0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7 0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
Zad. 33. Niech Z ⊂ R będzie zbiorem liczb całkowitych. Przestrzeń R/Z (Uwaga: R/Z to liczby rzeczywiste ze zgniecionym do punktu zbiorem Z, a nie grupa ilorazową!), która jest homeomorficzna z bukietem przeliczalnej liczby okręgów, nie ma przeliczalnej bazy w punkcie bukietowym. 2.4 Uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni lokalnie zwartej Definicje p. Uzwarcenie Aleksandrowa. Uzwarcenie Aleksandrowa 1 przestrzeni X oznaczamy X + . Istnieje kanoniczne włożenie X ⊂ X + . Zad. 34. Sfera S n jest homeomorficzna z uzwarceniem Aleksandrowa przestrzeni R n . Zad. 35. Płaszczyzna rzutowa RP (2) jest homeomorficzna z uzwarceniem Aleksandrowa otwartej wstęgi Moebiusa. Zad. 36. Dla przestrzeni lokalnie zwartych X, Y istnieje naturalny homeomorfizm (X × Y ) + X + ∧ Y + bedący identycznością na X × Y. Wynika stąd, że S n ∧ S m S n+m . 2.5 Przestrzenie zwarcie generowane Niech dana będzie przestrzeń topologiczna (X, T ) i rozważmy rodzinę jej podzbiorów zwartych {K}. Zapomniawszy o wyjściowej topologii w X, a pamiętając o topologii w podzbiorach zwartych można wprowadzić w zbiorze X nową topologię przez rodzinę włożeń zbiorów zwartych: {K ⊂ X | K − zwarty}. Otrzymana przestrzeń topologiczna oznaczamy (kX, kT ), lub w skrócie kX. Identyczność id : kX → X jest oczywiście przekształceniem ciągłym; jeśli jest homeomorfizmem, to X nazywamy przestrzenią zwarcie generowaną lub krótko k-przestrzenią. Zad. 37. Przestrzeń lokalnie zwarta jest k-przestrzenią. Zad. 38. Przestrzeń metryczna jest k-przestrzenią. Zad. 39. Przestrzeń Hausdorffa jest zwarcie generowana wtedy i tylko wtedy gdy jest przestrzenią ilorazową przestzeni lokalnie zwartej, w szczególności przestrzeń ilorazowa k-przestrzeni jeśli jest Hausdorffa jest k-przestrzenią. Uwaga. Zainteresowanym polecam notatki: Neil Strickland The category of CGWH spaces, w których rozpatrywane są compactly generated weakly Hausdorff spaces, co pozwala uwolnić się od zakładania własności Hausdorffa i nadać wielu twierdzeniom dot. k-przestrzeni bardziej elegancką formę (w szczególności dot. przestrzni odwzorowań - p.niżej). 2.6 Topologia zwarto-otwarta w przestrzeni odwzorowan ciągłych Definicja 2.6. Dla przestrzeni topologicznych X, Y przez Map (X, Y ) oznaczamy zbiór przekształceń ciągłych X → Y wyposażony w topologię zwarto-otwartą tzn. generowaną przez zbiory postaci {(A, W ) | A ⊂ Xzwarty, W ⊂ Y otwarty}, gdzie (A, W ) := {f ∈ Map (X, Y ) |f(A) ⊂ W }. Zad. 40. a) Niech B = {Wα} będzie podbazą przestrzeni Y (w szczególności bazą lub nawet całą topologią!). Wtedy rodzina {(A, W ) | A ⊂ X zwarty, W ∈ B} jest podbazą topologii zwartootwartej na Map (X, Y ). b) Niech F = {Cα} będzie rodziną zwartych zbiorów w X z następującą własnością: dla każdego zwartego A i otwartego U ⊃ A istnieje skończenie wiele Ci ∈ F spełniających A ⊂ n 1 Ci ⊂ U. 1 Paweł S. Aleksandrow (1896 – 1982) 10
Wtedy rodzina {(C, W ) | C ∈ F, W ∈ B} jest również podbazą topologii zwarto-otwartej w Map (X, Y ). Zad. 41. Zbiory (A × B, W ) gdzie A ⊂ X, B ⊂ Y są zwarte a W ⊂ Z otwarty są podbazą topologii zwarto-otwartej w Map (X × Y, Z). Zad. 42. Jeśli f : X → X ′ oraz g : Y → Y ′ są odwzorowaniami ciągłymi, to odwzorowania indukowane f ∗ : Map (X ′ , Y ) → Map (X, Y ) oraz g∗ : Map (X, Y ) → Map (X, Y ′ ) są ciągle w topologii zwarto-otwartej. Definicja 2.7. Dla dowolnego przekształcenia h: X × Y → Z definiujemy ˆ h: X → Map (Y, Z) wzorem ˆ h(x)(y) := h(x, y). Twierdzenie 2.8. Jeśli Y jest jest lokalnie zwarta, to przekształcenie Map (X × Y, Z) → Map (X, Map (Y, Z)) zdefiniowane jako f ↦→ ˆ f jest bijekcją (a nawet homeomorfizmem). Uwaga. Założenie lokalnej zwartości można osłabić rozważając wspomniane wyżej przestrzenie zwarcie generowane lub nawet compactly generated weakly Hausdorff spaces. Kategoria takich przestrzeni nieco różni się od kategorii wszystkich przestrzeni (np. topologia w produkcie i w przestrzeni odwzorowań musi być zdefiniowana nieco inaczej), ale jest bardzo wygodna na użytek abstrakcyjnej teorii homotopii. Zobacz: Neil Strickland Compactly generated spaces. 2.7 Przestrzenie odwzorowań i przekształcenia ilorazowe Zad. 43. Jeśli q : X → Y jest przekształceniem ilorazowym a Z przestrzenią lokalnie zwartą, to przekształcenie q × id: X × Z → Y × Z też jest ilorazowe. Zad. 44. Niech Q i Z będą odpowiednio zbiorami liczb wymiernych i całkowitych z topologią odziedziczoną z przestrzeni euklidesowej R. Rozważamy przekształcenie ilorazowe p: Q → Q/Z (Q/Z to przestrzeń liczb wymiernych z utożsamionym do punktu zbiorem Z a nie grupa ilorazową!). Pokaż, że id × p: Q × Q → Q × Q/Z nie jest przekształceniem ilorazowym. 2.8 Odwzorowania przestrzeni z wyróżnionym punktem Definicja 2.9. Dla przestrzeni punktowanych (X, x0) i (Y, y0) oznaczamy Map ∗(X, Y ) := {f ∈ Map (X, Y ) | f(x0) = y0} oraz X ∧ Y := X × Y/X ∨ Y. Przestrzeń X ∧ Y nazywamy smash produktem (X, x0) i (Y, y0) Zad. 45. Z bijekcji zbiorów Map (X × Y, Z) ∼ = Map (X, Map (Y, Z)) wywnioskuj bijekcję zbiorów morfizmów w kategorii punktowanej Map ∗(X ∧ Y, Z) ∼ = Map ∗(X, Map ∗(Y, Z)). Udowodnij, że jeśli X, Y są zwarte to odwzorwanie to jest homemorfizmem. Zad. 46. W przypadku Y = S 1 dostajemy bijekcję Map ∗(ΣX, Z) ∼ = Map ∗(X, ΩY ), gdzie ΣY oznacza zredukowane zawieszenie a ΩY przestrzeń pętli na Y zaczynających się w punkcie bazowym. Udowodnij, że dla dowolnych przestrzeni X, Z istnieje bijekcja zbiorów klas homotopii przekształceń [ΣX, Z]∗ ∼ = [X, ΩZ]∗. 11
- Page 1 and 2: Topologia Algebraiczna I Pomocnik s
- Page 3 and 4: 1.3 Funktory sprzężone Definicja
- Page 5 and 6: Zad. 16. Sprawdź, że powyższa de
- Page 7 and 8: Zad. 22. Załóżmy, że na obiekta
- Page 9: Zad. 29. Rozpatrzmy ciągłą surje
- Page 13 and 14: 3.2 Retrakcje Pojęcie retrakcji mo
- Page 15 and 16: 3. Dla diagramu P (E) ¯p P (B) p0
- Page 17 and 18: Dualność między korozwłóknieni
- Page 19 and 20: 3.5 Korozwłóknienia, rozwłóknie
- Page 21 and 22: Dowód. (Twierdzenia). Dzięki popr
- Page 23 and 24: Twierdzenie 3.19. Niech E p −→
- Page 25 and 26: Zad. 71. Jeśli X = A ∪ B gdzie A
- Page 27 and 28: gdzie P (B, b0) := {ω ∈ P (B) |
- Page 29 and 30: Odwzorowanie ΩB ∂ −→ F (f)
- Page 31 and 32: • (Add) Dla dowolnej rodziny prze
- Page 33 and 34: Wniosek 5.1. Dla funktora półdok
- Page 35 and 36: 6 Grupy homotopii, homotopijne rów
- Page 37 and 38: 3. α ∼ cx0; 4. α rozszerza się
- Page 39 and 40: 6.4 CW -kompleksy Definicja 6.3. Pr
- Page 41 and 42: oraz 1. Dla i = 4, 5, Gi, G ′ i s
- Page 43 and 44: Twierdzenie 6.10. Załóżmy, że F
- Page 45 and 46: 7.2 Lemat o pięciu homomorfizmach
- Page 47 and 48: 8.2 Grupy homotopii sfer, przestrze
- Page 49 and 50: Przykład 7. Przykłady poznanych p
- Page 51 and 52: 9.3 Klasyfikacja homotopijna odwzor
- Page 53 and 54: Zauważmy, że diagram: Sn b1
- Page 55 and 56: 9.5 Efekt doklejenia komórki na gr
Wtedy rodzina {(C, W ) | C ∈ F, W ∈ B} jest również podbazą topologii zwarto-otwartej w<br />
Map (X, Y ).<br />
Zad. 41. Zbiory (A × B, W ) gdzie A ⊂ X, B ⊂ Y są zwarte a W ⊂ Z otwarty są podbazą<br />
topologii zwarto-otwartej w Map (X × Y, Z).<br />
Zad. 42. Jeśli f : X → X ′ oraz g : Y → Y ′ są odwzorowaniami ciągłymi, to odwzorowania<br />
indukowane f ∗ : Map (X ′ , Y ) → Map (X, Y ) oraz g∗ : Map (X, Y ) → Map (X, Y ′ ) są ciągle w<br />
topologii zwarto-otwartej.<br />
Definicja 2.7. Dla dowolnego przekształcenia h: X × Y → Z definiujemy ˆ h: X → Map (Y, Z)<br />
wzorem ˆ h(x)(y) := h(x, y).<br />
Twierdzenie 2.8. Jeśli Y jest jest lokalnie zwarta, to przekształcenie<br />
Map (X × Y, Z) → Map (X, Map (Y, Z))<br />
zdefiniowane jako f ↦→ ˆ f jest bijekcją (a nawet homeomorfizmem).<br />
Uwaga. Założenie lokalnej zwartości można osłabić rozważając wspomniane wyżej przestrzenie<br />
zwarcie generowane lub nawet compactly generated weakly Hausdorff spaces. Kategoria takich<br />
przestrzeni nieco różni się od kategorii wszystkich przestrzeni (np. topologia w produkcie i w<br />
przestrzeni odwzorowań musi być zdefiniowana nieco inaczej), ale jest bardzo wygodna na użytek<br />
abstrakcyjnej teorii homotopii. Zobacz: Neil Strickland Compactly generated spaces.<br />
2.7 Przestrzenie odwzorowań i przekształcenia ilorazowe<br />
Zad. 43. Jeśli q : X → Y jest przekształceniem ilorazowym a Z przestrzenią lokalnie zwartą, to<br />
przekształcenie q × id: X × Z → Y × Z też jest ilorazowe.<br />
Zad. 44. Niech Q i Z będą odpowiednio zbiorami liczb wymiernych i całkowitych z topologią<br />
odziedziczoną z przestrzeni euklidesowej R. Rozważamy przekształcenie ilorazowe p: Q → Q/Z<br />
(Q/Z to przestrzeń liczb wymiernych z utożsamionym do punktu zbiorem Z a nie grupa ilorazową!).<br />
Pokaż, że id × p: Q × Q → Q × Q/Z nie jest przekształceniem ilorazowym.<br />
2.8 Odwzorowania przestrzeni z wyróżnionym punktem<br />
Definicja 2.9. Dla przestrzeni punktowanych (X, x0) i (Y, y0) oznaczamy Map ∗(X, Y ) := {f ∈<br />
Map (X, Y ) | f(x0) = y0} oraz X ∧ Y := X × Y/X ∨ Y. Przestrzeń X ∧ Y nazywamy smash<br />
produktem (X, x0) i (Y, y0)<br />
Zad. 45. Z bijekcji zbiorów Map (X × Y, Z) ∼ = Map (X, Map (Y, Z)) wywnioskuj bijekcję zbiorów<br />
morfizmów w kategorii punktowanej Map ∗(X ∧ Y, Z) ∼ = Map ∗(X, Map ∗(Y, Z)). Udowodnij, że<br />
jeśli X, Y są zwarte to odwzorwanie to jest homemorfizmem.<br />
Zad. 46. W przypadku Y = S 1 dostajemy bijekcję Map ∗(ΣX, Z) ∼ = Map ∗(X, ΩY ), gdzie ΣY<br />
oznacza zredukowane zawieszenie a ΩY przestrzeń pętli na Y zaczynających się w punkcie bazowym.<br />
Udowodnij, że dla dowolnych przestrzeni X, Z istnieje bijekcja zbiorów klas homotopii<br />
przekształceń [ΣX, Z]∗ ∼ = [X, ΩZ]∗.<br />
11
Change language