0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Zad. 16. Sprawdź, że powyższa definicja produktu włóknistego jest równoważna następującej:<br />
Produktem włóknistym morfizmów X f −→ T oraz Y g −→ T nazywamy obiekt Z wraz z morfizmami<br />
Z pX<br />
pY<br />
−−→ X i Z −→ Y , dla których przemienny jest diagram:<br />
pY<br />
pX<br />
Z −−−−→ X<br />
⏐ ⏐<br />
⏐ ⏐<br />
f<br />
Y<br />
g<br />
−−−−→ S<br />
i który spełnia następujący warunek uniwersalności: dla każdego obiektu W i morfizmów W h −→ X<br />
i W k −→ Y takich, że f ◦ h = g ◦ k istnieje dokładnie jeden morfizm W r −→ Z, taki że pX ◦ r = f i<br />
pY ◦ r = g.<br />
Zad. 17. Zbadać istnienie granic i kogranic w znanych kategoriach.<br />
Definicja 1.12. Granicę diagramu modelowanego na kategorii 0 ⇒ 1 (czyli dwóch morfizmów<br />
między tymi samymi obiektami) nazywamy ekwalizatorem tych morfizmów, a kogranicę ich koekwalizatorem.<br />
Zad. 18. Jeśli w kategorii C istnieją ekwalizatory dla dowolnej pary morfizmów oraz produkty<br />
dowolnej (skończonej) rodziny obiektów, to istnieją w niej granice (odwrotne) dowolnych (skończonych)<br />
diagramów. Analogicznie dla kogranic.<br />
Zad. 19. Funktor dołączony z lewej (prawej) strony zachowuje kogranice (granice) diagramów.<br />
Tzn. jeśli funktor G : C → D jest lewo dołączony do pewnego funktora, to dla dowolnego diagramu<br />
F : I → C to naturalny morfizm colim C(G ◦ F ) → G(colim C F ) jest izomorfizmem.<br />
1.5 Kategorie morfizmów<br />
Dla dowolnej kategorii C można rozważać kategorię jej morfizmów Mor(C) której obiektami sa<br />
morfizmy w C a morfizmami między nimi przemienne diagramy:<br />
f<br />
X<br />
<br />
Y<br />
Mówimy, że morfizm f : X → Y jest ortogonalny z lewej strony do f ′ : X ′ → Y ′ jeśli dla każdego<br />
morfizmu (diagramu) między nimi istnieje przekątna X → X ′ . Odpowiednio mówimy, że f ′ jest<br />
ortogonalny do f z prawej strony. Jeśli M ⊂ Mor(C) jest klasą obiektów w Mor(C) (tzn. morfizmów<br />
w C), to klasę morfizmów do nich prostopadłych z prawej strony oznaczamy M ⊥ a z lewej<br />
strony ⊥ M.<br />
Zauważmy, że w dowolnej kategorii C można mówić o retraktach: powiemy, że obiekt c jest retraktem<br />
obiektu d jesli istnieją morfizmy c → d → c których złożenie jest identycznością idc.<br />
Lemat 1.1. Dla dowolnej klasy morfizmów M klasy morfizmów ortogonalnych ⊥ M i M ⊥ są<br />
zamknięte ze względu na retrakcje.<br />
5<br />
<br />
X ′<br />
f ′<br />
<br />
<br />
Y ′
Change language