Pavol Zlatoš LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA - Oddelenie ...

21.1. Polynomické maticové funkcie 439
JKT matice A a P je príslušná matica prechodu, t. j. A = P · J · P −1 , tak
podľa tvrdenia 21.1.1 a lemy 21.1.3 platí
f(A) = P · f(J) · P −1 = P · diag f J n1(λ1) , . . . , f J nk (λk) · P −1 .
Preto sa stačí naučiť počítať hodnoty polynómov pre Jordanove bunky J n(λ).
Samozrejme, začneme polynómami x m . Na výpočet mocniny J n(λ) m sa nám
zíde nasledujúca maticová verzia binomickej vety, ktorú možno dokázať indukciou
rovnako ako binomickú vetu v príslušnom poli. Hovoríme, že matice
A, B ∈ K n×n komutujú, ak A · B = B · A.
21.1.6. Lema. Nech matice A, B ∈ Kn×n komutujú. Potom pre ľubovoľné
m ∈ N platí
(A + B) m m
m
= A
i
m−i B i .
i=0
Ak si ešte uvedomíme, že J n(λ) = λIn + J n(0) = λIn + J n, pričom
(λIn) · A = λA = A · (λIn), teda matica λIn komutuje s každou maticou
A ∈ Kn×n , okamžite z toho dostávame
J n(λ) m =
m
i=0
m
i
λ m−i J i n.
Mocniny nilpotentej matice J n už vypočítame ľahko na základe vzťahov
J m
0, pre 1 ≤ i ≤ m,
n · ei =
ei+m, pre m ≤ i ≤ n.
Takže pre m ≥ n je J m n = 0, a pre 0 ≤ m < n je to bloková matica
J m
0n−m m In−m
n =
.
0m m
0m n−m
Po dosadení do binomickej vety a sčítaní všetkých členov dostávame hľadaný
vzorec.
21.1.7. Lema. Pre ľubovoľné m, n ∈ N, n ≥ 1, λ ∈ K platí
J n(λ) m ⎛
λ
⎜
= ⎜
⎝
m m m−1 λ 1 . . . 0 λ
m m−n+1 λ n−1
m . . . . .
. ..
m m−n+2 λ n−2
.
0 0 . . . λm ⎞
⎟
⎠ ,
pričom pre j > m definitoricky kladieme m m−j λ = 0.
j