0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

żeby wywnioskować, że środkowe odwzorowanie jest izomorfizmem (odp. epimorfizmem) skorzystamy
z Lematu o Pięciu 6.1. Na mocy twierdzenia o kontrawariantnym ciągu Puppe oba poziome
ciągi spełniają warunki 1-5.
Surjektywność Φ(X). Ponieważ 1 < q n więc Φ(ΣB q−1 ) na mocy założenia jest surjekcją, a
Φ(X q−1 ) oraz Φ(B q−1 ) są bijekcjami. Zatem z konkluzji 1. Lematu o Pięciu 6.1 wynika, że Φ(X)
jest surjekcją.
Injektywność Φ(X). Zakładamy, że 1 < q n−1 więc Φ(ΣB q−1 ), Φ(X q−1 ), Φ(B q−1 ) są bijekcjami
a Φ(ΣX q−1 ) jest surjekcją. Wystarczy zatem pokazać, ze jeśli Φ(X)(x ∗ ) = x ♯ to
Φ(ΣB q−1 ): F (ΣB q−1 )x ∗ −→ G(ΣB q−1 ) x ♯.
W tym celu skorzystamy z opisu grup izotropii. Niech X ν,j
−→ X ∨ΣB q−1 będzie odpowiednio
ko-działaniem i włożeniem X. Niech
X
ν
j
X ∨ ΣB
q−1 j
T (ν, i)
będzie homotopijnym ko-ekwalizatorem tych odwzorowań. Wtedy
oraz mamy przemienny diagram:
Im F (j) = {(x, a) ∈ F (X) × F (ΣB q−1 ) | xa = x}
F (j)
F (ν),F (i)
F (T (ν, i)) −−−−→ F (X) × F (ΣBq−1 ) −−−−−−→ F (X)
⏐
⏐
⏐
⏐
Φ(T )
Φ(X)×Φ(ΣBq−1 ⏐
)
G(T (ν, i))
F (j)
−−−−→ G(X) × G(ΣB q−1 )
G(ν),F (i)
−−−−−−→ G(X)
Na mocy założenia indukcyjnego Φ(T ) jest surjekcją. Stąd wynika, że Φ(X) × Φ(ΣB q−1 ) przeprowadza
epimorficznie Im F (j) na Im G(j), co należało wykazać.
Twierdzenie 6.9. [J.H.C. Whitehead 14 ] Niech f : Y → Z będzie n-równoważnością (1 n
∞). Wtedy dla dowolnego CW-kompleksu X odwzorowanie indukowane
f# : [X, Y ]∗ → [X, Z]∗
jest surjekcją jeśli dim X n oraz jest injekcją jeśli dim X < n. W szczególności jeśli Y, Z są
spójnymi CW -kompleksami i n = ∞, to f jest homotopijną równoważnością.
Zad. 104. W przypadku kompleksów skończenie wymiarowych, wywnioskuj tw. Whiteheada z
tw. 6.8. Zauważ, że zgodnie z tym twierdzeniem wystarczy zakładac, że f♯ jest izomorfizmem w
skończenie wielu wymiarach!
Poniżej podamy inny dowód twierdzenia Whiteheada 6.9 obejmujący przypadek, gdy n = ∞.
Zaczniemy od ważnego i z innych powodów twierdzenia o podnoszeniu odwzorowań ze wzgledu
na rozwłóknienia, których włókna mają trywialne grupy homotopii wnieskich wymiarach.
14 John Henry Constantine Whitehead (Chennai (Indie) 1904 – 1960 Princeton (USA))
42