0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

3. α ∼ cx0;
4. α rozszerza się na dysk tzn. ∃ ¯α : D q+1 → X takie, że ¯α|S q = α.
Ustalmy teraz punkt wyróżniony y0 ∈ Y. Odwzorowania h [ω] zadają działanie grupy π1(Y, y0)
na zbiorze klas homotopii [(X, x0), (Y, y0)]:
[(X, x0), (Y, y0)] × π1(Y, y0) → [(X, x0), (Y, y0)].
Zad. 99. Jeśli (X, x0) = (S 1 , 1) to powyższe działanie jest działaniem grupy π1(Y, y0) na niej
samej przez automorfizmy wewnętrzne.
Zad. 100. Zauważyć, że powyższe działanie jest indukowane przez kodziałanie ν : X → X ∨ S 1
kogrupy S 1 na przestrzeni X skonstruowane w następujący sposób: Definiujemy odwzorowanie
X ×0∪x0 ×I → X ∨S 1 jako identyczność na X ×0 i nawinięcie odcinka x0 ×I na okrąg. Ponieważ
(X, x0) jest dobrze punktowana więc to odwzorowanie rozszerza się do X × I → X ∨ S 1 , którego
obcięcie do górnej podstawy X × 1 jest kodziałaniem ν : X → X ∨ S 1 .
Stwierdzenie 6.4. Jeśli przestrzeń Y jest łukowo spójna, to zapominanie o punkcie wyróżnionym
zadaje bijekcję:
[(X, x0), (Y, y0)]/π1(Y, y0) −→ [X, Y ].
Stwierdzenie 6.5. Jeśli (Y, y0) jest H-przestrzenią, to dla dowolnej przestrzeni (X, x0) działanie
π1(Y, y0) na zbiorze [(X, x0), (Y, y0)] jest trywialne.
Dowód. Niech µ : Y ×Y → Y będzie (homotopijnym) mnożeniem w Y oraz [f] ∈ [(X, x0), (Y, y0)]
a [ω] ∈ π1(Y, y0). Wzór H(x, t) := µ(f(x), ω(t)) definiuje homotopię między f a f , która na
tworzącej {x0} × I jest drogą [ω]. Wynika stąd, że h [ω][f] = [f].
6.3 Relatywne grupy homotopii
Grupy homotopii mogą być zdefiniowane dla dowolnego odwzorowania f : (X, x0) → (Y, y0) jako
πq(f, x0) := πq−1(F (f), (x0, ωy0)).
Zauważmy, że πq(f, x0) jest grupą dla q 2, abelową dla q 3.
Ponieważ dowolne odwzorowanie można homotopijnie zastąpić korozwłóknieniem, szczególnie
ważny jest przypadek gdy f jest włożeniem podzbioru. Niech (X, A, a0) będzie punktowaną
parą tzn a0 ∈ A ↩→ X. Definiujemy πq(X, A, a0) := πq−1(F (↩→), (a0, ωa0)). Z definicji homotopijnego
włókna:
F (↩→) = {ω ∈ P (X) | ω(0) ∈ A, ω(1) = a0}.
Grupy relatywne pary mają też bardziej geometryczną interpretację w terminach odwzorowań
dysków w X [RYSUNEK]:
Stwierdzenie 6.6. Istnieje naturalna bijekcja zbiorów πq(X, A, a0) [(D q , S q−1 , 1), (X, A, a0)].
Dowód. Zauważmy, że z definicji
oraz
Map ∗(S q−1 , F (↩→)) ⊂ Map ∗(S q−1 , Map ∗(I + , X)) Map ∗(S q−1 ∧ I + , X))
S q−1 ∧ I + S q−1 × I/{1} × I
37