Stopień Brouwera

Krzysztof Rykaczewski
Stopień topologiczny
Stopień Brouwera
mozgun@mat.uni.torun.pl
http://www.mat.uni.torun.pl/˜mozgun/
Nicolaus Copernicus University
2007

Spis treści
§1 Wstęp 1
§2 Cel i metoda 1
§3 Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej 1
§4 Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia. 3
§4.1 Indeks odwzorowania względem krzwej zamkniętej . . . . . . . . 3
§5 Stopień dla odwzorowań klasy C 1 4
§6 Stopień dla funkcji ciągłych 6
§6.1 Własności stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§6.2 Stopień topologiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§7 Zastosowania w topologii 9

§1 Wstęp
§1. Wstęp
Jednym z najważniejszych osiągnięć topologii algebraicznej jest teoria stopnia
topologicznego. Od początku swojego powstania znalazł on szerokie zastosowanie
w analizie matematycznej. Jego początki siegają historycznej już pracy
dotyczącej ukłądów gładkich rzeczywistych funkcji f0, . . . , fn, o n zmiennych,
takich, że 0 jest wartością regularną f0, K = f −1((−∞,
0]), jest ograniczony i
0
nie wszystkie fj znikają na ∂K. Niech f = ( f1, . . . , fn). Kronecker w 1869 [2]
udowodnił, że
1
χ[ f0, . . . , fn] =
vol(Sn−1
f
) ∂K
∗
ω = sgn det f ′ (x), (1)
x∈ f −1 (0)∩∂K
gdzie ω = n
j=1 (−1)j−1 x −n xjdx1 ∧ . . . ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ . . . ∧ dxn. Następnie Hadamard
rozszerzył je i zdefiniował stopień na zwartych rozmaitościach skończonego
wymiaru. Wzór Kroneckera jest specjanym przypadkiem stopnia Brouwera.
§2 Cel i metoda
Naszym głównym celem jest rozwiązanie równania postaci
F(x) = 0, (2)
przy czym natura zmiennej x może być bardzo różna.
Przykład. Równanie wielomianowe w R
a0x n + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0, ai ∈ R, a0 0, x ∈ R. (3)
Przykład. Równanie różniczkowe w C 1 [a, b], np.
u ′ − au + sin(u) = 0, gdzie a ∈ R oraz a 0, u ∈ C 1 [a, b]. (4)
§3 Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej
Definicja 1: Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że dwa
odwzorowania ciągłe f, g : X → Y są homotopijne, o ile istnieje odwzorowanie
ciągłe F : I × X → Y (homotopia), gdzie I = [0, 1], takie że
∀x∈X F(0, x) = f (x) oraz F(1, x) = g(x). (5)
Oznaczamy to przez f ∼ g.
Relacja ta jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich odwzorowań ciągłych
z X do Y. Jej klasy oznaczamy przez [X, Y].
Mówimy, że odwzorowanie jest homotopijnie trywialne, jeśli f ∼ ∗, gdzie ∗ jest
odwzorowaniem stałym, tj. ∀x ∗ (x) = x0.
Konferencja na Helu, 2007 1

§3. Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej
Oznaczmy D n = {x ∈ R n : x 1} ⊂ R n oraz odwzorowanie ciągłe F : D n →
R k , będzie takie, że
∀ x∈∂D n =S n−1 F(x) 0. (6)
Niech dalej φ : ∂D n → R k \ {0}, tzn.
φ = F|∂Dn (7)
Twierdzenie 1: (Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej) Niech φ :
∂D n → R k \ {0} jak wyżej oraz ψ : S n−1 → S n−1 określmy wzorem
ψ(x) = φ(x)
φ(x)
Wtedy równanie ˜F(x) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie x ∈ IntD n , dla
każdego przedłużenia ˜F odwzorowania φ wtedy i tylko wtedy, gdy ψ jest
homotopijnie nietrywialne.
Dowód (⇐) Przypuśćmy, że istnieje przedłużenie ˜F : D n → R k odwzorowania
φ, takie że ∀x∈D n ˜F(x) 0. Zauważmy, że D n jest obrazem homeomorficznym
(I × S n−1 )/({0} × S n−1 ), tj. sklejamy do punktu {0} × S n−1 , a para (t, x) przechodzi
na punkt tx ∈ D n . Oznaczmy przez [(t, x)] obraz pary (t, x) po sklejeniu.
Określmy homotopię
˜H(t, x) = ˜F([(t, x)]) (9)
Zauważmy, że ˜H(0, x) = ˜F([(0, x)]) = ˜F(0) oraz ˜H(1, x) = ˜F([(1, x)]) = F(x) = φ(x).
Połóżmy dalej
H(t, x) = ˜H(t, x)
. (10)
˜H(t, x)
Widzimy więc, że H(1, x) = φ(x) oraz H(0, x) = ˜F(0) = ∗, co oznacza, że φ jest
homotopijnie trywialne. Sprzeczność.
(⇒) Niech będzie dana homotopia H : I × Sn−1 → Sk−1 , taka że H(1, x) =
ψ(x) ∈ Sn−1 oraz H(0, x) = ∗ ∈ Sn−1 . Definiujemy ˜F : Dn → Sk−1 dla [(t, x)] ∈ Dn przez
⎧
⎪⎨
˜F([(t,
H(t, x), t 0,
x)]) = ⎪⎩
(11)
F([(t, x)]) = H(0, x) = ∗, t = 0.
Ponieważ H(0, x) = ∗, więc ˜F jest dobrze określona. Jest ono niezerowe na Dn i jest rozszerzeniem ψ. Zdefiniujmy teraz odwzorowanie F : Dn → Sk−1 , kładąc
dla [(t, x)] ∈ Dn ⎧
⎪⎨ (tφ(x) + (1 − t))H(t, x), t 0,
F([(t, x)]) = ⎪⎩
(12)
H(0, x) = ∗, t = 0.
Skoro H(0, x) = ∗, więc F jest dobrze określone. Dla t = 1 mamy F([(t, x)]) =
φ(x)ψ(x) = φ(x), więc F jest rozszerzeniem φ. Jednocześnie, to że tφ(x)+(1−
t) 0 oraz H(t, x) przekonują nas, że F([(t, x)]) 0 dla [(t, x)] ∈ D n . Otrzymaliśmy
sprzeczność.
Konferencja na Helu, 2007 2
(8)

Mamy więc trzy przypadki:
§4. Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia.
1 ◦ n < k - można wykazać, że wtedy wszystkie odwzorowania są homotopijnie
równoważne (są homotopijnie trywialne)
2 ◦ n > k - zadanie trudne (wyższe grupy homotopii sfer)
3 ◦ n = k - jedyny ciekawy.
Fakt 1: S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Jeśli f (z) = z m , g(z) = z k , m, k ∈ Z, f, g : S 1 → S 1 ,
to łatwo pokazać, że m k ⇔ f g. Ponadto dla każdego odwzorowania
f : S 1 → S 1 , istnieje takie m ∈ Z takie, że f ∼ z m .
Fakt 2: #[R, R] = 1, tzn. każde dwa odwzorowania są homotopijne.
Fakt 3: #[R, R \ {0}] = 2
§4 Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia.
Zajmiemy się teraz rozwiazaniami równania postaci
F(x) = 0, gdzie x ∈ R n , , a F : R n → R n
(13)
jest dowolnym odwzorowaniem ciąłym. Oczywiście rozwiązanie znajduje się na
pewnym odpowiednio dużym dysku (możemy założyc, że jest on jednostkowy).
Jak wiemy już z podtawowego twierdzenia analizy nieliniowej, wystarczy skonstruować
pewien niezmiennik, umożliwiający stwierdzenie, że ψ : S n−1 → S n−1
(lub co na jedno wychodzi φ : ∂D n → R n \ {0}), nie jest homotopijnie trywialne.
§4.1 Indeks odwzorowania względem krzwej zamkniętej
Niech f : C → C, będzie funkcją ciągłą, określoną na krzywej zamkniętej
γ : [a, b] → C (tzn. γ(a) = γ(b)) i nie zerującą się na niej.
Przez log(w(θ)) oznaczmy jakąkolwiek funkcję spełniającą warunek e log(w(θ)) =
w(θ).
Definicja 2: Przez przyrost logarytmu funkcji f wzdłuż krzywej γ rozumie
się różnicę
∆γ log f (z) = log w(b) − log w(a). (14)
Przez przyrost argumentu funkcji f wzdłuż krzywej γ rozumie się różnicę
∆γ arg f (z) = arg w(b) − arg w(a). (15)
Uwaga. W powyższych definicjach w „pewnym momencie” trzeba wybrać gałąź
logarytmu i argumentu, którą będziemy rozpatrywać.
Lemat 1:
∆γ log f (z) = ı∆γ arg f (z) (16)
Konferencja na Helu, 2007 3

§5. Stopień dla odwzorowań klasy C 1
Lemat 2: Jeśli f jest analityczna na krzywej gładkiej γ, to
∆γ log f (z) =
f ′ (z)
dz
f (z)
(17)
γ
Twierdzenie 2: Jeśli f : C → C jest ciągła na krzywej gładkiej γ, to
1
2πı ∆γ log f (z) ∈ Z. (18)
Co więcej, gdy f jest analityczna na γ, to
1
2πı ∆γ log f (z) = 1
2πı ∆γ arg f (z) = 1
2πı γ
f ′ (z)
dz. (19)
f (z)
Definicja 3: Indeksem funkcji f wzglądem krzywej γ nazywamy liczbę całkowitą
określoną w powyższym twierdzeniu. Oznaczamy go indγ( f ).
Twierdzenie 3: Odwzorowanie ze zbioru klas homotopii odwzorowań [S 1 , S 1 ]
do liczb całkowitych zadane poprzez
jest
f ↦→ ind S 1( f ) (20)
1 ◦ bijekcją,
2 ◦ homomorfizmem półgrup, tzn.
ind S 1([ f ][g]) = ind S 1([ f ]) · ind S 1([g]), (21)
3 ◦ ind S 1(Id) = 1, ind S 1(∗) = 0.
Dowód Wiemy już, że ind S 1(z m ) = m, co dowodzi, że jest to odwzorowanie „na”.
Ale zauważyliśmy już, że każde odwzorowanie S 1 w siebie jest homotopijne z
odwzorowaniem postaci z ↦→ z m .
Ażeby stwierdzić druga tezę zauważmy, że ind S 1((z n ) ◦ (z m )) = ind S 1((z n ) m ) =
ind S 1(z nm ) = nm.
Różnowartościowości nie będziemy dowodzić.
§5 Stopień dla odwzorowań klasy C 1
Definicja 4: Niech f ∈ C 1 (Ω). Powiemy, że x jest punktem krytycznym odwzorowania
f , jeśli J f (x) = det D f (x) = 0, tzn. D f (x) jest osobliwa. W przeciwnym
przypadku mówimy, że punkt jest regularny. f (x) jest wtedy odpowiednio
wartością krytyczną lub regularną, odpowiednio. Zbiór wartości regularnych
oznaczmy przez Z f .
Z twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowań wiemy, że f jest lokalnie
odwracalna w pobliżu punktu regularnego.
Konferencja na Helu, 2007 4

§5. Stopień dla odwzorowań klasy C 1
Twierdzenie 4: Jeśli f ∈ C 1 (Ω) i y jest punktem regularnym, to f −1 (y) jest
skończony.
Definicja 5: Jeśli f ∈ C1 (Ω), p f (∂Ω) i p jest wiartością regularną f . Definiujemy
stopień f w p względem zbioru Ω jako liczbę całkowitą
deg( f, Ω, p) = sgnJ f (x) (22)
x∈ f −1 (p)
Naszym głównym zadaniem teraz jest pozbycie się warunków: f ∈ C 1 oraz
regularności punktu p.
Twierdzenie poniższe mówi, że deg jest stały na składowych R n \ f (∂Ω).
Twierdzenie 5: Niech f ∈ C 1 (Ω). Niech p1, p2 są wartościami regularnymi f i
p są w tej samej składowej R n \ f (∂Ω). Wtedy deg( f, Ω, p1) = deg( f, Ω, p2).
Definicja 6: Jeśli f ∈ C 1 (Ω) i p f (∂Ω), ale p nie jest wartością regularną, to
definiujemy deg( f, Ω, p) jako deg( f, Ω, q) gdzie q jest punktem regularnym f i
|q − p| < ρ(p, f (∂Ω))
Uwaga. Dzięki poprzedniemu twierdzeniu możemy definiować stopień dla p niekoniecznie
będącym punktem regularnym.
Z twierdzenia Sarda wiemy, że zbiór wartości krytycznych jest zbiorem miary
zero i każda kula B(p, r) zawiera wartość regularną. Jeśli r = ρ(p, f (∂Ω)), wtedy
deg( f, Ω, q) jest stała na B(p, r), bo B(p, r) ⊂ Rn \ f (∂Ω). To dowodzi poprawności
definicji.
Przypomnienie: f ∈ C1 (Ω), jeśli f ∈ C(Ω) i istnieje rozszerzenie ˜ f : U → Rn na zbiór otwarty U ⊃ Ω taki, że ˜ f ma na nim ciąłge pochodne cząstkowe. Można
wprowadzić tam strukturę przestrzeni unormowanej. Norma w tej przestrzeni
jest dana wzorem
f 1 = sup | fi(x)| + sup |∂j fi(x)| (23)
x∈Ω
1in
x∈Ω
1i,jn
Twierdzenie 6: Niech f ∈ C 1 (Ω) i p jest wartością regularną f , p f (∂Ω).
Wtedy istnieje ɛ > 0 zależna od f i p taka, że jeśli f − g1 < ɛ, to p jest
wartością regularną g oraz p g(∂Ω) i deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p).
Podsumujmy:
Twierdzenie 7: Niech f ∈ C 1 (Ω).
i) deg( f, Ω, p) jest stały na składowych R n \ f (∂Ω),
ii) Jeśli p f (∂Ω), to istnieje ɛ > 0 zależne od f i p, takie że deg( f, Ω, p) =
deg(g, Ω, p) dla f − g1 < ɛ,
iii) Niech H1(t, x) jest C 1 -homotopią f i g. Wtedy, jeśli p H(t, ∂Ω) dla
każdego t ∈ I, to deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p)
Konferencja na Helu, 2007 5

§6 Stopień dla funkcji ciągłych
Rozszerzymy teraz naszą definicję stopnia na funkcje ciągłe.
§6. Stopień dla funkcji ciągłych
Przypomnienie: C(Ω) jest przestrzenią funkcji ciągłych z Ω do R n . Można
wprowadzić tam strukturę przestrzeni unormowanej. Norma w tej przestrzeni
jest dana wzorem
f = sup | f (x)| (24)
x∈Ω
Definicja 7: Załóżmy, że f ∈ C(Ω) i p f (∂Ω). Definiujemy deg( f, Ω, p) jako
deg(g, Ω, p), gdzie g ∈ C 1 jest jakąkolwiek funkcją spełniającą
f − g < ρ(p, f (∂Ω)). (25)
Spróbujmy uzasadnić tę definicję. W każdym otoczeniu f ∈ C(Ω) istnieją
funkcje klasy C 1 . Niech r = ρ(p, f (∂Ω)) i mamy funkcje gi ∈ C 1 (Ω) takie, że
f − gi < r, dla i =, 2. Następnie rozpatrzmy homotopię klasy C 1 daną wzorem
ht(x) = tg1(x) + (1 − t)g2(x), 0 t 1.
Otrzymujemy stąd szacowania
|ht(x) − f (x)| = |t(g1(x) − f (x)) + (1 − t)(g2(x) − f (x))| < tr + (1 − t)r = r.
Korzystając z założenia, że x ∈ ∂Ω mamy
|p − ht(x)| >= |p − f (x)| − |ht(x) − f (x)| > 0 gdyż |p − f (x)| > r
skąd p ht(∂Ω). Na podstawie punktu 3) twierdzenia 7, deg(g1, Ω, p) = deg(g2, Ω, p).
Dzięki temu mamy, że wszystkie funkcje klasy C 1 spełniające oszacowanie (25)
majątaki sam stopień. Stąd ta definicja ma sens.
Oczywiście ograniczenie nie jest istotne, byle było odpowiednio małe.
Twierdzenie 8: W definicji 7 wyboru g można dokonać tak, że p nie koniecznie
jest jej punktem regularnym.
Twierdzenie 9: Jeśli Ω ⊂ R n , f ∈ C(Ω) oraz p f (∂Ω), wtedy deg( f, Ω, p)
jest niezmiennikiem przy zmianie współrzędnych, byle by ta zmian była klasy
C 1 .
Pozwala nam to na rozszerzenie naszej teorii na skończenie wymiarowe rzeczywiste
przestrzenie unormowane, jako że każdą taką można identyfikować z
R n .
§6.1 Własności stopnia
Pokażemy teraz główne własności stopnia topologicznego dla funkcji ciągłych.
Sa one podobne do tych, jakie miał stopień dla funkcji klasy C 1 .
Twierdzenie 10: Niech f ∈ C(Ω) i deg( f, Ω, p) 0, wtedy istnieje x ∈ Ω (!),
taki, że p = f (x).
Konferencja na Helu, 2007 6

§6.1 Własności stopnia
Dowód Gdy p f (Ω). Weźmy g ∈ C 1 (Ω) taki, że g − f < ρ(p, f (Ω)). Wiemy,
że wtedy p g(Ω) i stąd deg(g, Ω, p) = 0 i stąd deg( f, Ω, p) = 0.
Definicja 8: Jeśli są dane dwie przestrzenie topologiczne X, Y, to mówimy, że
dwa przekształcenia ciągłe f, g : X → Y są homotopijne, gdy istniej ciągła
homotopia H : [0, 1] × X → Y taka, że H(0, x) = f (x) i H(1, x) = g(x).
Twierdzenie 11: Niech f ∈ C(Ω) i p f (∂Ω). Jeśli g − f < ρ(p, f (Ω)), to
deg(g, Ω, p) = deg( f, Ω, p). Co więcej, gdy dla homotopii H mamy p H(t, ∂Ω)
dla 0 t 1, to deg(H(t, ·), Ω, p) nie zależy od t ∈ [0, 1].
Zastanówmy się nad powyższym twierdzeniem. Jego pierwsza część mówi, że
deg(·, Ω, p) : C(Ω) → Z jest odwzorowaniem lokalnie stałym. Druga część mówi,
że stopień jest niezmiennikiem homotopii, o ile podczas deformacji punkt p jest
cały czas regularny. Możemy stąd wyciągnąć:
Wniosek 1: Niech f ∈ C(Ω) i p f (∂Ω), oraz niech ( fk) będzie ciągiem funkcji
ciągłych na Ω zbieżnym jednostajnie do f . Istnieje wtedy tak liczba całkowita
N > 0 taka, że deg( f, Ω, p) = deg( fk, Ω, p), dla k N.
Twierdzenie 12: deg( f, Ω, p) jest stały na składowych R n \ f (∂Ω).
Załóżmy teraz, że A ⊂ R n \ f (∂Ω) jest spójny. Możemy dzięki temu określić
stopień deg( f, Ω, A) := deg( f, Ω, p) dla pewnego p ∈ A. W sposób oczywisty
powyższa definicja jest poprawna.
Twierdzenie 13: Dla f, g ∈ C(Ω) takich, że f = g na ∂Ω, zachodzi
deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p), o ile tylko p f (∂Ω).
Wynika stąd, że stopień zależy właściwie tylko od tego jakie wartości funkcja
przyjmuje na brzegu obszaru Ω. Twierdzenie to jest wręcz nieprawdopodobne,
ale prawdziwe. Dlatego udowodnimy je.
Dowód Mamy daną homotopię
H(t, x) = t f (x) + (1 − t)g(x), (26)
da której H(t, x) = f (x), gdy x ∈ ∂Ω; czyli H(t, ∂Ω) = f (∂Ω) p. Z homotopijne
j niezmienniczości stopnia, mamy że deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p).
Przykład. Że tak naprawdę jest pokaże następujący przykład. Niech f : [a, b] →
R będzie taka, że f (a) < f (b) i niech p będzie wartością regularną f . Oczywistym
jest, że gdy p > f (b) lub p < f (a) to deg( f, Ω, p) = 0. Gdy zaś f (a) < p < f (b), to
deg( f, Ω, p) = 1. W rzeczy samej: f −1 (p) = {x1, . . . , xm} zawiera nieparzystą liczbę
punktów (np. wzrost, spadek, wzrost, . . .); stąd
deg( f, Ω, p) =
Gdy f (b) < f (a), to deg( f, Ω, p) = −1.
m
sgn f ′ (xi) = +1 − 1 + 1 − 1 + . . . − 1 +1 = 1.
i1
Konferencja na Helu, 2007 7
=0

§6.2 Stopień topologiczny
Twierdzenie 14: (Twierdzenie Poincarégo-Bohla) Niech f, g ∈ C(Ω) oraz ∀x∈Ω
odcinek p [ f (x), g(x)] = {s f (x) + (1 − s)g(x)| 0 s 1}. Wtedy deg( f, Ω, p) =
deg(g, Ω, p).
Dowód Potrzebna nam będzie w tym celu homotopia H(t, x) = t f (x)+(1−t)g(x).
Wiemy z założeń, że p t f (x)+(1−t)g(x), dla t ∈ [0, 1]. Mamy więc p H(t, ∂Ω).
Wzór jest teraz wnioskiem z homotopijnej niezmienniczości stopnia.
Poniższe stwierdzenie mówi, że stopień jest niezmienniczy ze względu na przesunięcie
w przestrzeni.
Twierdzenie 15: Niech, jak zwykle, f ∈ C(Ω) oraz p f (∂Ω). Wtedy
deg( f, Ω, p) = deg( f − q, Ω, p − q), dla każdego q ∈ R n . ( f − q jest dana wzorem
x ↦→ f (x) − p)
Doszliśmy więc do wersji homotopijnej niezmienniczości dla funkcji ciągłych.
Twierdzenie 16: Niech będzie dana ciągła homotopia H : [0, 1] × Ω → R n i pt
ciągła droga w R n . Jeśli pt H(t, ∂Ω), wtedy deg(H(t, ·), Ω, pt) jest niezmienny
dla t ∈ [0, 1].
Poprzednie twierdzenia dotyczyły zależności stopnia od p i f . Teraz określimy
zależność od zbioru Ω.
Twierdzenie 17: Niech f ∈ C(Ω) oraz p f (∂Ω).
i) Addytywność: Niech Ωi ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną
rozłącznych podzbiorów zbioru Ω, takich że p f (Ω \ (∪m i=1Ωi)). Mamy
wtedy
deg( f, Ω, p) =
m
deg( f, Ωi, p). (27)
i=1
ii) Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i p f (K) ∪ f (∂Ω), to
deg( f, Ω, p) = deg( f, Ω \ K, p). (28)
§6.2 Stopień topologiczny
Podsumujmy:
Konferencja na Helu, 2007 8

§7. Zastosowania w topologii
Twierdzenie 18: Niech Ω ⊂ R n będzie ograniczonym i otwartym podzbiorem
R n , f : Ω → R n odwzorowaniem ciągłym, y0 ∈ R n , jest taki, że y0 f (∂Ω).
Wtedy trójce ( f, Ω, y0) można przyporządkować liczbę całkowitą w taki sposób,
aby spełnione były następujące własności:
i) Istotność: deg( f, Ω, y0) 0 ⇒ ∃x∈Ω, że f (x) = y0.
ii) Addytywność: Niech Ωi ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną
rozłącznych podzbiorów zbioru Ω, takich że y0 f (Ω \ (∪m i=1Ωi)). Mamy
wtedy
deg( f, Ω, y0) =
m
deg( f, Ωi, y0). (29)
i=1
iii) Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i y0 f (K) ∪ f (∂Ω), to
deg( f, Ω, y0) = deg( f, Ω \ K, y0). (30)
iv) Homotopijna niezmienniczość: Niech ft : Ω × I → R n będzie homotopią.
Niech y będzie odwzorowaniem odcinka I w R n . Jeśli ∀t∈I zachodzi
y(t) ft(∂Ω), to
∀t1,t2∈I zachodzi deg( ft1 , Ω, y(t1)) = deg( ft2 , Ω, y(t2)) (31)
v) Multiplikatywność: Niech Ω1 ⊂ R n i Ω2 ⊂ R k są ograniczonymi i otwartymi
zbiorami, y1 ∈ R n , y2 ∈ R k oraz f1 : Ω1 → R n , f2 : Ω2 → R k a
odwzorowaniami ciągłymi, takimi że y1 f1(Ω1), y2 f2(Ω2). Wtedy
deg( f1 × f2, Ω1 × Ω2, (y1, y2)) = deg( f1, Ω1, y1) · deg( f2, Ω2, y2) (32)
vi) Normalność: Niech j : Ω → R n będzie włożeniem. Wtedy
deg(j, Ω, 0) = 1. (33)
§7 Zastosowania w topologii
Jako przykład zastosowania damy teraz prosty dowód twierdzenia Brouwera
o punkcie stałym.
Twierdzenie 19: (Brouwera o punkcie stałym) Niech D ⊂ R n jest otwarty, a
D jest homeomorficzny z kulą domkniętą. Weźmy f ∈ C(D) takie, że f (D) ⊂ D,
wtedy f ma punkt stały.
Dowód Jasnym jest, że wystarczy udowodnić tę prawdę tylko dla kuli. Istotnie,
jeśli φ : D → B (gdzie przez B oznaczyłem kulę domkniętą), to F := φ ◦ f ◦ φ −1 :
B → B. Wynika stąd, że f ma punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy F ma punkt
Konferencja na Helu, 2007 9

f
·x0 ·x0 = f (x0)
B B
LITERATURA
stały. Pokażemy, że F ma taki punkt.
Jeśli F(x) = x dla x ∈ ∂B, to jest twierdzenie jest udowodnione. Załóżmy więc,
że F(x) x, dla x ∈ ∂B. Rozważmy
H : [0, 1] × B → R n daną wzorem H(t, x) = x − tF(x). (34)
Zauważmy, że tF(x) < 1 dla 0 t < 1, co implikuje, że tF(x) ∂B. Dlatego, dla
x ∈ ∂B, mamy x − tF(x) 0 i H(t, ∂B) 0 dla t ∈ [0, 1). Podobnie z założenia
f (x) = H(1, x) = x − F(x) 0, skąd H(t, ∂B) 0, na całym I. Dzięki homotopijnej
niezmienniczości mamy
1 = deg(Id B , B, 0) = deg(Id B − F, B, 0),
co implikuje, że ∃ x∈B taki, że F(x) = x, tzn. F ma punkt stały.
Uwaga. Twierdzenie Brouwera może być udowodnione dla zbiorów domkniętych,
wypukłych i ograniczonych z niepustym wnętrzem.
Innymi zastosowaniami są:
Twierdzenie 20: (Jordana) Jeśli K, L ⊂ R n są zwarte i homeomorficzne, wtedy
K c lub L c ją tę samą skończoną liczbę składowych lub mają ich nieskończenie
wiele.
Twierdzenie 21: (Niezmiennoczość dziedziny) Jeśli D ⊂ R n jest otwarty i
f : D → R n jest ciągłą bijekcją, to f (D) też jest otwarty.
Literatura
[1] „Wstęp do analizy nieliniowej. Teoria stopnia.”, Jacek Gulgowski, Wacław
Marzantowicz, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2003.
[2] „Ueber Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln”, L. Kronecker, Monatsber.
Berlin Akad. (1869) pp. 159193; 688698
[3] „Basic Brouwer Degree Theory: A Pedestrians Point of View”, César O.
Aguilar, 2006
c○ Krzysztof Rykaczewski
Toruń 2007
Konferencja na Helu, 2007 10