0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Twierdzenie 6.10. Załóżmy, że F ↩→ E p −→ B jest rozwłóknieniem takim, że πk(F, e0) = 0
dla k < n. Niech (X, A) będzie relatywnym CW-kompleksem wymiaru n. Wtedy włożenie
j : A ↩→ X jest lewo-prostopadłe do E p −→ B (tzn. dowolny przemienny kwadratowy diagram jak
niżej ma przekątną):
j
A
X
˜f
f
Lemat 6.2. Jeżeli dla każdego q n ∞ Twierdzenie 6.10 zachodzi dla pary dysk-sfera
(D q , S q−1 ), to zachodzi dla dowolnego relatywnego CW-kompleksu (X, A) wymiaru n.
¯f
Dowód twierdzenia 6.10. Na mocy Lematu wystarczy wykazać twierdzenie dla pary (X, A) =
(D q , S q−1 ) gdzie q n. W tym celu rozpatrzmy rozwłóknienie indukowane (pull-back): ¯ f ∗ E p′
−→
D n . Odwzorowanie f : S q−1 → E definiuje przekrój s : S q−1 → ¯ f ∗ E rozwłóknienia p ′ nad sferą
S q−1 , dane wzorem s(x) := (x, f(x)). Rozszerzenie tego przekroju na dysk D q wyznaczy podniesienie
˜ f.
Ponieważ dysk jest przestrzenią ściągalną, więc na mocy Rozdz. 3 Tw. 7.3 rozwłóknienie nad
nią jest homotopijnie włókniście trywialne, czyli istnieje włóknista homotopijna równoważność:
E
p
B
h
Dq
× F
¯f
p1
∗
E
g
p ′
Dq Złożenie g ◦ s : S q−1 → D q × F jest przekrojem, a więc jest postaci: (g ◦ s)(x) = (x, α(x)) gdzie
α : S q−1 → F. Ponieważ πk(F, e0) = 0 dla k < n a więc α rozszerza się do odwzorowania dysku
¯α : D q → F i wzór ¯s(x) = (x, ¯α(x)) zadaje rozszerzenie g ◦ s. Złożenie h ◦ ¯s jest przekrojem p ′
nad dyskiem takim, że ¯s|S q−1 = h ◦ g ◦ s i to niekoniecznie jest równe s, ale włóknista homo-
topia h ◦ g ∼Dq id ¯ f ∗E definiuje włóknistą homotopię przekrojów ¯s|Sq−1 ∼Dq s, którą oznaczmy
H : Sq−1 × I → f ∗E. Rozpatrzmy diagram:
Dq × 0 ∪ Sq−1 × I ¯ H
f ∗
E
j
Dq × I
pD ˜
p ′
pD
Dq w którym pD jest rzutowaniem na dysk, j - włożeniem (”pustej szklanki w pełną”), a ¯ H(x, 0) :=
¯s(x), ¯ H(z, t) := H(z, t) Ponieważ p ′ jest rozwłóknieniem istnieje podniesienie ˜pD. Szukane rozszerzenie
przekroju s jest dane wzorem: ˆs(x) := ˜pD(x, 1).
Dowód twierdzenia Whiteheada 6.9. Niech f : Y → Z będzie n -równoważnością (1 n ∞).
Zastępując przestrzeń Y kowalcem można zakładać, że f jest rozwłóknieniem z włóknem oznaczanym
F . Z długiego ciągu dokładnego rozwłóknienia wnioskujemy, że założenie iż f jest nrównoważnością
jest równoważne znikaniu grup homotopii włókna: πk(F, x0) = 0 dla k < n.
43