0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

oraz
1. Dla i = 4, 5, Gi, G ′ i są grupami i γ4 , γ5 są homomorfizmami grup;
2. G4 działa na S3, G ′ 4 działa na S′ 3 ;
3. γ3 is γ4 jest ekwiwariantne tzn. γ3(g4s3) = γ4(g4)γ3(s3);
4. α3(s3) = α3(t3) wtedy i tylko wtedy gdy ∃g4 ∈ G4 taki, że s3 = g4t3;
5. α ′ 3 (s′ 3 ) = α′ 3 (t′ 3 ) wtedy i tylko wtedy gdy ∃g′ 4 ∈ G′ 4 taki, że s′ 3 = g′ 4 t′ 3 .
Wtedy
1. Jeśli γ2 and γ4 są surjekcjami a γ1 jest injekcją, to γ3 jest surjekcją;
2. Jeśli γ2 and γ4 są injekcjami, ∀ s3 ∈ S3, γ4 : (G4)s3 → (G ′ 4 ) γ3(s3) jest epimorfizmem, γ5 jest
surjekcją, to γ3 jest injekcją.
Dowód. Dla i ∈ {1, 2, 3} oznaczamy punkty bazowe ∗i ∈ Si , ∗ ′ i ∈ S′ i .
Dowód Tezy 1. Dla danego s ′ 3 ∈ S′ 3 musimy znaleźć s3 ∈ S3 taki, że γ3(s3) = s ′ 3 . Niech
. Z dokładności dol-
α ′ 3 (s′ 3 ) = s′ 2 . Ponieważ γ2 jest surjekcją, istnieje s2 ∈ S2 taki, że γ2(s2) = s ′ 2
nego ciągu mamy α ′ 2 (s′ 2 ) = ∗′ 1 . Ponieważ γ1 jest injekcją, to α2(s2) = ∗1, a więc ∃t3 ∈ S3 taki, że
α3(t3) = s2. Stąd α ′ 3 (γ3(t3)) = α ′ 3 (s′ 3 ). Założenie 5 gwarantuje, że ∃g′ 4 ∈ G′ 4 taki, że g′ 4γ3(t3) = s ′ 3 .
Ponieważ γ4 jest epimorfizmem, więc ∃g4 ∈ G4 γ4(g4)γ3(t3) = s ′ 3 = γ3(g4t3). Stąd g4t3 = s3.
Dowód Tezy 2. Niech s3, t3 ∈ S3 będą takie, że γ3(t3) = γ3(s3) = s ′ 3 . Z przemienności
diagramuotrzymujemy, że: α ′ 3γ3(t3) = α ′ 3γ3(s3) i γ2α3(t3) = γ2α3(s3). Ponieważ γ2 jest injekcją
α3(t3) = α3(s3) i dlatego ∃g4 ∈ G4 t3 = g4s3. Stąd γ4(g4)γ3(s3) = γ3(g4s3) = γ3(t3) = γ3(s3).
Założenie dodane w Tezie 2. daje implikacje:
γ4(g4) ∈ (G ′ 4) s ′ 3 ⇒ g4 ∈ (G4)s3 ⇒ s3 = t3.
Dowód Twierdzenia 6.8. Dowodzimy twierdzenie przez indukcję ze względu na wymiar CW-kompleksu
X.
Jeśli dim X 1, to X jest homotopijnie równoważny z bukietem okręgów (Stw. 6.8), a więc
Φ(X) jest bijekcją (odp. surjekcją).
Niech dim X = q dla 1 < q n. Na mocy Wniosku 6.9 X ∼ C(f) gdzie
f :
Jq Sq−1 → Xq−1 . Oznaczmy bukiet Bq−1 :=
Jq Sq−1 . Rozpatrzmy morfizm kontrawariantnych
ciągów Puppe indukowany przez transformację Φ:
Σf ∗
q ∗
F (ΣXq−1 ) −−−−→ F (ΣBq−1 ) −−−−→ F (X) −−−−→ F (Xq−1 ) −−−−→ F (Bq−1 )
⏐
Φ(ΣBq−1 ⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
)
Φ(X)
Φ(ΣX q−1 )
G(ΣX q−1 )
Σf ♯
−−−−→ G(ΣB q−1 )
g ♯
−−−−→ G(X)
41
i ∗
i ♯
−−−−→ G(X q−1 )
f ∗
f ♯
−−−−→ G(B q−1 )