 Pretraga u beskonačnom nizu podataka 

3.1.1 Pretraga za jednom sekvencom 

Pre nego što pre†emo na izvo†enje izraza za gustinu raspodele, razmotrimo još 

jednom proces pretrage koji nas interesuje. Posmatra se beskonačno dugačak niz slučajnih 

simbola. Niz se pretraˇzuje (testira) pomoću klizećeg prozora, poziciju po poziciju, 

28

GLAVA 3. BIFIKS ANALIZA 29 

k 

1 2 3 4 5 6 7 

Slika 3.1: Pretraga u beskonačnom nizu 

počevši od prve (k =1), sve dok se ne prona†e predefinisana sekvenca (slika 3.1). Kada 

se ovo desi, pretraga se završava. Zanima nas verovatnoća da će pretraga trajati tačno 

k testova, tj. da je k-ti test uspešan. Obeleˇzimo ovu verovatnoću sa Pr{k}. Ovo je 

u stvari verovatnoća da se sekvenca nalazi na poziciji k, i da se ne nalazi ni na jednoj 

poziciji koja prethodi k. 

Pretpostavimo da je sekvenca za kojom tragamo duˇzine N, njena struktura je opisana 

skupom bifiks indikatora h (i) , 0 ≤ i ≤ N, averovatnoća simbola koji čine sekvencu 

Pr{s}. Obeleˇzimo verovatnoće podsekvence koje čine poslednjih i simbola sekvence s sa 

r (i) (verovatnoća “repa” duˇzine i). Po definiciji je: 

Vaˇzi sledeća teorema (prvi put objavljena u [18]): 

Teorema 1 

Verovatnoća da je k-ti test uspešan je: 

⎧ 

⎨ 

Pr{k} = 

⎩ 

Dokaz 

min(N,k−1) P 

m=1 

. . . 

r (0) =1 (3.2) 

r (N) =Pr{s} (3.3) 

r (N) , k =1 

¡ h (N−m+1) r (m−1) − h (N−m) r (m) ¢ Pr{k − m}, k > 1 

(3.4) 

Za k = 1 dokaz je očigledan, jer ne postoje prethodni simboli koji bi uticali na 

pojavljivanje sekvence s. 

Da bismo dokazali izraz (3.4) za k>1, posmatrajmo skup svih slučajnih nizova 

duˇzine k + N − 1, kojisezavršavajusasekvencoms. Drugimrečima, u ovom skupu se 

nalaze svi nizovi u kojima se s pojavljuje sigurno bar jednom, i to na k-toj poziciji, pri 

čemu nije zabranjeno da se s pojavi i ranije. Ukupna verovatnoća svih ovih sekvenci je 

Pr{s} = r (N) , jer su u ovom skupu sve kombinacije simbola koji prethode s dozvoljene. 

Sve ove nizove moˇzemo podeliti na dva podskupa: 

• podskup nizova takvih da se sekvenca s nalazi samo na k-toj poziciji, obeleˇzimo 

ovaj podskup sa CS (k) , a sekvence iz ovog skupa nazovimo k-ograničene;


• podskupnizovakodkojihsesekvencas, poredk-te pozicije nalazi i na nekim 

drugim pozicijama pre k, iobeleˇzimo ovaj podskup sa US (k) , a sekvence iz ovog 

skupa nazovimo k-neograničene. 

Vaˇzi: 

Pr{CS (k) [ US (k) } =Pr{CS (k) } +Pr{US (k) } = r (N) 

Verovatnoća da je k-ti test uspešan je jednaka verovatnoći skupa CS (k) : 

(3.5) 

Pr{k} =Pr{CS (k) } = r (N) − Pr{US (k) } (3.6) 

Skup US (k) se moˇze podeliti na k disjunktih podskupova US (k) 

f 

pozicija prvog pojavljivanja sekvence s unizu.Vaˇzi: 

US (k) = 

Pr{US (k) } = 

k−1 [ 

f=1 

f=1 

US (k) 

f 

,gdejesaf označeno 

(3.7) 

Xk−1 

Pr{US (k) 

f } (3.8) 

Za f ≤ k−N, sekvenca iz skupa US (k) 

f se sastoji od f-ograničene sekvence, k−N −f 

proizvoljnih simbola i sekvence s (slika 3.2a) Stoga je: 

Pr{US (k) 

f } = Pr{CS(f) } Pr{sve kombinacije duˇzine k − f − N}r (N) 

= Pr{CS (f) }r (N) 

= Pr{f}r (N) 

(3.9) 

(3.10) 

(3.11) 

Za k − N


Za 1


Konačno, za k>N+2vaˇzi: 

r (N) = Pr{k − 1} + 

+r (N) 

Xk−2 

m=N+1 

NX 

h (N−m) r (m) Pr{k − 1 − m} + 

m=1 

Pr{k − 1 − m} (3.26) 

N+1 X 

= Pr{k−1} + h (N−m+1) r (m−1) Pr{k − m} + 

+r (N) 

Xk−1 

m=N+2 

m=2 

avaˇzi i: 

Pr{k} = r (N) Ã 

NX 

− h (N−m) r (m) Pr{k − m} + r (N) 

pa je: 

m=1 

Pr{k} = Pr{k − 1} + 

= 

NX 

m=2 

Pr{k − m} (3.27) 

Xk−1 

N+1 

Pr{k − m} 

³ 

h (N−m+1) r (m−1) − h (N−m) r (m)´ 

Pr{k − m} + 

! 

(3.28) 

+h (0) r (N) Pr{k − N − 1} − h (N−1) r (1) Pr{k − 1} − 

−r (N) Pr{k − N − 1} (3.29) 

NX ³ 

h (N−m+1) r (m−1) − h (N−m) r (m)´ 

Pr{k − m} (3.30) 

m=1 

¥ 

Izračunate verovatnoće predstavljaju u stvari gustinu raspodele slučajne promenljive 

koja predstavlja duˇzinu trajanja (u simbolima) pretrage za predefinisanom sekvencom u 

beskonačnom nizu slučajnih simbola. Formalni dokaz da se radi o gustini raspodele je 

dat u dodatku B, mada je intuitivno jasno da se će se bilo koja predefinisana sekvenca 

pre ili kasnije pojaviti u beskonačnom nizu. 

Očekivana trajanje pretrage je: 

T = 

∞X 

k Pr{k} = 

k=1 

NX 

h 

i=0 

(i) r(N−i) 

− N (3.31) 

r (N) 

što je pokazano u dodatku B. 

Uslučaju kada su simboli jednakoverovatni izraz (3.31) se svodi na : 

T = 

NX 

h 

i=0 

NX 

− N =1− N + 

AN−i (i) AN 

i=1 

h (i) A i 

(3.32)


a) 

b) 

c 1 

c 1 

f -ogranicena sekvenca 

proizvoljnih 

k-f-N simbola sekvenca s 

c ... c s ... s d ... d s ... s 2 f-1 1 N f+N 

k-1 1 N 

pozicija f 

sekvenca s 

pozicija k 

f -ogranicena sekvenca 

c ... c s s 2 f-1 1 k-f 

s k-f+1 

sekvenca s 

... ... s1 ... s 

s N 

1 sf+N-k sekvenca s 

pozicija f pozicija k 

s N 

preklapanje od 

f+N-k simbola 

Slika 3.2: Uz dokaz teoreme 

odnosno, na isti izraz do kojeg je došao i Nilsen (A je broj elemenata u alfabetu). 

Razmotrimo na primeru kako se ponaša ova gustina raspodele (rezulatati koji su 

ovde prikazani su prvi put objavljeni u [19]). Pretpostavimo da je duˇzina sekvence 8, 

simboli su iz binarnog alfabeta, vrednosti koje simboli mogu uzeti su jednakoverovatne, 

aposmatrajusesledeće karakteristične sekvence: 

• sekvenca sa svim bifiksima (npr. 00000000), 

• sekvenca sa parnim bifiksima (npr. 01010101), 

• sekvenca sa svakim četvrtim bifiksom (npr. 01110111), 

• sekvenca sa samo jednim netrivijalnim bifiksom, koji je prvog reda (npr. 01111110), 

i 

• sekvenca bez bifiksa (npr. 01111111). 

Grafik 3.3 prikazuje ponašanje gustine raspodele. Vidi se da su sekvence sa manje 

bifiksa u početku više verovatne od sekvenci sa više bifiksa. Sa porastom broja testova, 

posle neke kritične vrednosti (oko nekoliko stotina bita, u zavisnosti od sekvence), 

sekvence sa više bifiksa postaju više verovatne. Razlike izme†u krivih koje odgovaraju 

pojedinim sekvencama su veće što je veća razlika izme†u broja bifiksa svake od njih. Recimo, 

krive za sekvence 01111111 (bez bifiksa) i 01111110 (samo sa jednim netrivijalnim 

bifiksom) praktično se ne mogu razlikovati na ovom grafiku.


Pr{k} 

10 0 

10 −5 

10 −10 

10 −15 

10 −20 

10 0 

10 −25 

00000000 

01010101 

01110111 

01111110 

01111111 

10 1 

10 2 

k 

10 3 

Slika 3.3: Gustina raspodele trajanja pretrage, N =8 

Više informacija o očekivanom trajanju pretrage moˇzemo dobiti ukoliko ispitamo 

kako se ova vrednost ponaša u nizu ograničene duˇzine. Ukoliko pretpostavimo da je 

duˇzina niza F + N − 1, tada je maksimalni broj testova koji se mogu izvršiti F , a 

očekivano trajanje pretrage je: 

T (F )= 

10 4 

FX 

k Pr{k} (3.33) 

k=1 

Zavisnost ovog parametra od duˇzine niza je prikazana na grafiku 3.4. Sa grafika se jasno 

vidi da se granična vrednosti T praktično dostiˇze za duˇzine niza od nekoliko hiljada bita. 

I ovde postoji kritična duˇzina niza od nekoliko stotina simbola, pre koje je očekivano 

trajanje pretrage sekvenci sa više bifiksa kraće, a nakon koje ono postaje duˇze. Ukoliko 

umesto T (F ) prikaˇzemo 

T (F ) 

F 

uzavisnostiF (grafik 3.5),jasnijesemoˇze videti ponašanje 

očekivanog trajanja pretrage. Uočljivi su pikovi za koje je očekivana vrednost trajanja 

pretrage maksimalna u odnosu na duˇzinu niza. Za svaku karakteristističnu sekvencu pik 

je lociran na različitoj poziciji (od nekoliko stotina do otprilike hiljadu bita), pri čemu 

se ovi maksimumi prvo javljaju za sekvence bez bifiksa,akakobrojbifiksa raste, oni se 

dostiˇzu kasnije. Sve ovo ukazuje na činjenicu da se kod kraćih nizova re†e pojavljuju 

sekvence sa manjim brojem bifiksa, dok je za veće duˇzine situacija obrnuta, kada se re†e 

pojavljuju sekvence sa većimbrojembifiksa. 

Ukoliko ponovimo slična razmatranja za karakteristične sekvence duˇzine 16 bita, 

moˇzemo primetiti da generalno vaˇze isti zaključci, jedino su vrednosti kritičnih tačaka


T(F) 

T(F)/F 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0 

00000000, T = 503 

01010101, T = 333 

01110111, T = 265 

01111110, T = 251 

01111111, T = 249 

10 1 

10 2 

Slika 3.4: Očekivano trajanje pretrage u nizu konačne duˇzine, N =8 

10 0 

00000000 

01010101 

01110111 

01111110 

01111111 

10 1 

10 2 

Slika 3.5: Očekivano trajanje pretrage u odnosu na duˇzinu niza, N =8 

F 

F 

10 3 

10 3 

10 4 

10 4


Pr{k} 

10 −4 

10 −5 

10 −6 

10 −7 

10 −8 

10 0 

10 −9 

0000000000000000 

0101010101010101 

0111011101110111 

0111111111111110 

0111111111111111 

10 1 

10 2 

10 3 

k 

10 4 

10 5 

Slika 3.6: Gustina raspodele trajanja pretrage, N =16 

daleko veće, negde oko 100000 bita (grafici 3.6 i 3.7). Ovaj porast je praktično eksponencijalno 

zavistan od duˇzine sekvence. 

Od ostalih momenata gore izvedene raspodele, ovde ćemo još dati varijansu. Varijansa 

trajanje pretrage u ramu se moˇze izračunati sličnim postupkom kao i očekivano 

trajanje pretrage, i ovde je navodimo bez dokaza: 

σ 2 = T 2 − 

∞X 

k 2 Pr{k} (3.34) 

k=1 

= (T − N)(T + N − 1) + 2 

NX 

i=1 

što se u slučaju jednakoverovatnih simbola svodi na: 

σ 2 =(T − N)(T + N − 1) + 2 

3.1.2 Pretraga za više sekvenci 

(N−i+1) r(i−1) 

i · h 

r (N) 

NX 

i · h (N−i+1) A N−i+1 

i=1 

10 6 

(3.35) 

(3.36) 

Pretraga za više sekvenci se moˇze shvatiti kao generalizacija problema razmatranog 

u prethodnom odeljku. Sada se na prijemu smatra da je početak rama odre†en, 

odnosno da je test uspešan, ukoliko se u klizećem prozoru na†e jedna iz skupa predefinisanih 

sekvenci. Ovakva generalizacija moˇze odgovarati različitim praktičnim situaci-


T(F)/F 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

10 0 

0000000000000000 

0101010101010101 

0111011101110111 

0111111111111110 

0111111111111111 

10 1 

10 2 

Slika 3.7: Očekivano trajanje pretrage u odnosu na duˇzinu niza, N =16 

jama. Jedan primer je slučaj kada se koriste distribuirane sekvence, kada se pretraga za 

distribuiranom sekvencom moˇze posmatrati kao pretraga za čitavim skupom sekvenci. 

Svaka sekvenca iz ovog skupa se sastoji iz sinhro-simbola na predefinisanim pozicijama i 

neke kombinacije simbola podataka na preostalim pozicijama, a u ovom skupu ima onoliko 

sekvenci koliko je kombinacija simbola podataka (vidi odeljak 2.6). Sledeći primer 

je slučaj kada se na prijemu dozvoljavaju greške u okviru sinhro-sekvence nastale u 

prenosu, odnosno kade korelacija u klizećem prozoru ne mora da bude perfektna. Ovo 

se tako†e moˇze posmatrati kao pretraga za čitavim skupom sekvenci, koga čine “prava” 

sinhro-sekvenca i sve sekvence čije je Hemingovo rastojenje od nje manje ili jednako 

broju grešaka koje se tolerišu. 

Za rešavanje ovog problema uvodi se i uopštenje bifiksa, odnosno tzv. kros-bifiksi 

(cross-bifix). Pojam kros-bifiksa je prvi put upotrebljen u [21]. Posmatrajmo sekvencu 

si isekvencusjUkoliko je poslednjih n simbola sekvence si jednako prvih n simbola 

sekvence sj, tada ove dve sekvence imaju kros-bifiks n-tog reda, a vrednost odgovarajućeg 

kros-bifiks indikatora je jednaka 1, tj. h (n) 

ij =1. U suprotnom je h(n) 

ij =0. Potencijalnih 

kros-bifiksa ima onoliko koliko simbola ima kraća od dve sekvence. Po definiciji vaˇzi: 

h (0) 

ij 

10 3 

F 

10 4 

10 5 

= 1, ∀i, j (3.37) 

h (N) 

ii = 1, ∀i (3.38) 

gde je N duˇzina sekvence. Treba primetiti da u je opštem slučaju h (n) 

ij 6= h (n) 

ji ,štoje 

jasno i na osnovu definicije kros-bifiksa. Kao što bifiksi opisuju sličnosti koje postoje u


strukturi jedne sekvence, kros-bifiksi opisuju sličnosti u strukturama dve sekvence. 

Ako posmatramo skup od M sekvenci koje su sve iste duˇzine N, tada se svi krosbifiksi 

u njemu mogu zapisati u vidu N matrica: 

⎡ 

h (n) ⎢ 

= ⎢ 

⎣ 

h (n) 

11 

h (n) 

21 

. 

h (n) 

12 ... h (n) 

1M 

h (n) 

22 ... h (n) 

2M 

. 

h (n) 

M1 h(n) 

M2 ... h (n) 

MM 

. 

⎤ 

⎥ ,n=0, 1,...,N (3.39) 

⎦ 

Npr. neka je sinhro-sekvenca 001 i neka se na prijemu toleriše jedna greška u prenosu. 

Tada je skup dozvoljenih sinhro-sekvenci na prijemu {000, 001, 011, 101}, akros-bifiks 

indikatori su (sekvence smo numerisali redosledom kojim su zapisane u skupu): 

h (0) = 

h (2) = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 0 0 

0 0 1 0 

0 0 0 0 

0 0 1 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ h(1) = 

⎤ 

⎥ 

⎦ h(3) = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 1 1 0 

0 0 0 1 

0 0 0 1 

0 0 0 1 

1 0 0 0 

0 1 0 0 

0 0 1 0 

0 0 0 1 

Ponovimo na ovom mestu još jednom problem koji razmatramo. Na prijemu se 

odre†uje početak rama, tako što se vrše sukcesivni testovi pomoću klizećeg prozora 

koji se pomera simbol po simbol, sve dok se u njemu ne na†e neka sinhro-sekvenca iz 

predefinisanog skupa. Verovatnoća da je u k-tom testu prona†ena baš sinhro-sekvenca 

sj je data sledećom teoremom: 

Teorema 2 

Verovatnoću da se u k-tom testu prona†e sinhro-sekvenca sj je: 

⎧ 

⎪⎨ 

Pr{sj} = r 

Prj{k} = 

⎪⎩ 

(N) 

j , 

MP min(N,k−1) P ³ 

h 

i=1 m=1 

k =1 

(N−m+1) 

ij r (m−1) 

j − h (N−m) 

ij r (m) 

´ 

j Prj{k − m}, k > 1 

(3.40) 

gde je sa r (m) 

j označena verovatnoća repa sekvence sj koji je duˇzine k. 

Dokaz 

Što se tiče dokaza ove teoreme, ovde ćemo navesti koje su razlike u odnosu na dokaz 

prethodne teoreme, jer se on izvodi na veoma sličan način. Ponovo se posmatraju svi 

nizovi duˇzine k + N − 1 koje se završavaju sinhro-sekvencom sj. Sve ove nizove moˇzemo 

podeliti na dva podskupa: 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦


• podskup nizova takvih da se nijedna druga sinhro-sekvenca iz datog skupa ne 

nalazi pre pozicije k; nazovimo ove nizove k-ograničenim u odnosu na sekvencu sj, 

apodskupobeleˇzimo sa CS (k) 

j ; 

• podskupnizovakodkojihse,poredsinhro-sekvencesjna k-toj poziciji, u nizu 

nalaze i neke druge sinhro-sekvence iz skupa na pozicijama pre k, nazovimoove 

nizove k-neograničenim u odnosu na sj i a podskup obeleˇzimo sa US (k) 

j . 

Vaˇzi: 

Pr{CS (k) 

j 

[ US (k) 

j 

} = Pr{CS(k) 

j 

} +Pr{US(k) } = r(N) 

j 

j 

(3.41) 

Pr{CS (k) 

j } = Prj{k} (3.42) 

Skup US (k) 

j se moˇze podeliti na disjunktne podskupove US (k) 

j,f ,gdejesafoznačena prva pozicija na kojoj se u okviru k-neograničenog niza pojavljuje bilo koja sekvenca iz 

dozvoljenog skupa. Vaˇzi: 

US (k) 

j 

= 

Pr{US (k) 

j } = 

k−1 [ 

f=1 

f=1 

US (k) 

j,f 

(3.43) 

Xk−1 

Pr{US (k) 

j,f } (3.44) 

Dalje dokaz teče na isti način kao i u prethodnom slučaju. Sličnim izvo†enjima se moˇze 

pokazati da je: 

Pr{US (k) 

j } = 

Pr{US (k) 

j } = 

MX 

NX 

i=1 m=1 

MX 

Xk−1 

i=1 m=1 

ipomoću ove i sledeće dve relacije: 

h (N−m) 

ij r (m) 

j Pri{k − m}, k≤ N +1 (3.45) 

h (N−m) 

ij r (m) Pri{k − m} + r (N) 

j 

Prj{k} = r (N) 

j 

MX 

Xk−1 

i=1 m=N+1 

Pri{k − m}, k>N+1 

(3.46) 

− Pr{US(k) j } (3.47) 

r (N) 

j = Prj{k−1} +Pr{US (k−1) 

j } (3.48) 

moˇze se dokazati teorema. 

¥ 

Na osnovu ovog rezultata se moˇze izvesti verovatnoća da se u k-tom testu prona†e 

bilo koja od predefinisanih sinhro-sekvenci, odnosno da je k-ti test uspešan. Ona je data 

sledećom teoremom:


Teorema 3 

Verovatnoća da je k-ti test uspešan je: 

⎧ 

⎪⎨ 

Pr{k} = 

⎪⎩ 

MP MP min(N,k−1) P ³ 

MP 

j=1 

r (m−1) 

Dokaz 

j=1 i=1 

m=1 

h (N−m+1) 

ij 

j 

r (N) 

j , k =1 

− h (N−m) 

ij 

Dokaz je vrlo jednostavan, treba samo iskoristiti činjenicu da je: 

Pr{k} = 

r (m) 

´ 

j Pri{k − m}, k > 1 

(3.49) 

MX 

Prj{k} (3.50) 

j=1 

¥ 

Moˇze se pokazati da se i u ovom slučaju radi o gustini raspodele. Što se tiče očekivanja 

i varijanse trajanja pretrage, njihova vrednosti su date daleko komplikovanijim izrazima 

nego u prethodnom slučaju [22], i ovde ih dajemo bez dokaza. Očekivanje je: 

gde je: 

T =1− N +(Pr{1}) −1 

Ci = 

Cij = 

MX 

Cij 

j=1 

NX 

m=1 

MX 

i=1 

SiCi 

r (m−1) 

j h (N−m+1) 

ij 

(3.51) 

(3.52) 

(3.53) 

dok se parametri Si dobijaju kao rešenja sistema linearnih jednačina sa M nepoznatih: 

⎡ 

C11 

⎢ r 

⎢ 

⎣ 

(N) − 

1 

C12 

r (N) 

2 

C21 

r (N) − 

1 

C22 

r (N) 

2 

... 

CM1 

r (N) − 

1 

CM2 

r (N) 

C11 

r 

2 

(N) − 

1 

C13 

r (N) 

3 

C21 

r (N) − 

1 

C23 

r (N) 

3 

... 

CM1 

r (N) − 

1 

CM3 

r (N) 

. 

C11 

r 

. 

3 

. 

(N) − 

1 

C1M 

r (N) 

M 

C21 

r (N) − 

1 

C2M 

r (N) 

M 

... 

CM1 

r (N) − 

1 

CMM 

r (N) 

1 1 ,,, 

⎤ 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

⎥ S1 0 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ S2 ⎥ ⎢ 

⎥ ⎢0 

⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ . ⎥ = ⎢ 

⎥ ⎢. 

⎥ 

⎥ ⎣SM−1⎦ 

⎣0⎦ 

⎦ 

M SM 1 

1 

(3.54) 

Varijanse trajanja pretrage je: 

σ 2 = T 2 − 

∞X 

k 2 Pr{k} (3.55) 

k=1


pri čemu je: 

avaˇzi: 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

C11 

r (N) 

1 

C11 

r (N) 

1 

C11 

r (N) 

1 

∞X 

k 2 Pr{k} =1− 2NT − N 2 +(Pr{1}) −1 

MX MX 

(2TiCij + SiWij) (3.56) 

k=1 

− C12 

r (N) 

2 

− C13 

r (N) 

3 

. 

− C1M 

r (N) 

M 

C21 

r (N) 

1 

C21 

r (N) 

1 

C21 

r (N) 

1 

− C22 

r (N) 

2 

− C23 

r (N) 

3 

. 

− C2M 

r (N) 

M 

NX 

Wij = 

m=1 

... 

... 

... 

j=1 i=1 

(2m − 1) r (m−1) 

j h (N−m+1) 

ij 

CM1 

r (N) 

1 

CM1 

r (N) 

1 

CM1 

r (N) 

1 

1 1 ,,, 1 

− CM2 

r (N) 

2 

− CM3 

r (N) 

3 

. 

− CMM 

r (N) 

M 

⎤ 

⎡ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎣ 

⎦ 

T1 

T2 

. 

TM−1 

TM 

⎡ 

MP 

⎤ ⎢ j=1 

⎢ 

⎥ ⎢ 

MP 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ j=1 

⎥ = ⎢ 

⎥ ⎢ 

⎦ ⎢ MP 

⎢ 

⎣ 

j=1 

Sj 

2 

Sj 

2 

Sj 

2 

µ 

Wj2 

r (N) − 

2 

Wj1 

r (N) 

1 

µ 

Wj3 

r (N) − 

3 

Wj1 

r (N) 

1 

. 

µ WjM 

r (N) 

M 

T 

− Wj1 

r (N) 

1 

(3.57) 

(3.58) 

Ukoliko se u formule za očekivanje i varijansu (3.51) i (3.56) stavi da je M =1,dobijaju 

se očekivanje i varijansa date izrazima (3.31) i (3.35). 

3.2 Pretraga u ramu 

Pretraga u ramu se razlikuje od prethodnog slučaja u dva pogleda: 

• duˇzina niza simbola je ograničena, 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

• na proces pretrage utiču kvazi-determinističkiregioni,kojisenalazesaobestrane 

regiona podataka u ramu. 

Ovo je detaljnije prikazano na slici 3.8. Iz razloga koji će kasnije biti razjašnjeni, 

prvi kvazi-deterministički region obuhvata prvih 2N simbola, iako na krajnjoj pozicije 

pretrage nema preklapanja izme†u sinhro-sekvence i klizećeg prozora. 

Klizeći prozor kreće sa pozicije S, pričemu je 1 ≤ S ≤ F (pozicija S =0odgovara 

početnojpozicijiuramu.Najnepovoljnijislučaj je za S =1, jer je tada potrebno ispitati 

najviše pozicija dok se ne do†e do sinhro-sekvence u sledećem ramu. U narednim 

odeljcima ćemo samo njega i posmatrati, a dobijeni rezultati se lako mogu uopštiti i za 

druge vrednosti S. 

3.2.1 Pretraga za jednom sekvencom 

Ovo je lakša varijanta problema. Pretraga za sekvencom s startuje iz prvog kvazideterminističkog 

regiona, S =1. Radi preglednosti, odvojeno ćemo posmatrati verovatnoće 

simulacije sinhro-sekvence u prvom kvazi-determinističkom regionu, regionu podataka, 

i konačno u drugom kvazi-determinističkom regionu. Ono što se apriori moˇze


N simbola 

klizeci prozor, 

startna pozicija S 

N 

simbola 

prvi kvazi-deterministicki 

region, dužine 2N-1 

simbol 


ram dužine F simbola 

region podataka 

Slika 3.8: Pretraga u ramu 

N-1 

simbol 

N simbola 

drugi kvazideterministicki 

region, 

dužine 2N-1 simbol 

naredni ram ... 

očekivati je da su razlike u odnosu na slučaj pretrage u beskonačnom nizu najizraˇzenije 

upravo u kvazi-determinističkim regionima. 

Prvi kvazi-deterministički region 

Sinhro-sekvenca u ovom regionu moˇze biti simulirana samo ukoliko poseduje bifikse. 

Pošto je S =1, broj testova u kvazi-determinističkom regionu je N − 1. 

Pretpostavimo da sekvenca ima ima k bifiksa, pri čemu na pretragu ne utiče trivijalni 

bifiks duˇzine N (jer nije obuhvaćen procesom pretrage), ali utiče trivijalni bifiks 

duˇzine 0. Pore†ajmo sve bifiksesekvencepoduˇzini, počevši od najduˇzeg: b1 >b2 >...> 

bk−1 >bk =0,gdesmosabi označili red i-tog bifiksa. U prvom kvazi-determinističkom 

regionu postoji k pozicija za potencijalnu simulaciju sekvence, to su pozicije kada klizeći 

prozor započinje sa nekim od bifiksa. Što je bifiks kraći, prozor obuhvata više simbola 

podataka. Da bi se simulacija stvarno i desila simboli podataka treba da odsimuliraju 

“dopunu” sinhro-sekvence u odnosu na dati bifiks. Obeleˇzimo dopunu i-tog bifiksa sa 

di, di =[sbi+1,sbi+2,...,sn], ioznačimo broj elemenata u di sa Ndi .Vaˇzi: Nd1


to nije slučaj, simulacija je dozvoljena (ovo je indirektno pokazano u aneksu B, a tako†e 

je navedeno i u [23]). Ova osobina u velikoj meri smanjuje broj ispitivanja potrebnih da 

bi se utvrdilo da li je simulacija dozvoljena. 

Pre nego što damo izraz za verovatnoću simulacije, definišimo tzv. prefiks indikator 

ps1s2 duˇzine m izme†u sekvenci s1 i s2, čije su duˇzine respektivno N1 i N2, nasledeći 

način: 

ps1s2 = 

½ 1 N1


Da bi sve ove jednačine vaˇzile, mora biti: 

s9 = s8 = s7 = s2 = s5 = s4 = s3 = s2 = s1 

(3.68) 

što znači da sekvenca ima bifikse duˇze od N 

2 =4,odnosnodapočetna pretpostavka o 

samo dva bifiksa nije tačna. 

Radi boljeg razumevanja izloˇzenog, data su još dva primera. U prvom primeru (slika 

3.9) se posmatra sekvenca 10011001, kod koje je najduˇzi bifiks 1001 duˇzine 4 (polovina 

duˇzine sekvence). Potencijalne simulacije su na pozicijama k =4i k =7,iobesu 

moguće. 

prva potencijalna 

simulacija, k=4 

druga potencijalna 


pocetna pozicija 

za testiranje 

prvi kvazi-deterministicki region 

sinhro-sekvenca podaci 

1 0 0 1 1 0 0 1 x x x x x 

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 x 

1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 

Slika 3.9: Pretraga u prvom kvazi-determinističkom regionu, svi bifiksi su kraći od N 

2 

U drugom primeru se posmatra sekvenca 11011011011 (slika 3.10). U ovom slučaju 

je najduˇzi bifiks devetog reda, a postoje još i bifiksi šestog, drugog i prvog reda. Potencijalne 

simulacije za bifikse šestog i četvrtog reda su zabranjene, jer je pr9r6 =1i 

=1,dokjepr9r1 =0i simulacija za k =10je dozvoljena. 

pr9r2 

Region podataka 

U regionu podataka direktni uticaj sinhro-sekvence sa početka rama više ne postoji, i 

sada se u prozoru isključivo nalaze slučajni simboli podataka. Za izračunavanje verovatnoća 

simulacije se stoga mogu primeniti rezultate iz odeljka 3.1, uz jednu bitno razliku. 

U 3.1 se razmatraju nizovi simbola čije je jedino ograničanje da se završavaju predefinisanom 

sekvencom. Me†utim, ovde se posmatraju nizovi koji počinju predefinisanom 

sekvencom (sinhro-sekvenca na početku rama) i završavaju istom tom sekvencom i koji 

su pritom “preˇziveli” prvi kvazi-deterministički region. Na isti način, kao i u 3.1 se 

moˇze pokazati da svih prethodno izračunatih N verovatnoća simulacije iz prvog kvazideterminističkog 

regiona predstavljaju početne vrednosti za rekurzivni obrazac (3.4). 

Stoga je verovatnoća da je k-ti test u ovom regionu uspešan: 

½ 

NP ¡ 

Pr{k} = h (N−m+1) r (m−1) − h (N−m) r (m) ¢ Pr{k − m}, N < k ≤ F − N 

m=1 

x 

x 

0 

x 

x 

1 

x 

x 

x 

(3.69)






treca potencijalna 


cetvrta potencijalna 



za testiranje 



1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 x 

x x x x x x x x x 

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 x x x x x x x 

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 x x x x 

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 x 

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 

Slika 3.10: Pretraga u prvom kvazi-determinističkom regionu, postoje bifiksi duˇzi od N 

2 

Drugi kvazi-deterministički region 

Iako na prvi pogled moˇze delovati da u ovom regionu vaˇze razmatranja slična onima 

u prvom kvazi-determinističkom regionu, to nije slučaj. Ovde je simulacija moguća 

svaki put kada zadnja ivica klizećeg prozora završi na nekom od bifiksa,bezobziradali 

postoje i kraći bifiksi. Jednostavno, u prethodnim testovima ne postoji “deterministička” 

memorija koja bi sprečavala simulaciju kao kod prvog kvazi-determinističkog regiona. 

Pored postojanja bifiksa, za simulaciju je potrebno i da se preˇziveli kvazi-slučajni niz 

koji prethodi bifiksu završava sa odgovarajućim prefiksom. Ovo liči na situaciju koju 

smo imali u regionu podataka, što se moˇze iskoristiti za izvo†enje izraza za verovatnoću 

simulacije. 

Pretpostavimo prvo da se i dalje nalazimo u regionu podataka, tj. da i dalje vaˇzi 

(3.69). Obeleˇzimo verovatnoće izračunate na ovaj način sa Pr0 {k} : 

Pr 0 ½ 

NP ¡ 

{k} = h (N−m+1) r (m−1) − h (N−m) r (m) ¢ Pr0 {k − m}, N < k ≤ F − N 

m=1 

(3.70) 

Sa druge strane, postojanje determinističkog završetka znači da je simulacija moguća 

samo ako postoji odgovarajući bifiks. Ako postoji, bifiks je deterministički, što znači da 

verovatnoću (3.70) treba podeliti sa verovatnoćom repa sekvence koji taj bifiks reprezentuje, 

pa je: 

Pr{k} = h (k−(F −N)) Pr0 {k} 

,F− N



simulacija, k=F-N+1 


simulacija, k=F-N+4 

x 

1 

x 

x 

0 

x 

drugi kvazi-deterministicki region 

podaci 

x 

0 

x 

x 

1 

1 

x 

0 

0 

x 

0 

0 

1 

1 

1 


Slika 3.11: Potencijalne simulacije sinhro-sekvence u drugom kvazi-determinističkom regionu 

Na kraju, kada izračunamo verovatnoće simulacije u ramu za sva tri regiona, moˇzemo 

izračunati totalnu verovatnoću simulacije: 

PrTS = 

iverovatnoću preˇzivljavanja, definisanu kao: 

FX −1 

k=1 

F −1 

PrSV =1− PrTS =1− 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

Pr{k} (3.72) 

0 

0 

0 

X 

Pr{k} (3.73) 

Verovatnoća preˇzivljavanja je u stvari verovatnoća da sekvenca neće biti simulirana 

tokom prolaza kroz ram. Što je vrednost ovog parametra veća, to je sekvenca bolji 

izbor u smislu sinhronizacionih karakteristika. 

Zanimljivo je ispitati kako se date verovatnoće ponašaju za konkretne vrednosti parametara 

N i F .Nagrafiku 3.12 je dat njihov uporedan prikaz za nekoliko sekvenci duˇzine 

8uramuduˇzine 40. 

Sa grafika 3.12 se vidi da je u kvazi-determinističkim regionima moguća simulacija 

samo sekvenci sa bifiksima i to samo na pozicijima na kojima bifiksi to dozvoljavaju. U 

regionu podataka su sekvence sa više bifiksa manje verovatne od sekvenci sa manje bifiksa. 

Me†utim, posle neke kritične duˇzine rama, sa porastom broja testova bi sekvence 

sa više bifiksa postale više verovatne (vidi sliku 3.3). Simulacijom se moˇze pokazati da 

je za N =8kritična duˇzina rama negde oko 700 bita. Ipak, ukoliko se u obzir uzme 

ukupna verovatnoća simulacije, kada su obuhvaćeni i kvazi-deterministički regioni, tada 

su sekvence sa bifiksima definitivno lošiji izbor, jer doprinos regiona podataka ukupnoj 

verovatnoći simulacije bar za red veličine manji od doprinosa kvazi-determinističkih 

regiona. Ovo potvr†uju i verovatnoće preˇzivljavanja date u tabeli 3.1. 

Razmotrimo na kraju šta se dešava ako je početna pozicija pretrage S>1. Ukoliko 

je 1 ≤ S ≤ N, principskivaˇze ista razmatranja kao i za S =1; obuhvaćeni bifiksi 

diktiraju mogućnost simulacije, a neke od njih mogu biti zabranjene ukoliko su dopune 

duˇzih bifiksa prefiksi dopuna kraćih bifiksa. 

k=1 

1 

1 

1


Pr{k} 

10 0 

10 −1 

10 −2 

10 −3 

00000000 

01010101 

01110111 

01111110 

01111111 

10 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 

−4 

k 

Slika 3.12: Pretraga u ramu, N =8, F =80 

sekvenca PrSV 

00000000 0.220186 

01010101 0.463834 

01110111 0.691301 

01111110 0.759331 

01111111 0.770106 

Tabela 3.1: Verovatnoće preˇzivljavanjazasekvenceizprimera 

Za N < S < F vaˇze formule (3.69), odnosno (3.70) i (3.71), pri čemu prilikom 

odre†ivanja gornje granice u sumama treba u obzir uzeti i početnu poziciju. 

3.2.2 Pretraga za više sekvenci 

Uslučaju pretrage za više sekvenci izrazi za verovatnoće se dodatno komplikuju, kao 

što se moglo i očekivati. 

Pretpostavimo da vrši pretraga za kontinualnim sekvencama, pri čemu je samo jedna 

od njih ona prava. Obeleˇzimoovusekvencusas1. Kaoštojerečeno, ona je samo jedna 

iz skupa sekvenci koje se na prijemu smatraju validnim. Obeleˇzimo ovaj skup sekvenci 

sa S, inekajebrojsekvenciuovomskupuM, S = {s 1 , s2,...,sM}. Pretpostavimo i da 

je sinhro-sekvenca s1 na počecima uzastopnih ramova ispravna preneta. 

Verovatnoća da je test uspešan za neku poziciju pretrage je jednak verovatnoći da


se na toj poziciji prona†e bilo koja od sekvenci iz skupa S. Neka je početna pozicija 

pretrage S =1. 

Prvi kvazi-deterministički region 

Posmatrajmo pozicije 1 ≤ k ≤ N. Potencijalne simulacije svake od sekvenci iz skupa 

su na pozicijama koje odre†uju kros-bifiksi izme†u s1 i te sekvence. Drugim rečima, za 

svaku od sekvenci su od interesa samo one pozicije na kojima vaˇzi 

h (N−k) 

1,j =1, ∀j, 1 ≤ k ≤ N (3.74) 

Na osnovu analogije sa prethodnim slučajem, jasno je da neke od potencijalnih simulacija 

mogu biti zabranjene, što zavisi od toga kakve su dopune sekvence sj za odgovarajući 

kros-bifikse. Me†utim, za razliku od pretrage za samo jednom sekvencom, 

potencijalne simulacije mogu biti zabranjene ukoliko su dopune za prethodne potencijalne 

simulacije svih sekvenci iz skupa prefiksi dopune za koju se simulacija posmatra. 

To znači da bi u principu trebalo ispitati sve dopune kraće od one koja odgovora datoj 

simulaciji, kojih moˇze biti vrlo velik broj. Me†utim, slično kao i u prethodnom 

slučaju, moˇze se pokazati da je dovoljno ispitati samo da li je najkraća dopuna za svaku 

od sekvenci prefiks dopune za koju se simulacija razmatra, što značajno smanjuje broj 

upore†ivanja. 

Pore†ajmo redove svih kros-bifiksa izme†u s1 i sj po duˇzini, počevši od najduˇzeg - 

b1 j >b2 j >...>bk−1 j >bkj =0.Sadij obeleˇzimo dopunu za kros-bifiks reda bij ,ioznačimo 

broj elemenata di j sa Ndi j . Vaˇzi: Nd1 j






treca potencijalna 



za testiranje 



1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 x 

x x x x x x x x x 

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 x x x x 

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 x 

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 

Slika 3.13: Pretrage za više sekvenci u prvom kvazi-determinističkom regionu 

Verovatnoća da je k-ti test u prvom kvazi-determinističkom regionu uspešan je zbir 

verovatnoća simulaicje za svaku od sekvenci: 

Pr{k} = 

MX 

Prj{k} (3.77) 

j=1 

uz jednu bitnu napomenu. Naime, moˇze se desiti da ovaj zbir za neku poziciju k ima 

vrednost 1. To znači da je k-ti test sigurno uspešan i da se pretraga prekida, odnosno 

da su sve verovatnoće simulacije nakon ove pozicije jednake 0, uključujući i preostali 

deo rama. Ovakva situacija je sasvim legitimna, jer se usled mogućih kombinacija krosbifiksa 

u nekom koraku moˇze desiti da je izvesno da će se neka od dozvoljenih sekvenci 

simulirati. Npr. neka je sinhro-sekvenca 0000, a dozvoljenim se smatraju ona i sve 

sekvence na dH ≤ 1. Skup dozvoljenih sekvenci je {0000, 0001, 0010, 0100, 1000}. U 

prvom testu se u prozoru nalaze poslednja tri bita sinhro-sekvence, tj. 000, i jedan bit 

podataka, čija vrednost moˇze biti ili 0 ili 1. U prvom slučaju će se simulirati sekvenca 

0000, a u drugom 0001, tako da će se pretraga sigurno okončati. Naravno, ovako nešto 

nema mnogo smisla u praksi, jer se uvek teˇzi minimizaciji verovatnoće simulacije.


Region podataka 

Uregionupodataka(N


Pr{k} 

10 0 

10 −1 

10 −2 

10 −3 

00000000 

01010101 

01110111 

01111110 

01111111 

10 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 

−4 

k 

Slika 3.14: Pretraga u ramu, e =1 

sekvenca PrSV 

00000000 0 

01010101 0.0134654 

01110111 0.0483176 

01111110 0.103775 

01111111 1.11022 · 10 −16 


Model koji smo razmatrali u prethodnim izvo†enjima nema preteranu praktičnu vrednost. 

Naime, ako već smatramo da se greške u prenosu ne mogu zanemariti i pokušavamo 

da ih sa stanovišta sinhronizacije minimizujemo, onda nema mnogo smisla očekivati apriori 

ispravan prenos na svim pozicijama gde su simboli sinhro sekvence. Ono što bi se 

moglo uraditi za kompletan analitički tretman i pronalaˇzenje očekivanog ponašanja je za 

svaku kombinaciju grešaka na poslatim sinhro-sekvancama pronaći odgovarajuće verovatnoće 

pretrage u ramu, a zatim njihov doprinos u prosečnoj verovatnoći ponderisati sa 

apriornim verovatnoćom te kombinacije. Ovakav pristup bi, naˇzalost, zahtevao veoma 

mnogo izračunavanja, ali postoje indikacije da je moguće konstruisati znatno uprošćenije 

modele koji bi dali dovoljno dobre aproksimacije [24]. 

Sličan pristup se moˇze primeniti i na distribuirane sinhro-sekvence. Ovde se na 

početku rama moˇze naći bilo koja od A D sinhro-sekvenci, gde je A broj simbola u 

alfabetu a D broj nefiksiranih simbola u distribuiranoj sinhro-sekvenci. Pomoću bifiksanalize 

se moˇze očekivano ponašanje za sve moguće kombinacije preklapanja izme†u


sinhro-sekvenci u kvazi-determinističkim regionima (kojih ima A 2D ). Prosečna verovatnoća 

se moˇze odrediti tako što će se ove vrednosti pomnoˇziti sa apriornom verovatnoćom 

pojavljivanja kombinacije i zatim sabrati. Slično vaˇziikadasegreškeuprenosuuzimaju 

uobzir,pričemu bi analiza bila veoma komplikovana.

Glava 4 

Primena bifiks analize 

4.1 Vreme akvizicije (resinhronizacije) 

U odeljku 1.1.2 je dat uprošćeni model akvizicije, i uz pretpostavku da je verovatnoća 

simulacije na svakoj poziciji pretrage ista izvedena aproksimativna formula koja daje 

prosečno vreme akvizicije. Ovde će biti pokazan izraz koji za pretpostavljeni model daje 

tačnu vrednost za prosečno vreme akvizicije. 

Pre nego što pre†emo na izvo†enja, navedimo još jednom osobine procesa koji se 

razmatra. Prijemnik je ispao iz sinhronizma i započinje pretragu od prve naredne pozicije 

u odnosu na ispravnu. Smatra se da su sinhro-sekvence u svim ramovima ispravno 

prenete. Na svakoj od pozicija pretrage ispituje se sadrˇzaj klizećeg prozora i ako je 

sekvenca simulirana, skače se na istu poziciju u narednom ramu i vrši verifikacija. Prvi 

put kada verifikacija nije uspešna, prelazi se na sledeću poziciju u istom ramu i ponovo 

razmatra sadrˇzaj klizećeg prozora. Zanima nas prosečno vreme (izraˇzeno kroz prosečan 

broj bita) potrebno da klizeći prozor do†e do naredne ispravne pozicije na kojoj se nalazi 

sinhro-sekvenca. 

U prethodnom poglavlju je pokazano kako se moˇze izvesti verovatnoća da se u ramu, 

počevši od neke pozicije S, prvi put simulira sinhro-sekvenca na nekoj poziciji k, S ≤ 

k

GLAVA 4. PRIMENA BIFIKS ANALIZE 54 

Pr{1/1} 

Pr{F/2} 

Pr{F-1/2} 

1 

Pr{2/2} 

2 

Pr{i/2} 

. . . . . i . . . . . Pr{F-1/F-1} 

Pr{F/F-1} 

F - 1 

F 

Pr{2/1} 

Pr{i/1} 

Pr{F-1/1} 

Pr{F-1/i} 

Pr{F/i} 

moˇze pokazati da je ono jednako: 

Pr{F/1} 

Slika 4.1: Model akvizicije 

τ i = F Pr{i/i} 

1 − Pr{i/i} 

(4.1) 

Da bismo odredili prosečno vreme akvizicije, posluˇzimo se rekurzijom. Pretpostavimo 

da smo se našli u stanju F − 1, i da nas zanima koliko je prosečno vreme potrebno da 

iz njega stignemo u stanje F . Ovo vreme je suma dve komponente - prosečnog vremena 

provedenog u stanju F − 1, i vremena potrebnog da pre†emo iz F − 1 u F . Prvu 

komponentu dobijamo na osnovu izraza (4.1), dok je druga jednaka rastojanju izme†u 

ova dva stanja. 

Ovo moˇzemo i drugačije zapisati: 

τ F −1→F = 

τ F −1→F = τ F −1 + F − (F − 1) (4.2) 

= F · Pr{F − 1/F − 1} 

+1 

1 − Pr{F − 1/F − 1} 

(4.3) 

= F · Pr{F − 1/F − 1} +Pr{F/F − 1} 

F · Pr{F − 1/F − 1} 

1 − Pr{F − 1/F − 1} + 

Pr{F/F − 1} 

1 − Pr{F − 1/F − 1} 

1 − Pr{F − 1/F − 1} 

(4.4) 

(4.5) 

Vreme potrebno da iz F − 2 stigne u F se sastoji od tri komponente. Prva je ponovo 

prosečno vreme provedeno u F −2. Kadaseiza†eizstanjaF −2 postoje dva izbora, prvi 

je da se odmah pre†e u stanje F , a drugi da se pre†e u stanje F − 1. Uprvomslučaju 

je vreme prelaza 2 bita, ali ga se ono mora pomnoˇziti i sa verovatnoćom ovog prelaza, 

što je 

(verovatnoća ovog prelaza pod uslovom da se prelaz u isto stanje 

Pr{F/F−2} 

1−Pr{F −2/F −2} 

nije desio). U drugom slučaju je vreme prelaza 1+τ F −1→F ,averovatnoća prelaza je 

Pr{F −1/F −2} 

1−Pr{F −2/F −2} 

. Stoga je prosečno vreme potrebno da se iz stanja F − 2 pre†e u stanje


F : 

τ F −2→F = 

F · Pr{F − 2/F − 2} 

1 − Pr{F − 2/F − 2} +2 

Pr{F/F − 2} 

1 − Pr{F − 2/F − 2} + 

Pr{F − 1/F − 2} 

+(1+τF −1→F ) 

1 − Pr{F − 2/F − 2} 

= F · Pr{F − 2/F − 2} + τ F −1→F · Pr{F − 1/F − 2} 

1 − Pr{F − 2/F − 2} 

+ Pr{F − 1/F − 2} +2Pr{F/F − 2} 

1 − Pr{F − 2/F − 2} 

Sličnim razmatranjima se moˇze pokazati da u opštem slučaju vaˇzi: 

F · Pr{i/i} + 

FP −1 

j=i+1 

τ j→F · Pr{j/i} + FP 

j=i+1 

(j − i)Pr{j/i} 

+ 

(4.6) 

(4.7) 

τ i→F = 

(4.8) 

1 − Pr{i/i} 

pri čemu je poslednji termin sa desne strane u stvari očekivano vreme pretrage u ramu 

počevši od pozicije i: 

pa je: 

FX 

j=i+1 

τ i→F = 

Prosečno vreme akvizicije je: 

TSY N=τ 1→F = 

(j − i)Pr{j/i} = 

F · Pr{i/i} + 

FX 

(j − i)Pr{j/i} = Ti 

j=i 

F · Pr{1/1} + 

FP −1 

τ j→F · Pr{j/i} + Ti 

j=i+1 

1 − Pr{i/i} 

FP −1 

τ j→F · Pr{j/1} + T1 

j=2 

1 − Pr{1/1} 

4.2 Analiza postojećih sinhro-sekvenci 

(4.9) 

(4.10) 

(4.11) 

Uovomodeljkućemo primeniti prethodno izvedene formule na neke od postojećih 

sinhro-sekvenci, da bismo utvrdili i uporedili njihove sinhronizacione karakteristike. 

4.2.1 E1 (PDH) sinhro-sekvenca 

PDH je prva digitalna hijerarhija uvedena u upotrebu u telefonskim mreˇzama. PDH 

signali se sastoje ramova jednake duˇzine. U svakom od njih je vremenski multipleks 

korisničkih i specijalnih vremenskih “slotova”. Jedan od specijalnih slotova nosi sinhrosekvencu 

i zaduˇzen je za sinhronizaciju na nivou rama. (Više informacija o PDH se moˇze 

pronaći u [27].)


Ovde ćemo razmatrati PDH sinhro-sekvencu koja je se koristi za sinhronizaciju rama 

kod E1 signala [28]. U ovom sistemu sinhro-sekvenca je 0011011, duˇzine 7 bita, i umeće 

se na početak svakog drugog rama sa podacima. To efektivno znači da je duˇzina rama 

nad kojim se vrši sinhronizacija 512 bita (2 × 32 × 8 ˙ ). Ako pretpostavimo da se greške u 

prenosu ne dozvoljavaju, verovatnoća preˇzivljavanja ove sekvence je PrSV =0.0163831, 

što je prilično mala vrednost. Pošto ova sekvenca nema bifikse, to je ujedno i najbolje 

moguće za binarnu sekvencu ove duˇzine. Vreme akvizicije je TSY N = 527.49. Akobise 

za istu svrhu iskoristila sekvenca duˇzine 8 bita (što prirodno odgovara jednom slotu u 

PDH ramu) dobilo bi se PrSV =0.135274, što je poboljšanje za red veličine. Tako†e, 

i vreme akvizicije bi se smanjilo na TSY N = 515.007, takodasemoˇze se reći da bi 

sinhro-sekvenca duˇzine 8 bila bolji izbor. 

Pretpostavimo nadalje da su dozvoljene greške u okviru sinhro-sekvence. Uporedimo 

ponašanja sledećih sekvenci iz 2. poglavlja (sve su duˇzine 7 bita): 

• 0001011, Al-Subah-Dˇzons sekvenca; 

• 1011000, Mori-Stajls sekvenca; 

• 1110010, Barkerova sekvenca; 

• 0011011, PDH sinhro-sekvenca za E1 signal. 

U tabeli 4.1 je dat broj kros-bifiksa za jednu dozvoljenu grešku. Moˇze se primetiti 

da PDH sinhro-sekvenca ima najviše kros-bifiksa. 

duˇzina 

kros-bifiksa 

Al-Subah-Dˇzons 

0001011 

Mori-Stajls 

1011000 

Barker 

1110010 

PDH 

0011011 

1 14 14 14 14 

2 2 12 12 2 

3 2 2 2 10 

4 2 2 2 8 

5 2 0 0 0 

6 1 0 0 0 

7 8 8 8 8 

Tabela 4.1: Broj kros-bifiksazasekvenceizprimera 

Ako podatke iz tabele 4.1 uporedimo sa grafikom 4.2, vidimo da postoji izrazita korenspondencija 

izme†u verovatnoća simulacije ovih sekvenci u ramu i broja kros bifiksa. 

Za jednu grešku, PDH sinhro-sekvenca ima najviše kros-bifiksa i najveće verovatnoće 

simulacije. Barkerova i Mori-Stajls sekvenca se identično ponašaju (jer se u stvari radi 

o istoj sekvenci sa stanovišta kros-bifiksa) i imaju najbolje karakteristike u regionu podataka. 

Al-Subah-Dˇzons sekvenca ima najbolje karakteristike u kvazi-determinističkim 

regionima. 

Verovatnoće preˇzivljavanja za sve ove sekvence su zanemarljivo male. Me†utim, za 

model akvizicije koji je dat u [26] se pokazuje da je za jednu grešku prosečno vreme


Pr{k} 

10 0 

10 −5 

10 −10 

10 −15 

10 −20 

10 0 

0001011 

1011000 

1110010 

0011011 

10 1 

k 

10 2 

Slika 4.2: Pretraga u ramu, N =7, F = 512, e =1 

akvizicije najkraće za Al-Subah-Dˇzonsovu sekvencu [29]. Ove vrednosti su date u tabeli 

4.2. 

sekvenca 

TSY N 

F ,e=1 

Al-Subah-Dˇzons, 0001011 5,344 

Mori-Stajls, 1011000 5.406 

Barker, 1110010 5.406 

PDH, 0011011 7.844 

Tabela 4.2: Prosečno vreme akvizicije, N =7, F = 512, e =1 

Ako pretpostavimo da se za E1 sinhronizaciju koristi sekvenca od 8 bita, i da se 

tolerišu jedna, odnosno dve simbolske greške u okviru sinhro-sekvence, tada su ponovo 

najbolji izbor odgovarajuće Al-Subah-Dˇzons sekvence [29] (tabela 4.3). 

Na osnovu gore izloˇzenog mogu se doneti sledeći zaključci. Prvo, duˇzina od 7 bita 

nije dovoljna za E1 sinhronizaciju, i logičniji izbor bi bila sinhro-sekvenca duˇzine 8bita. 

Ukoliko se tolerišu greške u prenosu, tada su razlike izme†u sekvenci duˇzine 7 i 8 još 

izraˇzenije, pri čemu je očigledno da su i jedne i druge prekratke sa stanovišta sinhronizacije 

na nivou rama. U oba slučaja je najbolji izbor Al-Subah-Dˇzons sekvenca optimizovana 

za odgovarajući broj grešaka. Ovo je posledica osobine ovih sekvenci da imaju 

najmanju verovatnoću simulacije u kvazi-determinističkim regionima, tj. najmanji broj 

kros-bifiksa.


sekvenca 

TSY N 

F ,e=1 

TSY N 

F ,e=2 

Al-Subah-Dˇzons 1, 00011011 4,366 11,838 

Mori-Stajls, 10111000 4,399 11,742 

Vilard, 00100111 4,366 11,838 

Al-Subah-Dˇzons 2, 00011101 4,399 11,742 


Zanimljivo bi bilo ispitati koje bi se vrednosti za ove parametre dobile kada bi se 

umesto kontinualnih sekvenci koristile distribuirane sekvence sa istim brojem sinhrosimbola 

(greške u prenosu nisu dozvoljene). Vrednosti PrSV i TSY N za distribuirane 

sekvence iz odeljka 2.6 koje odgovaraju ovom uslovu su date u tabeli 4.4. 

sekvenca (N,L) PrSV TSY N 

111**0***0*10 (7, 13) 0.0221642 527.511 

11011*10*0 (8, 10) 0.13861 514.975 

111**0***0***0*10 (8, 17) 0.13839 514.973 

Tabela 4.4: Broj kros-bifiksazasekvenceizprimera 

Moˇze se zaključiti da u ovom slučaju distribuirane sekvence ne pokazuju posebna 

poboljšanja u odnosu na kontinualne sekvence sa istim brojem sinhro-simbola. 

4.2.2 HDLC fleg 

HDLC (High-level Data Link Control) je protokol drugog OSI nivoa, koji sluˇzi za 

prenos podataka u računarskim mreˇzama. Veoma je zastupljen i koristi se u raznim varijantama 

- neke od njih se npr. LAPB (Link Access Procedure Balanced )protokoluX.25 

mreˇzama, odnosno LAPD (Link Access Procedure over channel D) protokol za prenos 

korisničke signalizacije u ISDN-u. HDLC je bit-orijentisani (bit-oriented) protokol,što 

znači da podatke sa viših nivoa tretira kao tok bita (alternativa su tzv. byte-oriented 

protokoli). Osnovne informacije o HDLC protokolu se mogu naći u [30]. 

HDLC prenos podataka se moˇze odvijati preko asinhronih ili sinhronih linkova. Podaci 

su organizovani u ramove, a za odre†ivanje granice svakog rama sluˇzi sekvenca 

01111110, koje se naziva fleg (flag),ikojasenalazinapočetku (i eventualno na kraju) 

svakog rama. Kod sinhronog prenosa nema pauza izme†u ramova i fleg je jedini način da 

se granice rama detektuju. Stoga se ne sme dozvoliti da se u okviru ram pojavi sekvenca 

01111110, jer bi to dovelo do pogrešne sinhronizacije, i razvijena je veoma jednostavna 

tehnika umetanja bita (bit-stuffing) koja to sprečava. Naime, na predajnoj strani se svaki 

put kada se prilikom emitovanja pojavi sekvenca 011111 (nula i pet jedinica) u toku podataka, 

nakon nje prisilno ubacuje 0, i na taj način sprečava eventualna pojava flega. 

Na prijemnoj strani se nakon prijema sekvence 011111 izbacuje naredna 0 ako postoji, a 

ako 0 ne postoji to je signal prijemniku da se radi o flegu. Jasno je da bit-stuffing smanjuje 

efektivni protok. Pomoću bifiks-analize moˇzemo odrediti koliko je patern 011111 u


tom smislu dobro izabran. Kao parametar za procenu “dobrote” paterna moˇze posluˇziti 

njegovo prosečno vreme pojavljivanja u ramu [19]. 

Model pretrage koji posmatramo u ovom slučaju je pretraga u ograničenom, ali slučajnom 

nizu simbola (tj. ne postoje kvazi-deterministički regioni). Grafik 4.3 daje prosečno 

vreme pojavljivanja pojedinih sekvenci sa karakterističnim strukturama bifiksa u nizu 

jednakoverovatnih simbola ograničene duˇzine. Vidi se da prosečno vreme pojavljivanja 

posle neke kritične duˇzine rama raste sa porastom broja bifiksa u sekvenci (što je u 

saglasnosti sa rezultatima datim u 3.1.1). Pošto duˇzina HDLC rama nije ograničena (a 

običnosuupraksiduˇzine nekoliko hiljada bita), jasno da su sekvence sa bifiksima bolji 

izbor od sekvence 011111. Ako sekvencu 000000 izbacimo zbog nedostatka tranzicija, 

tada je sledeća najbolja 010101. 

T(F) / F 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

10 0 

10 1 

10 2 

F 

10 3 

000000 

010101 

011110 

011111 

Slika 4.3: Prosečnovremepojavljivanjakarakterističnih sekvenci u nizu ograničene duˇzine 

Grafik 4.3semoˇze posmatrati i na drugačiji način. Za fleg 01111110 i bit-stuffing 

tehniku, optimalna duˇzina HDLC rama bi bila negde oko 100 bita. 

Dodajmo na kraju da HDLC oprema pojedinih proizvo†ača na fizičkom nivou tok 

podataka ne tretira kao kontinualan, već ga deli na bajtove, iako je HDLC bit-orijentisan 

protokol. To znači da prethodna analiza ne vaˇzi, jer se svakih 8 bita pretraga resetuje. 

10 4


4.2.3 SDH sinhro-sekvenca 

SDH (Synchronous Digital Hierarchy) je digitalna hijerarhija znatno unapre†enih 

ka-rakteristika u odnosu na PDH. Upotreba SDH je u transportnom delu mreˇze, pre 

svega zbog veoma velikih kapaciteta signala iz ove hijerarhije. Kao i kod PDH, i ovde 

se prenos vrši pomoću ramova jednake duˇzine,asvakiramzapočinje sinhro-sekvencom. 

Više informacija o SDH se moˇze pronaći u [31]. 

SDH signali su označavaju sa STM-N (Synchronous Transport Module), gde je N 

oznaka nivoa, koja moˇze imati vrednosti 1, 4, 16, 64 ili 256. Struktura sinhro-sekvence 

je oblika [32]: 

sN = A1...A1A2...A2 

(4.12) 

| {z } | {z } 

gde je N nivo SDH signala, a A1 i A2 su sledeći bajti: 

3N 

3N 

A1 = 11110110 (4.13) 

A2 = 00101000 (4.14) 

Na osnovu gornjih izraza, jasno je da je SDH sinhro-sekvenca bez bifiksa. AkozaSTM-1 

ram primene formule (3.73) i (4.11), dobijamo: 

PrSV ≈ 1 (4.15) 

TSY N ≈ 19439 = FSTM-1 − 1 (4.16) 

gdejesaFSTM-1 označena duˇzina STM-1 rama. Imajući ove vrednosti u vidu, moˇze se 

reći da je u ovom slučaju sinhro-sekvenca bolje izabrana u odnosu na PDH sekvencu. 

Me†utim, kao što će biti pokazano u narednom odeljku, slične vrednosti za PrSV i TSY N 

se mogu dobiti i za sinhro-sekvence manje duˇzine, što znači procentualno manji gubitak 

na “korisnom” protoku. 

Za detaljan tretman SDH sinhronizacije na nivou rama sa aspekta vremena detekcije 

da je prijemnik ispao iz sinhronizma, vremena drˇzanja sinhronizacije izme†u dva 

“laˇzna” alarma i vremena resinhronizacije, kao i ponašanje ovih parametera u odnosu 

na vrednosti propisane u [33], čitalac se upućuje na [34]. 

4.3 Dizajn sinhro-sekvenci 

Rezultati bifiks-analize se mogu iskoristiti i za dizajniranje (tačnije rečeno pronalaˇzenje) 

sinhro-sekvenci za konkretne primene. Što se tiče kriterijuma po kome se izbor 

sinhro-sekvence vrši, ovde ćemo se ograničiti na pronalaˇzenje što kraćih sinhro-sekvenci 

koje za zadatu duˇzinu rama imaju prihvatljivo visoku verovatnoću preˇzivljavanja PrSV . 

Sa druge strane, visoka verovatnoća preˇzivljavanjaodgovaraprihvatljivoniskomvremenu 

akvizicije TSY N. Kao i prethodnom tekstu, ograničićemo se na binarne sekvence. 

Problem dizajna sinhro-sekvence je relativno jednostavan ako se ne dozvoljavaju 

greške u prenosu. Jasno je sekvenca treba da bude bez bifiksa. Ako pretpostavimo da je


duˇzina rama F iduˇzina sekvence N, tada na osnovu rezultata dobijenih u 3. poglavlju 

vaˇzi: 

odakle sledi: 

Pr{k} ≤ 2 −N ,N≤ k ≤ F − N (4.17) 

Pr{k} = 0, 0


U prethodnom izrazu je sa UN označen broj sekvenci duˇzine N koje su bez bifiksa, a sa 

A je označen broj simbola u alfabetu. 

Grafik 4.4 prikazuje ponašanje PrSV zajednudozvoljenugrešku(e =1)irazličite 

duˇzine rama (F ) za Al-Subah-Dˇzons sekvence. Ako znamo duˇzinurama,iodlučimo se 

za verovatnoću preˇzivljavanja, sa grafika je moguće identifikovati koja je duˇzina sekvence 

(N) potrebna. 

Pr SV 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

e = 1 

F = 100 

F = 200 

F = 400 

F = 800 

F = 1600 

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 

N 

Slika 4.4: PrSV za Al-Subah-Dˇzons sekvence, e =1 

Na grafiku 4.5.je prikazana PrSV za e ∈ {0, 1, 2}. Posmatrajući grafik, vidi se da su 

krive za PrSV za datu duˇzinu rama u svom najvećem delu ekvidistantn˙e. Kako raste 

duˇzina rama, raste i ovo rastojanje izme†u krivih, i moˇze se grubo proceniti da je ovaj 

porast logaritamski. 

Na osnovu jednačine (4.20) i grafika 4.5 se moˇze doneti inicijalna procena kolika je 

duˇzina sekvence potrebna za datu duˇzinu rama. Prvo se pomoću (4.20) odredi kolika 

je duˇzina sekvence potrebna kada je e =0, a zatim se proceni kolika je “udaljenost”.u 

broju bita u odnosu nju. U zavisnosti od duˇzine rama, ova udaljenost je u granicama 

od4bitapodozvoljenojgrešci(duˇzinaramaokostobita)do10bitapodozvoljenoj 

grešci (duˇzina rama oko milion bita). Kada se donese procena za duˇzinu, računarskom 

pretragom (ako je potrebna) i izračunavanjem pravih vrednosti za PrSV i TSY N se moˇze 

doći do optimalne sekvence.


Pr SV 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

5 10 15 20 25 

N 

e = 0, F = 100 

e = 0, F = 400 

e = 1, F = 100 

e = 0, F = 1600 

e = 1, F = 400 

e = 2, F = 100 

e = 1, F = 1600 

e = 2, F = 400 

e = 2, F = 1600 

Slika 4.5: PrSV za Al-Subah-Dˇzons sekvence, e ∈ {0, 1, 2}

Glava 5 

Zaključak 

U ovom radu je obra†ena tema sinhronizacije na nivou rama sa aspekta pravilnog 

izbora sinhronizacionih sekvenci. Prikazana je tzv. bifiks analiza, koja omogućava tačno 

izračunavanje uticaja strukture sinhro-sekvence na procese vezane za sinhronizaciju. 

Pored izvo†enja izraza koji daju opšte izraze za verovatnoću simulacije sinhro-sekvence 

u ramu, i koji se mogu primeniti na različite konkretne situacije, data je i formula kojom 

se moˇze proceniti prosečno vreme akvizicije za model, koji, iako pojednostavljen, 

omogućava procenu dobrote sinhro-sekvence u ovom smislu. Sa stanovišta ovih novih 

rezultata je razmatrano nekoliko postojećih sinhro-sekvenci u sistemima koji se koriste u 

praksi, a date su i osnovne smernice za izbor sinhro-sekvenci u nekim novim, eventualnim 

primenama. Sve do sada nabrojano predstavlja doprinose ovog rada. 

Što se tiče daljeg rada na ovu temu, postoji nekoliko pravaca koji se prirodno naslanjaju 

na ovde izloˇzene rezultate. Bifiks analiza svoje mesto moˇze naći i u modelu procesa 

akvizicije sinhronizacije koji podrazumeva prestanak verifikacije nakon odre†enog broja 

uspešnih testova, u detekciji ispada iz sinhronizma i i odre†ivanju vremena drˇzanja 

sinhronizacije izme†u laˇznih alarma. Dalje, bifiks analiza se moˇze primeniti i na sisteme 

u kojima postoji više primo-predajnika, kada se javlja potreba za istovremenim 

korišćenjem više sinhro-sekvenci (MIMO sistemi). Problem konstrukcije skupa sekvenci 

sa što manjim brojem kros-bifiksa tako†e ostaje otvoren. Na kraju, bifiks-analiza bi se 

eventualno mogla proširiti i na detekciju, kada bi se u obzir mogla uzeti i informacija 

koja stiˇze iz kanala o verodostojnosti primljenih simbolskih vrednosti, i kada bi se moglo 

razmišljati i o “soft” bifiksima. 

64

Dodatak A 

Neke osobine bifiksa 

Uovomodeljkuće biti prikazane neke zanimljive osobine koje bifiksi zadovoljavaju. 

Prva od njih je osobina da ukoliko sekvenca ima više (netrivijalnih) bifiksa, tada je 

svaki bifiks niˇzeg reda ujedno i bifiks bifiksa višeg reda. Dokaz ove osobine je veoma 

jednostavan. Posmatrajmo npr. proizvoljnu sekvencu s, kojaimabardvabifiksa čiji su 

redovi b1 i b2, i pretpostavimo (bez gubitka na opštosti) da je b1 ¥ ¦ 

N 

2 , tada sekvenca tako†e ima i bifiks reda 2b − N. Ovo se tako†e jednostavno 

dokazuje. Naime, pošto se svaki bifiks nalazi i na početku i na kraju sekvence, a vaˇzi 

b> ¥ ¦ 

N 

2 , tada se poslednjih 2b − N simbola i prvih 2b − N simbolaovogbifiksa u 

sekvenci preklapaju, tj. u pitanju su isti simboli (slika A.1). To znači da svaki bifiks 

reda b> ¥ ¦ 

N 

2 ima bifiks reda 2b − N, a ako primenimo prethodno razmatranu osobinu, 

onda i sama sekvenca ima bifiks reda 2b − N. Na osnovu ove osobine se moˇze pokazati 

da je kao uslov da sekvenca nema bifikse, potrebno i dovoljno da sekvenca nema bifikse 

reda manjeg od ¥ ¦ 

N 

2 [20]. 

s1 sN-b sN-b+1 s s b b+1 

p 1 

p 

... p N-b+1 p 

N-b ... b pN-b ... p 

p b 

1 pN-b+1 preklapanje od 

2b-N simbola 

Slika A.1: Preklapanje bifiksa reda većeg od b> ¥ ¦ 

N 

2 

65 

s N

DODATAK A. NEKE OSOBINE BIFIKSA 66 

Sledeća osobina, koju ćemo ovde navesti bez dokaza, generalizacija je prethodno 

navedene. Naime, moˇze se pokazati da ako postoji bifiks reda b> ¥ ¦ 

N 

2 , tada: 

• ukoliko je N − b ≥ 2b − N, tj.2N ≥ 3b, postojiibifiks reda 2b − N, 

• ukoliko je 2N § ¨ 

N , tada zasigurno postoji i bifiks reda b2 =2b1− N, jer 

2 

se prefiks duˇzine b1 isufiks duˇzine b1 baš za toliko simbola l mpreklapaju. 

Posmatrajmo 

b2 

zatim najduˇzi bifiks bifiksa b2. Ako je veći ili jednak 2 , ponavlja se postupak - 

identifikuje se novi bifiks duˇzine b3 =2b2 − b1, alakosemoˇze pokazati da je i ovaj bifiks 

tako†e i bifiks početne sekvence. Ovaj postupak se moˇze ponavljati sve dok su najduˇzi 

bifiksi u novodobijenim podsekvencama duˇzi ili jednaki polovini duˇzine podsekvence. 

Kada to više nije slučaj, tada je podsekvenca na kojoj se postupak zaustavio osnovna 

struktura. Ponavljanjem osnovne strukture se dobija početna sekvenca (ova ponavljanja 

mogu biti sa preklapanjima). Pored toga što se od osnovne strukture moˇze dobiti i sama 

sekvenca, pomoću nje se mogu generisati i svi bifiksi iz prethodnih koraka, sukcesivnim 

oduzimanjem osnovne strukture od sekvence, bez dela koji je u preseku dva uzastopna 

ponavljanja. 

Neka je broj koraka u prethodno opisanom postupku bio k−1, pričemu je generisano 

k − 1 bifiksa duˇzina b1,b2,..., bk−1. Neka u ponavljanjima osnovne strukture postoji 

preklapanje duˇzine bk. Moˇze se pokazati da je bk tako†e bifiks početne sekvence, tj. 

gore sprovedenim postupkom smo dobili skup bifiksa {b1,b2,...,bk}. Pored bifiksa iz 

ovog skupa moguće je da sekvenca ima još bifiksa. Ovi preostali bifiksi su bifiksi bifiksa 

bk (bifiksi preklapanja u ponavljanjima osnovne strukture). 

Osnovna struktura je jedinstvena, jer bi se u suprotnom pokazalo da se prilikom 

njene identifikacije nije krenulo od najduˇzeg bifiksa.

Dodatak B 

Pretraga u beskonačnom nizu 

B.1 Gustina raspodele verovatnoće pretrage za sekvencom 

U odeljku 3.1.1 je pokazano da je verovatnoća da će pretraga za predefinisanom 

sekvencom u beskonačnom nizu slučajnih simbola trajati tačno k testova jednaka: 

⎧ 

⎨ 

Pr{k} = 

⎩ 

min(N,k−1) P 

m=1 

Pr{s} = r (N) , k =1 

¡ 

h (N−m+1) r (m−1) − h (N−m) r (m) ¢ Pr{k − m}, k > 1 

Treba pokazati da je Pr{k} gustina raspodele, odnosno da vaˇzi i: 

(B.1) 

∞X 

Pr{k} =1 (B.2) 

k=1 

Prenegoštoovodokaˇzemo, trebalo bi formalno pokazati da Pr{k} teˇzi nuli brˇze od 

1 

k kada k teˇzi ka beskonačnosti. Me†utim, ispostavlja se da je ovo veoma komplikovano 

dokazati u opštem slučaju. Jasno je da Pr{k} opada i teˇzi nuli i ovo se moˇze jednostavno 

pokazati, ali brzinu konvergencije je teško odrediti, pri čemuonazavisiiodbrojaiod 

strukture bifiksa. Na grafiku B.1 je prikazano ponašanje Pr{k} karakterističnih sekvenci 

duˇzine 8 bita u odnosu na funkciju 1 

k2 .VidisedaPr{k} poslenekekritične vrednosti 

opada daleko brˇze nego 1 

k2 , što je dovoljno ne samo da Pr{k} bude gustina raspodele, 

nego i da postoji i očekivanje slučajne promenljive sa ovom raspodelom. Isto se moˇze 

pokazati i za sve ostale duˇzine sekvenci, pri čemu poloˇzaj tačke preloma raste sa porastom 

duˇzine sekvence (vidi odeljak 3.1.1). 

Pre†imo na dokaz da Pr{k} predstavlja gustinu raspodele. Posmatrajmo niz prvih 

67

DODATAK B. PRETRAGA U BESKONAČNOM NIZU 68 

K verovatnoća: 

Pr{1} = r (N) 

Pr{2} = 

³ 

h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{1} 

Pr{3} = 

³ 

h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{2} + 

³ 

+ h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{1} 

Pr{N} = 

.... 

³ 

h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{N − 1} + 

³ 

+ h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{N − 2} + 

³ 

... + h (2) r (N−2) − h (1) r (N−1)´ 

Pr{1} 

Pr{N +1} = 

³ 

h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{N} + 

³ 

+ h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{N − 1} + 

³ 

... + h 

(B.3) 

(1) r (N−1) − h (0) r (N)´ 

Pr{1} 

Pr{N +2} = 

³ 

h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{N +1} + 

³ 

+ h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{N} + 

³ 

... + h (1) r (N−1) − h (0) r (N)´ 

Pr{2} 

Pr{K} = 

.... 

³ 

h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{K − 1} + 

³ 

+ h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{K − 2} + 

³ 

... + h (1) r (N−1) − h (0) r (N)´ 

Pr{K − N} 

Ako, počevši od Pr{2}, saberemo N uzastopnih verovatnoća simulacije, primetićemo 

da dolazi me†usobnih poništavanja koeficijenata koji stoje uz Pr{1}, ipreostaće samo: 

(h (N) r (0) − h (0) r (N) )Pr{1} =(1− r (N) )Pr{1} (B.4) 

Isto vaˇzi za bilo koji drugi zbir N uzastopnih verovatnoća simulacije, kada će od koeficijenata 

koji mnoˇze Pr{j − 1} sa desne strane, preostati samo (1 − r (N) )Pr{j − 1}, gde 

je j početni indeks u zbiru i j ≥ 1. 

Ako saberemo sve leve i desne strane u (B.3) i pustimo da K −→ ∞ (uz zanemari-


10 0 

10 −5 

10 −10 

10 −15 

10 −20 

10 0 

10 −25 

00000000 

01010101 

01110111 

01111110 

01111111 

1 / k 2 

10 1 

10 2 

Slika B.1: Pr{k} karakterističnih sekvenci duˇzine 8 u odnosu na 1 

k 2 

vanje poslednjih K − N +1članova jer vrednost Pr{k} teˇzi nuli) dobijamo: 

odakle sledi: 

∞X 

k=1 

k 

Pr{k} = r (N) +(1− r (N) )Pr{1} +(1− r (N) )Pr{2} + 

10 3 

+(1 − r (N) )Pr{3} + ... (B.5) 

∞X 

Pr{k} (B.6) 

= r (N) +(1− r (N) ) 

k=1 

10 4 

∞X 

Pr{k} =1 (B.7) 

k=1 

B.2 Očekivano trajanje pretrage 

Treba izračunati sledeću vrednost: 

T = 

∞X 

k Pr{k} (B.8) 

k=1


Kao i u prethodnom odeljku, po†imo od izraza: 

Pr{1} = r (N) 

2Pr{2} = 

³ 

2 h 

(B.9) 

(N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{1} (B.10) 

3Pr{3} = 

³ 

3 h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{2} + 

³ 

+3 h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{1} 

... 

(B.11) 

N Pr{N} = 

³ 

N h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{N − 1} + 

³ 

+N h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{N − 2} + 

³ 

... + N h 

(B.12) 

(2) r (N−2) − h (1) r (N−1)´ 

Pr{1} 

(N +1)Pr{N +1} = 

³ 

(N +1) h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{N} + 

³ 

+(N +1) h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{N − 1} + (B.13) 

³ 

... +(N +1) h (1) r (N−1) − h (0) r (N)´ 

Pr{1} 

(N +2)Pr{N +2} = 

³ 

(N +2) h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{N +1} + 

³ 

+(N +2) h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{N} + 

³ 

... +(N +2) h 

(B.14) 

(1) r (N−1) − h (0) r (N)´ 

Pr{2} 

K Pr{K} = 

.... ³ 

K h (N) r (0) − h (N−1) r (1)´ 

Pr{K − 1} + 

³ 

+K h (N−1) r (1) − h (N−2) r (2)´ 

Pr{K − 2} + 

³ 

... + K h 

(B.15) 

(1) r (N−1) − h (0) r (N)´ 

Pr{K − N} 

Ako, počevši od Pr{2}, saberemoprvihN uzastopnih jednačina, koeficijenti koji 

stoje uz Pr{1} će se svesti na: 

NX 

1+ h (i) r (N−i) − (N +1)h (0) r (N) NX 

)=1+ h (i) r (N−i) − (N +1)r (N) 

i=1 

i=1 

(B.16)


Slično vaˇzi za bilo koji drugi zbir N uzastopnih verovatnoća, kada će od koeficijenata 

koji mnoˇze Pr{j − 1} sadesnestranesedobitij−1+ PN i=1 h(i) r (N−i) − (N +1)r (N) , 

gde je j ponovo početni indeks u zbiru i j ≥ 1. 

Ako saberemo prethodne jednačine i pustimo da K −→ ∞ dobijamo: 

∞X 

k Pr{k} = r (N) ∞X 

Ã 

NX 

+ k + h (i) r (N−i) − (N + k) r (N) 

! 

Pr{k}(B.17) 

k=1 

∞X 

k=1 

k=1 

k=1 

k Pr{k} = r (N) +(1− r (N) ) 

i=1 

∞X 

k Pr{k} + 

k=1 

Ã 

NX 

+ h (i) r (N−i) − r (N) ! 

∞X 

N Pr{k} (B.18) 

i=1 

r (N) 

∞X 

k Pr{k} = r (N) NX 

+ h (i) r (N−i) − r (N) N (B.19) 

odakle sledi: 

k=1 

i=1 

∞X 

NX 

k Pr{k} = 1+ h 

= 

NX 

h 

i=0 

i=1 

k=1 

(i) r(N−i) 

(i) r(N−i) 

− N (B.20) 

r (N) 

− N (B.21) 

r (N)

Bibliografija 

[1] B. Sklar , Digital Communications; Fundamentals and Applications, Prentice-Hall 

International, London, 1988. 

[2] S. Bregni, Synchronization of Digital Communication Networks, John Wiley & Sons, 

Chichester, 2002. 

[3] P. K. Bhatnagar, Engineering Networks for Synchronization, CCS7, and ISDN, 

Wiley-IEEE Press, New York, 1997. 

[4] R.A. Scholtz, “Frame Synchronization Techniques”, IEEE Trans. on Comm., Vol 

28, pp. 1204-1212, August 1980. 

[5] D.W. Choi, “Frame Alignment in a Digital Carrier System - A Tutorial”, IEEE 

Comm. Mag., Vol. 28, pp. 47-54, February 1990. 

[6] CCITT Recommendation G.732, G.742, G.751, Blue Book III.4, Genève, Switzerland, 

1988. 

[7] E. V. Jones and M. N. Al-Subbagh: “Algorithms for frame alignment - some comparisions”, 

IEE Proc. part F - Commun., Radar & Signal processing, Vol. 132 (7), 

pp. 529-536, December 1985. 

[8] J.L. Massey, “Optimum Frame Synchronization”, IEEE Trans. on Comm., Vol. 20, 

pp. 115-119, April 1972. 

[9] H. Häberle, “Frame Synchronizing PCM Systems”, Electrical Communications, Vol. 

44, No. 4, pp. 280-287, 1969. 

[10] G. Lukatela, D. Drajić, G. Petrović, Digitalne telekomunikacije, Gra†evinska knjiga, 

Beograd, 1978. 

[11] P.T. Nielsen, “On the Expected Duration of a Search for a Fixed Pattern in Random 

Data”, IEEE Trans. on Inf. Theory., Vol. 19, pp. 702-704, September 1973. 

[12] H. Barker, Group Synchronization of Binary Digital Systems, Communication Theory 

- Jackson W. (editor), Academic-Butterworth, New York, 1953. 

72

BIBLIOGRAFIJA 73 

[13] J. Jedwab, “A Survey of the Merit Factor Problem for Binary Sequence”, 

http://www.math.sfu.ca/~jed/Papers/Jedwab.Merit Factor Survey.2005.pdf, 2004. 

[14] H. D. Schotten, H. D. Lüke, “On the search for low correlated binary sequences”, 

International Journal of Electronics and Communications, Vol 59 (2), pp. 67-78, 

February 2005. 

[15] M.N. Al-Subbagh, E.V. Jones, “Optimum patterns for frame alignment”, IEE Proc. 

part F - Commun. Radar & Signal processing, Vol. 135 (6), pp. 594-603, December 

1988. 

[16] A. J. de Lind van Wijngaarden, T. J. Willink, “Frame Synchronization Using Distributed 

Sequences”, IEEE Trans. on Comm., Vol. 48, No. 12, pp. 2127-2138, December 

2000. 

[17] T. McConell, “The Expected Time to Find a String in a Random Binary Sequence”, 

http://barnyard.syr.edu/cover.pdf, January 2001. 

[18] D. Bajić, Č. Stefanović and D. Vukobratović, “Search Process and Probabilistic 

Bifix Approach”, Proceedings of International Symposium on Information Theory 

ISIT 2005, Adelaide, Australia, September 2005. 

[19] Č. Stefanovic, D. Bajić, “On Optimization of Frame Lengths and Frame Delimiting 

Patterns for Data Communications Using Bifix Approach”, Proceedings of the 

EUROCON 2005, Belgrade, Serbia and Montenegro, November 2005. 

[20] P.T. Nielsen, “A Note on bifix-Free Sequences”, IEEE Trans. on Inf. Theory, Vol. 

19, pp. 704-706, September 1973. 

[21] D. Bajić, J. Stojanović, J. Lindner, “Multiple window-sliding search”, Proceedings 

of ISIT 2003, pp. 249, Yokohama, Japan, June 2003. 

[22] D. Bajić, Č. Stefanović, “Short Sequences and Cross-Bifix Analysis”, 7 th COST 289 

MCM meeting, Munich, Germany, March 2005. 

[23] D. Bajić, D. Drajić, D, Drajić, “Binarne sekvence i bifiksi: Analiza”, Proceedings 

of ETRAN 1996, Zlatibor, Serbia and Montenegro, June 1997. 

[24] D. Bajić, usmena komunikacija 

[25] Č. Stefanović, D. Bajić, “Comparison Of Contiguous And Distributed Frame Synchronization 

Sequences Using Statistical Bifix Approach”, Proceeedings of ETRAN 

2005, Budva, Serbia and Montenegro, Jun 2005. 

[26] D. Bajić, M. Narandˇzić, “Häberle’s acquistion curves revisited: Part II - averages”, 

11 th COST 273 MCM, TD-04-184, Duisburg, Germany, September 2004. 

[27] http://en.wikipedia.org/wiki/PDH

BIBLIOGRAFIJA 74 

[28] CCITT Recommendation G.704, Genève, Switzerland, 1988. 

[29] T. Willink, D. Bajić, P. Kovjanić, Č. Stefanović, “On Criteria for Short Acquisition 

Sequences Choice”, Proceedings of the EUROCON 2005, Belgrade, Serbia and 

Montenegro, November 2005. 

[30] http://en.wikipedia.org/wiki/HDLC 

[31] http://en.wikipedia.org/wiki/SDH 

[32] ITU-T Recommendation G.707, Genève, Switzerland, 1993. 

[33] ITU-T recommendation G.783, Genève, Switzerland, 1993. 

[34] D. Bajić, J. Stojanović, “Frame-alignment procedures for STM-1 frame”, IEE Proceedings, 

Communications, Vol. 150, No. 1, pp. 37-44, February 2003.

SINHRONIZACIONE SEKVENCE I BIFIKS ANALIZA - KTiOS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?