0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

9.3 Klasyfikacja homotopijna odwzorowań rozmaitości w sfery
Zaczniemy od zbadania odwzorowań M k → S n w przypadku gdy k < n:
Stwierdzenie 9.1. Niech M k będzie k-wymiarową, spójną rozmaitością gładką oraz n > k. Wówczas
dowolne odwzorowanie M k → S n jest ściągalne, czyli [M k , S n ] = ∗.
Dowód. Niech M k → S n . Na mocy twierdzenia o aproksymacji gładkiej 9.3 możemy zakładać, że
f jest gładkie. Z twierdzenia Browna 9.4 wnioskujemy, że posiada wartość regularną, czyli punkt
y0 ∈ S N o pustym przeciwobrazie. Stąd wynika że f jest ściągalne.
W dalszym ciągu będziemy badać klasy odwzorowań spójnych rozmaitości n-wymiarowych
w sfery n-wymiarowe: [M n , S n ].Pokażemy, że w zbiorze [M n , S n ] można wprowadzić naturalną
strukturę grupy abelowej. Gdy n = 1 jest ona dana przez strukturę grupy topologicznej w S 1 .
Załóżmy więc, że n > 1.
Lemat 9.1. Jeśli n > 1 to dla dowolnej rozmaitości M m włożenie j : S n ∨ S n ⊂ S n × S n indukuje
odwzorowanie j# : [M m , S n ∨ S n ] −→ [M m , S n × S n ] które jest bijekcją jeśli jeśli m < 2n − 1 oraz
surjekcją jeśli m = 2n − 1, jest więc (2n − 1)-równoważnością.
Dowód. Niech f : M → S n × S n , z twierdzenia Browna 9.4 wynika, że istnieje y = (y0, y1) /∈
f(M) ∪ (S n ∨ S n ). Bukiet sfer S n ∨ S n jest retraktem deformacyjnym produktu z usuniętym
punktem. Złożenie f z retrakcją deformacyjną S n × S n \ {(y0, y1)} → S n ∨ S n dowodzi, że j# jest
surjekcją. Podobnie, korzystając ponownie z tw. Browna, jeśli m < 2n − 1 dowolną homotopię
F : M × I → S n × S n możemy ”wcisnąć” w S n ∨ S n .
Z ostatniego lematu wynika ważny wniosek dotyczący grup homotopii bukietów sfer:
Wniosek 4. Dla n > 1 włożenie Sn ∨ · · · ∨ Sn ↩→ Sn × · · · × Sn jest (2n − 1)-równoważnością;
w szczególności πn(Sn ∨ · · · ∨ Sn ) πn(Sn ) ⊕ · · · ⊕ πn(Sn ).
Przypomnijmy [Topologia II], że w przypadku bukietu okręgów mamy izomorfizm: π1(
i∈I S1
F (I) , gdzie F (I) oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór I, natomiast wyższe grupy homotopii
bukietu znikają.
Zad. 123. Sformułuj i udowodnij wariant Wniosku 4 w przypadku nieskończonego bukietu.
Niech M będzie n-wymiarową rozmaitością gładką. Działanie grupowe w [M, S n ] definiujemy
jako złożenie:
[M, S n ] × [M, S n ] [M, S n × S n ] −→ [M, S n ∨ S n ] (id∨id)#
−−−−−→ [M, S n ]
Zad. 124. Jednością tego działania jest odwzorowanie stałe, a odwrotnością M → S n złożenie
tego przekształcenia z odbiciem R : S n → S n . [M, S n ] jest grupą abelową.
Skonstruujemy teraz homomorfizm Z → [M, S n ], o którym pokażemy następnie, że jest surjekcją.
Zaczniemy od definicji ”odwzorowania bąbla” b : M → S n , które okaże się być generatorem
grupy [M, S n ]. [RYSUNEK] Wybierzmy dowolny punkt x0 ∈ M oraz dyfeomorfizm φ : U −→ R n
taki, że φ(x0) = 0. Zdefiniujmy odwzorowanie b1 : M → S n jako złożenie:
M q −→ M/M \ φ −1 (int D n ) φ −→ R n /(R n \ int D n ) S n
Dla dowolnego k ∈ Z definiujemy bk : M → S n jako k-krotną wielokrotność b1 w grupie [M, S n ].
51