0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7 0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
Wniosek 6.5. Punktowany, spójny CW-kompleks X jest homotopijnie równoważny z punktowanym CW-kompleksem Y takim, że Y (0) = y0 oraz wszystkie odwzorowania doklejające komórki są punktowane, czyli χ : j∈Jn+1 (Sn , 1) → (Y (n) , y0). Powyższy wniosek ma ważne uogólnienie: Stwierdzenie 6.9. Punktowany, k-spójny CW-kompleks X jest homotopijnie równoważny z punktowanym CW-kompleksem Y takim, że Y (k) = {y0} oraz wszystkie odwzorowania doklejające komórki są punktowane, czyli χ : j∈Jn+1 (Sn , 1) → (Y (n) , y0). Dowód. Postepujemy indukcyjnie. Dla n = 0 twierdzenie zostało udowodnione. Załóżmy, że dla q < n zbudowaliśmy równoważność homotopijną X ∼ Yq gdzie Y (q) q = {y0}. Skonstruujemy kompleks Yq+1 oraz homotopijną równoważność Yq → Yq+1. Zauważmy, że szkielet Y q+1 q jest homeomorficzny z bukietem sfer j Sq+1 , przy czym włożenie j Sq+1 ↩→ X jest ściągalne, a więc rozszerza się do przekształcenia f : j Dq+2 → X. Na mocy twierdzenia o aproksymacji komórkowej 9.9 możemy założyć, że j Sq+1 ↩→ X (q+1) . Dokleimy dyski j Dq+3 do X przy pomocy odwzorowania f określonego na dolnych pólsferach S q+2 − ograniczających poszczególne Dq+3 . Otrzymana w ten sposób przestrzeń Y ′ q+1 jest CW-kompleksem: dodajemy komórki w wymiarach q + 2 i q + 3. Zauważmy, że Y ′ q j Sq+1 + ⊂ Y ′ q+1 oraz j Sq+1 + jest podkompleksem ściągalnym [RYSUNEK]. Definiujemy Yq+1 := Y ′ q+1 / j Sq+1 + . Szukana homotopija równoważność jest dana jako złożenie Yq ↩→ Y ′ q+1 → Yq+1. Zadbanie o punktowane odwzorowania doklejające pozostawiamy Czytelnikowi. Na zakończenie wspomnimy o nietrudnym, ale pożytecznym pojęciu relatywnego CW-kompleksu. Definicja 6.7. Relatywny CW-kompleks to para (X, A) gdzie A ⊂ X jest domkniętą podprzestrzenią oraz wyróżniony wstępujący ciąg podprzestrzeni domknietych: (X, A) (0) ⊂ (X, A) (1) ⊂ ... ⊂ (X, A) (n) ⊂ · · · ⊂ X taki, że X = (X, A) (n) i topologia w X jest słaba ze względu na podprzestrzenie (X, A) (n) . Podprzestrzenie (X, A) (n) , zwane szkieletami powstają przez doklejanie do poprzedniej dysków n-wymiarowych wzdłuż brzegu (sfery). W szczególności (X, A) (0) = A V, gdzie V jest przestrzenią dyskretną (wierzchołki CW-kompleksu (X, A)). Uwaga 6. Jeśli A ⊂ X jest podkompleksem CW-kompleksu X, to para (X, A) jest relatywnym CW-kompleksem, dla której (X, A) (n) = X (n) ∪ A. 6.5 Twierdzenie J.H.C. Whiteheada Twierdzenie 6.8. Niech n będzie liczbą naturalną. Jeśli transformacja naturalna funktorów półdokładnych Φ: F → G jest taka, że Φ(S k ) jest bijekcją dla 0 < k < n oraz surjekcją dla k = n, to Φ(X) jest bijekcją dla każdego spójnego CW -kompleksu wymiaru < n oraz surjekcją jeśli dim X = n. Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem odgrywającym kluczową rolę w wielu dowodach w topologii algebraicznej. Lemat 6.1 (Lemat o 5 Odwzorowaniach). Niech będzie dany przemienny diagram zbiorów punktowanych i punktowanych przekształceń, w którym wiersze są dokładne: G5 γ5 G ′ 5 α5 α ′ 5 G4 γ4 G ′ 4 α4 α ′ 4 S3 γ3 S ′ 3 40 α3 α ′ 3 S2 γ2 S ′ 2 α2 α ′ 2 S1 γ1 S ′ 1
oraz 1. Dla i = 4, 5, Gi, G ′ i są grupami i γ4 , γ5 są homomorfizmami grup; 2. G4 działa na S3, G ′ 4 działa na S′ 3 ; 3. γ3 is γ4 jest ekwiwariantne tzn. γ3(g4s3) = γ4(g4)γ3(s3); 4. α3(s3) = α3(t3) wtedy i tylko wtedy gdy ∃g4 ∈ G4 taki, że s3 = g4t3; 5. α ′ 3 (s′ 3 ) = α′ 3 (t′ 3 ) wtedy i tylko wtedy gdy ∃g′ 4 ∈ G′ 4 taki, że s′ 3 = g′ 4 t′ 3 . Wtedy 1. Jeśli γ2 and γ4 są surjekcjami a γ1 jest injekcją, to γ3 jest surjekcją; 2. Jeśli γ2 and γ4 są injekcjami, ∀ s3 ∈ S3, γ4 : (G4)s3 → (G ′ 4 ) γ3(s3) jest epimorfizmem, γ5 jest surjekcją, to γ3 jest injekcją. Dowód. Dla i ∈ {1, 2, 3} oznaczamy punkty bazowe ∗i ∈ Si , ∗ ′ i ∈ S′ i . Dowód Tezy 1. Dla danego s ′ 3 ∈ S′ 3 musimy znaleźć s3 ∈ S3 taki, że γ3(s3) = s ′ 3 . Niech . Z dokładności dol- α ′ 3 (s′ 3 ) = s′ 2 . Ponieważ γ2 jest surjekcją, istnieje s2 ∈ S2 taki, że γ2(s2) = s ′ 2 nego ciągu mamy α ′ 2 (s′ 2 ) = ∗′ 1 . Ponieważ γ1 jest injekcją, to α2(s2) = ∗1, a więc ∃t3 ∈ S3 taki, że α3(t3) = s2. Stąd α ′ 3 (γ3(t3)) = α ′ 3 (s′ 3 ). Założenie 5 gwarantuje, że ∃g′ 4 ∈ G′ 4 taki, że g′ 4γ3(t3) = s ′ 3 . Ponieważ γ4 jest epimorfizmem, więc ∃g4 ∈ G4 γ4(g4)γ3(t3) = s ′ 3 = γ3(g4t3). Stąd g4t3 = s3. Dowód Tezy 2. Niech s3, t3 ∈ S3 będą takie, że γ3(t3) = γ3(s3) = s ′ 3 . Z przemienności diagramuotrzymujemy, że: α ′ 3γ3(t3) = α ′ 3γ3(s3) i γ2α3(t3) = γ2α3(s3). Ponieważ γ2 jest injekcją α3(t3) = α3(s3) i dlatego ∃g4 ∈ G4 t3 = g4s3. Stąd γ4(g4)γ3(s3) = γ3(g4s3) = γ3(t3) = γ3(s3). Założenie dodane w Tezie 2. daje implikacje: γ4(g4) ∈ (G ′ 4) s ′ 3 ⇒ g4 ∈ (G4)s3 ⇒ s3 = t3. Dowód Twierdzenia 6.8. Dowodzimy twierdzenie przez indukcję ze względu na wymiar CW-kompleksu X. Jeśli dim X 1, to X jest homotopijnie równoważny z bukietem okręgów (Stw. 6.8), a więc Φ(X) jest bijekcją (odp. surjekcją). Niech dim X = q dla 1 < q n. Na mocy Wniosku 6.9 X ∼ C(f) gdzie f : Jq Sq−1 → Xq−1 . Oznaczmy bukiet Bq−1 := Jq Sq−1 . Rozpatrzmy morfizm kontrawariantnych ciągów Puppe indukowany przez transformację Φ: Σf ∗ q ∗ F (ΣXq−1 ) −−−−→ F (ΣBq−1 ) −−−−→ F (X) −−−−→ F (Xq−1 ) −−−−→ F (Bq−1 ) ⏐ Φ(ΣBq−1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ) Φ(X) Φ(ΣX q−1 ) G(ΣX q−1 ) Σf ♯ −−−−→ G(ΣB q−1 ) g ♯ −−−−→ G(X) 41 i ∗ i ♯ −−−−→ G(X q−1 ) f ∗ f ♯ −−−−→ G(B q−1 )
- Page 1 and 2: Topologia Algebraiczna I Pomocnik s
- Page 3 and 4: 1.3 Funktory sprzężone Definicja
- Page 5 and 6: Zad. 16. Sprawdź, że powyższa de
- Page 7 and 8: Zad. 22. Załóżmy, że na obiekta
- Page 9 and 10: Zad. 29. Rozpatrzmy ciągłą surje
- Page 11 and 12: Wtedy rodzina {(C, W ) | C ∈ F, W
- Page 13 and 14: 3.2 Retrakcje Pojęcie retrakcji mo
- Page 15 and 16: 3. Dla diagramu P (E) ¯p P (B) p0
- Page 17 and 18: Dualność między korozwłóknieni
- Page 19 and 20: 3.5 Korozwłóknienia, rozwłóknie
- Page 21 and 22: Dowód. (Twierdzenia). Dzięki popr
- Page 23 and 24: Twierdzenie 3.19. Niech E p −→
- Page 25 and 26: Zad. 71. Jeśli X = A ∪ B gdzie A
- Page 27 and 28: gdzie P (B, b0) := {ω ∈ P (B) |
- Page 29 and 30: Odwzorowanie ΩB ∂ −→ F (f)
- Page 31 and 32: • (Add) Dla dowolnej rodziny prze
- Page 33 and 34: Wniosek 5.1. Dla funktora półdok
- Page 35 and 36: 6 Grupy homotopii, homotopijne rów
- Page 37 and 38: 3. α ∼ cx0; 4. α rozszerza się
- Page 39: 6.4 CW -kompleksy Definicja 6.3. Pr
- Page 43 and 44: Twierdzenie 6.10. Załóżmy, że F
- Page 45 and 46: 7.2 Lemat o pięciu homomorfizmach
- Page 47 and 48: 8.2 Grupy homotopii sfer, przestrze
- Page 49 and 50: Przykład 7. Przykłady poznanych p
- Page 51 and 52: 9.3 Klasyfikacja homotopijna odwzor
- Page 53 and 54: Zauważmy, że diagram: Sn b1
- Page 55 and 56: 9.5 Efekt doklejenia komórki na gr
Wniosek 6.5. Punktowany, spójny CW-kompleks X jest homotopijnie równoważny z punktowanym<br />
CW-kompleksem Y takim, że Y (0) = y0 oraz wszystkie odwzorowania doklejające komórki są<br />
punktowane, czyli χ : <br />
j∈Jn+1 (Sn , 1) → (Y (n) , y0).<br />
Powyższy wniosek ma ważne uogólnienie:<br />
Stwierdzenie 6.9. Punktowany, k-spójny CW-kompleks X jest homotopijnie równoważny z<br />
punktowanym CW-kompleksem Y takim, że Y (k) = {y0} oraz wszystkie odwzorowania doklejające<br />
komórki są punktowane, czyli χ : <br />
j∈Jn+1 (Sn , 1) → (Y (n) , y0).<br />
Dowód. Postepujemy indukcyjnie. Dla n = 0 twierdzenie zostało udowodnione. Załóżmy, że dla<br />
q < n zbudowaliśmy równoważność homotopijną X ∼ Yq gdzie Y (q)<br />
q = {y0}. Skonstruujemy<br />
kompleks Yq+1 oraz homotopijną równoważność Yq → Yq+1. Zauważmy, że szkielet Y q+1<br />
q jest<br />
homeomorficzny z bukietem sfer <br />
j Sq+1 , przy czym włożenie <br />
j Sq+1 ↩→ X jest ściągalne, a<br />
więc rozszerza się do przekształcenia f : <br />
j Dq+2 → X. Na mocy twierdzenia o aproksymacji<br />
komórkowej 9.9 możemy założyć, że <br />
j Sq+1 ↩→ X (q+1) . Dokleimy dyski <br />
j Dq+3 do X przy<br />
pomocy odwzorowania f określonego na dolnych pólsferach S q+2<br />
− ograniczających poszczególne<br />
Dq+3 . Otrzymana w ten sposób przestrzeń Y ′<br />
q+1 jest CW-kompleksem: dodajemy komórki w<br />
wymiarach q + 2 i q + 3. Zauważmy, że Y ′ <br />
q j Sq+1 + ⊂ Y ′ <br />
q+1 oraz j Sq+1 + jest podkompleksem<br />
ściągalnym [RYSUNEK]. Definiujemy Yq+1 := Y ′ <br />
q+1 / j Sq+1 + . Szukana homotopija równoważność<br />
jest dana jako złożenie Yq ↩→ Y ′<br />
q+1 → Yq+1. Zadbanie o punktowane odwzorowania doklejające<br />
pozostawiamy Czytelnikowi.<br />
Na zakończenie wspomnimy o nietrudnym, ale pożytecznym pojęciu relatywnego CW-kompleksu.<br />
Definicja 6.7. Relatywny CW-kompleks to para (X, A) gdzie A ⊂ X jest domkniętą podprzestrzenią<br />
oraz wyróżniony wstępujący ciąg podprzestrzeni domknietych: (X, A) (0) ⊂ (X, A) (1) ⊂<br />
... ⊂ (X, A) (n) ⊂ · · · ⊂ X taki, że X = (X, A) (n) i topologia w X jest słaba ze względu na podprzestrzenie<br />
(X, A) (n) . Podprzestrzenie (X, A) (n) , zwane szkieletami powstają przez doklejanie do<br />
poprzedniej dysków n-wymiarowych wzdłuż brzegu (sfery). W szczególności (X, A) (0) = A V,<br />
gdzie V jest przestrzenią dyskretną (wierzchołki CW-kompleksu (X, A)).<br />
Uwaga 6. Jeśli A ⊂ X jest podkompleksem CW-kompleksu X, to para (X, A) jest relatywnym<br />
CW-kompleksem, dla której (X, A) (n) = X (n) ∪ A.<br />
6.5 Twierdzenie J.H.C. Whiteheada<br />
Twierdzenie 6.8. Niech n będzie liczbą naturalną. Jeśli transformacja naturalna funktorów półdokładnych<br />
Φ: F → G jest taka, że Φ(S k ) jest bijekcją dla 0 < k < n oraz surjekcją dla k = n,<br />
to Φ(X) jest bijekcją dla każdego spójnego CW -kompleksu wymiaru < n oraz surjekcją jeśli<br />
dim X = n.<br />
Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem odgrywającym kluczową rolę w wielu dowodach w<br />
topologii algebraicznej.<br />
Lemat 6.1 (Lemat o 5 Odwzorowaniach). Niech będzie dany przemienny diagram zbiorów punktowanych<br />
i punktowanych przekształceń, w którym wiersze są dokładne:<br />
G5<br />
γ5<br />
<br />
G ′ 5<br />
α5 <br />
α ′ 5 <br />
G4<br />
γ4<br />
<br />
G ′<br />
4<br />
α4 <br />
α ′ 4 <br />
S3<br />
γ3<br />
<br />
S ′<br />
3<br />
40<br />
α3 <br />
α ′ 3 <br />
S2<br />
γ2<br />
<br />
S ′<br />
2<br />
α2 <br />
α ′ 2 <br />
S1<br />
γ1<br />
<br />
S ′<br />
1
Change language