0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Zad. 29. Rozpatrzmy ciągłą surjekcję f : X → Y i relację Rf na X określoną następująco
xRf x ′ ⇐⇒ f(x) = f(x ′ ). Udowodnij, że
a) f jest przekształceniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie f ′ : X/Rf → Y
dane wzorem f([x]) = f(x) jest homeomorfizmem;
b) jeśli Y jest przestrzenią Hausdorffa, to również X/Rf jest przestrzenią Hausdorffa.
Przykład 1. Jeżeli A ⊂ X, to przez X/A oznaczamy wyposażoną w topologię ilorazową.przestrzeń
klas abstrakcji relacji xRx ′ ⇐⇒ x = x ′ lub x, x ′ ∈ A. Mówimy, że jest to przestrzeń X z
podzbiorem A zgniecionym do punktu.
Przykład 2. Jeżeli A jest przestrzenią topologiczną, to (niezredukowanym) stożkiem nad A nazywamy
A × I/A × {1}, gdzie I oznacza odcinek [0, 1] z topologią euklidesową.
Przykład 3. Niech (Xi, xi) , i ∈ I będą przestrzeniami topologicznymi, z wyróżnionymi punktami.
Niech X :=
i∈I Xi będzie koproduktem zaś A =
i∈I {xi} × {i} ⊆ X. Wówczas X/A nazywamy
bukietem przestrzeni Xi oznaczamy
i∈I Xi. Bukiet skończonej liczby przestrzeni oznaczamy
także X1 ∨ X2 . . . ∨ Xn.
Zad. 30. Zauważyć, że przestrzeń X ∨ Y jest homeomorficzna z podzbiorem
(X × {y0}) ∪ ({x0} × Y ) ⊂ X × Y. Czy taki homeomorfizm zachodzi też dla nieskończonych bukietów?
Kolejny przykład jest tak ważny, że wyodrębnimy go jako definicję.
Definicja 2.5. Niech A ⊆ X i niech f : A → Y będzie przekształceniem ciągłym. Wówczas
doklejeniem przestrzeni X do Y wzdłuż przekształcenia A nazywamy przestrzeń ilorazową (X ⊔
Y )/R, gdzie xRy ⇐⇒ x = y lub x ∈ A i f(x) = y i oznaczamy ją symbolem X ∪f Y . Mamy
następujący przemienny diagram:
w którym i oraz ĩ są włożeniami.
i
A −−−−→ X
⏐
f
Y
⏐
f ′
i ′
−−−−→ X ∪f Y
Zauważmy, że przestrzeń X z podzbiorem A zgniecionym do punktu jest szczególnym przypadkiem
powyższej konstrukcji – jeżeli Y = {∗} jest przestrzenią jednopunktową, to przestrzeń
X ∪f {∗} jest homeomorficzna z X/A.
Zad. 31. Torus i butelka Kleina powstają z bukietu dwóch okręgów przez doklejenie dysku 2wymiarowego
wzdłuż jego brzegu. Dowolny precel powstaje z bukietu okręgów przez doklejenie
dysku 2-wymiarowego wzdłuż jego brzegu.
Zad. 32. Produkt kartezjański dwóch sfer S m × S n powstaje z bukietu S m ∨ S n przez doklejenie
dysku D n+m wzdłuż jego brzegu.
Przestrzeń ilorazowa przestrzeni spójnej (łukowo spójnej) jest oczywiście spójna (łukowo spójna),
gdyż jest jej obrazem przy przekształceniu ciągłym. Jednak wiele innych własności topologii
przestrzeni nie zachowuje się przy przechodzeniu do przestrzeni ilorazowej. Nie są zachowywane
aksjomaty oddzielania, istnienia przeliczalnej bazy, czy też przeliczalnej bazy w punkcie. przestrzeń
ilorazowa przestrzeni metrycznej może nie być metryzowalna.
9
,