0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Dla ciał F = R, C, H grupa multyplikatywna F × działa wolno na F n+1 \ {0} przez mnożenie
przez skalar na każdej współrzędnej. Definiujemy n-wymiarowa przestrzeń rzutową nad ciałem F
jako przestrzeń orbit tego działania: FP (n) := (F n+1 \ {0})/F × . Zauważmy, że S dF−1 ⊂ F × jest
podgrupą, mnożenie przez elementy S dF −1 zachowuje normę, mamy więc S dF(n+1)dF−1 /S dF −1 =
FP (n).
Zad. 115. Rzutowanie na przestrzeń orbit p n F : SdF(n+1)−1 → FP (n) jest przeksztalceniem lokalnie
trywialnym, a więc rozwłóknieniem.
Rozwłóknienia p n F : SdF(n+1)−1 → FP (n), których włóknami są sfery S dF −1 pozwalają powiązać
grupy homotopii sfer z grupami homotopii przestrzeni rzutowych.
Zad. 116. Oblicz πi(FP (n)) dla ciał F = R, C, H i ”małych” i.
Zad. 117. Udowodnij, że πn(S 2 ) ∼ = πn(S 3 × CP (∞)) dla każdego n. Udowodnij, że S 2 nie jest
homotopijnie równoważne S 3 × CP (∞). Jak pogodzić ten przykład z twierdzeniem Whiteheada?
Dla ciał F = R, C oznaczamy GL(n, F) grupę macierzy odwracalnych a O(n, F) ⊂ GL(n, F)
jej podgrupę składającą się z odwzorowań zachowujacych normę (a więc iloczyn skalarny na
F = R i iloczyn hermitowski dla F = C).
Zad. 118. O(n, F) ⊂ GL(n, F) jest zwarta oraz jest silnym retraktem deformacyjnym. Wsk. Odwzorowanie
odwrotne GL(n, F) → O(n, F) jest dane przez ortonormalizację Gramma-Schmidta.
Definiujemy odwzorowania ev : O(n, F) → S ndF−1 , ev(A) := A(1, 0, . . . , 0). Istnieje homemomorfizm
O(n, F)/O(n − 1, F) S ndF−1 przy którym projekcja ilorazowa odpowiada odwzorowaniu
ev.
Zad. 119. Odwzorowanie ev : O(n, F) → S ndF−1 jest lokalnie trywialne, a zatem jest rozwłóknieniem.
Wsk. Aby skonstruować trywializację wystarczy znaleźć przekrój ev nad S ndF−1 \ {v}.
Zad. 120. Grupa liniowa GL(n, C) jest spójna, a GL(n, R) ma dokładnie dwie składowe spójne.
Zad. 121. Niech i: O(n − 1, F) → O(n, F) będzie zanurzeniem grup zdefiniowanym przez naturalną
incluzję F n−1 ⊂ F n . Wykaż, że i jest (ndF − 2)-równoważnością. Zauważ, że dla danej liczby
i > 0 i dostatecznie dużej liczby n grupy πi(O(n, F)) nie zależą od n. Oblicz je dla ”małych” i.
8.3 Przestrzenie Eilenberga-MacLane’a
Przestrzeniami Eilenberga 17 -MacLane’a 18 nazywamy łukowo spójne przestrzenie, których tylko
jedna grupa homotopii jest różna od zera. Dokładniej:
Definicja 8.4. Niech π bedzie grupą a n liczbą naturalną. Łukowo spójna przestrzeń X jest
przestrzenią Eilenberga-MacLane’a (EM) typu K(π, n) jeśli πn(X, x0) π oraz πq(X, x0) = 0 dla
q = n. Mówimy, że łukowo spójna przestrzeń X jest przestrzenią Eilenberga-MacLane’a (EM) w
wymiarze n jeśli X jest typu K(π, n) dla pewnej grupy π.
Ponieważ grupy homotopii w wymiarze > 1 są przemienne, więc przestrzenie EM typu K(π, n)
dla n > 1 moga istnieć tylko jeśli π jest abelowa.
17 Samuel Eilenberg (Warszawa 1913 – 1998 New York)
18 Saunders MacLane (Taftville, CN, USA 1909 – 2005 San Francisco)
48