0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Zad. 88. Podać definicję homotopijnego kodziałania homotopijnej kogrupy S na przestrzeni
punktowanej X, czyli sformulować odpowiednie warunki na odwzorowanie ν : X → X ∨ S oraz
zauważyć, że dla dowolnego kontrawariantnego funktora F : T∗h → S∗ spełniającego warunek
Add odwzorowanie ν ∗ : F (X) × F (S) → F (X) jest działaniem grupy F (S) na zbiorze F (X).
Sprawdzić, że C(f) ν −→ C(f) ∨ ΣA jest homotopijnym kodziałaniem.
Stwierdzenie 5.1. Dla dowolnego f : A → B i kontrawariantnego funktora półdokładnego F
odwzorowanie indukowane przez zdefiniowane powyżej ν : C(f) −→ C(f) ∨ ΣA definiuje działanie
grupy F (ΣA) na F (C(f)). Dla elementów c, c ′ ∈ F (C(f)) zachodzi równość F (i)(c) = F (i)(c ′ ) ∈
F (B) wtedy i tylko wtedy gdy c, c ′ należą do tej samej orbity działania grupy F (ΣA).
Dowód. Pokażemy najpierw, że jeśli c ′ = ca dla a ∈ F (ΣA) to F (i)(c) = F (i)(c ′ ). Niech
j : C(f) → C(f) ∨ ΣA będzie włożeniem. Odwzorowania indukowane F (j) : F (C(f)) × F (ΣA) →
F (C(f)) jest projekcją na pierwszy czynnik F (C(f). Z definicji ν mamy, że ν ◦ i = j ◦ i a więc dla
dowolnego elementu (c, a) ∈ F (C(f)) × F (ΣA) zachodzi równość: F (i)(ca) := F (i)F (ν)(c, a) =
F (i)F (j)(c, a) = F (i)(c).
Pokażemy teraz, że jeśli F (i)(c) = F (i)(c ′ ) to istnieje element a ∈ F (ΣA) taki, że c ′ =
F (ν)(c, a). Zauważmy, że istnieje homotopijna równoważność h : T (ν, j) → C(f) ∨ ΣA taka, że
następujący diagram jest homotopijnie przemienny: [udowodnić]
i
B
C(f)
i
ī
ī ν
C(f)
T (ν, j)
j
h
C(f) ∨ ΣA
ponieważ F jest funktorem na T∗h więc F (h) : F (C(f) ∨ ΣA) −→ F (T (ν, j)) i diagram
i ∗
F (Y )
F (C(f))
i ∗
F (C(f))
ν ∗
j ∗
F (Cf ) × F (ΣA)
jest ”słabym” push-out’em zbiorów: tzn. jeśli F (i)(c) = F (i)(c ′ ) to istnieje element (c ′′ , a) taki,
że F (j)(c ′′ , a) = c ′′ = c oraz F (ν)(c, a) = ca = c ′ .
Zad. 89. Odwzorowanie δ ∗ w kontrawariantnym ciągu Puppe jest dane wzorem δ ∗ (a) = c0a gdzie
c0 ∈ F (C(f)) jest punktem wyróżnionym.
Zad. 90. Skonstruować homotopijne działanie µ : ΩB × F (f) → F (f) i udowodnić odpowiednik
ostatniego stwierdzenia dla kowariantnego ciągu Puppe.
Kontrawariantny ciąg Puppe zastosowany do homotopijnego push-out’u nazywa się ciągiem
dokładnym Mayera-Vietorisa 10 i odgrywa olbrzymią rolę w topologii algebraicznej. Absolwentom
Topologii II powinien się kojarzyć z twierdzeniem van Kampena.
10 Leopold Vietoris (Radkersburg 1891 – 2002 Innsbruck)
32