0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Dowód. Wykażemy, że przekształcenie if jest korozwłóknieniem. Ponieważ ∂I ⊂ I jest korozwłóknieniem,
więc X × ∂I ⊂ X × I jest korozwłóknieniem. Mamy push-out diagram, w którym
utożsamiamy X × ∂I = X X
X × ∂I
i
X × I
f¯
f id
Y X
īf
Z(f)
Przekształcenie if jest złożeniem X ↩→ Y X → Z(f).
Dualnie, dowiedziemy że pf jest rozwłóknieniem: Ponieważ ∂I ⊂ I jest korozwłóknieniem,
więc na mocy twierdzenia Borsuka odwzorowanie P (Y ) = Map (I, Y ) → Map (∂I, Y ) = Y × Y
jest rozwłóknieniem. Rozpatrzmy pull-back diagram:
¯p0,1
W
X × Y
f×id
f×id
P (Y )
p0,1
Y × Y
i zauważmy, że W = {(x, y, ω) | ω(0) = f(x) , ω(1) = y} = {(x, ω) | ω(0) = f(x)} = P (f)
Złożenie P (f) → Y × X → Y jest więc rozwłóknieniem.
Zad. 55. Sprawdzić, że i0 oraz r są homotopijnymi równoważnościami.
Definicja 3.10. Niech f : X → Y będzie dowolnym odwzorowaniem.
• Homotopijnym włóknem f nad y0 ∈ Y nazywamy przeciwobraz F (f, y0) := p −1
f (y0),
• Homotopijnym kowłóknem f lub stożkiem f nazywamy przestrzeń ilorazową C(f) := Z(f)/X.
Włókno i kowłókno homotopijne wpisują się w diagram:
F (f, y0) := p −1
f (y0)
↩→
s0
X
P (f)
f
if
pf
Z(f)
Y
C(f) := Z(f)/X
q
r0
16