0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
gdzie P (B, b0) := {ω ∈ P (B) | ω(0) = b0} oraz p1(ω) := ω(1) lub równoważnie:<br />
z punktem wyróżnionym (a0, ωb0 ).<br />
F (f) := {(a, ω) ∈ Pf | ω(1) = b0}.<br />
Ciąg punktowanych przekształceń X → Y → Z nazywamy homotopijnie włóknistym jeśli jest<br />
homotopijnie równoważny z ciągiem F (f) pf<br />
−→ A f −→ B tzn. istnieje homotopijnie przemienny<br />
diagram w T∗h:<br />
F (f)<br />
<br />
X<br />
p<br />
<br />
A f<br />
w którym pionowe przekształcenia są homotopijnymi równoważnościami.<br />
<br />
<br />
Y<br />
Ciąg odwzorowań punktowanych . . . −→ Xi−1 −→ Xi −→ Xi+1 −→ . . . nazwiemy (ko-) włóknistym<br />
jeśli każde kolejne dwa przekształcenia Xi−1 −→ Xi −→ Xi+1 są ciagiem (ko-) włóknistym.<br />
Zad. 80. Powyższa definicja włókna homotopijnego pokrywa się z podaną w Rozdziale 3.3.<br />
Przykład 5. Jeśli j : A ↩→ X jest parą Borsuka to ciąg A → X → X/A jest kowłóknisty. Jesli<br />
p : E → B jest rozwłóknieniem to ciąg F ↩→ E → B, gdzie F := p −1 (b0) jest włóknisty. (p.Rozdz.<br />
3.6 i 3.7)<br />
Zad. 81. Opisać homeomorfizmy C(Σf) ΣC(f) oraz F (Ωf) ΩF (f).<br />
Lemat 5.1. Jeśli ciąg X → Y → Z jest kowłóknisty, to ciąg ΣX → ΣY → ΣZ też jest kowłóknisty.<br />
Jeśli ciąg X → Y → Z jest włóknisty, to ciąg ΩX → ΩY → ΩZ też jest włóknisty.<br />
Dowód. Zadanie.<br />
Twierdzenie 5.4. [D. Puppe 7 ] Dla dowolnego punktowanego odwzorowania f : A → B istnieje<br />
kowłóknisty ciąg odwzorowań<br />
<br />
B<br />
<br />
<br />
Z<br />
A f −→ B i −→ C(f) δ −→ ΣA Σf<br />
−→ ΣB Σδ<br />
−→ ΣC(f) −→ ...<br />
zwany prawym ciągiem Puppe odwzorowania f, oraz dualny włóknisty ciąg<br />
zwany lewym ciągiem Puppe odwzorowania f.<br />
... −→ ΩF (f) Ωp<br />
−→ ΩA Ωf<br />
−→ ΩB ∂ −→ F (f) p −→ A f −→ B<br />
Dowód. Zaczniemy od prawego ciągu Puppe. Odwzorowanie C(f) δ −→ ΣA jest zdefiniowane jako<br />
złożenie projekcji C(f) → C(f)/B i homeomorfizmu C(f)/B ΣA. Na mocy Lematu 5.1<br />
wystarczy pokazać, że kowłókniste są krótkie ciągi rozpoczynające się do A, B, C(f).<br />
Ciąg A f −→ B i −→ C(f) jest kowłóknisty z definicji.<br />
Ciąg B i −→ C(f) δ −→ ΣA jest homotopijnie równoważny B i −→ C(f) δ −→ C(i) bowiem i jest<br />
włożeniem B na podstawę stożka C(f), czyli korozwłóknieniem, a więc C(i) C(f)/i(B) ΣA.<br />
7 Dieter Puppe (Łódź 1930 – 2005 Heidelberg)<br />
27
Change language