0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

7.2 Lemat o pięciu homomorfizmach
Zad. 109. Z Lematu 6.1 wywnioskuj lemat o 5 homomorfizmach w kategorii grup. Rozważamy
przemienny diagram grup i ich homomorfizmów, w którym wiersze są ciągami dokladnymi:
Wtedy
G5
γ5
G ′ 5
α5
α ′ 5
G4
γ4
G ′
4
α4
α ′ 4
1. Jeśli γ2, γ4 są epimorfizmami i γ1 jest monomorfizmem to γ3 jest epimorfizmem;
G3
γ3
G ′
3
2. Jeśli γ2, γ4 są monomorfizmami i γ5 jest epimorfizmem, to γ3 jest monomorfizmem.
8 Ciągi dokładne grup homotopii
α3
α ′ 3
G2
γ2
G ′
2
α2
α ′ 2
G1
γ1
G ′
1
8.1 Ciąg dokładny rozwłoknienia i ciąg dokładny pary
Niech f : A → B będzie przekształceniem (dobrze) punktowanych przestrzeni. Podstawiając w
kowariantnym ciągu Puppe G(−) := [S 0 , −]∗ otrzymujemy długi ciąg homotopii odwzorowania f:
... −→ πn(F (f), ā0) i#
−→ πn(A, a0) f#
−→ πn(B, b0) ∂ −→ πn−1(F (f), ā0) i#
−→ ..
... ∂ −→ π1(F (f), ā0) i#
−→ π1(A, a0) p#
−→ π1(B, b0) ∂ −→ π0(F, ā0) i#
−→ π0(A, a0) p#
−→ π0(B, b0).
gdzie ā0 := (a0, ωb0 ) ∈ F (f) jest punktem wyróżnionym.
Definiując grupy homotopii przekształcenia πq(f) := πq−1(F (f), ā0) możemy ten ciąg przepisać
w postaci:
... −→ πn+1(f) δ −→ πn(A, a0) f#
−→ πn(B, b0) −→ πn(f, ā0) δ −→ πn−1(A, a0) f#
−→ ....
Długi ciąg dokładny grup homotopii odwzorowania ma dwa bardzo ważne szczególne przypadki:
gdy odwzorowanie jest włożeniem podzbioru A ↩→ X oraz gdy jest rozwłóknieniem E p −→ B.
Twierdzenie 8.1 (Ciąg dokładny pary). Dla dowolnej punktowanej pary X ⊃ A ∋ a0 istnieje
długi ciąg homotopii
... −→ πn+1(X, A, a0) δ −→ πn(A, a0) i#
−→ πn(X, b0) j#
−→ πn(X, A, a0) δ −→ πn−1(A, a0) f#
−→ ....
gdzie (A, a0) i −→ (X, a0) j −→ (X, A, a0)
Dowód. Wynika natychmiast z definicji grup relatywnych i ciągu Puppe.
Niech F := p −1 (b0) ↩→ E p −→ B będzie teraz punktowanym rozwłóknieniem. Ponieważ w przypadku
rozwłóknienia włókno homotopijne jest homotopijnie równoważne z przeciwobrazem punktu,
a więc włóknisty ciąg Puppe ma postać:
... ∂ −→ ΩF −→ ΩE Ωp
−→ ΩB ∂ −→ F ↩→ E p −→ B
45