0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

9.5 Efekt doklejenia komórki na grupach homotopii
Twierdzenie 9.10. Niech (X, A) będzie n + 1-wymiarową relatywną komórką (n > 1), a
χ : (S n , 1) → (A, a0) odwzorowaniem doklejającym. Włożenie j : A ↩→ X jest n-równoważnością,
przy czym ker{j# : πi(A, a0) → πi(X, a0)} jest π1(A, a0)-modułem generowanym przez klasę [χ]
Uwaga 8. W przypadku n = 1, ker{j# : π1(A, a0) → π1(X, a0)} jest podgrupą normalną generowana
przez klasę [α]. Poniższy dowód obejmuje też tę sytuację; inny dowód opiera się na tw.
Seiferta - van Kampena [TOPOLOGIA II]
Lemat 9.4. Niech (X, A) będzie n+1-wymiarową relatywną komórką (n > 1). Grupa πn+1(X, A, a0)
jest wolnym π1(A, a0) modułem generowanym przez odwzorowanie charakterystyczne komórki:
χ : (D n+1 , S n , 1) → (X, A, a0).
Dowód. Niech α :: (D n+1 , S n , 1) → (X, A, a0) będzie dowolnym odwzorowaniem; na mocy Tw. 9.8
możemy zakładać, że jest regularne x0 ∈ X \A jest wartością regularną oraz α −1 (x0) = {p1, .., pk}.
Rozpatrzmy diagram, w którym skracamy oznaczenia (D, S, 1) := (D n+1 , S n , 1):
(D, D \ {p1, .., pk}, 1)
j
α
α
(D, S, 1)
(X, A, a0)
Zauważmy, że przekształcenie indukowane na grupach homotopii przez włożenie j możemy
wpisać w następujący sposób w którym ∂ oznacza homomorfizm brzegu w ciągu odpowiedniej
pary, a pozostałe homomorfizmy są indukowane przez odpowiednie włożenia:
πn+1(D, D \ {ps}, 1)
πn+1(D, D \ {p1, .., pk}, 1)
j#
πn+1(D, S, 1)
Ten diagram pozwala następująco rozłożyć α#:
⊕∂
∂
∂
πn(D \ {ps}, 1)
i#
πn(D \ {p1, .., pk}, 1)
j#
πn(S, 1)
πn+1(D, D \ {ps}, 1)
j#
⊕αs#
α#
πn+1(D, S, 1)
πn+1(X, A, a0)
Zauważmy, że j#([id]) = ⊕ h [ω][Ds, Ss, ys] gdzie [Ds, Ss, ys] oznacza dowolnie mały dysk
wokół ps, ys ∈ Ss a ω jest drogą łączącą w D \ {ps} 1 z ys [RYSUNEK]. Wystarczy teraz
55