0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Odwzorowanie ΩB ∂ −→ F (f) jest włożeniem ∂(ω) := (a0, ω). Dualnie do poprzedniego przypadku
istnieje przemienny diagram:
F (∂) = PΩf
ΩA
Ωf
ΩB ∂
id
ΩB
∂
F (f)
id
F (f)
w którym pionowe strzałki są homotopijnymi równoważnościami. Utożsamienie F (∂) = PΩf otrzymujemy
wypisując definicje obu przestrzeni:
F∂ := {(γ, Γ) | γ ∈ ΩB , Γ(t) = (˜γ(t), γt), f ˜γ(t) = γt(0), (˜γ(0), γ0) = (a0, b0), (˜γ(1), γ1) = (a0, γ)}
γt.
PΩf := {(˜γ, Λ) | ˜γ ∈ ΩA, Λ(t) = γt, γt(0) = γt(1) = b0, f ˜γ = γ0}.
Parze (γ, Γ) ∈ F∂ w której γ ∈ ΩB , Γ(t) = (˜γ(t), γt)przypisujemy parę (˜γ, Λ) gdzie Λ(t) :=
5.2 Homotopijne koekwalizatory i ekwalizatory
Definicja 5.5. Homotopijny koekwalizator dwóch punktowanych przekształceń f, g : A → B :
B ī −→ T (f, g) definiujemy jako push-out w kategorii T∗:
A ∨ A f∨g
A ∧ I
i
+
B
ī
T (f, g)
Uwaga. Stożek zredukowany (homotopijne kowłókno) punktowanego przekształcenia f : A → B
jest homeomorficzny z homotopijnym koekwalizatorem f i przekształcenia stałego w b0.
Zad. 82. Włożenie ī: B → T (f, g) ma następujące własności:
• ī ◦ f ∼ ī ◦ g,
• dla dowolnego h: B → Z spełniającego h◦f ∼ h◦g istnieje (niekoniecznie dokładnie jedno)
rozszerzenie ¯ h: T (f, g) → Z takie, że ¯ h ◦ ī = h.
• Dla dowolnej przestrzeni Z poniższy ciąg jest dokładny:
[T (f, g)), Z]∗
ī ∗
[B,
Z]∗
f ∗
[A, Z]∗.
g∗ Definicja 5.6. Homotopijny ekwalizator dwóch punktowanych przekształceń f, g : A → B :
p : F (f, g) → A definiujemy jako pull-back w kategorii T∗:
F (f, g)
p
A
f×g
29
P (B)
(p0,p1)
B × B