0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Trzeba pokazać, że dla CW-kompleksu X odwzorowanie indukowane f# : [X, Y ]∗ → [X, Z]∗ jest
surjekcją jeśli dim X n oraz jest injekcją jeśli dim X < n.
Dla pokazania surjektywności f# zastosujemy twierdzenie 6.10 do CW-pary (X, x0) i dowolnego
k : X → Z:
{x0}
X
˜k
k
Y
f
k
Z
Oczywiście f#([ ˜ k]) = [f ◦ ˜ k] = [k]. Załóżmy teraz, że dim X < n przypuśćmy teraz, że f#([ ˜ k] =
f#([ ˜ k ′ ]. . Niech H : X × I → Z będzie punktowaną homotopią f ◦ ˜ k ∼ f ◦ ˜ k ′ . Zastosujemy tw.
6.10 do CW-pary (X × I, S) gdzie S := X × {0} ∪ {x0} × I ∪ X × {1}
i
S ˜ k∪y0∪ ˜ k ′
X × I
˜H
Y
f
H
Z
Podniesienie ˜ H : X × I → Z jest szukaną homotopią ˜ k ∼ ˜ k ′ .
7 Zadania różne
7.1 Homotopie punktowane
Zad. 105. Niech (X, x0), (Y, y0) będą łukowo spójnymi przestrzeniami z wyróżnionym punktem
i niech X będzie dobrze punktowana. Pokazać, że:
1. Każde przekształcenie f : X → Y jest homotopijne z przekształceniem g : X → Y , takim że
g(x0) = y0.
2. podać przykład przestrzeni i dwóch homotopijnych przekształceń f, g : X → Y , takich że
g(x0) = f(x0) = y0, ale nie istnieje homotopia zachowująca punkt bazowy.
3. Pokazać, że jeżeli Y jest także dobrze punktowana i f : (X, x0) → (Y, y0) jest homotopijną
równoważnością, to f jest homotopijną równoważnością z zachowaniem punktu bazowego.
Zad. 106. Jeżeli (X, x0) jest przestrzenią dobrze punktowaną to jej zawieszenie zredukowane i
niezredukowane przestrzeni są homotopijnie równoważne.
Zad. 107. Jeżeli X jest łukowo spójna i pary (X, x0) i (X, x1) są dobrze punktowane, to istnieje
homotopijna równoważność f : (X, x0) → (X, x1).
Zad. 108. a Jeżeli (X, x0) jest dobrze punktowaną H-przestrzenią z działaniem µ : X × X → X,
to istnieje działanie µ ′ , µ ′ ∼ µ i µ ′ (x, x0) = µ ′ (x0, x) = x dla dowolnego x ∈ X. ( to znaczy
każde H-działanie z homotopijną jedynką możemy z dokładnością do homotopii zastąpić przez
działanie, które ma ścisłą jedynkę).
44