Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

Podziękowania: 

Analiza płyt i powłok MES 

Zagadnienie wyboczenia 

Jerzy Pamin i Marek Słoński 

e-mails: {JPamin,MSlonski}@L5.pk.edu.pl 

M. Radwańska, J. Jaśkowiec, A. Wosatko 

T. Kolendowicz Mechanika budowli dla architektów 

G. Rakowski, Z. Kacprzyk, Metoda elementów skończonych 

w mechanice konstrukcji 

ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com 

ANSYS, Inc. http://www.ansys.com 

ROBOT http://www.autodesk.com 

Metody komputerowe, studia II st.

Tematyka zajęć 

Klasyfikacja modeli i elementów skończonych 

Elementy skończone dla płyt zginanych 

Elementy skończone dla powłok 

MES w symulacji wyboczenia 

Zjawisko wyboczenia 

Algorytm analizy wyboczenia MES 

Teoria umiarkowanie dużych ugięć 

Modelowanie katastrofy World Trade Center 


Podręczniki 


Klasyfikacja modeli i elementów skończonych 

Obniżenie wymiarowości: 

◮ ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe) 

◮ ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe) 

◮ ustroje bryłowe (trójwymiarowe) 

Elementy skończone dla mechaniki: 

◮ 1D - kratowy (truss) 

◮ 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame) 

◮ 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa 

(axial symmetry) 

◮ 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell) 

◮ 3D - bryłowy (volume) 


Ustrój 2.5D - płyta 

Zginanie Ścinanie Skręcanie 


Ustrój 2.5D - powłoka 

Ugięcia pod działaniem 

obciążenia równomiernego 


Płyta zginana [1] 

Ugięcie - podstawowa niewiadoma 

Naprężenia (uogólnione) 


Zginanie - odkształcenia i naprężenia uogólnione 

Teoria płyt cienkich Kirchhoffa-Love’a 

Krzywizny i spaczenie 

Momenty zginające i skręcające 


Prostokątny element skończony do analizy płyt 

Węzłowe stopnie swobody i siły 

Uwaga na zadawanie warunków brzegowych 

(kinematycznych i statycznych) 

Funkcje kształtu Hermite’a 


Powłoka 

Geometria powłoki 


Powłoka - naprężenia uogólnione 

Teoria powłok cienkich mało wyniosłych 

Stan naprężenia w powłoce 

Siły tarczowe + zginanie (wpływ 

ścianania poprzecznego pominięty) 


Elementy skończone do analizy płyt i powłok 

Teoria Reissnera-Mindlina powłok umiarkowanie grubych 

Kąty obrotu są niezależnie 

aproksymowane 

Element skończony Ahmada 

- zdegenerowane continuum 

Uwzględniony wpływ 

ścinania poprzecznego 


Zjawisko wyboczenia 

Założenia liniowej analizy wyboczenia: 

◮ obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie do 

parametru obciążenia λ 

P = λP ∗ 

◮ obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczas 

odkształcania się konstrukcji 

◮ ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych, 

materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzają 

idealny stan przedwyboczeniowy 


Zjawisko wyboczenia c.d. 

Obciążenie Pkr = λkr P ∗ to obciążenie krytyczne, po osiągnięciu 

którego następuje wyboczenie, gdzie przez P ∗ oznaczono tzw. obciążenie 

konfiguracyjne odpowiadające λ = 1. 

Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jest 

zasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego z 

naprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części. 

Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982 


Przykłady zjawiska wyboczenia 

Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega na 

badaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawisko 

wyboczenia zostanie pokazane dla: 

◮ pojedynczego pręta przegubowo podpartego, 

◮ wysokiej belki wspornikowej, 

◮ ramy portalowej płaskiej, 

◮ tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na 

obwodzie, 

◮ powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym 

konturze. 


Wyboczenie pojedynczego pręta 

Przed wyboczeniem: 

pręt: 

◮ ma prostoliniową oś, 

◮ jest wyłącznie ściskany (nie 

zginany). 

Po wyboczeniu: 

pręt: 

◮ ma zakrzywioną oś, 

◮ jest ściskany i zginany. 


Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej 


◮ belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osi 

belki, przyłożoną na swobodnym końcu 

Y 

X 

Figure: Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym 


◮ następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja) 


Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d. 

Z 

X 

Figure: Postacie wyboczenia 


Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej 


mamy idealny stan tarczowy: 

◮ tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej, 

◮ obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w 

płaszczyźnie środkowej. 


powstaje stan giętny: 

◮ z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyzny 

środkowej, 

◮ z krzywiznami i momentami zginającymi. 


Wyboczenie tarczy 

jednokierunkowo ściskanej (ANSYS) 

Figure: Pierwsza i druga forma wyboczenia 

Figure: Trzecia i czwarta forma wyboczenia 


Wyboczenie powłoki walcowej 

ściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym 


panuje w powłoce: 

◮ stan osiowo symetryczny, 

◮ w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy, 

◮ w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny. 


następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii: 

◮ powstają pofalowania w kierunku obwodowym, 

◮ liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników 

krytycznych obciążenia 


Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS) 

Figure: Kolejne formy wyboczenia 


Kryterium energetyczne wyboczenia 

Kryterium energetyczne wyboczenia 

Kryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnej 

Π przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwa 

sąsiednie stany: 

◮ stan (I) równowagi, dla którego: 

◮ stan (II) równowagi, dla którego: 

δΠ (I ) = 0 

δΠ (II ) = δΠ (I ) + δ∆Π = 0 

◮ energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ∆Π = 0. 


Algorytm analizy wyboczenia MES 

Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę stateczności 

przez wyboczenie: 

[K + λKσ(s ∗ )]V = 0, 

lub 

gdzie: 

[K + λKσ(s ∗ ) + Ku1(g ∗ )]V = 0, 

◮ macierz liniowej sztywności układu K, 

◮ macierz sztywności naprężeniowej Kσ(s ∗ ) oraz macierz sztywności 

przemieszczeniowej Ku1(g ∗ ), 

◮ poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λkr , 

◮ poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za 

pomocą wektora V = ∆Q, 


Statyka stanu przedwyboczeniowego 

Algorytm etapu I: 

1. Obliczamy globalną macierz sztywności K 

2. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążenia 

konfiguracyjnego P ∗ , dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniu 

obciążenia jednoparametrowego P = λP ∗ 

3. Uwzględnieniamy warunki brzegowe 

4. Rozwiązujemy układ równań K · Q ∗ = P ∗ , otrzymując 

przemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym: 

Q ∗ = K −1 · P ∗ , 

5. Na podstawie przemieszczeń całego układu Q ∗ i danego elementu 

Q ∗e - obliczamy wewnątrz elementu: 

◮ gradienty przemieszczeń g ∗e oraz 

◮ uogólnione naprężenia s ∗e . 


Analiza wyboczenia 

Algorytm etapu II: 

1. Generujemy: 

- macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementów 

K e σ(s ∗e ) i całej konstrukcji Kσ(s ∗ ), 

- ewentualnie macierze sztywności przemieszczeniowej Ku1(g ∗ ), 

2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny, 

odpowiadający 

tzw. problemowi zlinearyzowanemu: [K + λ(Kσ + Ku1)]V = 0 

lub problemowi początkowemu: [K + λKσ]V = 0, 

3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary 

(λ1, V1), . . ., (λN, VN) 

gdzie: 

◮ N – liczba stopni swobody układu, 

◮ λi – wartość własna - parametr krytycznego obciążenia, 

◮ Vi = ∆Qi – wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji. 


Wyboczenie idealnej tarczy – dane 

◮ wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, h = 0.012 m, 

◮ stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2 , ν = 0.3, 

◮ konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające 

płaskiemu zginaniu: |p∗ x,max,min | = 1.0 kN/m, 

◮ dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie: 

a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej) 

b) utwierdzenie (na rysunku z lewej). 

Figure: Dyskretyzacja MES, obciążenie i dwa przypadki warunków podparcia 


Wyboczenie tarczy – 2 przypadki 

Założenia: 

◮ tarcza ma idealną płaszczyznę środkową, 

◮ obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej, 

◮ obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ. 

Analiza wyboczenia dla tarczy w stanie: 

1) czystego zginania tarczowego, 

2) czystego ścinania. 

Figure: Dwa przypadki obciążenia wywołującego stany czystego zginania 

tarczowego i czystego ścinania przed wyboczeniem 

Obliczenia: 

◮ numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżone. 

◮ analityczne: rozwiązania dokładne, 


Wyboczenie przy zginaniu tarczowym 

Obliczenie wartości obciążenia krytycznego: 

Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym 

Rozwiązania analityczne dla tarczy: 

◮ przegubowo podpartej: p zg,analit 

kr 

= 39.0·π2 ·D m 

L2 x 

◮ utwierdzonej: p zg,analit 

kr 

= 25.6·π2 ·D m 

L 2 x 

= 9259 kN/m , 

= 6077 kN/m, 

Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8 × 8 ES) dla tarczy: 

◮ przegubowo podpartej: p zg,MES 

kr = 6028 kN/m , 

◮ utwierdzonej: p zg,MES 

kr = 11304 kN/m , 

Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka 12 × 12 ES) dla tarczy: 

◮ przegubowo podpartej: p zg,MES 

kr = 6241 kN/m, 

= 11666 kN/m. 

◮ utwierdzonej: p zg,MES 

kr 


Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym 

Figure: Rozkład siły tarczowej nx dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) i 

utwierdzonej (z prawej) 


Zginanie tarczowe, 

postacie powyboczeniowe 

Figure: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowo 

podpartej (ROBOT) 


Zginanie tarczowe, 

postacie powyboczeniowe 

Figure: Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej 

(ROBOT) 


Wyboczenie przy ścinaniu tarczowym 

Obliczenie wartości obciążenia krytycznego: 

Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym 

Rozwiązania analityczne: 

◮ dla przegubowo podpartej: p xy,analit 

kr 

= 9.36·π2 ·Dm 

L 2 x 

= 2222 kN/m, 

Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8 × 8 ES): 

= 2199 kN/m . 

◮ dla przegubowo podpartej na obwodzie: p xy,MES 

kr 


Wyboczenie blachownicy – dane 

◮ wymiary: Lx = Ly = 1.16 m, hs = 0.012 m, hp = 0.018 m, 

◮ stałe materiałowe: E = 2.05 · 108 kN/m2 , ν = 0.3, 

◮ konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe: 

|p∗ x,min,max | = 1.0 kN/m, 

◮ dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy: 

wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnika, 

wariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóch 

półek. 


Wariant 1: wyboczenie środnika 

Lokalne wyboczenie środnika: 

◮ wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami i 

żebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniach 

połączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami, 

◮ w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie: 

a) przegubowo podparte, 

b) zamocowane, 

◮ stan rzeczywisty jest stanem pośrednim, 

◮ przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego 

środnika 


Wariant 2: wyboczenie blachownicy c.d. 

Analiza wyboczenia dźwigara: 

◮ wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano 

model dyskretny: 

dźwigara składającego się ze środnika (12 × 12) i dwu półek (4 × 12), 

przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara, 

◮ wyniki numeryczne (ROBOT): 

◮ p bl,MES 

kr 

= 9068 kN/m, 

◮ porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT): 

◮ dla wyizolowanego środnika: 

- przegubowo podpartego (pp) 

- utwierdzonego (ut) 

◮ całego dźwigara (bl) 

p zg,pp,MES MES MES 

6241 kN/m < 9068 kN/m < 11666 kN/m 


Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym 

Figure: Rozkład siły tarczowej nx dla blachownicy 


Postacie powyboczeniowe blachownicy 

Figure: Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT) 


Nieliniowość geometryczna 

Równowaga układu zdyskretyzowanego: 

K ∆Q = F t+∆t 

ext 

gdzie styczna macierz sztywności: 

K0 - macierz sztywności liniowej 

− F t int 

K = K0 + Ku + Kσ 

Ku - macierz sztywności przemieszczeniowej 

(macierz dyskretnych związków kinematycznych B zależna od 

przemieszczeń) 

Kσ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń 

uogólnionych) 


Teoria umiarkowanie dużych ugięć Karmana [3] 

Dopuszczamy ugięcie rzędu grubości 

Odkształcenia powierzchni środkowej 

εx = εL x + εN x = ∂u 

 

1 ∂w 2 

∂x + 2 ∂x 

εy = εL y + εN y = ∂v 

2 1 ∂w 

∂y + 2 ∂y 

γxy = γL xy + γN xy = ∂u ∂v ∂w ∂w 

∂y + ∂x + ∂x ∂y 

Krzywizny i spaczenie jak w teorii liniowej 

κx = κL x = − ∂2w ∂x 2 , κy = κL y = − ∂2w ∂y 2 , χxy = χL xy = −2 ∂2w ∂x∂y 

Układ dwu równań teorii Karmana płyt o umiarkowanie dużych ugięciach 

∇2∇2F (x, y) + Eh 

2 L(w, w) = 0 

Dm∇2∇ 2w(x, y) − L(w, F ) − ˆpz = 0 

gdzie: 

F (x, y) - funkcja naprężenia (nx = F,yy , ny = F,xx, nxy = −F,xy ) 

L(a, b) = a,xxb,yy − 2a,xy b,xy + a,yy b,xx 



Aproksymacja MES 

Całkowita energia potencjalna (dodatkowa energia stanu tarczowego) 

˜Π m = U m + Ũn − W m 

Dyskretyzacja 

u n = 

u(x, y) 

v(x, y) 

 

= 

Nu 0 

Nv 0 

w m = [w(x, y)] = 0 Nw 

Nieliniowe związki kinematyczne 

B (6×LSSE) = B L (6×LSSE) + BN (6×LSSE) 

B L (6×LSSE) = 

B n 0 

0 B m 

q n 

q n 

 

, B N (6×LSSE) = 

q m 

q m 

 

 

0 B n w 

0 0 

 




Macierze dyskretnych związków kinematycznych 

⎡ 

⎤ ⎡ 

B n = ⎣ 

Gradienty ugięcia 

g = 

Nu,x 

Nv,y 

Nu,y + Nv,x 

B n w = ⎣ 

w,x 

w,y 

⎡ 

⎦ , B m = ⎣ 

w,xNw,x 

w,y Nw,y 

w,xNw,y + w,y Nw,x 

 

= 

Nw,x 

Nw,y 

−Nw,xx 

−Nw,yy 

−2Nw,xy 

⎤ 

⎦ . 

 

q m = G m q m . 

⎤ 

⎦ 




Macierz styczna elementu 

k e T = ke 0 + ke u + k e σ 

k e 

0 = 

Ae 

nT n n B D B 0 

0 BmTDmBm k e 

u = 

Ae 

0 BnTDnBn w 

BnT w DnBn 0 

k e 

0 0 

σ = 

0 GmTSnGm 

dA, S n = 

A e 

A e 

 

dA, 

 

dA, 

nx nxy 

Wektor sił węzłowych reprezentujących siły wewnętrzne 

f e 

int = 

 

nT B 0 

 

n S 

 

dA. 

B nT 

w 

B mT 

S m 

nxy ny 

 


Płyta kwadratowa 

Umiarkowanie duże ugięcia 

y 

z, w 

C 

a 

a 

ˆpz 

Dane: 

L = Lx = Ly = 2a = 1.0 m 

h = 0.002 m 

E = 200000 MPa, ν = 0.25 

x 

0.30 

0.15 

Zależność ugięcia od obciążenia: 

ˆpz [kPa] 

MES 

(nieliniowość geometryczna) 

rozwiązanie liniowe: 

ˆpz L4 

wC = 0.00406 D 

0.001 0.002 0.003 

Metody komputerowe, studia II st. 

wC [m]

Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza [6] 

Schemat strategii obliczeniowej 

realizowanej na wielu poziomach: 

◮ konstrukcji 

◮ elementu skończonego 

◮ warstwy 

◮ punktu 

Uwzględnione efekty: 

◮ śledzenie wytężenia w przekroju 

◮ zarysowanie betonu 

◮ sprężysto-plastyczne zbrojenie 

◮ duże przemieszczenia i ich 

gradienty 

Cele: 

◮ wyznaczenie ewolucji 

przemieszczeń 

◮ określenie mechanizmu 

uszkodzenia 

◮ oszacowanie nośności 


Model powłoki żelbetowej 

◮ Zdegenerowany element powłokowy 

8-węzłowy (teoria Mindlina-Reissnera) 

◮ Model warstwowy powłoki żelbetowej (5 

warstw betonu, 4 warstwy stali reprezentujące 

2 siatki zbrojenia) 

◮ Model sprężysty z rozmazanym zarysowaniem 

dla warstwy betonu (osłabienie betonu, 

redukcja sztywności na ścinanie) 

◮ Model sprężysto-plastyczny dla warstw stali 


Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej [6] 


Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej 

Zależności λ − wK otrzymane dwoma pakietami 

MES przy sterowaniu siłą lub przemieszczeniem 

dla obciążenia g + λ(w + s) 

Obciążenia chłodni: 

◮ ciężar własny g 

◮ wiatr w 

◮ ssanie wewnętrzne s 

◮ obciążenia termiczne 

◮ osiadania podłoża 


Analiza numeryczna żelbetowej powłoki 

Wyniki analizy numerycznej powłoki z otworem technologicznym 

Deformacja Mapa warstwicowa membranowych sił południkowych 


Analiza numeryczna żelbetowej powłoki 

Kierunki naprężeń głównych w warstwie zewnętrznej Wizualizacja rozmazanych rys 


Katastrofa World Trade Center 


Katastrofa World Trade Center 

Wybudowany w latach 1966-77, 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowa 

zgodnie z koncepcją ”rura w rurze”, rdzeń 26.5×41.8m (47 słupów połączonych krótkimi belkami, 

przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m na 

obwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowych 

połączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach 

107-110. Ciężar budynku ponad ziemią 3630MN, ciężar własny 2890MN, obc. użytkowe 740MN. 

Czas na ucieczkę w WTC1 i WTC2 odpowiednio 100 i 60 min. 


Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [7] 

Efekt dynamiczny wysokiej temperatury, 

która obniżyła granicę plastyczności 

stali i spowodowała wyboczenie 

słupów w warunkach pełzania 

1. Pożar paliwa powoduje wzrost temperatury 

do ok. 800C 

2. Lepkoplastyczne wyboczenie słupów na 

krytycznej kondygnacji 

3. Połowa słupów przestaje przenosić ciężar 

części budynku powyżej 

4. Część ta spada na niższy strop z rosnącą 

energią kinetyczną, uderzenie stanowi 

obciążenie dynamiczne, którego kontrukcja 

poniżej nie jest w stanie przenieść - 

zniszczeniu ulegają węzły kratownic 

nośnych stropów i postępuje wyboczenie 

słupów 

5. Górna część wieży stopniowo zapada się, 

gdy rośnie jej masa i energia 

Szacunkowe obliczenia energetyczne 

dają współczynnik przeciążenia 

Pdyn/mg = 30 − 60. 


Odpowiedź wież World Trade Center na obciążenie 

wyjątkowe [8] 

Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów 

33 MN), sztywność na zginanie i ścinanie określona na podstawie modelu ramy przestrzennej, 3% 

tłumienie Rayleigha. 


Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego 

Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyły 

wynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieże 

przetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe. 


Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń - LS-DYNA 

Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton, 

materiał sprężysto-plastyczny. 


Model krytycznego segmentu - wyniki 

Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu 

Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113 

słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana w 

pozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych. 


Literatura 

[1] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji. 

Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005. 

[2] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązania 

analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009. 

[3] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by Finite 

Elements Methods. Elsevier, 1994. 

[4] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodą 

elementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2006. 

[5] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonych 

ANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK, 

Kraków 1996. 

[6] Z. Waszczyszyn, E. Pabisek, J. Pamin, M. Radwańska. Nonlinear analysis of a RC 

cooling tower with geometrical imperfections and a technological cut-out. Engineering 

Structures, 2, 480-489, 2000. 

[7] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse? - Simple Analysis. 

ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, 2002. 

[8] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R. Fukuda. Structural 

Responses of World Trade Center Collapse under Aircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech., 

131, 6-15, 2005.

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?