Numerická integrace pohybové rovnice: torzní kmity

Numerická integrace pohybové rovnice: torzní kmity
Sledujeme analogii mezi kmity tělesa o hmotnosti m připojeného k pružině o tuhosti k a
torzními kmity tyčinky o momentu setrvačnosti J připevněné k ocelovému drátu s torzním
momentem D.
Pohybová rovnice: − = => − =
Úprava pro torzní kmity: − =
Matematickým řešením diferenciálních rovnic dostáváme:
= = −
sin
= = −
sin
Pro zjednodušení použijeme numerické metody a dt nahradíme ∆t. Na velikosti ∆t závisí přesnost
výpočtu. Nejprve budeme porovnávat program s měřením kmitů za sucha a poté do programu přidáme
tlumící člen a lopaty tyčinky ponoříme do vody.

Porovnání naměřených a vypočtených hodnot:
1) Za sucha
ϕ
ϕ
2) Ve vodě
Měření Program
[ms] [ms]
0 0 0
10 130 126
20 250 251
30 380 377
40 500 500
50 650 626
60 800 752
70 970 874
80 1180 1000
90 1620 1126
Měření Program
[ms] [ms]
0 0 0
10 150 147
20 290 287
30 430 440
40 570 0
50 730 0
60 890 0
70 1080 0
80 0 0
90 0 0
Závěr: Pro správný běh programu jsme museli vyšetřit konstanty tlumení Dj a Bj.
V našem případě Dj = 630, Bj = 25.
Kyvadlo tlumené pouze svoji vlastní tuhosti se otočilo o 90° za 1,62s. Tlumené kyvadlo se
otočilo za 1,08s pouze o 70s.
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
1200
1000
800
600
400
200
0
-200
0
0 20 40 60 80 100
0 50 100
Měření [ms]
Program [ms]
Program [ms]
Měření [ms]