0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3. Dla diagramu<br />
P (E)<br />
¯p<br />
<br />
P (B) p0<br />
p0 <br />
w którym ¯p(ω) = p ◦ ω i przekształceń F : X → P (B) oraz f : X → E czyniących<br />
odpowiednie diagramy przemiennymi, istnieje odwzorowanie ˜ F : X → P (E) dla którego<br />
odpowiednie diagramy są przemienne.<br />
Definicja 3.8. Przekształcenie p : E → B spełniające jeden z warunków poprzedniego stwierdzenia<br />
nazywa się rozwłóknieniem Hurewicza, 5 lub krótko rozwłóknieniem .<br />
Zauważmy, że warunki nr 2 w definicjach korozwłoknienia i rozwłóknienia są ”wewnętrzne”<br />
tzn nie odwołują się do innych przestrzeni i odwzorowań.<br />
Zad. 52. Jeśli p: E → B jest rozwłóknieniem, to p(E) jest sumą pewnych składowych łukowej<br />
spójności B.<br />
Zad. 53. Dla dowolnych przestrzeni projekcja B × F → B jest rozwłóknieniem a włożenie<br />
X ⊂ X Y jest korozwłóknieniem.<br />
Stwierdzenie 3.1. Następujące konstrukcje zachowują klasy (ko-)rozwłóknień:<br />
1. Przekształcenie izomorficzne w kategorii Mor(T ) z (ko-)rozwłóknieniem jest (ko-)rozwłóknieniem;<br />
2. Złożenie (ko-)rozwłóknień jest (ko-)rozwłóknieniem;<br />
3. Pull-back (push-out) rozwłóknienia (ko-rozwłóknienia) jest rozwłóknieniem (ko-rozwłóknieniem);<br />
4. Retrakt (ko-)rozwłóknienia w kategorii Mor(T ) jest (ko-)rozwłóknieniem;<br />
5. Koprodukt i produkt (ko-)rozwłóknień jest (ko-)rozwłóknieniem.<br />
Zad. 54. Udowodnij ostatnie stwierdzenie, używając do poszczególnych tez najodpowiedniejszego<br />
z równoważnych warunków definiujacych (ko-)rozwłóknienie.<br />
Następne twierdzenie powiada, że każde przekształcenie można z homotopijnego punktu<br />
widzenia zamienić zarówno na rozwłóknienie jak i korozwłóknienie.<br />
Twierdzenie 3.9. Dla dowolnego przekształcenia f : X → Y istnieje przemienny diagram, funktorialnie<br />
zależący od przekształcenia f (tzn. morfizm przekształceń indukuje morfizm diagramów):<br />
E<br />
p<br />
<br />
<br />
B<br />
s0<br />
X <br />
P (f)<br />
<br />
<br />
f<br />
if <br />
pf<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Z(f) <br />
r0 Y<br />
w którym: if (x) := [x, 1], r0[x, t] := f(x), r0(y) := y, s0(x) := ω f(x), pf (x, ω) := ω(1).<br />
Odwzorowania s0 i r0 są homotopijnymi równoważnosciami; if jest korozwłóknieniem, a pf jest<br />
rozwłóknieniem.<br />
5 Witold Hurewicz (Łódź 1904 – 1956 Uxmal, Mexico)<br />
15
Change language