0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Definicja 1.1. Funktor F : C → D nazywamy równoważnością kategorii jesli istnieje funktor
G : D → C taki, że G ◦ F ⋍ idC i F ◦ G ⋍ idD, gdzie oznacza naturalną równoważność
funktorów.
Wiele twierdzeń klasyfikacyjnych w matematyce jest w istocie stwierdzeniem, że pewne dwie
kategorie są równoważne. To, czy dany funktor jest równoważnością kategorii pomaga rozstrzygnąć
następujące:
Zad. 1. Funktor F : C −→ D jest równoważnością kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy
1. F : MorC(A, B) −→ MorD(F (A), F (B)) jest bijekcją dla dowolnych A, B ∈ ob C.
2. każdy obiekt Y ∈ ob D jest izomorficzny z obiektem F (A) dla pewnego A ∈ ob C.
Przykład. Kategoria skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad cialem k jest równoważna
swojej pełnej podkategorii złożonej z przestrzeni liniowych postaci k n , n ∈ N.
Zad. 2. Mała kategoria w której między dowolnymi dwoma obiektami jest co najwyżej jeden
morfizm jest równoważna (ale nie identyczna!) z kategorią definiowaną przez poset (zbiór częściowo
uporządkowany).
Zad. 3. Jeśli w małej kategorii każdy morfizm jest izomorfizmem oraz między kazdymi dwoma
obiektami istnieje morfizm, to ta kategoria jest równoważna kategorii definiowanej przez grupę.
Podaj (nietrywialne) przykłady takich kategorii.
Zad. 4. Niech Cat oznacza kategorię, której obiektami są małe kategorie (tzn. takie, w których
obiekty tworzą zbiór) a morfizmami funktory między nimi. Zauważyć, że kategoria grup i kategoria
zbiorów częściowo uporządkowanych są równoważne pewnym podkategoriom w Cat.
1.2 Funktory reprezentowalne
Definicja 1.2. Dla X ∈ ob C definiujemy funktory:
hX : C → S, hX(U) = MorC(X, U)
h X : C op → S, h X (U) = MorC(U, X)
Definicja 1.3. Funktor F : C op → S nazywamy reprezentowalnym wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje obiekt X ∈ C oraz izomorfizm funktorów h X → F . Analogicznie dla funktora kowariantnego.
Twierdzenie 1.4 (Lemat Yonedy). Niech F : C → S będzie funktorem. Wówczas przyporządkowanie
Φ Φ(X)(idX), gdzie Φ : h X → F jest naturalną transformacją, definiuje bijekcję zbioru
transformacji naturalnych funktora h X w funktor F i zbioru F (X).
Wniosek 1.1. Przyporządkowanie f τf , τf (h) = f ◦ h definiuje bijekcję zbioru MorC(X, Y ) w
zbiór transformacji naturalnych funktora h X w funktor h Y .
Wniosek 1.2. Jeżeli funktor F : C −→ S jest reprezentowalny, to obiekt go reprezentujący jest
wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.
Zad. 5. Niech SCop oznacza kategorię, której obiektami są funktory z Cop w S, a morfizmami
transformacje naturalne. Sprawdzić, że lemat Yonedy mówi, że przyporządkowanie X hX definiuje funktor, który jest równoważnością kategorii C z pełna podkategorią SCop złożoną z
funktorów reprezentowalnych.
Analogiczne stwierdzenia są oczywiście prawdziwe dla funktorów kowariantnych.
2