0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

• (Add) Dla dowolnej rodziny przestrzeni {Xj}j∈J homomorfizm obcięcia F (
J Xj) →
J F (Xj)
jest izomorfizmem.
Przykład 6. Najważniejszymi funktorami półdokładnymi są funktory reprezentowalne na kategorii
T∗h, czyli dla ustalonej przestrzeni punktowanej Y zadane formułą: F (X) := [X, Y ]∗. Każdy
funktor półdokładny, ograniczony do potkategorii ”porządnych” przestrzeni punktowanych (CW -
kompleksów - p. Rozdz. 5) jest reprezentowalny. 9
Uwaga. Jeśli F ma wartości w kategorii grup abelowych, to warunek (MV) można zastąpić wa-
runkiem, że dla dowolnego przekształcenia X f −→ Y i −→ C(f) ciąg F (C(f))
jest dokładny.
F (i) F (f)
−−→ F (Y ) −−−→ F (X)
Zad. 87. Zdefiniować kowariantne funktory półdokładne- najważniejszy przykład kowariantny
funktor reprezentowalny na T∗h
Uwaga 2. Dla dowolnego kontrawariantnego funktora F : T∗h → S∗ spełniającego warunek Add i
homotopijnej kogrupy X kodziałanie ν : X → X ∨ X definiuje działanie grupowe
F (ν) : F (X) × F (X) → F (X). Podobnie dla dowolnej homotopijnej grupy Y i funktora kowariantnego
G: T∗h → S∗ zachowującego produkty działanie µ : Y × Y → Y definiuje działanie
grupowe G(µ) : G(Y ) × G(Y ) → G(Y ).
Uwaga 3. Jeśli nie prowadzi to do nieporozumien, wartość funktora kontrawariantnego na morfizmie
f będziemy oznaczali f ∗ a kowariantnego f∗, lub f# w przypadku kowariantnych funktorów
na T∗h.
Twierdzenie 5.8. Niech f : A → B bedzie punktowanym przekształceniem.
1. Dla kontrawariantnego funktora półdokładnego F : T∗h → S∗ poniższy ciąg zbiorów z wyróżnionym
punktem (zwany kontrawariantnym ciągiem Puppe) dokładny:
· · · → F (ΣC(f)) (Σi)∗
−−−→ F (ΣB) (Σf)∗
−−−→ F (ΣA) δ∗
−→ F (C(f)) i∗
−→ F (B)
f ∗
−→ F (A)
2. Dla kowariantnego funktora półdokładnego G: T∗h → S∗ poniższy ciąg zbiorów z wyróżnionym
punktem (zwany kowariantnym ciągiem Puppe) jest dokładny:
... −→ G(ΩF (f)) Ωp♯
−−→ G(ΩA) Ωf♯
−−→ G(ΩB) ∂♯
−→ G(F (f)) p♯
−→ G(A) f♯
−→ G(B)
Dowód. Ciągi otrzymujemy stosując funktory F i G do ciągów Puppe z Twierdzenia 5.4 i korzystając
z definicji funktorów półdokładnych.
.
Zauważmy, że w ostatnim twierdzeniu wykorzystywaliśmy własność (MV) z definicji funktora
półdokładnego jedynie w przypadku, gdy odwzorowanie g jest stałe. Teraz opiszemy, kiedy dla
elementów x, x ′ ∈ F (C(f)), i ∗ (x) = i ∗ (x ′ ) ∈ F (B), wykorzystując w dowodzie warunek (MV) w
wiekszej ogólności.
Zaczniemy od zdefiniowania homotopijnego kodziałania ΣA na przestrzeni C(f), czyli odwzorowania
C(f) ν −→ C(f) ∨ ΣA ⊂ C(f) × ΣA
wzorem ν(b) = (b, [a0, 1] oraz ν([a, t]) = ([a, 2t], [a0, 1]) dla 0 t 1/2 oraz ν([a, t]) = (b0, [a, 2t −
1]) dla 1/2 t 1.
9 p. E. H. Spanier Topologia Algebraiczna, Rozdz. 7, gdzie funktory półdokładne nazywają się funktorami
homotopijnymi.
31