0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Dowód. Parę (S n , S n \ {y0}) będziemy utożasamiać z parą (R n ∪ {∞}, R n ), co ułatwi nam zapis
homotopii. Niech FU : (U, U \F )×I → (R n ∪{∞}, R n ) będzie homotopią par między f0|U ∼ f1|U
a
F X\F (x, t) := (1 − t)f0(x) + tf1(x)
homotopią między f0|(X\F ) ∼ f1|(X\F ). Skleimy te dwie homtopie przy pomocy rozkładu jedności
dla pokrycia {U, X \ F }. Niech φ, ψ : X → I będą funkcjami ciągłymi takimi, że supp(φ) ⊂ U,
supp(ψ) ⊂ X \ F oraz φ + ψ = 1. Definujemy homotopię FX : (X, X \ F ) × I → (Rn ∪ {∞}, Rn ):
ψ(x)Flin(x, t) + φ(x)FU(x, t) dla x ∈ X \ F
FX(x, t) :=
.
FU(x, t) dla x ∈ supp(ψ)
Wzór ten definiuje ciągłą homotopię, gdyż jest na ciągła na otwartych podzbiorach (X \ F ) × I
i (X \ supp(ψ)) × I a także pokrywa się na ich części wspólnej.
9.2 Aproksymacja gładka
W tym rozdziale pokażemy, że badając klasy homotopii odwzorowań między rozmaitościami gładkimi
wystarczy ograniczać się do odwzorowań gładkich oraz gładkich homotopii między nimi.
Dzięki temu możemy korzystać z aparatu analizy matematycznej, a w szczególności aproksymować
lokalnie odwzorowania przez ich pochodne, a więc odwzorowania liniowe.
Zaczniemy od wykazania, że przekształcenia bliskie są homotopijne, co pozwoli na skorzystanie
z twierdzenia Weierstrassa o aproksymacji przekształceń ciągłych gładkimi.
Twierdzenie 9.2. Niech Y ↩→ R n będzie podzbiorem posiadającym otoczenie otwarte Y ⊂ U ⊂
R n retrahowalne na Y . Wtedy istnieje funkcja dodatnia ɛ : Y → R + taka, że jeśli dwa odwzorowania
f0, f1 : X → Y sa ɛ-bliskie tzn. ∀x∈X d(f0(x), f1(x)) < ɛ(f0(x)) to f0 ∼ f1.
Dowód. Definiujemy funkcję ɛ(y) := dist(y, R n \ U)/2. Ponieważ R n \ U jest domknięty, więc
ɛ(y) > 0. Definiujemy homotopię liniową ¯ F : X × I → R n , F (x, t) := (1 − t)f0(x) + tf1(x)
Z bliskości odwzorowań wynika, że F (x, t) ∈ U, więc homotopię F : X × I → Y definiujemy
składając ¯ F z retrakcją r : U → Y.
Twierdzenie 9.3. Niech M, N będą gładkimi rozmaitościami; oznaczmy [M, N]∞ zbiór klas gładkiej
homotopii gładkich odwzorowań M → N. Odwzorowanie zapominania [M, N]∞ → [M, N] jest
bijekcją.
Szkic dowodu. Twierdzenie wynika z: istnienia zanurzenia Y ⊂ R N i twierdzenia o otoczeniu tubularnym,
tw. 9.2, oraz twierdzenia Weierstrassa o niemal jednostajnej aproksymacji odwzorowań
ciąglych wielomianowymi.
Bardzo ważny będzie dla konsekwencja twierdzenia Sarda. Przypomnijmy, że jeśli f : M → N
odwzorowaniem gładkim między rozmaitościami, to punkt x ∈ M nazywamy krytycznym jeśli
Dfx : T Mx → T Nx nie jest epimorfizmem. Punkt y ∈ N nazywa się wartością regularną jeśli
∀ x∈f −1 (y) Dfx : T Mx → T Nx jest epimorfizmem. zauważmy, że jeżeli dim M < dim N, to y ∈ N
jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy f −1 (y) jest zbiorem pustym.
Twierdzenie 9.4 (A.B.Brown). 19 Niech f : M → N będzie odwzorowaniem gładkim między rozmaitościami.
Wtedy zbiór wartości regularnych odwzorowania f jest otwartym, gęstym podzbiorem
N.
19 Dowód p. J.Milnor Topologia z różniczkowego punktu widzenia, PWN Warszawa 1969, rozdz. 2,3
50