0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Przykład 7. Przykłady poznanych przestrzeni EM:
• Okrąg S 1 jest przestrzenią EM typu K(Z, 1)
• Rzeczywista nieskończenie wymiarowa przestrzeń rzutowa RP (∞) jest przestrzenią EM
typu K(Z2, 1);
• Zespolona nieskończenie wymiarowa przestrzeń rzutowa CP (∞) jest przestrzenią EM typu
K(Z, 2).
• Jeśli X jest przestrzenią EM typu K(π, n) to przestrzeń pętli ΩX jest przestrzenią EM typu
K(π, n − 1).
Uwaga. Przestrzeń rzutowa HP (∞) nie jest przestrzenią EM. Dlaczego?
Zad. 122. Jeśli p : ˜ X → X jest nakryciem między łukowo spójnymi przestrzeniami i jedna z
nich jest przestrzenią EM w wymiarze 1, to druga też jest. W szczególności dowolna powierzchnia
M 2 (orientowalna lub nieorientowalna), poza sferą i płaszczyzną rzutową, jest przestrzenią typu
K(π1(M), 1).
Uwaga. Dla każdej grupy π można skonstruować przestrzeń typu K(π, 1) korzystając z prostych
własności przestrzeni nakrywajacych. Wystarczy w tym celu znaleźć przestrzeń ściągalną Eπ na
której grupa π działa tak, aby projekcja na przestrzeń orbit Eπ → (Eπ)/π była nakryciem (a
więc rozwłóknieniem). [Konstrukcja Milnora]
W Rozdziale 7 pokażemy jak zbudować przestrzenie EM także w wyższych wymiarach.
Jeśli dwa CW-kompleksy sa typu K(π, n) to są homotopijnie równoważne. W tym celu wykażemy
[PÓŹNIEJ] ogólniejsze twierdzenie świetnie ilustrujące metodę konstruowania odwzorowań
z CW-kompleksów.
Twierdzenie 8.5. Niech (X, x0) będzie spójnym punktowanym CW-kompleksem, a (Y, y0) przestrzenią
punktowaną. Niech n > 0 będzie taką liczbą, że πi(X, x0) = 0 dla i < n oraz πi(Y, y0) = 0
dla i > n. Wtedy przyporządkowanie
jest bijekcją.
[X, Y ]∗ ∋ f f# ∈ Hom(πn(X, x0), πi(Y, y0))
9 Klasyfikacja homotopijna odwzorowań
9.1 Odwzorowania w sfery
Wykażemy, że klasa homotopii odwzorowania z dowolnej przestrzeni w sferę zależy od jego zachowania
w otoczeniu przeciwobrazu wybranego punktu. Jeśli pewien przeciwobraz jest pusty, to
odwzorowanie jest ściągalne, bowiem jego obraz jest zawarty w ściągalnym zbiorze S n \ {y0}.
Twierdzenie 9.1. Niech X będzie przestrzenią parazwartą (np. metryzowalną), F ⊂ X jej podzbiorem
domkniętym a f0, f1 : (X, X \ F ) → (S n , S n \ {y0}) dwoma odwzorowaniami takimi, że
dla pewnego otoczenia U ⊃ F obcięcia f0, f1 : (U, U \F ) → (S n , S n \{y0}) są homotopijne. Wtedy
f0, f1 : (X, X \ F ) → (S n , S n \ {y0}) też są homotopijne (jako odwzorowania par!).
49