2 x2 +

FUNKCJA KWADRATOWA
1. Jak są skierowane ramiona parabol będących wykresami
podanych funkcji? Wpisz w kratki znak∪lub∩.
a)y =−2x 2 + 12 c)y = 1 2 x2 − 100
b)y =x 2 −x−5 d)y = 7−3x 2
2. Podaj współrzędne wierzchołka paraboli, która jest
wykresem podanej funkcji.
a)y = 2 (x−1) 2 − 3 ............................
b)y =−11 (x + 9) 2 − 8 ............................
c)y =− (x−6) 2 + 2 ............................
3. Dopasuj wzory do wykresów funkcji.
a)y = 5 (x + 1) 2 − 3 ..............
b)y =−3 (x−4) 2 + 1 ..............
c)y = (x + 4) 2 + 2 ..............
d)y = 1
2 (x−4)2 ..............
e)y = 6x2− 8..............
f)y =− x− 1 2 2
..............
4. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli
i zapisz jej wzór w postaci kanonicznej.
a)y =x 2 − 2x−3
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
b)y =−2x 2 + 12x + 1
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
Ramiona paraboli będącej wykresem
funkcjiy=ax 2 +bx +c są skierowane
do góry, gdy a>0. Jeżeli a

5. Na poniższych rysunkach przedstawiono wykresy
funkcji kwadratowych. Podaj przedziały
monotoniczności tych funkcji.
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
6. Uzupełnij tabelkę.
Przykład
Podaj przedziały monotoniczności
funkcji kwadratowej,
której wykres przedstawiono
na rysunku obok.
Funkcja jest rosnąca w przedziale
〈2, +∞) i malejąca
w przedziale (−∞, 2〉.
Wzór Pierwsza Jak skierowane Przedział, Przedział, Punkt
funkcji współrzędna są ramiona w którym w którym przecięcia
wierzchołka paraboli paraboli funkcja maleje funkcja rośnie paraboli z osiąy
y =−16(x−4) 2 − 6 p = ........ (0,........)
y =−x 2 + 6x + 1 p = −b
2a = ........
y = 2x 2 − 3x
7. Oblicz miejsca zerowe podanych funkcji.
a)y = 2x 2 + 2x−24 b)y =−3x 2 +x−5
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
Aby obliczyć miejsca zerowe funkcjiy=ax 2 +bx +c,
należy rozwiązać równanie:ax 2 +bx +c = 0.
∆ =b 2 − 4ac
x1 = −b−√∆ , x2 =
2a
−b+√∆ 2a
Jeżeli ∆

CIĄGI
1. Podaj drugi, piąty i dziewiąty wyraz ciągu określonego
podanym wzorem.
a)an = 6n−4 .....................................................................................
.......................................................................................................................
b)an = 5−n
2
...........................................................................................
.......................................................................................................................
c)an = 5n 2 − 2n + 3 .......................................................................
.......................................................................................................................
2. Oblicz, które wyrazy podanych ciągów są równe−2.
a)an =n−5 b)an = 16−3n
........................................................ ........................................................
........................................................ ........................................................
........................................................ ........................................................
c)an =− 1
2 n2 + 3n + 1 1
2
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
3. Podane liczby to dwa początkowe wyrazy ciągu
arytmetycznego. Znajdź trzy następne wyrazy
tego ciągu.
a) 6, 10 b)−3, 1
2
........................................................ ........................................................
........................................................ ........................................................
........................................................ ........................................................
........................................................ ........................................................
4. Wpisz brakujące wyrazy, tak aby powstał ciąg
arytmetyczny.
a) ......., .......,−3, ......., 1, .......
.......................................................................................................................
b) ......., .......,−3,−7, ......., .......
.......................................................................................................................
c) .......,−1, ......., ......., ......., 15
.......................................................................................................................
Przykład
Oblicz drugi, piąty i dziewiąty wyraz ciągu
an = 7n− 3n 2 .
a2 = 7·2−3·2 2 = 2
a5 = 7·5−3·5 2 =−40
a9 = 7·9−3·9 2 =−180
Przykład
Oblicz, które wyrazy ciągu an = 5n−11 są
równe 64, a które 75.
5·n−11 = 64
5n = 75 | : 5
n = 15
Piętnasty wyraz tego ciągu jest równy 64.
5n− 11 = 75
5n = 86 | : 5
n = 17 1
5
Wynik nie jest liczbą naturalną; żaden wyraz
ciągu nie jest równy 75.
Przykład
Liczby 2 i 8 to dwa pierwsze wyrazy ciągu
arytmetycznego. Znajdź trzy następne wyrazy
tego ciągu.
r = 8−2 = 6
a3 =a2 +r = 8 + 6 = 14
a4 =a3 +r = 14 + 6 = 20
a5 =a4 +r = 20 + 6 = 26
Trzy kolejne wyrazy ciągu to 14, 20 i 26.
Przykład
Jakie wyrazy trzeba wpisać w puste miejsca,
aby powstał ciąg arytmetyczny?
........,−7, ........,−1, ........, ........
Drugi wyraz to−7, a czwarty to−1.
a4 =a2 + 2r
−1 =−7 + 2r
r = 3
Brakujące wyrazy to:−10,−7,−4,−1, 2, 5.

5. Dany jest ciąg arytmetyczny:
1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .
Suma ilu kolejnych wyrazów tego ciągu (zaczynając
od pierwszego) jest równa 361?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
6. Wpisz w kratkę znak ✓ przy ciągach, które
są geometryczne i podaj ich ilorazy.
a)−4, 2; 0, 84;−0, 168 ..............
b)−60,−75,−90 ..............
c) 0, 2, 0 ..............
d) 1, 4 6
3 , 4
e) 5
2
5 5
, , 4 8
..............
..............
f) 0, 1
2 , 1 ..............
7. Uzupełnij tabelkę. Ciąg (an) jest geometryczny,
aS7 to suma siedmiu początkowych
wyrazów ciągu (an).
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Przykład
Dany jest ciąg arytmetyczny:
5, 8, 11, 14, . . .
Suma ilu kolejnych wyrazów tego ciągu jest
równa 220?
Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
Sn = 2a1+(n−1)r
n
2
220 = 2·5+(n−1)·3
·n
2
3n2 + 7n−440 = 0
∆ = 5329
√
∆ = 73
n1 = −7−73
< 0
2·3
Liczba wyrazów ciągu nie może być ujemna.
n2 = −7+73
= 11
6
Suma 11 wyrazów tego ciągu jest równa 220.
W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy powstają
przez pomnożenie poprzedniego wyrazu
przez tę samą liczbę zwaną ilorazem ciągu.
Na przykład ciąg –5, 20, –80 jest geometryczny,
bo −5·(−4) = 20 i 20·(−4) =−80.
To znaczy, że w tym ciągu zachodzi równość
20 −80
=
−5 20 .
a1 q a2 an a6 S7
3 2
1
3
1
−1 − 3
4
4·
1
n−1
2
−5 160
8. Z podanych liczb utwórz sześć takich czwórek liczb, aby każda stanowiła ciąg arytmetyczny
lub geometryczny. Liczb możesz używać wielokrotnie. Obok każdej czwórki liczb napisz,
którego rodzaju jest to ciąg i podaj jego wzór ogólny.
−1 − 1
4
1
2
1
5
4
3
2 2 4 8
a) ......., ......., ......., ....... .......................................... d) ......., ......., ......., ....... ..........................................
b) ......., ......., ......., ....... .......................................... e) ......., ......., ......., ....... ..........................................
c) ......., ......., ......., ....... .......................................... f) ......., ......., ......., ....... ..........................................