Topologia i geometria różniczkowa - Wydział Matematyki i ...

Spis treści
Topologia i geometria różniczkowa
Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń
(e-mail: anow@mat.uni.torun.pl)
Marzec 1995
1 Wstępne informacje topologiczne 1
1.1 Topologia ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Przestrzenie parazwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Rozkład jedności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.5 Rozmaitości topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7 Wstęga Möbiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.8 Powierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.9 Nakrycia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.10 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Grupa podstawowa 9
2.1 Drogi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Drogi homotopijnie równoważne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Definicja grupy podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Homotopia odwzorowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Wyższe grupy homotopii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Hipoteza Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15
3.1 Działanie grupy na zbiór . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Przestrzeń orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Produkty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Działania wspólnie rozłączne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Działania wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Snopy i algebry funkcji ciągłych 20
4.1 Presnopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Snopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Algebra funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ideały maksymalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i

ii Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną 26
5.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Rodziny wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Przekroje rodziny wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Wiązki wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.5 Funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 31
6.1 Różniczka funkcji rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Odwzorowania rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Algebra funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Derywacje lokalne 40
7.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.3 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.4 Krzywe i przestrzeń styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.6 Morfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Wiązka styczna 51
8.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 Wiązka styczna i krzywe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3 Wiązka styczna i derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 Pola wektorowe i derywacje 55
9.1 Gładkie wiązki wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.3 Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.6 Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.7 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10 Działanie*funktora na wiązkę 61
10.1 Definicja przy pomocy funkcji przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.2 Definicja poglądowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3 Wiązka kostyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.4 Potęga zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11 Formy różniczkowe 63
11.1 Moduł form różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2 Forma df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.3 Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
12 Rozmaitość R n 65
12.1 Krzywe i przestrzeń styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12.2 Derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
12.3 Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
12.4 Wiązka styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa iii
12.5 Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
12.6 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
12.7 Forma df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
12.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12.9 Formy wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12.10Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
13 Całkowanie pól wektorowych 73
13.1 Krzywa całkowa pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13.3 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.5 Formalne systemy równań różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
13.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14 Grupy Liego i ich algebry Liego 78
14.1 Grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
14.2 Niezmiennicze pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
14.3 Moduł pól wektorowych grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14.4 Algebra Liego grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
14.6 Algebra Liego grupy GLn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
14.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Grupa specjalna SLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Grupa ortogonalna On . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Specjalna grupa ortogonalna SOn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Grupa unitarna Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Specjalna grupa unitarna SUn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Grupy symplektyczne Spn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Grupy zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.8 Informacje o lokalnych grupach Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . 88
14.10Związek między grupami Liego i algebrami Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Twierdzenia Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.11Grupy formalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.12Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
15 Algebry Liego 93
15.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
15.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
15.3 Małe wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
15.4 Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
15.5 Reprezentacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
15.6 Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
16 Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 100
16.1 Systemy pierwiastków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
16.2 Grupa Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
16.3 Pierwiastki proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
16.4 Macierz Cartana i V-graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
16.5 Diagramy Dynkina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

iv Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
17 Półproste algebry Liego 105
17.1 Proste i półproste algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
17.2 Specjalna algebra Liego sl2(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
17.3 Rozkład Cartana-Levi-Malceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
17.4 Podalgebry Cartana i torusy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
17.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
17.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . 109
17.7 Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Spis cytowanej literatury 113
Indeks 114

1. Wstępne informacje topologiczne 1
1 Wstępne informacje topologiczne
1.1 Topologia ilorazowa
Niech X będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem i f : X −→ Y funkcją. Wprowadzamy na
zbiorze Y topologię przy pomocy rodziny
Uf = {U ⊆ Y ; f −1 (U) otwarte w X}.
Rodzina Uf spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów otwartych. Jest to tzw. topologia ilorazowa
na Y (zadana przy pomocy odwzorowania f). Wtedy f jest odwzorowaniem ciągłym.
1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte
Definicja 1.2.1. Toplogiczną przestrzeń X nazywamy lokalnie zwartą jeśli, dla każdego punktu
x ∈ X, istnieje zbiór otwarty U ∋ x taki, że zbiór U jest zwarty.
Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet przestrzenią T 3 1
2 (Tichonowa).
Podzbiory otwarte lub domknięte przestrzeni lokalnie zwartej są przestrzeniami lokalnie zwartymi.
1.3 Przestrzenie parazwarte
Niech X będzie przestrzenią topologiczną.
Definicja 1.3.1. Rodzinę {As}s∈S podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną jeśli
każdy punkt x ∈ X ma otoczenie (otwarte) U, które przecina się tylko ze skończoną liczbą elementów
tej rodziny, tzn., gdy zbiór {s ∈ S; As ∩ U = ∅} jest skończony.
Jeżeli {As}s∈S jest rodziną lokalnie skończoną, to
s∈S As =
s∈S As.
Definicja 1.3.2. Niech A = {As}s∈S, B = {Bt}t∈T będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, że
pokrycie A jest wpisane w pokrycie B jeśli istnieje funkcja λ : S −→ T taka, że As ⊆ B λ(s) dla
wszystkich s ∈ S.
Definicja 1.3.3. Mówimy, że X jest przestrzenią parazwartą jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz
w każde otwarte pokrycie tej przestrzeni można wpisać otwarte pokrycie lokalnie skończone.
Dowody poniższych faktów można znaleźć np. w [7].
Stwierdzenie 1.3.4.
(1) Przestrzeń zwarta jest parazwarta.
(2) Przestrzeń metryczna jest parazwarta.
(3) Przestrzeń lokalnie zwarta i ośrodkowa jest parazwarta.
(4) Przestrzeń parazwarta jest normalna (tzn. T4).
(5) Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, a Y zwartą, to X × Y jest parazwarte. ⊠
1.4 Rozkład jedności
Niech X będzie przestrzenią topologiczną i f : X −→ R funkcją ciągłą.
Definicja 1.4.1. Nośnikiem funkcji f nazywamy zbiór Supp(f) = f −1 (R 0).
Załóżmy, że U = {Ui}i∈I jest otwartym pokryciem przestrzeni X.
Definicja 1.4.2. Rozkładem jedności względem pokrycia U nazywamy rodzinę {es}s∈S, funkcji ciągłych
z X do R takich, że:
(1) ∀s∈S∀x∈X es(x) 0,
(2) ∀s∈S∃i∈I Supp(es) ⊆ Ui,
(3) rodzina {Supp(es)}s∈S jest lokalnie skończona,
(4) ∀x∈X s∈S es(x) = 1.

2 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Zauważmy, że (4) ma sens dzięki (3). Zauważmy również, że rodzina {Supp(es)}s∈S jest pokryciem
(domkniętym) przestrzeni X. Istotnie, niech x ∈ X. Wtedy, z (4), istnieje s ∈ S takie, że es(x) = 0, a
zatem x ∈ Supp(es).
Twierdzenie 1.4.3. Niech X będzie przestrzenią parazwartą i U jej otwartym pokryciem. Istnieje
wtedy rozkład jedności względem U. ⊠
Dowód znajdziemy w [7]. Prosty dowód (dla X ⊆ R n ) jest w [25].
1.5 Rozmaitości topologiczne
Niech M będzie przestrzenią topologiczną.
Definicja 1.5.1. Mapą n-wymiarową punktu p ∈ M nazywamy każdą parę (U, ϕ), w której U jest
zbiorem otwartym w M zawierającym p, a ϕ : U −→ Rn jest homeomorfizmem na pewien otwarty
podzbiór w Rn .
Definicja 1.5.2. Każdy zbiór n-wymiarowych map {(Uα, ϕα)} takich, że
α Uα = M nazywamy
n-wymiarowym atlasem przestrzeni M.
Definicja 1.5.3. Każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas nazywamy nwymiarową
rozmaitością topologiczną.
1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa
Przez S n oznaczamy sferę n-wymiarową, tzn.
S n = {(x1, . . . , xn+1) ∈ R n+1 ; x 2 1 + · · · + x 2 n+1 = 1}.
W szczególności: S 0 = {−1, 1}, S 1 = {(x, y) ∈ R 2 ; x 2 + y 2 = 1}. Topologia na S n jest indukowana z
R n+1 .
Niech P n (R) będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, −x}, gdzie x ∈ S n i
niech p : S n −→ P n (R) będzie funkcją określoną wzorem
Funkcja p jest surjekcją.
p(x) = {x, −x}, dla x ∈ S n .
Definicja 1.6.1. Zbiór P n (R) z topologią ilorazową wyznaczoną przez p nazywamy n-wymiarową
przestrzenią rzutową rzeczywistą.
Istnieją różne (równoważne) sposoby definiowania n-wymiarowej przestrzeni rzutowej rzeczywistej.
Można na przykład tę przestrzeń wprowadzić w następujący sposób.
Niech ∼ będzie relacją w S n zdefiniowaną wzorem:
x ∼ y ⇐⇒ x = ±y.
Jest to relacja typu równoważności. Klasa abstrakcji elementu x ∈ S n jest dwuelementowym zbiorem
{x, −x}. Zatem P n (R) = S n /∼, gdzie topologia na S n /∼ jest ilorazowa (wyznaczona przez kanoniczną
surjekcję).
To samo można wypowiedzieć w języku działań grup na przestrzeń topologiczną. Dokładniej zajmiemy
się tym w Rozdziale 3. Niech Z2 = {−1, 1}. Sfera S n jest Z2-przestrzenią z działaniem
Z2 × S n , (a, x) ↦→ ax.
Przestrzeń rzutowa P n (R), to nic innego, jak przestrzeń orbit S n /Z2. Dzięki temu otrzymujemy (patrz
odpowiednie fakty w Rozdziale 3):

1. Wstępne informacje topologiczne 3
Stwierdzenie 1.6.2.
(1) Odwzorowanie p : S n −→ P n (R), x ↦→ {x, −x}, jest otwarte i domknięte.
(2) Przestrzeń P n (R) jest zwarta.
(3) Przestrzeń P n (R) jest n-wymiarową rozmaitością topologiczną. ⊠
Inne uzasadnienie własności (3) znajdziemy w PH23.
Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:
Stwierdzenie 1.6.3. Przestrzeń P n (R) jest spójna. ⊠
Nieco inaczej wprowadza się przestrzeń rzutową w geometrii algebraicznej (patrz np. [20] Rozdział
5). W zbiorze R n+1 {0} wprowadzamy relację (typu równoważnoći) ∼ następująco:
(x1, . . . , xn+1) ∼ (y1, . . . , yn+1) ⇐⇒ ∃0=a∈R∀ i∈{1,...,n+1} yi = axi.
Klasę abstrakcji każdego elementu (x1, . . . , xn+1) ∈ R n+1 {0} (względem tej relacji) oznaczamy przez
(x1 : · · · : xn+1). Rzeczywista przestrzeń rzutowa (n-wymiarowa), to zbiór wszystkich takich klas abstrakcji.
Oznaczmy (chwilowo) tak zdefiniowaną przestrzeń rzutową przez P i rozważmy odwzorowanie
ϕ : P −→ P n (R) określone jako
(x1 : · · · : xn+1) ↦−→ { x x
||x|| , − ||x|| },
gdzie x = (x1, . . . , xn+1), ||x|| = x2 1 + · · · + x2n+1 . Z łatwością stwierdzamy, że ϕ jest dobrze określoną
bijekcją. Topologię na zbiorze P określamy przy pomocy funkcji ϕ. Podzbiór U ⊆ P jest otwarty
w P dokładnie wtedy, gdy zbiór ϕ(U) jest otwarty w Pn (R). Odwzorowanie ϕ ma wiele interesujących
własności. Polecamy Rozdział 3 w [2], gdzie znajdziemy dokładniejsze wyjaśnienie omawianego
zagadnienia.
Uwaga 1.6.4 ([16] 44). Przestrzeń P 2 (R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową D 2 /∼, gdzie D 2 jest
dyskiem {(x, y) ∈ R 2 ; x 2 + y 2 1} z topologią indukowaną z R 2 oraz
x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ S 1 ⊂ D 2 ∧ x = −y). ⊠
Uwaga 1.6.5 ([16]). Przestrzeń P 2 (R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową K 2 / ∼, gdzie K 2 jest
kwadratem {(x, y) ∈ R 2 ; 0 x 1, 0 y 1} z topologią indukowaną z R 2 oraz
(x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, y) = (x ′ , y ′ )
∨ {x, x ′ } = {1, 0} ∧ y = 1 − y ′
∨ {y, y ′ } = {1, 0} ∧ x = 1 − x ′ . ⊠
Uwaga 1.6.6 ([16]). Odwzorowanie F : P 2 (R) −→ R 4 , {x, −x} −→ (x 2 1 −x 2 2, x1x2, x1x3, x2x3), jest ciągłe
i różnowartościowe. ⊠
Uwaga 1.6.7 ([16] 45). Jeśli wytniemy z P 2 (R) mały dysk, to otrzymamy wstęgę Möbiusa. Zatem P 2 (R)
można interpretować jako wstęgę Möbiusa z doklejonym dyskiem. ⊠
Uwaga 1.6.8 ([16] 95). Jedyną (z dokładnością do homeomorfizmu) rozmaitością zwartą i spójną wymiaru
1 jest sfera S 1 . Ponieważ P 1 (R) jest właśnie taką rozmaitością, więc stąd wynika, że przestrzenie S 1 i P 1 (R)
są homeomorficzne. ⊠
1.7 Wstęga Möbiusa
Rozpatrzmy cylinder
C = {(x, y, z) ∈ R 3 ; x 2 + y 2 = 1, −1 z 1}
z topologią indukowaną z R 3 . Niech M będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci
{x, −x}, gdzie x ∈ C. Niech p : C −→ M będzie surjekcją x ↦→ {x, −x}.

4 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Definicja 1.7.1. Zbiór M, z topologią ilorazową, wyznaczoną przez p, nazywamy wstęgą Möbiusa.
Definicję tę można trochę inaczej sformułować w następujący sposób. W zbiorze C wprowadzamy
relację równoważności:
a ∼ b ⇐⇒ a = −b.
Wtedy zbór C/∼, wszystkich klas abstrakcji z topologią ilorazową, jest właśnie wstęgą Möbiusa.
Sam cylinder C jest również pewną przestrzenią ilorazową. Mianowicie, C = K 2 /∼, gdzie K 2 jest
kwadratem {(x, y) ∈ R 2 ; 0 x 1, 0 y 1}, a ∼ jest relacją równoważności w K 2 zdefiniowaną
jako:
(x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, y) = (x ′ , y ′ ) ∨ {x, x ′ } = {0, 1}, y = y ′ .
Wstęgę Möbiusa można zdefiniować inaczej; jako przestrzeń ilorazową kwadratu K 2 względem
relacji równoważności ∼ określonej jako:
(x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, y) = (x ′ , y ′ ) ∨ {x, x ′ } = {0, 1}, y = 1 − y ′ .
Oto jeszcze inne spojrzenie na wstęgę Möbiusa. Można ją zdefiniować przy pomocy działania grupy
Z, liczb całkowitych. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech X będzie nieskończonym
paskiem
X = {(x, y) ∈ R2 ; − 1 1
2 y 2 }
z topologią indukowaną z R2 . Rozpatrzmy działanie
Z × X −→ X, m(x, y) = (m + x, (−1) m y).
Przestrzeń orbit X/Z jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa M.
Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:
Stwierdzenie 1.7.2. Wstęga Möbiusa M jest przestrzenią spójną. ⊠
Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w R 3 . Odwzorowanie f : M −→ R 3 , określone wzorem
{a, −a} ↦−→ ((x 2 − y 2 )(2 + xz), 2xy(2 + xz), yz),
gdzie a = (x, y, z), jest ciągłym odwzorowaniem różnowartościowym.
W dalszych częściach tego opracowania będziemy mówić o przestrzeniach topologicznych homotopijnie
równoważnych. Zanotujmy teraz, że wstęga Möbiusa M i cylinder C, to dwie przestrzenie
homotopijnie równoważne ([16] 138).
1.8 Powierzchnie
Powierzchnią nazywamy każdą 2-wymiarową rozmaitość zwartą i spójną.
Niech X1, X2 będą dwiemia rozłącznymi powierzchniami. Sumą spójną tych powierzchni nazywamy
powierzchnię, oznaczaną przez X1#X2, która powstaje przez wycięcie z każdej z tych powierzchni
małego dysku i sklejenie brzegów. Pokazuje się, że definicja zbioru X1#X2 nie zależy od wyboru
dysków oraz, że X1#X2 jest istotnie powierzchnią.
Twierdzenie 1.8.1 ([16] 99). Każda powierzchnia X jest homeomorficzna z dokładnie jedną z następujących
powierzchni:
(a) S2 # T # . . . #T , gdzie m 0 i T = S
m
1 × S1 (torus),
(b) S2 # P 2 (R)# . . . #P 2 (R) , gdzie m 1. ⊠
m
Uwaga 1.8.2 ([16]).
(a) Suma spójna dwóch płaszczyzn rzutowych, to butelka Kleina.
(b) T #P 2 (R) ≈ P 2 (R)#P 2 (R)#P 2 (R). ⊠

1. Wstępne informacje topologiczne 5
1.9 Nakrycia
Niech p : E −→ X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni topologicznych.
Definicja 1.9.1. Mówimy, że odwzorowanie p : E −→ X jest nakryciem, jeśli dla każdego punktu
x ∈ X istnieje otoczenie otwarte U ∋ x takie, że
p −1 (U) =
j∈J Vj,
gdzie zbiory postaci Vj są:
(a) otwarte,
(b) parami rozłączne oraz takie, że
(c) odwzorowania p|Vj : Vj −→ U są homeomorfizmami.
Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to E nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeń X.
Z tej definicji wynika:
Stwierdzenie 1.9.2 ([12] 26). Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to:
(1) przestrzenie postaci p −1 (x), x ∈ X, są dyskretne;
(2) odwzorowanie p jest lokalnym homeomorfizmem, tzn. dla każdego e ∈ E istnieje zbiór otwarty
V ∋ e taki, że p(V ) jest zbiorem otwartym w X oraz odwzorowanie p|V : V −→ p(V ) jest homeomorfizmem;
(3) odwzorowanie p jest surjekcją;
(4) odwzorowanie p jest otwarte;
(5) X jest przestrzenią ilorazową przestrzeni E.
Dowód. (1). Niech x ∈ X. Niech U ∋ x będzie zbiorem otwartym w X takim, jak w definicji
nakrycia. Wtedy
p −1 (x) =
j∈J (Vj ∩ p −1 (x)).
Zbiory postaci Vj ∩p −1 (x) są oczywiście otwarte w p −1 (x). Są to zbiory jednoelementowe. Istotnie, jeśli
a, b ∈ Vj ∩p −1 (x), to a, b ∈ Vj oraz p(a) = p(b) = x. Ale p|Vj jest odwzorowaniem różnowartościowym,
zatem a = b.
Niech a ∈ p −1 (x). Istnieje wtedy j ∈ J takie, że a ∈ Vj ∩ p −1 (x). Wtedy Vj ∩ p −1 (x) = {a}.
To implikuje, że {a} jest zbiorem otwartym. Każdy więc jednoelementowy podzbiór w p −1 (x) jest
zbiorem otwartym.
(2). Niech e ∈ E. Wtedy x = p(e) ∈ X. Istnieje więc zbiór otwarty V ∋ x taki, jak w definicji
nakrycia. Wtedy e ∈ p −1 (U), więc e ∈ Vj, dla pewnego j ∈ J. Zbiór p(Vj) = U jest otwarty w X oraz
p|Vj : Vj −→ p(Vj) = U jest homeomorfizmem.
(3). Niech x ∈ X i niech U ∋ x będzie zbiorem otwartym takim, jak w definicji nakrycia. Ponieważ
p|Vj : Vj −→ U jest surjekcją oraz x ∈ U, więc istnieje e ∈ Vj takie, że p(e) = x.
(4). Wynika to z (2), gdyż jest oczywiste, że każdy lokalny homeomorfizm jest odwzorowaniem
otwartym.
(5). Jest to konsekwencja (3) i (4). ⊠
Zanotujmy kilka przykładów nakryć.
Przykład 1.9.3.
(0) Odwzorowanie tożsamościowe X −→ X jest nakryciem.
(1) Odwzorowanie p : R1 −→ S1 , p(t) = e2πit , jest nakryciem. Jeśli x ∈ S1 , to zbiór otwarty U ∋ x
(występujący w definicji nakrycia) jest przedziałem otwartym okręgu S1 , zawierającym x.
(2) p : S1 −→ S1 , p(z) = zn .
(3) Niech p : Sn −→ Pn (R) (gdzie Pn (R) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową) będzie odwzorowaniem
sklejającym punkty antypodyczne. Odwzorowanie to jest nakryciem.
(4) Niech G będzie grupą topologiczną i H jest jej dyskretną podgrupą. Wtedy rzutowanie G −→
G/H (gdzie G/H jest zbiorem warstw z topologią ilorazową) jest nakryciem.
(5) C {0} −→ C {0}, z ↦→ zn .
(6) C −→ C {0}, z ↦→ ez = ∞ . ⊠
n=0 zn
n!

6 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 1.9.4. Jeśli p1 : E1 −→ X1, p2 : E2 −→ X2 są nakryciami, to odwzorowanie
jest nakryciem. ⊠
1.10 Uwagi
p : E1 × E2 −→ X1 × X2, (e1, e2) ↦→ (p1(e1), p2(e2)),
1.1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech d ′ : X × X −→ R będzie funkcją określoną wzorem
Stwierdzenie 1.10.1. Funkcja d ′ jest metryką w X.
d ′ (x, y) = d(x,y)
1+d(x,y) .
Dowód. Trudność może sprawić jedynie nierówność trójkąta. Niech x, y, z ∈ X. Oznaczmy: a = d(x, y),
b = d(y, z), c = d(x, z). Wtedy a, b, c 0 oraz a + b c. Należy pokazać, że
Sprawdzamy:
a b c a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)−c(1+a)(1+b)
+ − = 0.
1+a 1+b 1+c (1+a)(1+b)(1+c)
a(1 + b)(1 + c) + b(1 + a)(1 + c) − c(1 + a)(1 + b)
= a + ab + ac + abc + b + ab + bc + abc − c − ac − bc − abc
= (a + b − c) + 2ab + abc 0. ⊠
Stwierdzenie 1.10.2. Metryki d i d ′ są równoważne, tzn. przestrzenie metryczne (X, d) i (X, d ′ ) są homeomorficzne.
⊠
1.2 Jeśli X, Y są przestrzeniami topologicznymi i h : X −→ Y jest homeomorfizmem, to (dla każdego
x ∈ X) przestrzenie X {x} i Y {h(x)} są homeomorficzne ([16] 34).
Przykład 1.10.3. Przestrzenie [0, 1] i (0, 1), z topologiami indukowanymi z R, nie są homeomorficzne.
Dowód. Przypuśćmy, że są homeomorficzne. Wtedy są homeomorficzne, po wyrzuceniu punktu. Wyrzućmy
z [0, 1] punkt 0. Wtedy (0, 1] = [0, 1] {0} jest spójne, a (0, 1) {h(0)} nie jest spójne. ⊠
Stwierdzenie 1.10.4 ([16] 146). Niech f : (0, 1) −→ (0, 1) będzie homeomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie
jeden homeomorfizm h : [0, 1] −→ [0, 1] taki, że H | (0, 1) = f. ⊠
1.3 Przestrzenie S n−1 × R i R n {0} są homeomorficzne ([16] 55). Homeomorfizmem jest np. przyporządkowanie
(x, t) ↦→ 2 t x. W szczególności S × R ≈ R 2 {0} ≈ C {0}.
1.4 Wiemy, że jeśli f : [0, 1] −→ R jest funkcją ciągłą i f(0)f(1) 0, to istnieje t ∈ [0, 1] takie, że f(t) = 0.
Stosując ten fakt łatwo dowodzi się, że każda funkcja ciągła f : I −→ I ma punkt stały. Oto inna konsekwencja
tego faktu.
Stwierdzenie 1.10.5 ([16] 80). Każda funkcja ciągła f : S 1 −→ R przeprowadza pewną parę punktów
antypodycznych w ten sam punkt, tzn. istnieje t ∈ S 1 takie, że f(t) = f(−t).
Dowód. Niech f : S 1 −→ R będzie daną funkcją ciągłą. Rozpatrzmy dwie funkcje ciągłe h : S −→ R,
e : I −→ S 1 określone wzorami:
h(t) = f(t) − f(−t), e(x) = cos(πx) + i sin(πx).
Wtedy funkcja he : I −→ R przyjmuje na końcach przedziału I = [0, 1] przeciwne wartości:
he(0) = h(1) = f(1) − f(−1), he(1) = h(−1) = f(−1) − f(1).
Istnieje zatem a ∈ I takie, że he(a) = 0. Niech t = e(a). Wtedy 0 = h(t) = f(t) = f(−1). ⊠
Z tego stwierdzenia wynika:

1. Wstępne informacje topologiczne 7
Wniosek 1.10.6. W danym momencie czasu istnieją na Równiku (kuli ziemskiej) dwa antypodyczne punkty
o tej samej temperaturze. ⊠
Można udowodnić:
Twierdzenie 1.10.7 ([16] 80). Niech A, B będą ograniczonymi zbiorami na płaszczyźnie, posiadającymi
pole. Istnieje wtedy prosta (leżąca na tej płaszczyźnie), która dzieli każdy ze zbiorów A i B na dwie części o
równych polach. ⊠
W sformułowaniu poglądowym twierdzenie to można wysłowić następująco. Na talerzu leżą dwa naleśniki.
Jednym cięciem noża można podzielić każdy z tych naleśników na dwie równe części. (Naleśniki nie muszą być
rozłączne; jeden może nakładać się na drugi. Nie muszą też być spójne, tzn. nie muszą składać się z jednego
kawałka).
Twierdzenie 1.10.8 ([16] 82). Niech A będzie ograniczonym zbiorem na płaszczyźnie, posiadającym pole.
Istnieje wtedy dwie przecinające się proste (leżące na tej płaszczyźnie), które dzielą zbiór A na cztery części o
równych polach. ⊠
1.5 Niech I = [0, 1] i niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każdą funkcję ciągłą σ : I −→ X nazywamy
drogą w X. Istnieją drogi σ : I −→ I 2 będące surjekcjami, tzn. drogi zapełniające cały kwadrat I 2 . Takie drogi
skonstruował Peano (ok. 1890 roku).
1.6 Każdą funkcję ciągłą τ : S 1 −→ R 2 nazywa się krzywą Jordana.
Twierdzenie 1.10.9 (Jordana, [16] 120). Niech τ : S 1 −→ R 2 będzie krzywą Jordana. Wtedy zbiór R 2
τ(S 1 ) nie jest spójny i zawiera dokładnie dwie składowe spójności. Wspólnym brzegiem tych składowych jest
zbiór τ(S 1 ). Dokładnie jedna z tych składowych jest ograniczona. ⊠
Twierdzenie to pochodzi z 1890 roku. W tym czasie Jordan zwrócił uwagę, że coś takiego (wydawałoby
się oczywistego) wymaga dowodu. Dowód podano na początku dwudziestego wieku.
Zastąpmy okrąg S 1 odcinkiem I = [0, 1]. Mamy wtedy:
Stwierdzenie 1.10.10 ([16] 131). Niech σ : I −→ R 2 będzie funkcją ciągłą. Wtedy zbiór R 2 σ(I) jest
spójny. ⊠
1.7 Zanotujmy kilka uwag o twierdzeniu Borsuka i Ulama z 1930 roku.
Twierdzenie 1.10.11 (Borsuka - Ulama). Nie istnieje funkcja ciągła f : S n −→ S n−1 taka, że
dla wszystkich x ∈ S n . ⊠
f(−x) = −f(x),
Dla n = 1 twierdzenie to jest oczywiste. Dla n = 2 dowód znajdziemy w [16]. Jeśli n > 2, to podobno
dowód jest trudny.
Wniosek 1.10.12 ([16] 183). Jeśli f : S 2 −→ R 2 jest funkcją ciągłą spełniającą związek f(−x) = −f(x),
dla x ∈ S 2 , to istnieje x0 ∈ S 2 takie, że f(x0) = 0.
Dowód. Przypuśćmy, że f(x) = 0, dla wszystkich x ∈ S 2 . Definiujemy funkcję ciągłą g : S 2 −→ S 1 ,
przyjmując g(x) = ||f(x)|| −1 f(x). Wtedy g(−x) = −g(x) i mamy sprzeczność z twierdzeniem powyższym. ⊠
Wniosek 1.10.13 ([16] 183). Jeśli f : S 2 −→ R 2 będzie funkcją ciągłą. Istnieje wtedy x ∈ S 2 takie, że
f(x) = f(−x).
Dowód. Przypuśćmy, że f(x) = f(−x), dla wszystkich x ∈ S 2 . Definiujemy funkcję ciągłą g : S 2 −→ R 2 ,
przyjmując g(x) = f(x) − f(−x). Wtedy g(−x) = −g(x) (dla wszystkich x), a zatem - na mocy powyższego
wniosku - g(x0) = 0, dla pewnego x0 ∈ S 2 . Stąd f(x0) = f(−x0) wbrew naszemu przypuszczeniu. ⊠
Z tego wniosku wynika, że w dowolnym momencie czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa antypodyczne
punkty, w których jednocześnie zgadza się temperatura i ciśnienie.
Powyższe dwa wnioski (z tymi samymi dowodami) są prawdziwe dla dowolnego n. Z ostatniego wniosku
(sformułowanego dla n) wynika, że nie istnieje ciągłe różnowartościowe odwzorowanie z S n do R n . Stąd daje
się udowodnić:

8 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Wniosek 1.10.14 ([16] 183). Żaden podzbiór w R n nie jest homeomorficzny z S n . ⊠
Wniosek 1.10.15 ([16] 185, PH121). Nie istnieje odwzorowanie ciągłe f : S n −→ S 1 (n > 1), spełniające
związek f(−x) = −f(x), dla wszystkich x ∈ S n .
Twierdzenie 1.10.16 (o kanapce, [16]). Niech A, B, C będą ograniczonymi podzbiorami w R 3 , posiadającymi
objętość. Istnieje wtedy płaszczyzna dzieląca każdy z tych zbiorów na dwie części równej objętości. ⊠

2. Grupa podstawowa 9
2 Grupa podstawowa
Pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej zdefiniował H. Poincare w 1904 roku, kiedy przekonał
sią, że odkryte przez niego wcześniej funktory homologii, które dały klasyfikację powierzchni,
nie wystarczają już do scharakteryzowania 3-wymiarowej sfery S 3 . Pytanie, czy funktory homologii
wespół z grupą podstawową wystarczają, jest do dziś otwartym zagadnieniem Poincarégo ([6]8).
Wprowadzenie do teorii homotopii i grupy podstawowej znajdziemy w [6]8, [9]49, [12]14, [16]175.
W tym rozdziale zakładamy, że X jest przestrzenią topologiczną. Przez I oznaczamy domknięty
odcinek [0, 1] ⊂ R.
2.1 Drogi
Każde przekształcenie ciągłe σ : I −→ X nazywamy drogą w X. Punkt σ(0) nazywamy początkiem
drogi σ, a punkt σ(1) jej końcem. Mówimy, że droga σ : I −→ X jest zamknięta jeśli początek pokrywa
się z końcem, tzn. jeśli σ(0) = σ(1). W tym przypadku mówi się również, że droga σ jest pętlą w punkcie
σ(0) = σ(1). Mówimy, że droga jest stała, jeśli jej obraz jest zbiorem jednopunktowym.
Niech p, q ∈ X. Przez D(p, q) oznaczać będziemy (chwilowo) zbiór wszystkich dróg w X o początku
w punkcie p i końcu w punkcie q.
Drogi, z których jedna kończy się w początku drugiej, można składać. Załóżmy, że σ, τ : I −→ X
są drogami w X takimi, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), gdzie p, q, r ∈ X. Definiujemy wtedy drogę
στ ∈ D(p, r), przyjmując:
στ(t) =
σ(2t), gdy 0 t 1
2 ,
1
τ(2t − 1), gdy 2 t 1.
Z każdą drogą σ ∈ D(p, q) stowarzyszona jest droga odwrotna σ ′ ∈ D(q, p), którą określa się
wzorem
σ ′ (t) = σ(1 − t).
2.2 Drogi homotopijnie równoważne
Niech p, q ∈ X będą ustalonymi punktami w X. Załóżmy, że σ, τ ∈ D(p, q). Mówimy, że drogi
σ i τ są homotopijnie równoważne, co zapisujemy jako σ ∼ τ, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe
F : I × I −→ X takie, że:
⎧
F (s, 0) = σ(s) dla s ∈ I,
⎪⎨ F (s, 1) = τ(s) dla s ∈ I,
⎪⎩
F (0, t) = p dla t ∈ I,
F (1, t) = q dla t ∈ I.
Powyższe odwzorowanie F : I × I −→ X nazywa się homotopią od σ do τ.
Jeśli F : I × I −→ X jest homotopią, od σ do τ, to (dla każdego t ∈ I) przez Ft : I −→ X
oznaczamy odwzorowanie określone wzorem
Ft(s) = F (s, t), dla s ∈ I.
Każde odwzorowanie postaci Ft jest drogą należącą do D(p, q). W szczególności F0 = σ, F1 = τ.
Stwierdzenie 2.2.1. Homotopijność ∼ jest relacją typu równoważności w zbiorze D(p, q).
Dowód. Niech σ, τ, µ ∈ D(p, q).
Zwrotność. Odwzorowanie F : I × I −→ X, (s, t) ↦→ σ(s), jest homotopią od σ do σ.

10 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Symetryczność. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do τ. Definiujemy odwzorowanie
G : I × I −→ X, przyjmując:
G(s, t) = F (s, 1 − t), dla s, t ∈ I.
Wtedy G jest homotopią od τ do σ.
Przechodniość. Niech F, G : I × I −→ X będą homotopiami odpowiednio od σ do τ i od τ do µ.
Definiujemy odwzorowanie H : I × I −→ X następująco:
H(s, t) =
Odwzorowanie H jest homotopią od σ do µ. ⊠
F (s, 2t), dla s ∈ I, 0 t 1
2 ,
G(s, 2t − 1), dla s ∈ I, 1
2 t 1.
Wykażemy teraz, że relacja homotopijności zachowuje działania określone na zbiorach dróg.
Stwierdzenie 2.2.2. Niech σ, σ ′ ∈ D(p, q), τ, τ ′ ∈ D(q, r). Jeśli σ ∼ σ ′ i τ ∼ τ ′ , to στ ∼ σ ′ τ ′ .
Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ ′ i niech G : I × I −→ X będzie
homotopią od τ do τ ′ . Wówczas, dla każdego t ∈ I mamy drogi Ft ∈ D(p, q) i Gt ∈ D(q, r). Drogi te
możemy składać. Definiujemy więc odwzorowanie H : I × H −→ X przyjmując H(s, t) = FtGt(s), dla
s, t ∈ I, tzn.
H(s, t) =
F (s, t), dla 0 s 1
2 ,
G(2s − 1, t), dla 1
Łatwo sprawdzić, że H jest homotopią od στ do σ
2 s 1.
′ τ ′ . ⊠
Stwierdzenie 2.2.3. Załóżmy, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), µ ∈ D(r, s), gdzie p, q, r, s ∈ X. Wtedy
(στ)µ ∼ σ(τµ).
Dowód.
⎧
⎪⎨
(στ)µ(t) =
⎪⎩
σ(4t), gdy 0 t 1
4 ,
1 1
τ(4t − 1), gdy 4 t 2 ,
1
µ(2t − 1), gdy 2 t 1.
⎧
⎪⎨
σ(τµ)(t) =
⎪⎩
Homotopię od (στ)µ do σ(τµ) zadaje odwzorowanie
⎧
⎪⎨
σ(
F (s, t) =
⎪⎩
4s
t+1 ), gdy t+1
0 s 4 ,
τ(4s − t − 1), gdy t+1 t+2
4 s 4 ,
µ( 4s−t−2
2−t ), gdy t+2
4 s 1. ⊠
σ(2t), gdy 0 t 1
2 ,
1 3
τ(4t − 2), gdy 2 t 4 ,
3
µ(4t − 3), gdy 4 t 1.
Stwierdzenie 2.2.4. Niech σ, τ ∈ D(p, q) i niech σ ′ , τ ′ ∈ D(q, p) będą drogami odwrotnymi odpowiednio
do σ i τ. Jeśli σ ∼ τ, to σ ′ ∼ τ ′ .
Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ ′ . Wtedy G : I × I −→ X, G(s, t) =
F (1 − s, t), jest homotopią od σ ′ do τ ′ . ⊠
Stwierdzenie 2.2.5. Niech σ ∈ D(p, q) i niech σ ′ ∈ D(q, p) będzie drogą odwrotną do σ. Wtedy
σσ ′ ∼ ep, σ ′ σ ∼ eq, gdzie ep ∈ D(p, p), eq ∈ D(q, q) są drogami stałymi przyjmującymi stałe wartości
odpowiednio p i q.
Dowód. Homotopię od σσ ′ do ep zadaje odwzorowanie
⎧
⎪⎨
σ(2s), gdy 0 s
F (s, t) =
⎪⎩
1−t
2 ,
σ(2 − 2t − 2s),
p,
gdy
gdy
1−t
2 s 1 − t,
1 − t s 1.
Podobnie określa się homotopię od σ ′ σ do eq. ⊠

2. Grupa podstawowa 11
2.3 Definicja grupy podstawowej
Jeśli σ ∈ D(p, q), to przez [σ] oznaczamy klasę abstrakcji pętli σ względem relacji ∼.
Niech p ∈ X będzie ustalonym punktem. Nazwijmy go punktem bazowym. Rozpatrzmy zbiór
D(p, p), wszystkich dróg o początku i końcu w punkcie p, tzn. zbiór wszystkich pętli w punkcie p.
Definicja 2.3.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [σ], gdzie σ ∈ D(p, p), oznaczamy przez
π1(X, p) i nazywamy grupą podstawową (lub grupą homotopii) przestrzeni X w punkcie p.
Mnożenie w π1(X, p) jest określone wzorem
[σ][τ] = [στ], dla σ, τ ∈ D(p, p).
Z faktów podanych w poprzednim podrozdziale wynika, że mnożenie to jest dobrze określone oraz, że
zbiór π1(X, p) wraz z tym mnożeniem jest grupą. Elementem neutralnym jest klasa abstrakcji pętli
stałej. Elementem odwrotnym do [σ] jest [σ ′ ], gdzie σ ′ jest pętlą w punkcie p, odwrotną do pętli σ,
tzn. [σ] −1 = [σ ′ ].
Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie 2.3.2. Niech p, q ∈ X i niech τ ∈ D(p, q). Odwzorowanie
jest izomorfizmem grup. ⊠
π1(X, q) −→ π1(X, p), [σ] ↦−→ [τ][σ][τ] −1 ,
Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeśli dla dowolnych punktów p, q ∈ X
istnieje droga τ należąca do D(p, q). Z powyższego stwierdzenia wynika:
Wniosek 2.3.3. Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna i p ∈ X, to grupa podstawowa π1(X, p) nie
zależy od wyboru punktu p, tzn. dla dowolnych punktów p, q ∈ X, grupy π1(X, p) i π1(X, q) są izomorficzne.
⊠
Jeśli X jest przestrzenią łukowo spójną, to jej grupę podstawową π1(X, p) (gdzie p ∈ X) oznacza
się krótko przez π1(X).
Zanotujmy kilka własności przestrzeni łukowo spójnych.
Stwierdzenie 2.3.4.
(1) Obraz ciągły przestrzeni łukowo spójnej jest przestrzenią łukowo spójną.
(2) Przestrzeń łukowo spójna jest spójna (stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi).
(3) Każdy niepusty spójny zbiór otwarty w R n jest łukowo spójny. ⊠
Grupa podstawowa ma charakter funktorialny. Przez kategorię przestrzeni topologicznych z wyróżnionym
punktem rozumiemy kategorię, której obiektami są pary (X, p) (gdzie X jest przestrzenią
topologiczną i p ∈ X), a morfizmami z (X, p) do (Y, q) są odwzorowania ciągłe f : X −→ Y takie, że
f(p) = q. Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem ciągłym, to definiujemy homomorfizm indukowany:
f∗ : π1(X, p) −→ π1(Y, f(p)), [σ] ↦−→ [f ◦ σ].
Łatwo sprawdza się, że f∗ jest homomorfizmem grup. Ponadto, (f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗, (1X)∗ = id. Mamy
zatem:
Wniosek 2.3.5. π1 jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnionym
punktem do kategorii grup. ⊠

12 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
2.4 Homotopia odwzorowań
Wiemy już co to znaczy, że dwie drogi σ, τ : I −→ X (należące do D(p, q)) są homotopijnie równoważne.
W podobny sposób można zdefiniować równoważność homotopijną, gdy odcinek I zastąpimy
dowolną przestrzenią topologiczną Y . W przypadku odcinka istotną rolę odgrywał dwuelementowy
podzbiór A = {0, 1} ⊂ I. Rozpatrywaliśmy tylko drogi σ, τ : I −→ X takie, że σ|A = τ|A.
Niech teraz Y będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A ⊂ Y będzie ustalonym podzbiorem.
Definicja 2.4.1. Niech f, g : Y −→ X będą odwzorowaniami ciągłymi takimi, że f|A = g|A.
Mówimy, że odwzorowania f i g są homotopijnie równoważne względem A, co zapisujemy jako f ∼A g,
jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y × I −→ X takie, że:
⎧
F (y, 0)
⎪⎨
F (y, 1)
=
=
f(y),
g(y),
dla y ∈ Y,
dla y ∈ Y,
⎪⎩
F (y, t) = f(y) = g(y), dla y ∈ A, t ∈ I.
Odwzorowanie F nazywamy homotopią względem A od f do g.
Powyższa homotopijność względem A jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich funkcji
ciągłych z X do Y identycznych na zbiorze A.
Definicja 2.4.2. W przypadku, gdy A = ∅, piszemy f ∼ g (zamiast f ∼A g) i mówimy, że funkcje
f i g są homotopijne.
Zatem funkcje f, g : Y −→ X są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe
F : Y × I −→ X takie, że:
F (y, 0) = f(y), dla y ∈ Y,
F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y,
Przykład 2.4.3. Niech X = Y = R n . Niech f, g : R n −→ R n będą funkcjami takimi, że f jest
identycznością, a g jest odwzorowaniem stałym przyjmującym stałą wartość 0. Wtedy odwzorowanie
jest homotopią od f do g. ⊠
F : R n × I −→ R n , (x, t) ↦−→ tx,
Definicja 2.4.4. Jeśli X jest taką przestrzenią topologiczną, że odwzorowanie identycznościowe jest
homotopijne z odwzorowaniem stałym, to mówimy, że przestrzeń X jest ściągalna.
Definicja 2.4.5. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest jednospójna, gdy jest łukowo spójna i ma
trywialną grupę podstawową.
Twierdzenie 2.4.6 ([12]19).
(1) Przestrzeń X jest ściągalna ⇐⇒ dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y każde dwie funkcje
ciągłe z Y do X są homotopijne.
(2) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
(3) Każdy wypukły podzbiór w R n jest ściągalny.
(4) Przestrzeń ściągalna jest jednospójna. ⊠
Definicja 2.4.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe ϕ : X −→
Y nazywa się homotopijną równoważnością, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe ψY −→ X takie, że
ϕψ ∼ 1X i ψϕ ∼ 1Y . Jeśli takie odwzorowanie ϕ istnieje, to mówimy, że przestrzenie X i Y mają
ten sam typ homotopii.

2. Grupa podstawowa 13
W szczególnści, przestrzeń X jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam typ homotopii,
co przestrzeń jednopunktowa.
Wiemy, że π1 jest funktorem. Jeśli więc f : X −→ Y jest homeomorfizmem, to grupy π1(X, p),
π1(Y, f(p)) są izomorficzne. Założenie ”f jest homeomorfizmem” można osłabić:
Stwierdzenie 2.4.8. Jeśli ϕ : X −→ Y jest homotopijną równoważnością, to grupy π1(X, p), π1(Y, ϕ(p))
są izomorficzne. ⊠
Grupa podstawowa przestrzeni łukowo spójnych jest więc niezmiennikiem typu homotopii (i tym
bardziej niezmiennikiem topologicznym).
Niech X będzie przestrzenią spójną. Jeśli Y jest przestrzenią homotopijnie równoważną z X, to Y również jest
przestrzenią spójną ([16] 138).
2.5 Przykłady
Stwierdzenie 2.5.1 ([12]24, [6]22). π1(X × Y, (p, q)) ≈ π1(X, p) × π1(Y, q). ⊠
Stwierdzenie 2.5.2 ([12]23, [6]31).
π1(S n ) =
Z, gdy n = 1,
0, gdy n > 1. ⊠
Grupa Z, liczb całkowitych, jest więc grupą podstawową każdej przestrzeni topologicznej mającej
typ homotopii okręgu, w szczególności pierścienia kołowego, pełnego torusa i ogólniej, produktu S 1 ×
I n dla każdego n = 1, 2, . . . , a także na przykład dla wstęgi Möbiusa. Grupa podstawowa torusa
S 1 × · · · × S 1 (n razy) jest natomiast suą prostą n grup cyklicznych:
π1(S 1 × · · · × S 1
) = Z × · · · × Z .
n
n
Znając powyższe fakty można łatwo udowodnić, że okrąg S 1 nie jest retraktem koła domkniętego.
Stąd natomiast otrzymuje się łatwo szczególny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym:
każde ciągłe odwzorowanie koła domkniętego w siebie ma punkt stały (patrz [12]25).
Przestrzeń rzutową P n = P n (R) można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową sfery S n , otrzymaną
przez utożsamienie punktów antypodycznych.
Stwierdzenie 2.5.3 ([12] 31).
π1(P n ) =
Z, gdy n = 1,
Z2, gdy n > 1. ⊠
Stwierdzenie 2.5.4 ([12] 23). Jeśli G jest jednospójną grupą topologiczną, a H jest jej dyskretnym
dzielnikiem normalnym, to π1(G/H, 1) ≈ H. ⊠
Stwierdzenie 2.5.5 ([16] 155). Jeśli G jest grupą topologiczną i e jest jej elementem neutralnym,
to grupa π1(G, e) jest abelowa. ⊠
2.6 Wyższe grupy homotopii
Na podstawie [16] 155.
Grupę π1(X, p) nazywa sią często pierwszą grupą homotopii przestrzeni X w punkcie p. Indeks
”1” przypomina o tym, że grupa ta jest zbiorem klas abstrakcji dróg, czyli ciągłych odwzorowań z I 1
do X. W ogólnym przypadku można określić πn(X, p), n-tą grupę homotopii, zastępując drogi przez
odwzorowania ciągłe σ : I n −→ X. Przedstawiamy szkic konstrukcji.
Niech p ∈ X będzie wyróżnionym punktem.

14 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Definicja 2.6.1. Brzegiem kostki I n nazywamy zbiór
∂I n = {(a1, . . . , an) ∈ I n ; ai = 0 lub ai = 1, dla pewnego i}.
Definicja 2.6.2. Przez Pn(X, p) oznaczamy zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań σ : I n −→ X
takich, że σ(∂I n ) = {p}.
Definicja 2.6.3. Mówimy, że odwzorowania σ, τ : In −→ X, należące do Pn(X, p) są homotopijnie
równoważne jeśli są homotopijne względem brzegu ∂I n , tzn., jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie
F : In × I −→ X takie, że
⎧
F (y, 0) = σ(y), dla y ∈ I
⎪⎨
n ,
F (y, 1) = τ(y), dla y ∈ In ,
⎪⎩
F (y, t) = p, dla y ∈ ∂I n , t ∈ I.
Powyższa relacja homotopijności jest relacją typu równoważności w zbiorze Pn(X, p). Klasy abstrakcji
oznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez πn(X, p). Mnożenie w πn(X, p)
definiuje się jako
[σ][τ] = [σ ∗ τ],
gdzie
σ ∗ τ(t1, . . . , tn) =
σ(2t1, t2, . . . , tn), gdy 0 t1 1
2 ,
τ(2t1 − 1, t2, . . . , tn), gdy 1
2 t1 1.
Mnożenie to jest poprawnie zdefiniowane. Zbiór πn(X, p), z takim mnożeniem jest grupą.
Stwierdzenie 2.6.4 ([16] 156).
(1) Jeśli istnieje droga σ ∈ D(p, q), to grupy πn(X, p) i πn(X, q) są izomorficzne.
(2) Jeśli przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii, to ich n-te grupy homotopii są izomorficzne.
(3) Jeśli n 2, to grupa πn(X, p) jest abelowa.
(4) Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y będzie funkcją ciągłą. Określa
się wtedy, w sposób funktorialny, homomorfizm grup f∗ : πn(X, p) −→ πn(Y, f(p)). Jeśli wszystkie
homomorfizmy f∗ (dla każdego n 1) są izomorfizmami, to f jest homotopijną równoważnością. ⊠
2.7 Hipoteza Poincaré
Hipoteza 2.7.1 (Poincar’e, 1895). Jeżeli X jest zwartą, spójną i jednospójną rozmaitością (topologiczną)
wymiaru 3, to X jest homeomorficzne z trójwymiarową sferą S 3 .
Hipoteza ma naturalne uogólnienie na wszystkie wymiary n 2. Dla n = 2 problem rozstrzygnął
pozytywnie sam Poincaré. W 1961 roku S. Smale podał dowód dla n 5, a w 1981 roku M. Friedman
dla n = 4 (patrz [5]). Pozostała do rozstrzygnięcia tylko klasyczna wersja tej hipotezy.

3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15
3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną
3.1 Działanie grupy na zbiór
Niech X będzie zbiorem, a G grupą.
Definicja 3.1.1. Mówimy, że G działa na X lub, że X jest G-zbiorem, jeśli zadane jest odwzorowanie
(zwane działaniem grupy G na X)
· : G × X −→ X, (g, x) ↦−→ gx,
spełniające warunki:
(1) ex = x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G,
(2) g(hx) = (gh)x, dla g, h ∈ G, x ∈ X.
Działanie grupy G na X, to nic innego, jak homomorfizm grup G −→ S(X), gdzie S(X) jest grupą
wszystkich permutacji zbioru X.
Przykład 3.1.2.
(1) Niech G będzie grupą Top(X), wszystkich homeomorfizmów przestrzeni topologicznej X. Działanie
G × X −→ X określamy jako (g, x) ↦→ g(x), tzn. gx = g(x).
(2) G = Z2 = {−1, 1}, X = Sn . Z2 × Sn −→ Sn , (a, x) ↦→ ax, tzn. (±)x = ±x.
(3) G = Z, X = R, ax = x + a.
(4) G = Z × Z, X = R2 , (a, b)(x, y) = (x + a, y + a).
(5) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2 ; − 1
1
2 y 2 }, Działanie Z × X −→ X określamy wzorem
(a, (x, y)) ↦→ (x + a, (−1) ay). (6) Niech H będzie podgrupą grupy G. Rozpatrzmy działanie H × G −→ G, (h, g) ↦→ hg. Grupa
G jest więc H-zbiorem.
(7) Niech G będzie grupą i X = 2G rodziną wszystkich podzbiorów zbioru G. Definiujemy
G × 2G −→ 2G , przyjmując
(g, U) ↦−→ gU = {gu; u ∈ U}.
Zbiór 2 G jest więc G-zbiorem. ⊠
Z definicji G-zbioru wynika, że każde odwzorowanie X −→ X postaci x ↦→ gx, jest bijekcją.
3.2 Przestrzeń orbit
Załóżmy, że X jest G-zbiorem. Określamy relację ∼ w X, przyjmując:
x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈G y = gx.
Jest to oczywiście relacja typu równoważności. Klasy abstrakcji nazywamy orbitami. Jeśli x ∈ X, to
orbitą elementu x, czyli klasą abstrakcji wyznaczoną przez x, jest zbiór
Gx = {gx; g ∈ G}.
Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez X/G. Zatem X/G jest zbiorem wszystkich orbit
G-zbioru X.
Załóżmy teraz, że X jest przestrzenią topologiczną, będącą G-zbiorem.
Definicja 3.2.1. Zbiór X/G z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią orbit działania G na X.
Przykład 3.2.2.
(1) G = Z2 = {−1, 1}, X = Sn , Z2 × Sn −→ Sn , (a, x) ↦→ ax. Wtedy Sn /Z2 = Pn (R) jest
przestrzenią rzutową rzeczywistą.
(2) G = Z, X = R, Z × R −→ R, ax = x + a. Wtedy R/Z = S1 .
(3) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2 ; − 1
1
2 y 2 }, Z × X −→ X, (a, (x, y)) ↦→ (x + a, (−1)ay). Wtedy
X/Z jest wstęgą Möbiusa. ⊠

16 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeń topologiczną X. Jeśli x ∈ X, to oznaczamy:
Gx = {g ∈ G; gx = x}.
Zbiór Gx jest podgrupą grupy G, zwaną stabilizatorem w punkcie x. Można zatem rozważać zbiory orbit
postaci G/Gx. Zbiór G/Gx pokrywa się oczywiście ze zbiorem warstw grupy G, względem podgrupy
Gx.
Jeśli wszystkie odwzorowania postaci x ↦→ gx są ciągłe, to mówimy, że działanie G × X −→ X jest
ciągłe oraz, że X jest G-przestrzenią. Ciągłe działanie G × X −→ X, to nic innego, jak homomorfizm
grup G −→Top(X), gdzie Top(X) jest grupą wszystkich homeomorfizmów z X do X.
Stwierdzenie 3.2.3. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G, x ↦→
Gx, jest ciągłym odwzorowaniem otwartym.
Dowód. Odwzorowanie η : X −→ X/G jest oczywiście ciągłe (gdyż X/G ma topologię ilorazową).
Niech U ⊆ X będzie zbiorem otwartym w X. Należy pokazać, że η(U) jest zbiorem otwartym w X/G,
tzn., że zbiór η −1 η(U) jest otwarty w X. Wynika to z równości:
η −1 η(U) =
g∈G gU.
Zbiory postaci gU są otwarte w X, gdyż x ↦→ gx jest homeomorfizmem. ⊠
Stwierdzenie 3.2.4. Załóżmy, że grupa G jest skończona. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie
naturalne η : X −→ X/G, x ↦→ Gx, jest domknięte.
Dowód. Niech F ⊆ X będzie zbiorem domkniętym w X. Należy pokazać, że η(F ) jest zbiorem
domkniętym w X/G, tzn., że zbiór η −1 η(F ) jest domknięty w X. Wynika to z równości:
η −1 η(F ) =
g∈G gF.
Zbiory postaci gF są domknięte w X, gdyż x ↦→ gx jest homeomorfizmem. Zbiór η −1 η(F ) jest więc
skończoną sumą zbiorów domkniętych, a zatem jest zbiorem domkniętym. ⊠
3.3 Produkty
Niech G1, G2 będą grupami. Załóżmy, że X1 jest G1-przestrzenią, a X2 jest G2-przestrzenią. Mamy
wówczas ciągłe działanie
(G1 × G2) × (X1 × X2) −→ X1 × X2, (a, b)(x1, x2) = (ax1, bx2).
Przestrzeń X1 × X2 jest więc G1 × G2-przestrzenią. Mamy zatem przestrzeń orbit X1 × X2/G1 × G2.
Stwierdzenie 3.3.1 (PH15). Przestrzenie topologiczne X1 × X2/G1 × G2 i (X1/G1) × (X2/G2)
są homeomorficzne. Homeomorfizmem jest odwzorowanie [a, b] ↦→ ([a], [b]). ⊠
Przykład 3.3.2.
(1) Niech Z × Z działa na R 2 jako: (a, b)(x, y) = (a + x, b + y). Wtedy
R 2 /(Z × Z) ≈ (R/Z) × (R/Z) ≈ S 1 × S 1
(2) Niech G = Z, X = C {0}. Rozpatrzmy działanie
Z × X −→ X, ax = 2 a x.
(torus).
Zbiór C {0} jest więc Z-przestrzenią. Można pokazać, że przestrzeń orbit (C {0})/Z jest homeomorficzna
z torusem S 1 × S 1 .
(3) ([16] 55). Niech T : R n {0} −→ R n {0} będzie homeomorfizmem określonym wzorem
T (x) = 2x. Rozpatrzmy grupę G = {T i ; i ∈ Z}. Grupa ta działa na R n {0} (T i x = T i (x)). Można
pokazać, że (R n {0})/G ≈ S n−1 × S 1 . ⊠

3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 17
3.4 Zwartość
Jest oczywiste, że jeśli f : X −→ Y jest ciągłą surjekcją przestrzeni topologicznych, gdzie X jest
przestrzenią quasi-zwartą (tzn. spełniającą warunek zwartości ale bez założenia o hausdorffowości),
to Y jest również przestrzenią quasi-zwartą. Stąd wynika w szczególności:
Stwierdzenie 3.4.1. Jeśli X jest quasi-zwartą G-przestrzenią, to przestrzeń orbit X/G jest quasizwarta.
⊠
Dla przestrzeni orbit X/G może być kłopot z hausdorffowością. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa,
to X/G nie musi być taką (Stwierdzenie 3.8.1). Jednakże dla grup skończonych własność ta przechodzi.
Stąd mamy:
Stwierdzenie 3.4.2. Niech X będzie G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną. Jeśli przestrzeń
X jest zwarta, to X/G jest również przestrzenią zwartą. ⊠
Wiemy już, że rzeczywista przestrzeń rzutowa P n (R) jest homeomorficzna z przestrzenią orbit
S n /Z2. Mamy zatem:
Wniosek 3.4.3. Rzeczywista przestrzeń rzutowa P n (R) jest zwarta. ⊠
3.5 Działania wspólnie rozłączne
Niech X będzie G-przestrzenią.
Definicja 3.5.1 ([16] 167). Mówimy, że działanie grupy G na X jest rozłączne (lub wspólnie rozłączne),
jeśli dla każdego x ∈ X, istnieje otwarte otoczenie V ∋ x takie, że gV ∩g ′ V = ∅, dla wszystkich
g, g ′ ∈ G, g = g ′ .
Twierdzenie 3.5.2 ([16] 167, PH113). Niech X będzie G-przestrzenią. Jeśli działanie G na X
jest wspólnie rozłączne, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G jest nakryciem.
Definicja nakrycia jest w Podrozdziale 1.9.
Dowód. Niech Gx = {gx; g ∈ G} będzie dowolnym elementem w X/G. Ponieważ działanie jest
wspólnie rozłączne, więc istnieje zbiór otwarty V w X, zawierający x taki, że gV ∩ g ′ V = ∅, dla
wszystkich g, g ′ ∈ G, g = g ′ . Oznaczmy U = η(V ). Zbiór U jest otwarty w X/G (Stwierdzenie 3.2.3)
i Gx ∈ U. Zauważmy, że
η −1 (U) = η −1 η(V ) =
g∈G gV.
Zbiory postaci gV są otwarte w X (bo odwzorowanie x ↦→ gx jest homeomorfizmem) i parami rozłączne.
Należy jeszcze pokazać, że odwzorowanie η|gV jest homeomorfizmem pomiędzy przestrzeniami gV
i U. Odwzorowanie η|gV jest oczywiście ciągłe i otwarte oraz η(gV ) = η(V ) = U. Wystarczy zatem
tylko pokazać, że η|gV jest odwzorowaniem różnowartościowym. Niech a, b ∈ gV , η(a) = η(b). Wtedy
Ga = Gb, więc a = g ′ b, dla pewnego g ′ ∈ G. Zatem a ∈ gV ∩ g ′ gV . Jeśli g ′ = e, to gV ∩ g ′ gV = ∅.
Stą wynika, że g ′ = e, czyli a = g ′ b = eb = b. ⊠
3.6 Działania wolne
Niech X będzie G-przestrzenią. Przez e oznaczamy element neutralny grupy G.
Definicja 3.6.1 ([16] 88). Mówimy, że działanie grupy G na X jest wolne (lub, że grupa G działa
na X w sposób wolny) jeśli gx = x, dla wszystkich g ∈ G {e}, x ∈ X.
Stwierdzenie 3.6.2. Działanie grupy G na X jest wolne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ X,
stabilizator Gx = {g ∈ G; gx = x} jest trywialny (tzn. równy {e}). ⊠
Stwierdzenie 3.6.3 ([16] 168, PH110). Niech G będzie skończoną grupą działającą w sposób wolny
na przestrzeń Hausdorffa X. Wówczas działanie G × X −→ X jest wspólnie rozłączne. ⊠

18 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Korzystając z tego stwierdzenia można udowodnić:
Twierdzenie 3.6.4 (PH111). Niech X będzie n-wymiarową rozmaitością topologiczną zwartą, będącą
G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną działającą w sposób wolny. Wtedy przestrzeń orbit
X/G jest również n-wymiarową rozmaitością topologiczną. ⊠
Przy założeniach tych samych co w powyższym twierdzeniu można udowodnić, że prawdziwa jest
także implikacja odwrotna, tzn. jeśli X/G jest n-wymiarową rozmaitością, to X również ([16] 94 zad.
d).
Niech M będzie powierzchnią (tzn. zwartą i spójną rozmaitością 2-wymiarową). Załóżmy, że M
jest G-przestrzenią, gdzie G jest skończoną grupą cykliczną nieparzystego rzędu. Wtedy M/G jest
również powierzchnią. Nie musimy tu zakładać, że działanie jest wolne ([16] 107).
3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit
Niech X będzie łukowo spójną G-przestrzenią. Załóżmy, że działanie grupy G na X jest wspólnie
rozłączne. Wiemy, że wtedy odwzorowanie kanoniczne η : X −→ X/G jest nakryciem. Jaki jest związek
grupy podstawowej π1(X/G) z grupą π1(X)?
Niech η∗ : π1(X) −→ π1(X/G) będzie homomorfizmem grup indukowanym przez η. Można udowodnić:
Twierdzenie 3.7.1 ([16] 179). Przy powyższych założeniach, grupy G i π1(X/G)/η∗(π1(X) są izomorficzne.
⊠
Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest jednospójna, jeśli jest łukowo spójna oraz jej
grupa podstawowa jest zerowa. Z powyższego twierdzenia otrzymujemy:
Wniosek 3.7.2. Jeśli X jest przestrzenią jednospójną oraz działanie grupy G na X jest wspólnie
rozłączne, to grupy π1(X/G) i G są izomorficzne. ⊠
Przykład 3.7.3. π1(S 1 ) = Z.
Dowód. Grupa Z działa na R następująco: ar ↦→ a + r. Wiemy, że S1 ≈ R/Z. Oczywiście R jest
przestrzenią jednospójną. Pokażemy, że działanie Z na R jest wspólnie rozłączne. Niech r ∈ R. Niech
U = (r − 1 1
3 , r + 3 ). Wtedy U jest zbiorem otwartym w R, zawierającym r i takim, że dla a, b ∈ Z,
a = b, zbiór aU ∩ bU jest pusty. Teza wynika zatem z powyższego wniosku. ⊠
Przykład 3.7.4. Niech X = S 3 ⊂ C 2 .
S 2 = {(z0, z1) ∈ C 2 ; |z0| 2 + |z1| 2 = 1}.
Niech p > 1 będzie liczbą naturalną. Rozpatrzmy odwzorowanie h : S 3 −→ S 3 określone wzorem
h(z0, z1) = (z0e 2πi
p , z1e 2πi
p ) = e 2πi
p (z0, z1).
Odwzorowanie to jest homeomorfizmem sfery S 3 takim, że h p = id. Niech G = Zp będzie grupą
cykliczną rzędu p i rozpatrzmy działanie G na S 3 , określone jako:
n(z0, z1) = h n (z0, z1).
Grupa Zp działa w sposób wolny na S 3 . Działanie to jest więc wspólnie rozłączne. Mamy zatem
nakrycie S 3 −→ S 3 /Zp. Z powyższego wniosku wynika, że π1(S 3 /Zp) = Zp. ⊠
Na mocy tych przykładów mamy:
Wniosek 3.7.5. Każda grupa cykliczna jest grupą podstawową pewnej przestrzeni topologicznej (łukowo
spójnej). ⊠
Łącząc ten wniosek z twierdzeniem o grupie podstawowej produktu otrzymujemy:
Wniosek 3.7.6. Każda skończenie generowana grupa abelowa jest grupą podstawową pewnej przestrzeni
topologicznej (łukowo spójnej). ⊠

3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 19
3.8 Uwagi
3.1 Grupa (Q, +), addytywna grupa liczb wymiernych, działa na przestrzeń R. Działanie określone jest
wzorem qr = r + q. Odwzorowania postaci r ↦→ qr są oczywiście ciągłe. R jest więc Q-przestrzenią.
Stwierdzenie 3.8.1 (PH19). Przestrzeń R/Q jest trywialna, tzn. zbiorami otwartymi są tylko: zbiór pusty
i cała przestrzeń.
Dowód. Niech η : R −→ R/Q będzie naturalną surjekcją. Załóżmy, że A jest niepustym zbiorem otwartym
w R/Q i niech r + Q ∈ A. Wtedy η(r) = r + Q ∈ A, więc r ∈ η −1 (A). Zbiór η −1 (A) jest otwarty w R (bo
R/Q ma topologię ilorazową), jest więc sumą mnogościową otwartych odcinków. Do jednego z tych otwartych
odcinków należy oczywiście element r. Istnieją zatem liczby rzeczywiste u < v takie, że
r ∈ (u, v) ⊆ η −1 (A).
Rozpatrzmy teraz dowolną orbitę s + Q należącą do R/Q. Pokażemy (i to wystarczy), że s + Q ∈ A. Niech t
będzie taką liczbą wymierną, że −s + u < t < −s + v. Wtedy t + s ∈ (u, v) ⊆ η −1 (A), czyli
Zatem A = R/Q. ⊠
s + Q = s + t + Q = η(s + t) ∈ A.
Ze stwierdzenia tego wynika, że jeśli X jest G-przestrzenią Hausdorffa, to X/G nie musi być przestrzenią
Hausdorffa.

20 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
4 Snopy i algebry funkcji ciągłych
4.1 Presnopy
Definicja 4.1.1. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez ˜ X oznaczamy kategorię, której
obiektami są wszystkie zbiory otwarte w X, a morfizmami włożenia, tzn. jeżeli U, V są otwartymi
podzbiorami w X (czyli obiektami w ˜ X), to
∅,
Morf (U, V ) =
{U ↩→ V },
gdy
gdy
U ⊆ V,
U ⊆ V.
Zbiór morfizmów w kategorii ˜ X jest co najwyżej jednoelementowy.
Niech A będzie kategorią.
Definicja 4.1.2. Każdy funktor kontrawariantny F : ˜ X −→ A nazywamy presnopem przestrzeni
topologicznej X o wartościach w A.
Zakładać będziemy, że obiekty kategorii A ”żyją” na kategorii zbiorów, a morfizmy są przede
wszystkim funkcjami.
Definicja 4.1.3. Jeżeli F : ˜ X −→ A jest presnopem i U ⊆ V , to jedyny morfizm F (U ↩→ V ) :
F (V ) −→ F (U) oznaczamy przez F V U i nazywamy ograniczeniem V do U.
Zatem F V U
: F (V ) −→ F (U). Z definicji funktora kontrawariantnego wynika:
Stwierdzenie 4.1.4.
(1) F U U = 1 F (U).
(2) Jeśli U ⊆ V ⊆ W , to F W U = F V U ◦ F W V
4.2 Snopy
. ⊠
Pewne presnopy nazywać będziemy snopami. Przed ich zdefiniowaniem wprowadźmy następujące nowe
pojęcie.
Definicja 4.2.1. Niech F : ˜ X −→ A będzie presnopem i U =
α Uα otwartym pokryciem w X.
Zgodną rodziną (tego pokrycia względem F ) nazywamy każdą rodzinę {fα} taką, że:
(a) ∀α fα ∈ F (Uα),
(b) ∀α,β F Uα
Uα∩Uβ (fα) = F Uβ
Uα∩Uβ (fβ) (równość w F (Ua ∩ Uβ)).
Przykład 4.2.2. Niech F : ˜ X −→ A będzie presnopem i U =
α Uα otwartym pokryciem w X. Niech
f ∈ F (U). Dla każdego α definiujemy element fα jako
fα = F U Uα (f).
Wtedy {fα} jest zgodną rodziną rozpatrywanego pokrycia względem F .
Dowód. Ponieważ F U Uα : F (U) −→ F (Uα) więc fα = F U Uα (f) ∈ F (Uα). Mamy ponadto (na mocy
Stwierdzenia 4.1.4):
F Uα
Uα∩Uβ (fα) = F Uα
Uα∩Uβ F U Uα (f) = F U Uβ
Uα∩Uβ (f) = FUα∩Uβ F U Uβ
Uβ (f) = FUα∩Uβ (fβ). ⊠
Definicja 4.2.3. Mówimy, że zgodna rodzina {fα} (pokrycia U =
α Uα względem presnopa F )
ma własność sklejania jeśli istnieje dokładnie jeden element f ∈ F (U) taki,że {fα} jest rodziną z
powyższego przykładu, tzn. ∀α fα = F U Uα (f).

4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 21
Definicja 4.2.4. Presnop F : ˜ X −→ A nazywamy snopem jśli dla każdego otwartego pokrycia w X
każda zgodna rodzina, tego pokrycia względem F , ma własność sklejania.
Z encyklopedii: ”Teoria snopów” to specjalny matematyczny aparat, służący do ustalenia związków między lo-
kalnymi i globalnymi własnościami przestrzeni topologicznych. Aparat ten stosowany jest we współczesnej algebrze,
geometrii, topologii i analizie.
Przykład 4.2.5. Niech X będzie dyskretną przestrzenią topologiczną (każdy podzbiór jest otwarty) i
niech Y będzie ustalonym zbiorem. Określamy funktor F : ˜ X −→ Set przyjmując za F (U) (gdzie U jest
podzbiorem w X) zbiór wszystkich zwykłych funkcji z U do Y . Jeśli U ⊆ V , to F V U : F (V ) −→ F (U)
określamy jako F V U (f) = f | U, dla każdego f ∈ F (V ). Funktor F jest snopem.
Dowód. Jest oczywiste, że F jest presnopem. Niech {fα} będzie zgodną rodziną pokrycia U =
α Uα względem F . Definiujemy f : U −→ Y przyjmując (dla każdego u ∈ U) f(u) = fα(u), gdzie α
jest takie, że u ∈ Uα. Zauważmy, że definicja tej funkcji jest poprawna. Jeśli bowiem u należy też do
Uβ, to u ∈ Uα ∩ Uβ i wtedy fα(u) = fβ(u), gdyż fα | Uα ∩ Uβ = fβ | Uα ∩ Uβ. Jedyność funkcji f jest
oczywista. ⊠
Oto uogólnienie tego przykładu.
Przykład 4.2.6. Niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi. Określamy funktor F : ˜ X −→ Set
przyjmując za F (U) (gdzie U jest otwartym podzbiorem w X) zbiór wszystkich funkcji ciągłych z U
do Y . Jeśli U ⊆ V , to F V U : F (V ) −→ F (U) określamy jako F V U (f) = f | U, dla każdego f ∈ F (V ).
Funktor F jest snopem.
Dowód. Sprawdzamy to dokładnie tak samo jak w poprzednim przykładzie. Musimy jedynie
wykazać, że funkcja f : U −→ Y (patrz dowód poprzedniego przykładu) jest ciągła. Wynika to z
następującego lematu
Lemat 4.2.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech U =
α Uα będzie otwartym
pokryciem w X. Załóżmy, że f : U −→ Y jest zwykłą funkcją taką, że wszystkie funkcje fα = f | Uα
są ciągłe. Wtedy f jest funkcją ciągłą.
Dowód. Wynika to z równości f −1 (V ) = −1
α fα (V ), gdzie V ⊆ Y . ⊠
Przykład 4.2.8 (Presnop, który nie jest snopem). Niech X = {a, b} będzie dwuelementową
przestrzenią dyskretną i niech Y = {p, q} będzie ustalonym dwuelementowym zbiorem. Określamy
funktor F : ˜ X −→ Set przyjmując:
F (∅) = {p},
F (X) = F ({a}) = F ({b}) = Y.
Morfizmy określamy następująco. Jeśli U ⊆ V , to
F V
1Y ,
U =
funkcja stała = p,
gdy
gdy
U = ∅,
U = ∅.
Jest oczywiste, że F jest presnopem. Nie jest to jednak snop, gdyż zgodna rodzina {p, q} (pokrycia
X = {a} ∪ {b} względem F ) nie ma własności sklejania. ⊠
4.3 Algebra funkcji ciągłych
Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez C[X] oznaczać będziemy R-algebrę wszystkich funkcji
ciągłych z X do R. O pewnych snopowych własnościach tej algebry wspomnieliśmy w Przykładzie
4.2.6. Teraz podamy informacje o ideałach maksymalnych i derywacjach tej algebry.
Zanotujmy najpierw kilka drobnych spostrzeżeń.

22 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Lemat 4.3.1. Niech f : X −→ R będzie funkcją ciągłą taką,że f(x) = 0 dla wszystkich x ∈ X. Wtedy
g : X −→ R, x ↦→ 1/f(x), też jest funkcją ciągłą.
Dowód. Wiemy, że funkcja ϕ : R{0}, x ↦→ 1/x jest ciągła. Zatem funkcja g = ϕf też jest ciągła,
gdyż jest złożeniem dwóch funkcji ciągłych. ⊠
Stąd wynika:
Stwierdzenie 4.3.2. Funkcja f ∈ C[X] jest odwracalna w C[X] ⇐⇒ ∀x∈X f(x) = 0. ⊠
Ideały maksymalne. Jeśli p ∈ X, to przez mp[X] oznaczamy zbiór wszystkich funkcji f ∈ C[X],
zerujących się w punkcie p. Zbiór ten jest ideałem maksymalnym w C[X] oraz C[X]/mp[X] ≈ R
(gdyż mp[X] jest jądrem surjekcji C[X] −→ R, f ↦→ f(p)).
Stwierdzenie 4.3.3. Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to każdy ideał maksymalny w C[X] jest postaci
mp[X], dla pewnego p ∈ X.
Dowód. Niech M będzie ideałem maksymalnym w C[X]. Jeśli f ∈ M, to przez Af oznaczać
będziemy domknięty zbiór f −1 (0). Z poprzedniego stwierdzenia wynika, że Af = ∅.
Rozpatrzmy rodzinę {Af ; f ∈ M}. Rodzina ta jest scentrowana (tzn. każdy skończony przekrój
zbiorów z tej rodziny jest niepusty). Istotnie, przypuśćmy, że Af1 ∩ · · · ∩ Afs = ∅, dla pewnych
f1, . . . , fs ∈ M. Wtedy funkcja f 2 1 + · · · + f 2 s należy do M i w każdym punkcie jest różna od zera.
Funkcja ta jest więc odwracalna w C[X] wbrew temu, że należy ona do M.
Niech A =
f∈M Af . Ponieważ przestrzeń X jest zwarta, więc A = ∅. Niech p ∈ A. Wtedy
f(p) = 0, dla wszystkich f ∈ M. Zatem M ⊆ mp[X]. Ale M jest ideałem maksymalnym, więc
M = mp[X]. ⊠
W powyższym dowodzie nie korzystaliśmy z tego, że X jest przestrzenią Hausdorffa. Podobny fakt
zachodzi więc dla przestrzeni quasi-zwartych. Jeśli przestrzeń X nie jest zwarta, to w pieścieniu C[X]
mogą istnieć ideały maksymalne, które nie są postaci mp[X].
Przykład 4.3.4 (AP384). Niech X = {1, 2, . . . } będzie przestrzenią dyskretną. Istnieje wtedy maksymalny
ideał w C[X], który nie jest postaci mp[X].
Dowód. Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji f : X −→ R takich, że f(x) = 0 dla prawie
wszystkich x ∈ X. Jest jasne, że A jest właściwym ideałem w C[X]. Przypuśćmy, że A ⊆ mp[X], dla
pewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco:
1, dla x = p,
g(x) =
0, dla x = p.
Wtedy g ∈ A mp[X], a zatem mamy sprzeczność.
Ideał A nie jest więc zawarty w żadnym ideale postaci mp[X]. Istnieje więc ideał maksymalny M,
nie będący postaci mp[X], zawierający A. ⊠
Ideał A, rozpatrywany w tym dowodzie, nie jest pierwszy. Niech f, g : X −→ R będą funkcjami takimi, że f(n) = 0
i g(n) = 1 dla nieparzystych n oraz f(m) = 1 i g(m) = 0 dla parzystych m. Wtedy fg = 0 ∈ A, f ∈ A, g ∈ A.
Przykład 4.3.5. Niech X = R. Istnieje ideał maksymalny w C[X], który nie jest postaci mp[X].
Dowód (St. Balcerzyk). Przypomnijmy, że jeśli f : X −→ R jest funkcją ciągłą, to jej nośnikiem
Supp(f) nazywamy domknięcie zbioru f −1 (R0). Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych
f : X −→ R takich, że zbór Supp(f) jest ograniczony. Łatwo sprawdzić, że A jest ideałem w C[X],
różnym od C[X]. Istnieje więc ideał maksymalny M, zawierający A. Przypuśćmy, że A = mp[X], dla
pewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco:
⎧
⎪⎨
0, dla x p + 1 lub x p − 1,
g(x) = x + 1 − p, dla p − 1 x p,
⎪⎩
−x + 1 + p, dla p x p + 1.

4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 23
Wtedy g ∈ A mp[X], co jest sprzecznością. ⊠
Twierdzenie 4.3.6 ([8]294). Jeśli X jest przestrzenią Tichonowa (tzn. T 1 3 ), to X jest przestrzenią
2
zwartą ⇐⇒ każdy ideał maksymalny w C[X] jest postaci mp[X]. To samo dotyczy pierścienia C∗ [X],
wszystkich funkcji ciągłych i ograniczonych z X do R. ⊠
Dodatkowe informacje o ideałach maksymalnych (a także o ideałach pierwszych) w C[X] są w AP378-96. Patrz też
ZadAlg397-104.
Derywacje. Jeśli f : X −→ R jest zwykłą funkcją, to oznaczmy:
f + = max(f, 0), f − = − min(f, 0).
Wtedy f = f + − f − oraz f + 0, f − 0. Ponieważ f + = 1
2 (|f| + f), f − = 1
2 (|f| − f) więc, jeśli
f ∈ C[X], to f + , f − ∈ C[X].
Stwierdzenie 4.3.7. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Jeśli d : C[X] −→ C[X] jest
R-derywacją, to d = 0.
Dowód. Niech h ∈ C[X]. Pokażemy, że d(h) = 0. W tym celu musimy wykazać, że d(h)(p) = 0,
dla wszystkich p ∈ X. Niech więc p ∈ X. Niech r = h(p) i rozpatrzmy funkcję f = h − r. Ponieważ
f(p) = 0, więc f + (p) = 0, f − (p) = 0. Wiemy, że f + 0 i f − 0. Istnieją zatem ciągłe funkcje
a = f + , b = f − : X −→ R i przy tym a(p) = b(p) = 0. Mamy wtedy:
Zatem d(h) = 0. ⊠
d(h)(p) = d(h − r)(p) = d(f)(p) = d(f + − f − )(p)
= d(a 2 − b 2 )(p) = (2ad(a) − 2bd(b))(p)
= 2a(p)d(a)(p) − 2b(p)d(b)(p) = 0d(a)(p) − 0d(b)(p) = 0.
Następne stwierdzenie ma dokładnie taki sam dowód.
Stwierdzenie 4.3.8. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A = C ∗ [X] (R-algebra
wszystkich funkcji ciągl ych i ograniczonych x X do R) lub A = F [X] (R-algebra wszystkich funkcji z
X do R). Jeśli d : A −→ A jest R-derywacją, to d = 0. ⊠
Ustalmy teraz jeden punkt p ∈ X i niech σp : C[X] −→ R będzie R-algebrowym homomorfizmem
f ↦→ f(p). Dzięki temu homomorfizmowi R staje się C[X]-modułem z mnożeniem ∗ : C[X] × R −→ R,
f ∗ r = σp(f)r = f(p)r. Można zatem badać R-derywacje δ : C[X] −→ R (patrz [19]), czyli R-liniowe
odwzorowania takie, że
δ(fg) = f(p)δ(g) + g(p)δ(f), dla f, g ∈ C[X].
Nazywamy je derywacjami p-lokalnymi. Przepisując poprzedni dowód otrzymujemy:
Stwierdzenie 4.3.9. Jeśli δ : C[X] −→ R jest derywacją p-lokalną, to δ = 0. ⊠
To samo zachodzi, gdy zamiast algebry C[X] rozpatrzymy R-algebry ograniczonych funkcji ciągłych lub wszystkich
funkcji z X do R.
Pytanie 4.3.10. Czy ΩR(C[X]) (modułem różniczek algebry C[X], patrz [19]) jest modułem zerowym?

24 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków
Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech p ∈ X. Przez Ap[X] oznaczać będziemy zbiór wszystkich
par postaci (U, f), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ R
jest funkcją ciągłą. W zbiorze Ap[X] wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowaną następująco:
(U, f) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że:
(1) p ∈ W ⊆ U ∩ V,
(2) f | W = g | W.
Klasę abstrakcji elementu (U, f) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f] i nazywamy kiełkiem
punktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op[X]. W zbiorze Op[X] definiujemy
dodawanie i mnożenie w następujący sposób:
[U, f] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )],
[U, f] · [V, g] = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )].
Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op[X] z takimi działaniami
jest przemienną R-algebrą z jedynką [X, 1] i zerem [X, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniem
punktu p przestrzeni X lub pierścieniem ciągłych kiełków w punkcie p przestrzeni X. Z taką algebrą
stowarzyszony jest R-algebrowy homomorfizm νp : Op[X] −→ R zdefiniowany wzorem
νp([U, f]) = f(p)
(dla wszystkich [U, F ] ∈ Op[X]), którego jądrem jest ideał
Mp[X] = {[U, f]; f(p) = 0}.
Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ R zachodzi równość νp([X, ã]) = a,
gdzie ã : X −→ R jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem:
Stwierdzenie 4.4.1. Mp[X] jest ideałem maksymalnym w Op[X] oraz Op[X]/Mp[X] = R. ⊠
Stwierdzenie 4.4.2 (ZadAlg398). Pierścień Op[X] jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnym
Mp[X].
Dowód. Niech [U, f] ∈ Op[X]Mp[X]. Wystarczy pokazać, że [U, f] jest elementem odwracalnym
w Op[X]. Niech V = f −1 (R0). Wtedy V jest zbiorem otwartym w X zawartym w U i zawierającym p
(gdyż f(p) = 0 ponieważ [U, f] ∈ Mp[X]). Ponadto, [V, f|V ] = [U, f] oraz (f|V )(v) = 0 dla wszystkich
v ∈ V . Niech g : V −→ R będzie funkcją określoną wzorem g(v) = 1/f(v), dla v ∈ V . Jest to funkcja
ciągła (Lemat 4.3.1) i mamy [U, f][V, g] = 1. ⊠
Stwierdzenie 4.4.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym punkt p, to R-algebry
Op[X] i Op(U) są izomorficzne.
⊠
Dowód. Odwzorowanie Op[X] −→ Op(U), [V, f] ↦→ [V ∩U, f | (V ∩U)] jest izomorfizmem R-algebr.
Niech ϕ : X −→ Y będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni topologicznych i niech p ∈ X.
Mamy wówczas odwzorowanie
Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie.
O(ϕ) : O ϕ(p)[Y ] −→ Op[X], [V, g] ↦→ [ϕ −1 (V ), gϕ].
Stwierdzenie 4.4.4. O(ϕ) jest homomorfizmem R-algebr oraz O(ϕ)(M ϕ(p)[Y ]) ⊆ Mp[X]. ⊠

4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 25
Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych
z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych R-algebr. W szczególności lokalny pierścień
punktu jest niezmiennikiem homeomorfizmów.
Następne fakty dotyczą związku pierścienia Op[X] z pierścieniem C[X] mp[X], gdzie C[X] jest
R-algebrą wszystkich funkcji ciągłych z X do R (patrz poprzedni podrozdział), a mp[X] = {f ∈
C[X]; f(p) = 0}.
Stwierdzenie 4.4.5 (ZadAlg3101). Odwzorowanie
jest dobrze określonym homomorfizmem R-algebr.
α : C[X] mp[X] −→ Op[X], f/g ↦→ [X, f][X, g] −1 ,
Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm β : C[X] −→ Op[X], f ↦→ [X, f]. Jeśli g ∈ C[X] mp[X],
to g(p) = 0 i wtedy [X, g] = β(g) jest odwracalne w Op[X] (czyli [X, g] ∈ Mp[X]). Zatem β można
rozszerzyć do homomorfizmu
α : C[X] mp[X] −→ Op[X], f/g ↦→ β(f)/β(g) = [X, f][X, g] −1 . ⊠
Stwierdzenie 4.4.6 (ZadAlg3102). Jeśli X jest T4-przestrzenią (w szczególności metryczną lub
zwartą), to R-algebry C[X] mp[X] i Op[X] są izomorficzne. Dokładniej, homomorfizm α z poprzedniego
stwierdzenia jest izomorfizmem R-algebr.
Dowód. (1) α jest surjekcją. Niech [V, f] ∈ Op[X]. Rozpatrzmy domknięty zbiór F = X V .
Ponieważ p ∈ F więc istnieją rozłączne zbiory otwarte U1, U2 takie, ze p ∈ U1 i F ⊆ U2 (ponieważ
X jest T4, a więc T 3 1
2 ). Mamy więc p ∈ U1 ⊆ X U2 i zbiór X U2 jest domknięty. Stąd
p ∈ U1 ⊆ U1 ⊆ X U1 ⊆ X F = V.
Rozpatrzmy funkcję f | U1. Ponieważ X jest T4, więc funkcję tę można przedłużyć do ciągłej funkcji
f1 : X −→ R. Zatem [V, f] = [X, f1] = α(f1/1).
(2) α jest różnowartościowe. Niech α(f/g) = 0, f, g ∈ C[X], g(p) = 0. Wtedy [X, f][X, g] −1 = 0 w
Op[X], więc [X, f] = 0 w Op[X]. Istnieje zatem zbiór otwarty U ∋ p taki, że f | U = 0. Niech h : X −→
R będzie funkcją ciągłą taką, że h(p) = 1 oraz h(x) = 0 dla x ∈ X U (funkcja h istnieje ponieważ
X jest T4). Teraz h ∈ mp[X] (bo h(p) = 1) oraz h · f = 0. Zatem f/g = (hf)/(hg) = 0/(hg) = 0. ⊠
Uwaga. Porównaj [20] (rozdział ”Lokalny pierścień punktu”).

26 A. Nowicki - Marzec 1995. Rozmaitości różniczkowe
5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną
5.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej
Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad ciałem R. Istnieje wtedy przekształcenie liniowe
α : V −→ R n będące izomorfizmem. Przy pomocy tego przekształcenia można przetrzeni V zadać
strukturę przestrzeni topologicznej. Zbiory otwarte w V definiuje się następująco:
Definicja 5.1.1. Podzbiór U ⊆ V jest otwarty w V jeśli obraz α(U) jest otwarty w R n .
Dzięki tej topologii izomorfizm α staje się homeomorfizmem.
Wyjaśnimy teraz, że powyższa topologia na V nie zależy od wyboru izomorfizmu α : V −→ R n .
W tym celu przypomnijmy dwa następujące lematy.
Lemat 5.1.2. Każdy automorfizm liniowy σ : R n −→ R n jest homeomorfizmem, a nawet dyfeomorfizmem
klasy C ∞ .
Dowód. Wynika to np. z faktu, że automorfizm σ ma postać:
σ(x1, . . . , xn) = (
j a1jxj, . . . ,
j anjxj),
gdzie wszystkie elementy aij należą do R. Odwzorowanie σ jest więc ciągłe, a nawet klasy C ∞ . To
samo dotyczy odwzorowania σ −1 . ⊠
Lemat 5.1.3. Jeśli α, β : V −→ R n są izomorfizmami przestrzeni liniowych, to istnieje automorfizm
liniowy σ : R n −→ R n taki, że α = σ −1 β, β = σα.
Dowód. σ = α −1 β. ⊠
Teraz możemy wykazać, ze topologia przestrzeni wektorowej V nie zależy od wyboru izomorfizmu
α : V −→ R n .
Stwierdzenie 5.1.4. Niech α : V −→ R n będzie izomorfizmem przestrzeni liniowych. Załóżmy, że
topologia na V jest taka, jak w Definicji 5.1.1. Niech β : V −→ R n będzie drugim izomorfizmem
przestrzeni liniowych i niech U będzie podzbiorem w V . Wtedy zbiór U jest otwarty w V ⇐⇒ obraz
β(U) jest otwarty w R n .
Dowód. Z poprzednich lematów wiemy, że α = σ −1 β, β = σα, gdzie σ : R n −→ R n jest pewnym
homeomorfizmem. Jeśli więc U jest otwarte w V , to α(U) jest otwarte w R n , a zatem β(U) = σα(U)
jest otwarte w R n . Jeśli β(U) jest otwarte w R n , to α(U) = σβ(U) jest otwarte w R n i stąd U jest
otwarte w V . ⊠
Wniosek 5.1.5. Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad R n . Istnieje dokładnie jedna
topologia na V taka, że każdy izomorfizm liniowy β : V −→ R n jest homeomorfizmem. ⊠
Powyższą jedyną topologię na V nazywa się topologią przestrzeni wektorowej.
Stwierdzenie 5.1.6. Jeśli f : V −→ W jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych nad
R, to f jest odwzorowaniem ciągłym.
Dowód. Niech α : V −→ R n , β : W −→ R m będą izomorfizmami przestrzeni liniowych. Wiemy,
że α i β są homeomorfizmami. Rozpatrzmy odwzorowanie h = βfα −1 : R n −→ R m . Jest to oczywiście
odwzorowanie ciągłe (bo jest liniowe). Widzimy więc, że f = β −1 hα jest złożeniem trzech odwzorowań
ciągłych. ⊠

5. Wiązki wektorowe 27
5.2 Rodziny wektorowe
Niech X będzie przestrzenią topologiczną.
Definicja 5.2.1. Rodziną wektorową nad X nazywamy każdą trójkę E = (E, p, X) taką, że:
(1) E jest przestrzenią topologiczną,
(2) p : E −→ X jest odwzorowaniem ciągłym,
(3) dla każdego x ∈ X zbiór Ex = p −1 (x), zwany włóknem nad x, jest skończenie wymiarową
przestrzenią liniową nad R, przy czym topologia na Ex, indukowana z E, jest zgodna z topologią
przestrzeni wektorowej.
Z tej definicji wynika:
Stwierdzenie 5.2.2. Niech (E, p, X) będzie rodziną wektorową nad X. Wtedy:
(a) Ex ∩ Ey = ∅, dla x = y ∈ X.
(b) E =
x∈X Ex,
(c) p : E −→ X jest surjekcją. ⊠
Każda rodzina wektorowa nad X jest więc przestrzenią topologiczną będącą rozłączną sumą mnogościową
przestrzeni wektorowych nad R.
Definicja 5.2.3. Jeśli E = (E, p, X), E ′ = (E ′ , p ′ , X) są rodzinami wektorowymi nad X, to ich
morfizmem (lub odwzorowaniem) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe f : E −→ E ′ takie, że:
(a) p ′ f = p,
(b) dla każdego x ∈ X odwzorowanie fx = f |: Ex −→ E ′ x jest przekształceniem liniowym.
Z warunku (a) wynika, że f(Ex) ⊆ E ′ x. Istotnie, niech e ∈ f(Ex). Wtedy e = f(u), gdzie u ∈ Ex =
p−1(x), czyli p(u) = x. Stąd p ′ (e) = p ′ f(u) = p(u) = x, czyli e ∈ E ′ x.
Przykład 5.2.4. Niech V będzie przestrzenią wektorową na R. Rozpatrzmy trójkę (E, p, X) określoną
następująco:
E = X × V, p : E −→ X, (x, v) ↦→ x.
Trójka ta jest rodziną wektorową nad X (patrz PH1143). ⊠
Definicja 5.2.5. Rodzinę wektorową (X × V, p, X) z Przykładu 5.2.4 nazywamy trywialną.
Niech E = (E, p, X) będzie rodziną wektorową na X i niech Y ⊆ X będzie dowolnym podzbiorem.
Rozpatrzmy trójkę (p −1 (Y ), q, Y ), w której
q = p| : p −1 (Y ) −→ Y.
Zauważmy, że jeśli x ∈ Y , to q −1 (x) = p −1 (x). Każdy zbiór postaci q −1 (x), gdzie x ∈ Y , jest więc
przestrzenią wektorową nad R. Trójka (p −1 (Y ), q, Y ) jest zatem rodziną wektorową nad Y .
Definicja 5.2.6. Rodzinę wektorową (p −1 (Y ), q, Y ) oznaczamy przez E | Y i nazywamy ograniczeniem
rodziny E do Y .
Stwierdzenie 5.2.7. Jeśli E jest trywialną rodziną wektorową nad X, to każde jej ograniczenie E | Y
jest trywialną rodziną wektorową nad Y .
Dowód. E = (X × V, p, X), gdzie V jest przestrzenią liniową i p : X × V −→ X jest rzutowaniem
(x, v) ↦→ x. Wtedy p −1 (Y ) = Y × V i q : Y × V −→ Y jest rzutowaniem na Y . ⊠

28 A. Nowicki - Marzec 1995. Rozmaitości różniczkowe
5.3 Przekroje rodziny wektorowej
Niech E = (E, p, X) będzie rodziną wektorową nad przestrzenią topologiczną X.
Definicja 5.3.1. Przekrojem rodziny E (ang. section) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe s :
X −→ E takie, że ps = 1X. Zbiór wszystkich przekrojów rodziny wektorowej E oznaczmy przez Γ(E).
Niech s : X −→ E będzie przekrojem rodziny E. Jeśli x ∈ X to ps(x) = x, a zatem s(x) jest
elementem przestrzeni liniowej Ex = p −1 (x). Załóżmy, że f : X −→ R jest funkcją ciągłą. Mamy
wówczas, dla każdego x ∈ X, wektor f(x)s(x) należący do przestrzeni Ex. Mamy zatem przekrój
fs : X −→ E określony wzorem
(fs)(x) = f(x)s(x), x ∈ X.
Jeśli s1, s2 : X −→ E są przekrojami rodziny E, to definiujemy dodawanie s1 + s2 : X −→ E,
przyjmując:
(s1 + s2)(x) = s1(x) + s2(x), x ∈ X,
gdzie s1(x) + s2(x) jest sumą wektorów s1(x) i s2(x) w przestrzeni liniowej Ex. Jest oczywiste, że
s1 + s2 jest przekrojem rodziny E.
Widzimy więc, że w zbiorze Γ(E) określone jest dodawanie oraz mnożenie przez elementy pierścienia
C[X], funkcji ciągłych z X do R.
Stwierdzenie 5.3.2. Zbiór Γ(E), wraz z powyższymi działaniami, jest C[X]-modułem. ⊠
Niech E = (E, p, X) i E ′ = (E ′ , p ′ , X) będą rodzinami wektorowymi nad X i niech ϕ : E −→ E ′
będzie morfizmem tych rodzin. Definiujemy wówczas odwzorowanie Γ(ϕ) : Γ(E) −→ Γ(E ′ ), przyjmując
Γ(ϕ)(s) = ϕs, s ∈ Γ(E).
Zauważmy, że Γ(f)(s) jest istotnie przekrojem rodziny E ′ . Mamy bowiem (dla x ∈ X):
p ′ (Γ(ϕ)(s)) = p ′ ϕs = ps = 1X.
Stwierdzenie 5.3.3. Funkcja Γ(ϕ) : Γ(E) −→ Γ(E ′ ) jest homomorfizmem C[X]-modułów.
Dowód. Przypomnijmy najpierw (patrz Definicja 5.2.3), że jeśli x ∈ X, to funkcja
ϕx = ϕ |: Ex −→ E ′ x
jest przekształceniem liniowym. Niech s ∈ Γ(E), f ∈ C[X] oraz x ∈ X. Wtedy:
(Γ(ϕ)(fs))(x) = (ϕ ◦ (fs))(x) = ϕx(f(x)s(x))
= f(x)ϕx(s(x)) = f(x)(ϕs)(x)
= f(x)(Γ(ϕ)(s))(x) = (fΓ(ϕ)(s))(x).
Zatem Γ(ϕ)(fs) = fΓ(ϕ)(s). W podobny sposób sprawdzamy addytywność. ⊠
Wniosek 5.3.4. Γ jest funktorem kowariantnym z kategorii rodzin wektorowych nad X do kategorii
C[X]-modułów. ⊠
Stwierdzenie 5.3.5. Jeśli E = (X × V, p, X) jest trywialną rodziną wektorową, to Γ(E) jest C[X]modułem
wolnym rangi dimR V .
Dowód. Niech {e1, . . . , en} będzie bazą przestrzeni V nad R. Niech ε1, . . . , εn : X −→ X × V
będą funkcjami zdefiniowanymi następująco:
εi(x) = (x, ei), x ∈ X, i = 1, . . . , n.
Funkcje te są oczywiście przekrojami rodziny E i tworzą bazę C[X]-modułu Γ(E). ⊠

5. Wiązki wektorowe 29
5.4 Wiązki wektorowe
Definicja 5.4.1. Wiązką wektorową (lub krótko wiązką) nad przestrzenią topologiczną X nazywamy
każdą rodzinę wektorową E nad X, która jest lokalnie trywialna, tzn., dla każdego x ∈ X istnieje zbiór
otwarty U ⊆ X, zawierający x taki, że rodzina wektorowa E | U jest trywialna.
Każda trywialna rodzina wektorowa nad X jest oczywiście wiązką nad X.
Stwierdzenie 5.4.2. Jeśli E jest wiązką wektorową nad X oraz U ⊆ X jest otwartym podzbiorem,
to rodzina wektorowa E | U jest wiązką wektorową nad U.
Dowód. Niech x ∈ U. Ponieważ x ∈ X więc istnieje zbiór otwarty U ′ ⊆ X taki, że E | U ′ jest
trywialną rodziną wektorową. Wtedy (na mocy Stwierdzenia 5.2.7) rodzina wektorowa
jest trywialna. ⊠
(E | U) | (U ∩ U ′ ) = (E | U ′ ) | (U ∩ U ′ )
Z definicji wiązki wektorowej E = (E, p, X) wynika, że X =
i Ui, gdzie każde Ui jest zbiorem
otwartym w X takim, że rodzina wektorowa E | Ui jest trywialna. Mówić będziemy w tym przypadku,
że X =
i Ui jest pokryciem trywializującym wiązki E.
Stwierdzenie 5.4.3. Jeśli E = (E, p, X) jest wiązką wektorową nad spójną przestrzenią topologiczną
X, to wszystkie włókna Ex mają ten sam wymiar.
Dowód. Niech X =
i∈I Ui będzie pokryciem trywializującym. Ustalmy jeden punkt x ∈ X
i jeden zbiór otwarty Ui ∋ x. Niech n = dimR Ex. Wtedy, dla wszystkich y ∈ Ui, dimR Ey = n.
Rozpatrzmy dwa następujące podzbiory zbioru I.
I1 = {i ∈ I; ∀y∈Ui dimR Ey = n}, I2 = {i ∈ I; ∀y∈Ui dimR Ey = n}.
Podzbiory te spełniają związki: I1 ∩ I2 = ∅, I = I1 ∪ I2 oraz I1 = ∅. Przyjmijmy:
A =
i∈I1 Ui, B =
i∈I2 Ui.
Wtedy A i B są otwartymi zbiorami w X takimi, że X = A ∪ B, A ∩ B = ∅, A = ∅. Stąd wynika, że
B = ∅, gdyż X jest przestrzenią spójną. ⊠
Definicja 5.4.4. Morfizmem wiązek wektorowych E i E ′ nad X nazywamy każdy morfizm rodzin
wektorowych E i E ′ (w sensie Definicji 5.2.3).
5.5 Funkcje przejścia
Niech E = (E, p, X) będzie wiązką wektorową nad przestrzenią topologiczną X. Załóżmy, że wszystkie
włókna Ex mają stały wymiar. Tak jest np. gdy X jest przestrzenią spójną (Stwierdzenie 5.4.3). Niech
X =
i∈I Ui będzie pokryciem trywializującym rozważanej wiązki.
Ponieważ włókna mają stały wymiar nad R, więc wszystkie przestrzenie postaci Ex, x ∈ X, są
izomorficzne z tą samą przestrzenią wektorową V . Dla każdego x ∈ X oraz dla każdego i ∈ I takiego,
że x ∈ Ui, istnieje więc izomorfizm przestrzeni wektorowych ϕi,x : Ex −→ V .
Niech teraz X ∈ Ui ∩ Uj. Mamy wtedy dwa izomorfizmy ϕi,x, ϕj,x : Ex −→ V . Oznaczmy przez
gij(x) automorfizm przestrzeni V określony wzorem
gij(x) = ϕj,x ◦ ϕ −1
i,x : V −→ V.
Automorfizmy tej postaci nazywamy funkcjami przejścia wiązki E (ang. coordinate transformations).
Bez trudu wykazujemy:
Stwierdzenie 5.5.1.
(1) gij(x) ◦ gjk(x) = gik(x), dla x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk;
(2) gii(x) = 1V , dla x ∈ Ui. ⊠

30 A. Nowicki - Marzec 1995. Rozmaitości różniczkowe
Można udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 5.5.2 (PH1152). Niech X będzie przestrzenią topologiczną i {Ui}i∈I jej otwartym
pokryciem. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad R oraz niech gij(x) : V −→ V , dla x ∈ Ui ∩Uj,
będą automorfizmami liniowymi, spełniającymi związki (1), (2) poprzedniego stwierdzenia. Istnieje
wtedy jedyna wiązka wektorowa (E, p, X) taka, że funkcje postaci gij(x) są jej funkcjami przejścia. ⊠
5.6 Uwagi
5.1 Niech E = (E, p, X) będzie wiązką wektorową nad przestrzenią topologiczną X. Podprzestrzeń topologiczną
E0 ⊆ E wraz z odwzorowaniem p0 = p|E0 : E0 −→ X nazywamy podwiązką wiązki E jeśli (E0, p0, X)
jest wiązką nad X (patrz PH1182).
5.2 Jeśli E1 = (E1, p1, X), E2 = (E2, p2, X) są wiązkami nad X, to ich sumą prostą nazywamy wiązkę nad
X, którą oznaczamy przez E1 ⊕ E2. Definiujemy ją następująco:
E = {(e1, e2) ∈ E1 × E2; p1(e1) = p2(e2)},
p : E −→ X, (e1, e2) ↦−→ p1(e1) = p2(e2).
Jest to tzw. suma Whithey’a. Nie istnieją sumy proste dowolnej (nieskończonej) ilości wiązek.
Twierdzenie 5.6.1. Jeśli przestrzeń topologiczna X jest parazwarta i E0 jest podwiązką wiązki E nad X, to
istnieje podwiązka E1 wiązki E taka, że E = E0 ⊕ E1. ⊠
Twierdzenie 5.6.2. Dla każdej wiązki E nad przestrzenią zwartą istnieje wiązka E1 taka, że E ⊕ E1 jest
wiązką trywialną. ⊠
Twierdzenie 5.6.3 (PH1188). Γ(E1 ⊕ E2) = Γ(E1) ⊕ Γ(E2). ⊠
5.3 Iloczynem skalarnym w wiązce E nazywamy każde odwzorowanie ciągłe w : E ⊕ E −→ R takie, że dla
każdego x ∈ X, obcięcie w| : Ex × Ex −→ R jest iloczynem skalarnym przestrzeni wektorowej Ex.
Twierdzenie 5.6.4 (Milnor). Każda wiązka nad przestrzenią parazwartą posiada iloczyn skalarny. ⊠
5.4 Wiemy, że jeśli wiązka E (nad X) jest trywialna, to Γ(E) jest wolnym C[X]-modułem. Jeśli X jest
przestrzenią zwartą, to zachodzi również stwierdzenie odwrotne. Wiązki nad przestrzeniami zwartymi mają
specjalne własności.
Twierdzenie 5.6.5 (PH1186). Niech E będzie wiązką nad przestrzenią zwartą.
(1) Γ(E) jest skończenie generowanym C[X]-modułem projektywnym.
(2) Każdy skończenie generowany C[X]-moduł projektywny jest postaci Γ(E).
(3) Wiązki E i E ′ są izomorficzne ⇐⇒ C[X]-moduły Γ(E) i Γ(E ′ ) są izomorficzne.
(4) Wiązka E jest trywialna ⇐⇒ moduł Γ(E) jest wolny (nad C[X]). ⊠
5.5 W tym rozdziale (i w dalszych rozdziałach) wykorzystano zeszyty A. Prószyńskiego [23] i [22].

6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 31
6 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej
6.1 Różniczka funkcji rzeczywistej
Przypominamy podstawowe definicje i fakty (których dowody są np. w [25]) o różniczce funkcji rzeczywistej.
Niech U ⊆ R n będzie zbiorem otwartym, niech a ∈ U i niech f : U −→ R m będzie funkcją. Jeśli
x = (x1, . . . , xn) ∈ R n , to przez ||x|| oznaczamy normę punktu x, tzn., ||x|| = x 2 1 + · · · + x2 n.
Definicja 6.1.1. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a jeśli istnieje przekształcenie
R-liniowe T : R n −→ R m takie, że
||f(a + h) − f(a) − T (h)||
lim
= 0.
h→0
||h||
Łatwo się pokazuje, że jeśli powyższe przekształcenie liniowe T R n −→ R m istnieje, to dokładnie
jedno.
Definicja 6.1.2. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to jedyne przekształcenie liniowe
T : R n −→ R m (istniejące na mocy poprzedniej definicji) ozanaczamy przez Df(a) lub D(f)(a) i
nazywamy różniczką (lub pochodną) funkcji f w punkcie a.
Różniczka Df(a) jest więc przekształceniem R-liniowym Df(a) : R n −→ R m . Łatwo pokazać, że jeśli
różniczka Df(a) istnieje, to f jest ciągłe w a.
Oto podstawowe własności różniczki:
Twierdzenie 6.1.3.
(1) Jeśli f jest funkcją stałą, to Df(a) = 0.
(2) Jeśli f : R n −→ R m jest przekształceniem R-liniowym, to Df(a) = f.
(3) Niech f, g : U −→ R m będą funkcjami i niech a ∈ U. Jeśli różniczki Df(a), Dg(a) istnieją, to
istnieje różniczka D(f + g)(a) i zachodzi równość D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a).
(4) Niech r ∈ R. Jeśli Df(a) istnieje, to D(rf)(a) istnieje i D(rf)(a) = rDf(a).
(5) Jeśli funkcja f : U −→ R m (gdzie a ∈ U ⊆ R n ) jest różniczkowalna w punkcie a, a funkcja
g : R m −→ R p jest różniczkowalna w punkcie f(a), to funkcja gf : U −→ R p jest różniczkowalna w
punkcie a i zachodzi równość D(gf)(a) = Dg(f(a)) ◦ Df(a). ⊠
Twierdzenie 6.1.4. Niech a ∈ U ⊆ R n . Niech f = (f1, . . . , fm) : U −→ R m , gdzie f1, . . . , fm : U −→
R. Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a ⇐⇒ funkcje f1, . . . , fm są różniczkowalne w
punkcie a. ⊠
Dla funkcji rzeczywistych z R n do R mamy dodatkowe własności:
Twierdzenie 6.1.5. Niech f, g : U −→ R będą funkcjami, gdzie a ∈ U ⊆ R n .
(1) Jeśli różniczki Df(a), Dg(a) istnieją, to istnieje różniczka funkcji f · g : U −→ R (określonej
jako (f · g)(u) = f(u)g(u) dla u ∈ U) w punkcie a i zachodzi równość:
D( f
g
(2) Jeśli funkcja f
g
)(a) i zachodzi równość:
D(f · g)(a) = f(a)Dg(a) + g(a)Df(a).
: U −→ R ma sens i różniczki Df(a), Dg(a) istnieją, to istnieje różniczka
D( f
g )(a) = g(a)−2 (g(a)Df(a) − f(a)Dg(a)). ⊠
Różniczki wygodnie jest przedstawiać przy pomocy pochodnych cząstkowych. Przypomnijmy co
to są pochodne cząstkowe. Definiuje się je tylko dla funkcji z R n do R

32 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Definicja 6.1.6. Niech f : U −→ R, gdzie a = (a1, . . . , an) ∈ U ⊆ Rn . Niech i ∈ {1, . . . , n}. Jeśli
istnieje granica
f(a1, . . . , ai + h, . . . , an) − f(a1, . . . , an)
lim
,
h→0
h
to granicę tę oznaczamy przez ∂f
(a) i nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie a.
∂xi
Pochodna cząstkowa ∂f
(a) jest więc liczbą należącą do R.
∂xi
Twierdzenie 6.1.7. Niech f = (f1, . . . , fm) : U −→ R m , gdzie f1, . . . , fm : U −→ R, przy czym
a ∈ U ⊆ R n . Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a, to istnieją wszystkie pochodne cząstkowe
∂fj
∂xi (a), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m i, dla h = (h1, . . . , hn) ∈ R n , zachodzi równość Df(a)(h1, . . . , hn) =
(r1, . . . , rm), gdzie
⎧
⎪⎨
⎪⎩
r1 = ∂f1
∂x1 (a)h1 + · · · + ∂f1
∂xn (a)hn
.
rm = ∂fm
∂x1 (a)h1 + · · · + ∂fm
∂xn (a)hn. ⊠
Definicja 6.1.8. Macierz [ ∂fj
∂xi ], występującą w powyższym twierdzeniu oznacza się przez f ′ (a) i
nazywa macierzą Jacobiego funkcji f w punkcie a.
Zapamiętajmy więc, że jeśli f = (f1, . . . , fm) : U −→ R m , gdzie U ⊆ R n , to f ′ (a) jest m × n (najpierw
kodziedzina, a potem dziedzina) macierzą:
f ′ (a) =
W szczególności dla m = 1 mamy:
⎡
⎢
⎣
∂f1 (a), . . . ,
∂x1
∂fm
∂x1
.
(a), . . . ,
∂f1
∂xn (a)
.
∂fm
∂xn (a)
Wniosek 6.1.9. Jeśli f : U −→ R, gdzie U ⊆ Rn , jest różniczkowalne w punkcie a ∈ U, to istnieją
pochodne cząstkowe ∂f
∂f
(a), . . . , (a) i zachodzi równość:
∂x1 ∂xn
⎤
⎥
⎦ .
Df(a)(h1, . . . , hn) = ∂f
∂x1 (a)h1 + · · · + ∂f
∂xn (a)hn,
dla wszystkich (h1, . . . , hn) ∈ Rn . Ponadto, f ′ (a) = [ ∂f
∂f
(a), . . . , (a)]. ⊠
∂x1 ∂xn
Z istnienia wszystkich pochodnych cząstkowych w punkcie a nie wynika istnienie różniczki w tym
punkcie. Zachodzi to jednak przy pewnym dodatkowym założeniu:
Twierdzenie 6.1.10. Niech f = (f1, . . . , fm) : U −→ Rm , gdzie f1, . . . , fm : U −→ R, przy czym
a ∈ U ⊆ Rn . Jeśli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe ∂fj
(a), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m i w
∂xi
otoczeniu punktu a pochodne te są ciągłe, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a. ⊠
Niech f : U −→ R, gdzie U ⊆ Rn . Jeśli pochodna cząstkowa ∂f
(u) istnieje dla wszystkich punktów
∂xi
u ∈ U, to mamy funkcję U −→ R, u ↦→ ∂f
∂xi
(a). Można zatem rozpatrywać pochodne cząstkowe tej
∂
funkcji. W ten sposób pojawiają nam się pochodne mieszane postaci
2 f
(a) i analogicznie pojawiają
∂xj∂xi
się pochodne mieszane wyższych rzędów.
Twierdzenie 6.1.11. Niech f : U −→ R, U ⊆ R n , a ∈ U. Jeśli pochodne mieszane
∂ 2 f
(a) istnieją i są w otoczeniu punktu a ciągłe, to są one równe. ⊠
∂xi∂xj
∂ 2 f
(a) i
∂xj∂xi
Bez założenia o ciągłości pochodne mieszane nie muszą być równe. Spivak [25] (strona 38) podaje
następujący przykład.

6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 33
Przykład 6.1.12. Niech f : R2 −→ R będzie funkcją określoną wzorami:
⎧
⎨ xy
f(x, y) =
⎩
x2−y 2
x2 +y2 , gdy (x, y) = (0, 0),
0 gdy (x, y) = (0, 0).
Wtedy pochodne mieszane ∂2f ∂x∂y (0, 0), ∂2f ∂y∂x (0, 0) istnieją, ale są różne. ⊠
6.2 Rozmaitości różniczkowe
Przypomnijmy (patrz Podrozdział 1.5), że każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy
atlas, nazywamy n-wymiarową rozmaitością topologiczną.
Niech {(Uα, ϕα)} będzie n-wymiarowym atlasem przestrzeni topologicznej M. Niech (Uα, ϕα),
(Uβ, ϕβ) będą dwiema mapami z tego atlasu takimi, że Uα ∩Uβ = ∅. Wtedy ϕα(Uα ∩Uβ) i ϕβ(Uα ∩Uβ)
są niepustymi podzbiorami otwartymi w R n i mamy homeomorfizm
Definicja 6.2.1. Homeomorfizm ϕαϕ −1
β
ϕαϕ −1
β : ϕβ(Uα ∩ Uβ) −→ ϕα(Uα ∩ Uβ).
oznaczać będziemy przez ϕαβ.
Definicja 6.2.2. Mówimy, że atlas {(Uα, ϕα)} jest klasy C r (gdzie r = 0, 1, . . . ∞, ω), jeśli wszystkie
homeomorfizmy postaci ϕαβ są klasy C r . Przez funkcje klasy C ω rozumiemy funkcje analityczne.
Definicja 6.2.3. Mówimy, że dwa n-wymiarowe atlasy {(Uα, ϕα)}, {(Vi, ψi)} klasy C r rozmaitości
M są równoważne jeśli rodzina {(Uα, ϕα), (Vi, ψi)} również jest atlasem klasy C r tej rozmaitości.
Dana rozmaitość topologiczna M może posiadać atlasy tej samej klasy, które nie są równoważne.
Przykład 6.2.4. Przestrzeń M = R 1 ma co najmniej dwa nierównoważne atlasy klasy C r , gdzie
r 1. Jednoelementowe atlasy {(R 1 , ϕ)} i {(R 1 , ψ)}, gdzie ϕ(t) = t, ψ(t) = t 3 , są klasy C r . Natomiast
atlas {(R 1 , ϕ), (R 1 , ψ), } nie jest klasy C r . Funkcja ϕψ −1 : R 1 −→ R 1 , t ↦→ 3√ t, nie jest bowiem
różniczkowalna w zerze. ⊠
Równoważność atlasów jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich atlasów klasy C r
rozmaitości M. Klasę abstrakcji tej relacji nazywamy n-wymiarową strukturą różniczkową (klasy C r )
na M (patrz [24] 16). Łatwo pokazać, że każdy n-wymiarowy atlas klasy C r zawarty jest w dokładnie
jednym, równoważnym z nim, atlasie maksymalnym. Struktury różniczkowe na M możemy więc
utożsamiać z atlasami maksymalnymi. Warto zanotować następującą prostą charakteryzację maksymalnych
atlasów.
Stwierdzenie 6.2.5. Atlas A jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego p ∈ M i każdego
zbioru otwartego V ⊆ M istnieje mapa (U, ϕ) ∈ A taka, że x ∈ U ⊆ V . ⊠
Definicja 6.2.6. Rozmaitością różniczkową klasy C r (gdzie r = 0, 1, . . . ∞, ω), nazywamy każdą
przestrzeń topologiczną M wraz z wyróżnioną n-wymiarową strukturą różniczkową klasy C r .
Liczne przykłady rozmaitości różniczkowych znajdziemy np. w [4], [24], [25], [26].
Przykład 6.2.7 (Produkt rozmaitości różniczkowych). Załóżmy, że (M, A), (N, B) są rozmaitościami
klasy C r wymiarów odpowiednio m i n. Niech A = {(Uα, ϕα)}α i B = {(Vi, ψi)}i. Wtedy
M × N (jako przestrzeń topologiczna z topologią produktową) ma strukturę rozmaitości klasy C r
wymiaru m + n. Atlas na M × N definiujemy jako {(Uα × Vi, ϕα × ψi)}α,i, gdzie ϕα × ψi : Uα × Vi −→
R m × R n , (a, b) ↦→ (ϕα(a), ψi(b)). ⊠
Każda rozmaitość różniczkowa klacy C ∞ jest T1-przestrzenią. Istnieją takie rozmaitości, które nie
są T2 (Hausdorffa), patrz np. [4]. Można wykazać, że rozmaitość różniczkowa klasy C ∞ jest T2 wtedy
i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta.
W dalszym ciągu zajmować się będziemy rozmaitościami gładkimi, tzn. rozmaitościami różniczkowymi
klasy C ∞ , będącymi przestrzeniami Hausdorffa. Przez słowo ”rozmaitość” rozumieć będziemy
”rozmaitość gładką”. Zapamiętajmy zatem:

34 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 6.2.8. Każda rozmaitość jest przestrzenią lokalnie zwartą. ⊠
Ponieważ (jak już wiemy) lokalnie zwarta przestrzeń ośrodkowa jest przestrzenią parazwartą, więc:
Stwierdzenie 6.2.9. Każda rozmaitość ośrodkowa jest przestrzenią parazwartą. ⊠
Można też wykazać, że rozmaitość jest przestrzenią spójną ⇐⇒ jest łukowo spójną.
6.3 Odwzorowania rozmaitości
Niech (M, A), (N, B) będą rozmaitościami odpowiednio wymiarów m i n.
Definicja 6.3.1. Mówimy, że zwykła funkcja f : M −→ N jest gładka w punkcie p ∈ M jeśli istnieją
mapy (U, ϕ) ∈ A, (V, ψ) ∈ B takie, że:
(1) p ∈ U,
(2) f(p) ∈ V ,
(3) f(U) ⊆ V ,
(4) odwzorowanie rzeczywiste ψfϕ −1 : ϕ(U) −→ ψ(V ) jest klasy C ∞ w punkcie ϕ(p) (jest to
odwzorowanie z otwartego podzbioru w R m do otwartego podzbioru w R n ).
Odwzorowanie ψfϕ −1 występujące w tej definicji jest funkcją z otwartego podzbioru w R m do
otwartego podzbioru w R n .
Czasem podaje się inną definicję gładkości odwzorowania w punkcie. Słowo ”istnieją” zamienia się
na ”dla każdych”. Łatwo wykazać, że to jest to samo. Z definicji rozmaitości wynika bowiem:
Stwierdzenie 6.3.2. Jeśli f : M −→ N jest funkcją gładką w punkcie p ∈ M, to dla każdych map
(U, ϕ) ∈ A, (V, ψ) ∈ B spełniających warunki (1), (2), (3) spełniony jest warunek (4). ⊠
Definicja 6.3.3. Mówimy, że funkcja f : M −→ N jest gładka jeśli jest gładka w każdym punkcie
p ∈ M.
W przypadku M = R m , N = R n odwzorowania gładkie pokrywają się z odwzorowaniami klasy C ∞ .
W ogólnym przypadku odwzorowanie f : M −→ N jest gładkie ⇐⇒ wszystkie funkcje postaci ψfϕ −1
(dla wszystkich odwzorowań ϕ, ψ występujących w odpowiednich atlasach takich, że ψfϕ −1 ma sens)
są klasy C ∞
Każde odwzorowanie gładkie jest ciągłe. Złożenie odwzorowań gładkich jest gładkie. Rzutowania
M × N −→ M, M × N −→ N są gładkie. Włożenie sfery S n w R n+1 jest odwzorowaniem gładkim.
Definicja 6.3.4. Odwzorowanie f : M −→ N nazywamy dyfeomorfizmem jeśli jest bijekcją i odwzorowania
f, f −1 są gładkie.
Jeśli A i B są dwoma atlasami klasy C ∞ wymiaru n tej samej rozmaitości M, to atlasy te są
równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy identyczność (M, A) −→ (M, B) jest dyfeomorfizmem.
6.4 Algebra funkcji gładkich
Przestrzeń R = R 1 jest rozmaitością (gładką) z jednoelementowym atlasem (R, 1R). Jeśli (M, A) jest
dowolną rozmaitością (rozumie się, że gładką), to wiemy już co to znaczy, że dana funkcja f : M −→ R
jest gładka. Przypomnijmy:
Wniosek 6.4.1. Funkcja f : M −→ R jest gładka ⇐⇒ dla każdej mapy (U, ϕ) ∈ A odwzorowanie
fϕ −1 : ϕ(U) −→ R jest klasy C ∞ . ⊠
Definicja 6.4.2. Zbiór wszystkich funkcji gładkich z M do R oznaczamy przez C ∞ (M) lub C(M)
i nazywamy algebrą funkcji gładkich na M.
Jest jasne, że C(M) jest przemienną R-algebrą z jedynką. Dodawanie, mnożenie i mnożenie przez
skalar definiuje się w naturalny sposób.

6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 35
Definicja 6.4.3. Jeśli f : M −→ N jest odwzorowaniem (gładkim) rozmaitości, to przez C(f) (lub
C ∞ (f)) oznaczamy R-algebrowy homomorfizm C(f) : C(N) −→ C(M), g ↦→ gf.
Mamy zatem funktor kontrawariantny z kategorii gładkich rozmaitości do kategorii przemiennych
R-algebr.
Twierdzenie 6.4.4 (PH1166). Niech M będzie rozmaitością (gładką). Niech A, B będą rozłącznymi
podzbiorami domkniętymi w M. Załóżmy, że A jest zwarte. Istnieje wtedy funkcja f ∈ C(M) taka,
że:
(1) f(M) ⊆ [0, 1],
(2) f(a) = 1 dla a ∈ A,
(3) f(b) = 0 dla b ∈ B.
Twierdzenie to jest konsekwencją następujących pięciu lematów.
Lemat 6.4.5. Funkcja f : R −→ R, określona wzorem
− e
f(t) =
1
t , dla t > 0,
0 dla t 0,
jest klasy C ∞ . ⊠
Lemat 6.4.6. Jeśli a < b, to funkcja g : R −→ R, określona wzorem
g(t) = f(t − a)f(b − t)
(gdzie f : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C ∞ , znika poza przedziałem (a, b) i
jest dodatnia w przedziale (a, b). ⊠
Lemat 6.4.7. Jeśli a < b, to funkcja h : R −→ R, określona wzorem
h(t) =
b
t g(u)du
b
a g(u)du
(gdzie g : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C∞ . Jest to funkcja nierosnąca oraz
1, dla t a,
h(t) =
0, dla t b.
Ponadto h ′ (t) = cg(t), dla pewnego c ∈ R. ⊠
Lemat 6.4.8. Jeśli r < s, to funkcja ψ : R n −→ R, określona wzorem
ψ(x) = h(||x|| 2 ) = h(x 2 1 + · · · + x 2 n), dla a = r 2 , b = s 2
(gdzie h : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C∞ . Ponadto, 0 ψ(x) 1 oraz
1,
ψ(x) =
0,
dla ||x|| r,
dla ||x|| s. ⊠
Lemat 6.4.9 (PH1165). Niech A, B będą rozłącznymi podzbiorami domkniętymi w R n , przy czym
niech A będzie zbiorem zwartym. Istnieje wtedy funkcja ϕ : R n −→ R, klasy C ∞ taka, że:
(1) ϕ(R n ) ⊆ [0, 1],
(2) ϕ(a) = 1 dla a ∈ A,
(3) ϕ(b) = 0 dla b ∈ B.

36 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Dowód. Dla każdego a ∈ A istnieje kula K(a, ra) ⊂ Rn , rozłączna ze zbiorem B. Ponieważ zbiór
A jest zwarty, więc istnieje skończona ilość punktów a1, . . . , am ∈ A oraz promieni r1, . . . , rm takich,
że A ⊂ m i=1 K(ai, ri) i każda kula postaci K(ai, ri) jest rozłączna z B. Na mocy poprzedniego lematu
istnieją funkcje ψ1, . . . , ψm : Rn −→ R, klasy C∞ takie, że
1, dla ||x − ai|| ri,
ψi(x) =
i = 1, . . . , m.
0, dla ||x − ai|| 2ri,
Definiujemy funkcję ϕ : R n −→ R przyjmując ϕ = 1 − (1 − ψ1) · · · (1 − ψm). ⊠
Teraz już nie jest trudno udowodnić Twierdzenie 6.4.4.
Ponieważ każda rozmaitość gładka jest przestrzenią lokalnie zwartą, więc z Twierdzenia 6.4.4 wynika:
Wniosek 6.4.10. Niech M będzie rozmaitością gładką, niech p ∈ M i niech V ∋ x będzie zbiorem
otwartym w M. Istnieje wtedy funkcja f ∈ C(M) taka,że f | U = 1, dla pewnego zbioru otwartego
U ∋ p zawartego w V oraz f | M V = 0. ⊠
Twierdzenie 6.4.11 (PH1166). Niech U będzie otwartym podzbiorem rozmaitości (gładkiej) M.
Niech f ∈ C(U) i niech W będzie zbiorem otwartym takim, że W ⊆ W ⊆ U. Istnieje wtedy funkcja
g ∈ C(M) taka, że g | W = f | W . ⊠
Twierdzenie 6.4.12 (PH1164). Niech M, N będą rozmaitościami gładkimi i niech f : M −→ N
będzie zwykłą funkcją. Następujące dwa warunki są równoważne:
(1) f jest odwzorowaniem gładkim;
(2) f jest funkcją ciągłą oraz, dla każdego zbioru otwartego V ⊆ N i dla każdej funkcji α ∈ C(V ),
funkcja α ◦ f | f −1 (V ) jest elementem algebry C(f −1 (V )). ⊠
Niech M będzie rozmaitością (gładką). Przypomnijmy, że przez ˜ M oznaczamy kategorię, której
obiektami są wszystkie zbiory otwarte w M, a morfizmami włożenia. Oznaczmy przez R-Alg kategorię
przemiennych R-algebr z jedynką. Rozważmy funktor kontrawariantny F : ˜ M −→ R-Alg określony
następująco:
Definicja 6.4.13.
(a) Jeśli U jest zbiorem otwartym w M, to F (U) = C(U) = C∞ (U).
(2) Jeśli U ⊆ V są zbiorami otwartymi w M, to F V U : F (V ) −→ F (U) jet R-algebrowym homomorfizmem
określonym wzorem F V U (f) = f | U, dla wszystkich f ∈ F (V ) = C(V ).
Stwierdzenie 6.4.14 (PH359). F jest snopem rozmaitości M o wartościach w R-Alg. ⊠
O pewnych własnościach snopa F (pozwalających odtworzyć rozmaitość M) mamy w PH1163.
Zanotujmy jeszcze informację dotyczącą rozkładu jedności (patrz Rozdział 1). Wiemy, że każda
topologiczna przestrzeń parazwarta ma, dla każdego otwartego pokrycia, rozkład jedności względem
tego pokrycia. W szczególności każda ośrodkowa rozmaitość (gładka) ma taki rozkład jedności. Można
udowodnić więcej:
Twierdzenie 6.4.15. Niech M będzie ośrodkową rozmaitością gładką. Wówczas dla każdego otwartego
pokrycia rozmaitości M istnieje rozkład jedności względem tego pokrycia, składający się z funkcji
gładkich (czyli należących do C(M)). ⊠
Jeśli p ∈ M, to przez mp(M) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji gładkich f : M −→ R zerujących
się w punkcie p, tzn.
mp(M) = {f ∈ C(M); f(p) = 0}.
Jest jasne, że zbiór ten jest ideałem maksymalnym w C(M), będącym jądrem R-algebrowej surjekcji
C(M) −→ R, f ↦→ f(p). W szczególności C(M)/mp(M) ≈ R.

6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 37
Stwierdzenie 6.4.16. Jeśli M jest gładką rozmaitością zwartą, to każdy ideał maksymalny w C(M)
jest postaci mp(M), dla pewnego p ∈ M.
Dowód jest dokładnie taki sam, jak dowód Twierdzenia 4.3.3, opisującego wszystkie ideały maksymalne
w algebrze C[X], funkcji ciągłych z X do R, gdzie X jest zwartą przestrzenią topologiczną.
Stwierdzenie 6.4.17. Niech M będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech F : C(M) −→ R będzie
R-algebrowym homomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden punkt p ∈ M taki, że F (f) = f(p), dla
wszystkich f ∈ C(M).
Dowód. Wykażemy najpierw, że jeśli punkt p istnieje, to dokładnie jeden. Przypuśćmy, że takie
punkty są dwa. Oznaczmy je przez p i q. Wtedy p, q ∈ M, p = q. Z Twierdzenia 6.4.4 wynika, że istnieje
funkcja f ∈ C(M) taka, że f(p) = 0 i f(q) = 1. Mamy zatem sprzeczność: 0 = f(p) = F (f) = f(q) = 1.
Udowodnimy teraz istnienie punktu p. W tym celu zauważmy najpierw, że F jest surjekcją (bo
F (1) = 1 i F (r) = r, dla r ∈ R). Jądro homomorfizmu F jest więc ideałem maksymalnym w C(M).
Istnieje zatem, na mocy poprzedniego stwierdzenia, punkt p ∈ M taki, że KerF = mp(M). Niech
f ∈ C(M). Wtedy f − f(p) ∈ mp(M), a zatem
czyli F (f) = f(p). ⊠
0 = F (f − f(p)) = F (f) − F (f(p)) = F (f) − f(p),
Stwierdzenie 6.4.18. Niech M będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech Φ : C(M) −→ C(M) będzie
R-algebrowym endomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jedna funkcja gładka ϕ : M −→ M taka, że
Φ(f) = f ◦ ϕ, dla wszystkich f ∈ C(M).
Dowód. Niech p ∈ M. Rozważmy R-algebrowy homomorfizm Fp : C(M) −→ R, f ↦→ Φ(f)(p).
Z poprzedniego stwierdzenia wynika, że istnieje (jedyny) punkt ϕ(p) ∈ M taki, że Fp(f) = f(ϕ(p)),
dla wszystkich f ∈ C(M). W ten sposób pojawia nam się funkcja ϕ : M −→ M, spełniająca warunek
Φ(f)(p) = Fp(f) = f(ϕ(p)) (dla f ∈ C(M), p ∈ M), czyli Φ(f) = f ◦ ϕ. Gładkość funkcji ϕ wynika z
tego, że gładkie są wszystkie funkcje postaci f ◦ ϕ, dla f ∈ C(M).
Wykażemy teraz, że taka funkcja ϕ jest jedyna. Przypuśćmy, że ϕ1 : M −→ M jest drugą funkcją,
różną od ϕ taką, że Φ(f) = f ◦ ϕ1. Istnieje wtedy punkt p ∈ M taki, że ϕ(p) = ϕ1(p). Istnieje zatem
(na mocy Twierdzenia 6.4.4) funkcja f ∈ C(M) o własności f(ϕ(p)) = 1, f(ϕ1(p)) = 0. Mamy wtedy
sprzeczność: 1 = f(ϕ(p)) = f ◦ ϕ(p) = Φ(f)(p) = f ◦ ϕ1(p) = f(ϕ1(p)) = 0. ⊠
Stwierdzenie 6.4.19. Niech M będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech Φ : C(M) −→ C(M) będzie
R-algebrowym automorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden dyfeomorfizm ϕ : M −→ M taki, że
Φ(f) = f ◦ ϕ, dla wszystkich f ∈ C(M).
Dowód. Powtarzamy dowód poprzedniego stwierdzenia dla endomorfizmów Φ i Φ −1 i z łatwością
stwierdzamy, że ϕ jest bijekcją oraz funkcje ϕ i ϕ −1 są gładkie. ⊠
Powyższe trzy stwierdzenia zachodzą również dla rozmaitości parazwartych ([1] 231). Zwróćmy
uwagę, że podobne stwierdzenia istnieją w geometrii algebraicznej, gdzie rolę algebry C(M) odgrywa
algebra funkcji regularnych danej rozmaitości afinicznej (patrz [20], rozdział o odwzorowaniach
regularnych i uwagi do tego rozdziału).
6.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków
W Podrozdziale 4.4 opisali ´my lokalny pierścień Op[X], ciągłych kiełków przestrzeni topologicznej
X w punkcie p ∈ X. W tym podrozdziale opiszemy podobny pierścień dla punktu p gładkiej rozmaitości
M. Pierścień ten oznaczać będziemy przez Op(M). Przedstawione tu definicje i konstrukcje będą
podobne do odpowiednich definicji i konstrukcji z Podrozdziału 4.4. Słowa ”przestrzeń topologiczna”
i ”funkcja ciągła” zamienimy odpowiednio na ”rozmaitość gładka” i ”funkcja gładka”. Zaznaczmy

38 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
jeszcze, że w podobny sposób wprowadza się, w geometrii algebraicznej, lokalny pieścień kiłków regularnych
(patrz [20]).
Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈ M. Przez Ap(M) oznaczać będziemy zbiór wszystkich
par postaci (U, f), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ R
jest funkcją gładką. W zbiorze Ap(M) wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowaną
następująco:
(U, f) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że:
(1) p ∈ W ⊆ U ∩ V,
(2) f | W = g | W.
Klasę abstrakcji elementu (U, f) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f] i nazywamy kiełkiem
punktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op(M). W zbiorze Op(M) definiujemy
dodawanie i mnożenie w następujący sposób:
[U, f] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )],
[U, f] · [V, g] = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )].
Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op(M) z takimi działaniami
jest przemienną R-algebrą z jedynką [M, 1] i zerem [M, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniem
punktu p rozmaitości M lub pierścieniem gładkich kiełków w punkcie p rozmaitości M.
Z taką algebrą stowarzyszony jest R-algebrowy homomorfizm νp : Op(M) −→ R zdefiniowany
wzorem
νp([U, f]) = f(p)
(dla wszystkich [U, F ] ∈ Op(M)), którego jądrem jest ideał
Mp(M) = {[U, f]; f(p) = 0}.
Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ R zachodzi równość νp([M, ã]) = a,
gdzie ã : M −→ R jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem:
Stwierdzenie 6.5.1. Mp(M) jest ideałem maksymalnym w Op(M) oraz Op(M)/Mp(M) = R. ⊠
Stwierdzenie 6.5.2 (ZadAlg398). Pierścień Op(M) jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnym
Mp(M).
Dowód. Niech [U, f] ∈ Op(M) Mp(M). Wystarczy pokazać, że [U, f] jest elementem odwracalnym
w Op(M). Niech V = f −1 (R 0). Wtedy V jest zbiorem otwartym w M zawartym w U i zawierającym
p (gdyż f(p) = 0 ponieważ [U, f] ∈ Mp(M)). Ponadto, [V, f|V ] = [U, f] oraz (f|V )(v) = 0
dla wszystkich v ∈ V . Niech g : V −→ R będzie funkcją określoną wzorem g(v) = 1/f(v), dla v ∈ V .
Jest to oczywiście funkcja gładka i mamy [U, f][V, g] = 1. ⊠
Stwierdzenie 6.5.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w M zawierającym punkt p, to R-algebry
Op(M) i Op(U) są izomorficzne.
Dowód. Odwzorowanie Op(M) −→ Op(U), [V, f] ↦→ [V ∩ U, f | (V ∩ U)] jest izomorfizmem
R-algebr. ⊠
Niech ϕ : M −→ N będzie odwzorowaniem gładkim rozmaitości gładkich i niech p ∈ M. Mamy
wówczas odwzorowanie
O(ϕ) : O ϕ(p)(N) −→ Op(M), [V, g] ↦→ [ϕ −1 (V ), gϕ].
Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 6.5.4. O(ϕ) jest homomorfizmem R-algebr oraz O(ϕ)(M ϕ(p)(N)) ⊆ Mp(M). ⊠

6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 39
Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii rozmaitości gładkich
z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych R-algebr. W szczególności lokalny pierścień punktu
jest niezmiennikiem gładkich dyfeomorfizmów.
Zanotujmy następującą konsekwencję Twierdzenia 6.4.11.
Stwierdzenie 6.5.5. Jeśli [U, f] ∈ Op(M), to istnieje g ∈ C(M) takie, że [U, f] = [M, g].
Dowód. Niech [U, f] ∈ Op(M). Wtedy U ∋ p jest zbiorem otwartym w M oraz f : U −→ R
jest funkcją gładką. Rozmaitość M jest lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną. Istnieje zatem zbiór
otwarty W ⊆ M taki, że p ∈ W ⊆ W ⊆ U. Stąd, na mocy Twierdzenia 6.4.11, istnieje funkcja gładka
g : M −→ R taka, że g|W = f|W . Zatem [U, f] = [M, g]. ⊠
Następne fakty dotyczą związku pierścienia Op(M) z pierścieniem C(M) mp(M), gdzie C(M) jest
R-algebrą wszystkich funkcji gładkich z M do R (patrz poprzedni podrozdział), a mp(M) = {f ∈
C(M); f(p) = 0}.
Stwierdzenie 6.5.6 (PH362). Jeśli M jest rozmaitością gładką i p ∈ M, to R-algebry Op(M) i
C(M) mp(M) są izomorficzne.
Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm β : C(M) −→ Op(M), f ↦→ [M, f]. Jeśli g ∈ C(M) mp(X),
to g(p) = 0 i wtedy [M, g] = β(g) jest odwracalne w Op(M) (czyli [M, g] ∈ Mp(X)). Zatem β można
rozszerzyć do homomorfizmu
α : C(M) mp(M) −→ Op(X), f/g ↦→ β(f)/β(g) = [M, f][M, g] −1 .
Pokażemy, że α jest bijekcją.
(1) α jest surjekcją. Niech [U, f] ∈ Op(M). Wiemy, ze Stwierdzenia 6.5.5, że [U, f] = [M, g], dla
pewnego g ∈ C(M). Zatem [U, f] = [M, g] = α(g/1).
(2) α jest różnowartościowe. Niech α(f/g) = 0 = [M, 0], f, g ∈ C(M), g(p) = 0. Wtedy [M, f][M, g] −1 =
0 w Op(M), więc [M, f] = 0 = [M, 0] w Op(M). Istnieje zatem zbiór otwarty U ∋ p taki, że f | U = 0.
Niech h : M −→ R będzie funkcją gładką taką, że h(p) = 1 oraz h(m) = 0 dla m ∈ M U (funkcja
h istnieje na mocy Twierdzenia 6.4.4). Teraz h ∈ mp(M) (bo h(p) = 1) oraz h · f = 0. Zatem
f/g = (hf)/(hg) = 0/(hg) = 0. ⊠
6.6 Uwagi
6.1 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią wektorową nad R. Jeśli 1 < r < n, to przez Gr(V ) oznaczamy
zbiór wszystkich r-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni V . Można udowodnić, że na zbiorze Gr(V ) istnieje
naturalna (jedyna) struktura rozmaitości gładkiej wymiaru r(n − r). Rozmaitość tę nazywamy rozmaitością
Grassmanna. Jest to rozmaitość zwarta. Szczegóły znajdziemy np. w [10]76, [27]151 (patrz też PH46, 23).
6.2 Można udowodnić:
Twierdzenie 6.6.1 (Whitney’a). Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n, to istnieje dyfeomorfizm
τ : M −→ R 2n+1 taki, że zbiór τ(M) jest domknięty w R 2n+1 . ⊠
Dowód można znaleźć np. w książce [2] (strony 144 - 158 w tł. polskim). Poniższe zdania są przepisane z
tej książki.
”Z twierdzenia tego wynika, że każdą rozmaitość gładką można potraktować jako podrozmaitość przestrzeni
R n dostatecznie wysokiego wymiaru. Wydawać by się mogło, że wobec tego badania abstrakcyjnych
rozmaitości gładkich mają tylko charakter ćwiczeniowy i że równie dobrze moglibyśmy nigdy nie wyjść poza
ramy przestrzeni euklidesowych. Wszelako takie ograniczenie nie byłoby zgodne z naturalnym podejściem do
większości rozmaitości różniczkowalnych i rozwojem intuicyjnego poglądu na ich własności”.

40 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
7 Derywacje lokalne
Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈ M. Stosujemy następujące oznaczenia:
C(M) = R-algebra funkcji gładkich z M do R;
mp(M) = {f ∈ C(M); f(p) = 0} (ideał maksymalny w C(M));
Dp(C(M)) = przestrzeń derywacji p-lokalnych z C(M) do R
Op(M) = R-algebra kiełków gładkich rozmaitości M w punkcie p;
Mp(M) = {[U, f] ∈ Op(M); f(p) = 0} (jedyny ideał maksymalny w Op(M));
Dp(Op(M)) = przestrzeń derywacji p-lokalnych z Op(M) do R.
Mówimy, że R-liniowe odwzorowanie d : C(M) −→ R jest derywacją p-lokalną pierścienia C(M),
jeśli
d(fg) = f(p)d(g) + g(p)d(f), dla f, g ∈ C(M).
Mówimy, że R-liniowe odwzorowanie δ : Op(M) −→ R jest derywacją p-lokalną pierścienia Op(M),
jeśli
δ([U, f][V, g]) = f(p)δ([V, g]) + g(p)δ([U, f]), dla [U, f], [V, g] ∈ Op(M).
Jest oczywiste, że zbiory Dp(C(M)) i Dp(Op(M)), wszystkich derywacji p-lokalnych, są przestrzeniami
liniowymi nad R. Derywacje p-lokalne są zwykłymi derywacjami (takimi, jak w [19]) z pierścienia
do modułu.
O derywacjach p-lokalnych, ale dla pierścienia C[X], funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznej
X do R, wspominaliśmy w Rozdziale 1. Wykazaliśmy tam, że jedynymi takimi derywacjami są odwzorowania
zerowe. Tak jednak już nie będzie, gdy pierścień C[X] zastąpimy pierścieniem C(M) lub
Op(M). Przekonamy się o tym w tym rozdziale. Przestrzenie liniowe Dp(C(M)) i Dp(Op(M)) (które,
jak wykażemy, są izomorficzne) odgrywają ważną rolę w geometrii (topologii, analizie) różniczkowej.
Są to przestrzenie styczne do M w punkcie p. Wyjaśnimy to też w tym rozdziałe.
7.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych
Rozpatrzmy R-algebrowy homomorfizm
β : C(M) −→ Op(M), f ↦→ [M, f].
Homomorfizm ten wykorzystaliśmy już w dowodzie Stwierdzenia 6.5.6.
Lemat 7.1.1. Jeśli δ ∈ Dp(Op(M)), to δβ ∈ Dp(C(M)).
Dowód. Niech d = δβ, f, g ∈ C(M). Wtedy:
d(fg) = δβ(fg) = δ([M, f][M, g])
= f(p)δ([M, g]) + g(p)δ([M, f])
= f(p)δβ(g) + g(p)δβ(f)
= f(p)d(g) + g(p)d(f). ⊠
Stwierdzenie 7.1.2 (PH365). Przestrzenie liniowe Dp(Op(M)) i Dp(C(M)) są izomorficzne.
Dokładniej: odwzorowanie
jest izomorfizmem przestrzeni liniowych nad R.
H : Dp(Op(M)) −→ Dp(C(M)), δ ↦→ δβ

7. Derywacje lokalne 41
Dowód. Jest jasne, że odwzorowanie H jest R-liniowe. Wykażemy, że H jest bijekcją.
(1) Różnowartościowość. Niech H(δ) = 0, gdzie δ ∈ Dp(Op(M)). Wtedy, dla każdego f ∈ C(M),
δ([M, f]) = δβ(f) = H(δ)(f) = 0. Niech [U, h] będzie dowolnym elementem pierścienia Op(M). Na
mocy Stwierdzenia 6.5.5, [U, h] = [M, g] dla pewnego g ∈ C(M). Mamy zatem δ([U, h]) = δ([M, g]) =
0, tzn. δ = 0.
(2) Surjektywność. Niech d : C(M) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Wiemy (patrz dowód Stwierdzenia
6.5.6), że każdy element z Op(M) jest postaci [M, f][M, g] −1 , gdzie f, g ∈ C(M), g(p) = 0.
Definiujemy odwzorowanie δ : Op(M) −→ R, przyjmując
δ([M, f][M, g] −1 ) = g(p) −2 (g(p)d(f) − f(p)d(g)).
Standardowym rachunkiem sprawdzamy, że δ jest dobrze określone oraz, że δ jest derywacją p-lokalną.
Jeśli f ∈ C(M), to
H(δ)(f) = δβ(f) = δ([M, f]) = δ([M, f][M, 1] −1 ) = 1(p) −2 (1(p)d(f) − f(p)d(1)) = d(f).
Zatem H(δ) = d. ⊠
Wniosek 7.1.3. Niech d : C(M) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Jeśli f : M −→ R jest funkcją
gładką taką, że f | U = 0 dla pewnego zbioru otwartego U, zawierającego p, to d(f) = 0.
Dowód (Pierwszy). Istnieje (na mocy Twierdzenia 7.1.2) derywacja p-lokalna δ : Op(M) −→ R
taka, że d = δβ. Zauważmy, że [M, f] = [U, f|U] = [U, 0] = [M, 0] = 0. Zatem d(f) = δβ(f) =
δ([M, f]) = δ(0) = 0. ⊠
Dowód (Drugi). Niech W będzie zbiorem otwartym w M takim, że p ∈ W ⊆ W ⊆ U oraz
W jest zbiorem zwartym (W istnieje ponieważ M jest lokalnie zwarte). Wtedy (Twierdzenie 6.4.4)
istnieje funkcja gładka h ∈ C(M) taka, że H|W = 1 i h|(X U) = 0. Niech g = (1 − h)f. Oczywiście
g ∈ C(M). Zauważmy, że g = f. Istotnie, jeśli a ∈ U, to g(a) = (1−h(a))f(a) = (1−h(a))0 = 0 = f(a).
Jeśli a ∈ U, to g(a) = (1 − h(a))f(a) = (1 − 0)f(a) = f(a). Mamy zatem d(f) = d(g) = d((1 − h)f) =
(1 − h(p))d(f) + f(p)d(1 − h) = (1 − 1)d(f) + 0d(1 − h) = 0. ⊠
Wniosek 7.1.4. Niech d : C(M) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Jeśli f, g : M −→ R są funkcjąmi
gładkimi takimi, że f | U = g | U dla pewnego zbioru otwartego U, zawierającego p, to d(f) = d(g). ⊠
7.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M 2
Przypomnijmy najpierw kilka ogólnych faktów z [20] (rozdział o lokalnym pierścieniu punktu).
Niech R będzie pierścieniem (przemiennym z jedynką) i M jego ideałem maksymalnym. Niech s
będzie liczbą naturalną. Mamy wówczas dwa ideały
M s ⊇ M s+1 ,
a więc dwa R-moduły (moduł i podmoduł). Mamy zatem R-moduł ilorazowy M s /M s+1 . Moduł ten
ma strukturę R/M-modułu z mnożeniem R/M × M s /M s+1 −→ M s /M s+1 określonym wzorem
(r + M)(a + M s+1 ) = ra + M s+1 , dla r ∈ R, a ∈ M s .
Zauważmy, że mnożenie to jest dobrze określone. Jeśli r, r ′ ∈ R, a, a ′ ∈ M s są takie, że r+M = r ′ +M,
a + M s+1 = a ′ + M s+1 , to r − r ′ ∈ M, a − a ′ ∈ M s+1 , a zatem (r − r ′ )a ∈ M s+1 , r ′ (a − a ′ ) ∈ M s+1 ,
czyli ra − r ′ a ′ = (r − r ′ )a + r ′ (a − a ′ ) ∈ M s+1 . Zatem M s /M s+1 jest przestrzenią liniową nad ciałem
R/M.
Rozpatrzmy teraz pierścień ułamków RM (lokalizację pierścienia R względem ideału maksymalnego
M) i jego jedyny ideał maksymalny MRM . Mamy w tym przypadku izomorfizm ciał
RM /MRM ≈ (R/M) (0) = R/M, f/g + MRM ↦→ fg −1 + M
(patrz [20]). Mamy zatem dwie przestrzenie liniowe M s /M s+1 i (MRM ) s /(MRM ) s+1 nad tym
samym ciałem R/M.

42 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 7.2.1 ([20]). Jeśli M jest ideałem maksymalnym w pierścieniu R i s 0, to przestrzenie
M s /M s+1 i (MRM ) s /(MRM ) s+1 są izomorficzne. ⊠
Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈ M. Zastosujmy powyższe fakty dla pierścieni
Op(M), C(M) i ich ideałów maksymalnych Mp(M), mp(M). Ponieważ pierścienie Op(M) i C(M) mp(M)
są izmorficzne (Stwierdzenie 6.5.6), więc ze Stwierdzenia 7.2.1 wynika:
Stwierdzenie 7.2.2. Jeśli M jest rozmaitością gładką oraz s 0, to przestrzenie R-liniowe
są izomorficzne. ⊠
Mp(M) s /Mp(M) s+1
i mp(M) s /mp(M) s+1
Niech m = mp(M). Zajmiemy się teraz przestrzenią liniową m/m 2 i jej przestrzenią dualną
(m/m 2 ) ∗ = HomR(m/m 2 , R).
Twierdzenie 7.2.3 (PH370). Niech M będzie rozmaitością gładką, p ∈ M i m = mp(M). Przestrzeń
Dp(C(M)), derywacji p-lokalnych z C(M) do R, jest R-izomorficzna z przestrzenią (m/m 2 ) ∗ .
Dowód. Jeśli δ ∈ Dp(C(M), to δ(f) = 0 dla wszystkich f ∈ m 2 . Definiujemy odwzorowanie
δp : m/m 2 −→ R przyjmując
Mamy wtedy R-liniowe przekształcenie
δp(f + m 2 ) = δ(f), dla f ∈ mp.
γ : Dp(C(M)) −→ (m/m 2 ) ∗ , δ ↦→ δp.
Pokażemy, że γ jest bijekcją.
(1) Różnowartościowość. Jeśli γ(δ) = 0, to δp = 0 czyli δ(f) = 0 dla wszystkich f ∈ m. Niech
f ∈ C(M). Wtedy f − f(p) ∈ C(M) i mamy δ(f) = δ(f − f(p)) = 0. Zatem δ = 0.
(2) Surjektywność. Niech h : m/m 2 −→ R będzie przekształceniem R-liniowym. Definiujemy δ :
C(M) −→ R wzorem:
δ(f) = h(f − f(p) + m 2 ), dla f ∈ C(M).
Ponieważ fg − f(p)g − g(p)f + f(p)g(p) = (f − f(p))(g − g(p)) ∈ m 2 , więc:
δ(fg) = h(fg − f(p)g(p) + m 2 )
= h(fg − f(p)g − g(p)f + f(p)g(p) + f(p)g + g(p)f − 2f(p)g(p) + m 2 )
= h(f(p)g + g(p)f − 2f(p)g(p) + m 2 )
= f(p)h(g − g(p) + m 2 ) + g(p)h(f − f(p) + m 2 )
= f(p)δ(g) + g(p)δ(f).
Zatem δ jest derywacją p-lokalną. Ponadto, γ(δ) = h. Istotnie, jeśli f ∈ m, to γ(δ)(f + m 2 ) = δ(f) =
h(f − f(p) + m 2 ) = h(f − 0 + m 2 ) = h(f + m 2 ). ⊠
W ten sam sposób można udowodnić następne twierdzenie. Nie musimy dowodu przedstawiać,
gdyż twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją poprzednich faktów.
Twierdzenie 7.2.4 (PH369). Niech M będzie rozmaitością gładką, p ∈ M i M = Mp(M). Przestrzeń
Dp(Op(M)), derywacji p-lokalnych z Op(M) do R, jest R-izomorficzna z przestrzenią (M/M 2 ) ∗ .
⊠

7. Derywacje lokalne 43
7.3 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych
Lemat 7.3.1 (PH371, [25]44). Niech f ∈ C(R n ) i p = (p1, . . . , pn) ∈ R n . Istnieją wtedy funkcje
f1, . . . , fn ∈ C(R n ) takie, że
f(x) = f(p) + n
i=1 (xi − pi)fi(x),
dla wszystkich x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn . Ponadto, fi(p) = ∂f
(p) dla i = 1, . . . , n.
∂xi
Dowód. Niech h : R −→ R będzie funkcją określoną wzorem h(t) = f(p + (x − p)t), dla t ∈ R.
Wtedy h ′ (t) = n ∂f
i=1 ∂xi (p + (x − p)t)(xi − pi). Niech
Mamy wówczas
Ponadto fi(p) = 1
0
fi(x) = 1
0
∂f
(p + (x − p)t)dt, i = 1, . . . , n.
∂xi
f(x) = f(p) + h(1) − h(0) = f(p) + 1
∂f
∂f
(p)dt = ∂xi
= f(p) + 1
0
n
i=1
= f(p) + n
i=1 (xi − pi)fi(x).
0
∂xi (p) 1
∂f
dt = (p). ⊠
∂xi
0 h′ (t)dt
∂f
∂xi (p + (x − p)t)(xi − pi)dt
Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n, niech p ∈ M i niech (U, ϕ) będzie mapą taką, że
p ∈ U. Jeśli f ∈ C(M), to (na mocy definicji odwzorowania gładkiego) fϕ −1 ∈ C(R n ). Oznaczmy
∆ ϕ
i
∂fϕ−1
(f) = (ϕ(p)), dla f ∈ C(M), i = 1, . . . , n.
∂xi
Stwierdzenie 7.3.2 (PH372). Odwzorowania ∆ ϕ
1 , . . . , ∆ϕ n : C(M) −→ R są derywacjami p-lokalnymi.
Dowód. R-liniowość jest oczywista. Niech f, g ∈ C(M). Wtedy:
∆ ϕ
∂
i (fg) = ∂xi (fg ◦ ϕ−1 )(ϕ(p))
=
∂
∂xi (fϕ−1 · gϕ −1 )(ϕ(p))
−1 ∂
= (fϕ ∂xi gϕ−1 −1 ∂ + gϕ ∂xi fϕ−1 )(ϕ(p))
= f(p)∆ ϕ
i
(g) + g(p)∆ϕi
(f). ⊠
Odwzorowanie ϕ : U −→ R n jest postaci ϕ = (ϕ (1) . . . , ϕ (n) ), gdzie ϕ (1) , . . . , ϕ (n) ∈ C(U). Z Twierdzenia
6.4.11 wiemy, że istnieją funkcje ψ (1) , . . . , ψ (n) ∈ C(M), takie, że ψ (i) | U = ϕ (i) , dla wszystkich
i = 1, . . . , n.
Definicja 7.3.3. Powyższe funkcje ψ (1) , . . . , ψ (n) ∈ C(M) oznaczać będziemy odpowiednio przez
ϕ [1] , . . . , ϕ [n] .
Zatem każde ϕ [i] jest funkcją gładką z M do R taką, że ϕ [i] | U = ϕ (i) . Funkcje ϕ [1] , . . . , ϕ [n]
nie muszą być wyznaczone jednoznacznie. Z Wniosku 7.1.4 wiemy jednak, że jeśli d : C(M) −→ R
jest derywacją p-lokalną, to liczby rzeczywiste d(ϕ [1] ), . . . , d(ϕ [n] ) są jednoznacznie wyznaczone; zależą
tylko od mapy (U, ϕ) (i oczywiście od derywacji d).
Stwierdzenie 7.3.4. ∆ ϕ
i (ϕ[j] ) = δij, gdzie δij jest deltą Kroneckera.
Dowód.
gdzie πj : R n −→ R jest rzutowaniem. ⊠
Z tego stwierdzenia otrzymujemy:
∆ ϕ
i (ϕ[j] ) = ∂
∂xi (ϕ[j] ◦ ϕ −1 )(ϕ(p))
=
=
=
∂
∂xi (ϕj ◦ ϕ −1 )(ϕ(p))
∂
∂xi (πj ◦ ϕ ◦ ϕ −1 )(ϕ(p))
∂
∂xi (πj)(ϕ(p)) = δij(ϕ(p)) = δij,

44 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 7.3.5 (PH372). Derywacje ∆ ϕ
1 , . . . , ∆ϕ n są liniowo niezależne nad R. ⊠
Udowodnimy teraz następne stwierdzenie.
Stwierdzenie 7.3.6 (PH372). Derywacje ∆ ϕ
1 , . . . , ∆ϕ n generują przestrzeń Dp(C(M)) nad R.
Dowód. Niech d ∈ Dp(C(M)). Niech f ∈ C(M)). Wtedy fϕ −1 : R n −→ R jest rzeczywistą
funkcją klasy C ∞ (czyli należy do C(R n )). Z Lematu 7.3.1 wiemy, że
fϕ −1 (x) = fϕ −1 (ϕ(p)) + n
i=1 (xi − ai)αi(x),
gdzie (a1, . . . , an) = ϕ(p) oraz α1, . . . , αn ∈ C(Rn ). Wiemy ponadto, że αi(ϕ(p)) = ∂fϕ−1
(ϕ(p)). Dla
∂xi
wszystkich u ∈ U mamy więc
f(u) = fϕ −1 (ϕ(u)) = fϕ −1 (ϕ(p)) + n
i=1 (ϕi(u) − ai)αi(ϕ(u)),
gdzie (ϕ1, . . . , ϕn) = ϕ. Stąd dalej wynika, że na zbiorze U zachodzi równość:
f = fϕ −1 (ϕ(p)) + n
i=1 (ϕ[i] − ai)αi(ϕ [1] , . . . , ϕ [n] ).
Stąd otrzymujemy (na mocy Wniosku 7.1.4),że d(f) = d(g), gdzie g jest funkcją występującą po
prawej stronie powyższej równości. Mamy zatem:
d(f) = d(fϕ −1 (ϕ(p))) + n
i=1 d((ϕ[i] − ai)αi(ϕ [1] , . . . , ϕ [n] ))
= 0 + n
i=1 (ϕ[i] (p) − ai)d(αi(ϕ [1] , . . . , ϕ [n] )) + n
i+1 αi(ϕ(p))d(ϕ [i] − ai)
= n
i=1 0d(αi(ϕ [1] , . . . , ϕ [n] )) + n
i=1 αiϕ(p)d(ϕ [i] − ai)
= n ∂fϕ
i=1
−1
∂xi (ϕ(p))d(ϕ[i] )
= n
i=1 d(ϕ[i] )∆ ϕ
i (f).
Zatem d = d(ϕ [1] )∆ ϕ
1 + · · · + d(ϕ[n] )∆ ϕ n. ⊠
Ostatnie zdanie tego dowodu warto zapamiętać. Zapiszmy to jeszcze raz:
Wniosek 7.3.7. Jeśli d : C(M) −→ R jest derywacją p-lokalną, to
Udowodniliśmy zatem:
d = d(ϕ [1] )∆ ϕ
1 + · · · + d(ϕ[n] )∆ ϕ n. ⊠
Twierdzenie 7.3.8. Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n i p ∈ M, to dimR Dp(C(M)) = n.
Derywacje ∆ ϕ
1 , . . . , ∆ϕ n tworzą bazę przestrzeni Dp(C(M)) nad R. ⊠
Korzystając z udowodnionych wcześniej izomorfizmów otrzymujemy:
Wniosek 7.3.9. Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n, p ∈ M, m = mp(M) oraz M =
Mp(M). Wtedy wszystkie przestrzenie Dp(C(M)), Dp(Op(M)), m/m 2 , M/M 2 , (m/m 2 ) ∗ , (M/M 2 ) ∗
mają wymiar n nad R. ⊠
7.4 Krzywe i przestrzeń styczna
Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n i niech J = (−1, 1) będzie odcinkiem otwartym w R 1 ,
traktowanym jako rozmaitość gładka z jednoelementowym atlasem.
Definicja 7.4.1. Krzywą na M nazywamy każde odwzorowanie gładkie σ : J −→ M. Środkiem
krzywej σ nazywamy punkt σ(0).

7. Derywacje lokalne 45
Z tej definicji wynika, że jeśli A jest atlasem rozmaitości M, to σ : J −→ M jest krzywą na M
jeśli σ jest odwzorowaniem ciągłym oraz każde odwzorowanie postaci ϕσ| : σ −1 (U) −→ R n , gdzie
(U, ϕ) ∈ A, jest klasy C ∞ (zwróćmy uwagę, że σ −1 (U) ⊆ J ⊆ R 1 ).
W dalszym ciągu odwzorowanie postaci ϕσ| : σ −1 (U) −→ R n oznaczać będziemy przez ϕσ : J −→
R n , rozumiejąc przez to funkcję częściową określoną w otoczeniu punktu σ(0).
Dla każdej mapy (U, ϕ) punktu σ(0) (tzn. U ∋ σ(0)), istnieje różniczka odwzorowania ϕσ w punkcie
0, czyli przekształcenie R-liniowe D(ϕσ)(0) : R 1 −→ R n . Różniczka ta zależy od wyboru atlasu (U, ϕ).
Przekonuje nas o tym następujący lemat.
Lemat 7.4.2. Niech σ : J −→ M będzie krzywą i niech (Ui, ϕi), (Uj, ϕj) będą mapami punktu σ(0).
Wtedy
D(ϕjσ)(0) = D(ϕji)(ϕiσ(0)) ◦ D(ϕiσ)(0).
Dowód. Przypomnijmy, że ϕji = ϕjϕ −1
i | : ϕi(Ui ∩ Uj) −→ ϕj(Ui ∩ Uj), są bijekcjami klasy C ∞ ,
przy czym ϕi(Ui ∩ Uj) ⊆ R n , ϕj(Ui ∩ Uj) ⊆ R n . Z własności różniczki funkcji złożonej otrzymujemy:
D(ϕjσ)(0) = D(ϕjϕ −1
i ϕiσ)(0) = D(ϕji ◦ ϕiσ)(0) = D(ϕji)(ϕiσ(0)) ◦ D(ϕiσ)(0). ⊠
Definicja 7.4.3. Mówimy, że krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne jeśli:
(a) σ(0) = τ(0),
(b) istnieje mapa (U, ϕ) punktu σ(0) = τ(0) taka, że D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0).
W tej definicji ”istnieje mapa” można zastąpić ”dla każdej mapy”:
Stwierdzenie 7.4.4. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne, to dla każdej mapy (U, ϕ) punktu
σ(0) = τ(0), zachodzi równość D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0).
Dowód. Niech (Ui, ϕi) będzie mapą punktu σ(0) = τ(0) (istniejącą na mocy definicji) taką,
że D(ϕiσ)(0) = D(ϕiτ)(0). Niech (Uj, ϕj) będzie drugą mapą punktu σ(0) = τ(0). Pokażemy, że
D(ϕjσ)(0) = D(ϕjτ)(0). Wynika to z Lematu 7.4.2:
Z tego stwierdzenia wynika w szczególności:
D(ϕjσ)(0) = D(ϕji)(ϕiσ(0)) ◦ D(ϕiσ)(0)
= D(ϕji)(ϕiτ(0)) ◦ D(ϕiτ)(0)
= D(ϕjτ)(0). ⊠
Stwierdzenie 7.4.5. Równoważność krzywych na M jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich
krzywych na M. ⊠
Niech p ∈ M będzie ustalonym punktem.
Definicja 7.4.6. Klasę abstrakcji krzywej σ : J −→ M oznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas
abstrakcji postaci [σ], gdzie σ(0) = p, oznaczamy przez TpM i nazywamy przestrzenią styczną do M
w punkcie p.
Wykażemy teraz, że TpM ma strukturę przestrzeni liniowej nad R. W tym celu udowodnimy
najpierw następujący lemat.
Lemat 7.4.7. Niech σ1, . . . , σs : J −→ M będą krzywymi o środkach w punkcie p i niech r1, . . . , rs
będą liczbami rzeczywistymi takimi, że r1 + · · · + rs = 1. Niech (Ui, ϕi), (Uj, ϕj) będą mapami punktu
p. Rozważmy krzywe λi, λj : J −→ M zdefiniowane wzorami:
λi = ϕ −1
i (r1ϕiσ1 + · · · + rsϕiσs),
λj = ϕ −1
j (r1ϕjσ1 + · · · + rsϕjσs).
Krzywe λi, λj są równoważne. Ponadto λi(0) = λj(0) = p.

46 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Dowód. Sprawdzamy najpierw, że λi(0) = λj(0) = p:
λi(0) = ϕ −1
i ( s
m=1 rmϕiσm(0)) = f −1
i ( s
m=1 rmϕi(p)) = ϕ −1
i (1 · ϕi(p)) = ϕ −1
i ϕi(p) = p.
Podobnie λj(0) = p. Teraz wykażemy, że
Sprawdzamy:
D(ϕji)(ϕi(p)) ◦ D(ϕiλi)(0) = D(ϕjλj)(0). (7.1)
D(ϕjλj)(0) = D( s
m=1 rmϕjσm)(0)
= s m=1 rmD(ϕjσm)(0)
7.4.2 s = m=1 rmD(ϕji)(ϕi(p)) ◦ D(ϕiσm)(0)
= D(ϕji)(ϕi(p)) ◦ s
m=1 rmD(ϕiσm)(0)
= D(ϕji)(ϕi(p)) ◦ D( s
m=1 rmϕiσm)(0)
= D(ϕji)(ϕi(p)) ◦ D(ϕiλi)(0).
Chcąc pokazać, że krzywe λi, λj : J −→ M są równoważne, musimy udowodnić, że dla każdej mapy
(Uk, ϕk) punktu p zachodzi równość:
W tym celu rozpatrzmy jeszcze trzecią krzywą
Mamy wówczas:
i analogicznie:
D(ϕkλi)(0)
D(ϕkλj)(0)
D(ϕkλi)(0) = D(ϕkλj)(0). (7.2)
λk = ϕ −1
k (r1ϕkσ1 + · · · + rmϕkσm).
7.4.2
= D(ϕki)(ϕiλi(0)) ◦ D(ϕiλi)(0)
= D(ϕki)(ϕi(p)) ◦ D(ϕiλi)(0)
(7.1)
= D(ϕkλk)(0)
7.4.2
= D(ϕkj)(ϕjλj(0)) ◦ D(ϕjλj)(0)
= D(ϕkj)(ϕj(p)) ◦ D(ϕjλj)(0)
(7.1)
= D(ϕkλk)(0).
Wykazaliśmy równość (7.2), a zatem krzywe λi, λj są równoważne. ⊠
Niech [σ], [τ] ∈ TpM, r ∈ R i niech (U, ϕ) będzie mapą punktu p. Definiujemy krzywe ρ, ω :
ϕ −1 (U) −→ M, przyjmując:
ρ = ϕ −1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)),
ω = ϕ −1 (rϕσ + (1 − r)ϕ(p)).
(ϕ(p) traktujemy jako odwzorowanie stałe, przyporządkowujące każdemu t ∈ J punkt ϕ(p)). Zauważmy,
że ρ(0) = ω(0) = p. Określamy teraz dodawanie [σ] + [τ] oraz mnożenie r[σ].
Definicja 7.4.8. [σ] + [τ] = [ρ], r[σ] = [ω].
Z Lematu 7.4.7 wynika, że powyższa definicja jest poprawna, tzn., nie zależy od wyboru mapy (U, ϕ)
punktu p. Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie 7.4.9. Zbiór TpM, wraz z powyższymi działaniami, jest przestrzenią liniową
nad R. ⊠

7. Derywacje lokalne 47
Zerem w TpM jest klasa abstrakcji krzywej stałej, przyjmującej dla każdego t ∈ J stałą wartość p. Z
definicji dodawania i mnożenia przez skalar w TpM wynika:
Stwierdzenie 7.4.10. Jeśli σ1, . . . , σs : J −→ M są krzywymi o środku w punkcie p ∈ M oraz
r1, . . . , rs ∈ R, to dla każdej mapy (U, ϕ) punktu p, zachodzi równość
s j=1 rj[σj] = [ϕ−1 ( s j=1 rjϕσj + (1 − s j=1 rj)ϕ(p))],
w szczególności
s
j=1 [σj] = [ϕ −1 ( s
j=1 ϕσj + (1 − s)ϕ(p))]. ⊠
Ustalmy mapę (U, ϕ) punktu p. Niech a ∈ R n . Wprowadzamy następujące dwie funkcje:
Definicja 7.4.11.
a : J −→ R n , t ↦−→ ta,
a ϕ : J −→ M, t ↦−→ ϕ −1 (ta + ϕ(p)).
Funkcja a ϕ jest krzywą na M o środku w p. Ponadto,
gdzie e jest ustalonym wektorem bazowym w R 1 .
D(ϕa ϕ )(0)(e) = ea,
Lemat 7.4.12. Niech a, b ∈ R n , r ∈ R.
(1) [a ϕ ] + [b ϕ ] = [(a + b) ϕ ],
(2) r[a ϕ ] = [(ra) ϕ ],
(3) [a ϕ ] = 0 ⇐⇒ a = 0,
(4) dla każdej krzywej σ : J −→ M o środku w p istnieje dokładnie jeden wektor a ∈ R n taki, że
[σ] = [a ϕ ].
Dowód. Własności (1), (2) i (3) są oczywiste. Dla dowodu (4) przyjmujemy a = D(ϕσ)(0)(e).
Wtedy [σ] = [a ϕ ]. Jedyność wynika z (3). ⊠
Z lematu tego wynika:
Stwierdzenie 7.4.13. Przestrzeń TpM jest izomorficzna z przestrzenią R n . Dokładniej, odwzorowanie
R n −→ TpM, a ↦−→ [a ϕ ] jest izomorfizmem przestrzeni liniowych nad R. ⊠
7.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne
Niech M będzie rozmaitością gładką i p ∈ M. Zmierzamy do wykazania, że przestrzeń TpM jest
izomorficzna z przestrzenią Dp(C(M)), derywacji p-lokalnych z C(M) do R.
Lemat 7.5.1. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne i f ∈ C(M), to D(fσ)(0) = D(fτ)(0).
Dowód. Niech (U, ϕ) będzie mapą punktu p = σ(0) = τ(0). Wtedy D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0) (Stwierdzenie
7.4.4), a zatem
D(fσ)(0) = D(fϕ −1 ϕσ)(0) = D(fϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0)
= D(fϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕτ)(0) = D(fϕ −1 ϕτ)(0)
= D(fτ)(0). ⊠
Ustalmy wektor bazowy e przestrzeni R 1 . Niech [σ] ∈ TpM. Definiujemy odwzorowanie d [σ] :
C(M) −→ R przyjmując, dla każdego f ∈ C(M),
d [σ](f) = D(fσ)(0)(e).
Zauważmy, że D(fσ)(0) jest przekształceniem liniowym z R 1 do R 1 . Zatem D(fσ)(0)(e) ∈ R.

48 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 7.5.2. Odwzorowanie d [σ] jest derywacją p-lokalną.
Dowód. R-liniowość jest oczywista. Mamy ponadto, dla f, g ∈ C(M),
d [σ](fg) = D((fg)σ)(0)(e) = D((fσ)(gσ))(0)(e)
= fσ(0)D(gσ)(0)(e) + gσ(0)D(fσ)(0)(e)
= f(p)d [σ](g) + g(p)d [σ](f). ⊠
Stwierdzenie 7.5.3. Jeśli [σ], [τ] ∈ TpM, r ∈ R, to d [σ]+[τ] = d [σ] + d [τ] oraz d r[σ] = rd [σ].
Dowód. Niech (U, ϕ) będzie mapą punktu p i niech f ∈ C(M). Niech ρ = ϕ −1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)).
Wtedy
d [σ]+[τ](f) = d [ρ](f) = D(fρ)(0)(e)
= D(fϕ −1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0)(e)
= (D(fϕ −1 )(ϕσ(0) + ϕτ(0) − ϕ(p)) ◦ D(ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0))(e)
= (D(fϕ −1 )(ϕ(p))(D(ϕσ)(0) + D(ϕτ)(0)))(e)
= (D(fϕ −1 )(ϕ(p))D(ϕσ)(0))(e) + (D(fϕ −1 )(ϕ(p))D(ϕτ)(0))(e)
= D(fσ)(0)(e) + D(fτ)(0)(e) = d [σ](f) + d [τ](f)
= (d [σ] + d [τ])(f).
Wykorzystaliśmy tu równość D(ϕ(p))(0) = 0, która wynika z faktu, że różniczka odwzorowania stałego
jest zerowa.
W podobny sposób wykazujemy drugą równość. Niech ω = ϕ −1 (rϕσ + (1 − r)ϕ(p)). Wtedy
Zatem d r[σ] = rd [σ]. ⊠
d r[σ](f) = d [ω](f) = D(fω)(0)(e)
= D(fϕ −1 (rϕσ + (1 − r)ϕ(p))(0)(e)
= (D(fϕ −1 )(rϕσ(0) + (1 − r)ϕ(p)) ◦ D(rϕσ + (1 − r)ϕ(p))(0))(e)
= D(fϕ −1 )(ϕ(p))(rD(ϕσ)(0))(e)
= rD(fϕ −1 )(ϕ(p))D(ϕσ)(0)(e)
= rD(fσ)(0)(e) = rd [σ](f)
= (rd [σ])(f).
Niech (U, ϕ) będzie w dalszym ciągu ustaloną mapą punktu p ∈ M i niech
e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)
będzie standardową bazą przestrzeni R n . Oznaczmy
bi : J −→ R n , t ↦→ tei, dla i = 1, . . . , n.
Funkcje b1, . . . , bn są oczywiście odwzorowaniami klasy C ∞ . Przy pomocy tych funkcji definiujemy
krzywe λ1, . . . , λn : J −→ M, przyjmując:
λi = ϕ −1 (bi + ϕ(p)), dla i = 1, . . . , n.
Zauważmy, że λ1(0) = · · · = λn(0) = p.
Przypomnijmy jeszcze, że przez ∆ ϕ
1 , . . . , ∆ϕn oznaczamy derywacje p-lokalne z C(M) do R określone
wzorami:
∆ ϕ ∂fϕ−1
i (f) = (ϕ(p)), dla f ∈ C(M), i = 1, . . . , n.
∂xi
Wiemy (Twierdzenie 7.3.8), że derywacje te tworzą bazę przestrzeni Dp(C(M)).

7. Derywacje lokalne 49
Stwierdzenie 7.5.4. d [λi] = ∆ ϕ
i , dla i = 1, . . . , n.
Dowód. Jest oczywiste, że D(bi)(0)(e) = ei. Zatem, dla f ∈ C(M),
d [λi](f) = D(fλi)(0)(e) = D(fϕ −1 (bi + ϕ(p))(0)(e)
= D(fϕ −1 )(ϕ(p))(D(bi + ϕ(p))(0)(e)) = D(fϕ −1 )(ϕ(p))(D(bi)(0)(e))
= D(fϕ−1 )(ϕ(p))(ei) = n ∂fϕ
j=1
−1
∂xj (ϕ(p))(ei)
= ∂fϕ−1
∂xi
(ϕ(p)) = ∆ϕi
(f). ⊠
Twierdzenie 7.5.5. Odwzorowanie Φ : TpM −→ Dp(C(M)), [σ] ↦−→ d [σ], jest izomorfizmem przestrzeni
liniowych nad R.
Dowód. R-liniowość odwzorowania Φ wynika ze Stwierdzenia 7.5.3. Z poprzedniego stwierdzenia
tworzą bazę przestrzeni Dp(C(M))).
wnioskujemy, że Φ jest surjekcją (ponieważ derywacje postaci ∆ ϕ
i
Wystarczy zatem pokazać, że Φ jest różnowartościowe. Niech więc σ : J −→ M będzie krzywą o środku
w p taką, że d [σ] = 0. Wówczas, dla każdego f ∈ C(M), przekształcenie liniowe D(fσ)(0) jest zerowe.
Ale D(fσ)(0) = D(fϕ−1ϕσ)(0) = D(fϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0), zatem dla każdego f ∈ C(M)) mamy
równość
D(fϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0) = 0.
Przyjmując za f kolejno funkcje ϕ [1] , . . . , ϕ [n] ∈ C(M) takie, jak w Podrozdziale 7.3, stwierdzamy, że
D(ϕσ)(0) = 0. Oznacza to (patrz definicja równoważności krzywych), że [σ] = 0. ⊠
7.6 Morfizmy
Niech M, N będą rozmaitościami gładkimi, wymiarów odpowiednio m i n. Niech p ∈ M i niech
f : M −→ N będzie odwzorowaniem gładkim.
Lemat 7.6.1. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne, to krzywe fσ, fτ : J −→ N też są
równoważne.
Dowód. Niech σ(0) = τ(0) = p. Wtedy fσ(0) = fτ(0) = f(p). Istnieją mapy (U, ϕ) punktu
p i (V, ψ) punktu f(p) takie, że odwzorowanie ψfϕ −1 | : ϕ(U) −→ ψ(V ) jest gładkie. Wiemy,
że D(ϕσ)(0) = D(ϕτ)(0). Zatem D(ψfσ)(0) = D(ψfϕ −1 ϕσ)(0) = D(ψfϕ −1 )(f(p)) ◦ D(ϕσ)(0) =
D(ψfϕ −1 )(f(p)) ◦ D(ϕτ)(0) = D(ψfϕ −1 ϕτ)(0) = D(ψfτ)(0). ⊠
Definiujemy odwzorowanie Tpf : TpM −→ T f(p)N przyjmując:
(Tpf)([σ]) = [fσ],
dla wszystkich [σ] ∈ TpM. Z powyższego lematu wynika, że odwzorowanie to jest dobrze określone.
Odwzorowanie to nazywa się różniczką odwzorowania f w punkcie p.
Stwierdzenie 7.6.2. Odwzorowanie Tpf : TpM −→ T f(p)N jest przekształceniem R-liniowym.
Dowód. Niech [σ], [τ] ∈ TpM. Istnieją mapy (U, ϕ) punktu p i (V, ψ) punktu f(p) takie, że
odwzorowanie ψfϕ −1 | : ϕ(U) −→ ψ(V ) jest gładkie. Niech ρ = ϕ −1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)) i rozpatrzmy
krzywe fρ, ρ : J −→ N określone wzorami
fρ = fϕ −1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)), ρ = ψ −1 (ψfσ + ψfτ − ψf(p)).
Są to dwie równoważne krzywe o środkach w punkcie f(p). Zachodzi bowiem równość:
D(ψρ)(0) = D(ψfρ)(0).

50 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Sprawdzamy:
D(ψρ)(0) = D(ψfσ + ψfτ − ψf(p))(0)
= D(ψfσ)(0) + D(ψfτ)(0) = D(ψfϕ −1 ϕσ)(0) + D(ψfϕ −1 ϕτ)(0)
= D(ψfϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0) + D(ψfϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕτ)(0).
D(ψfρ)(0) = D(ψfϕ −1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)))(0)
Zatem [ρ] = [fρ] i stąd otrzymujemy:
= +D(ψfϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0)
= D(ψfϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0) + D(ψfϕ −1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕτ)(0).
Tpf([σ] + [τ]) = Tpf([ρ]) = [fρ] = [ρ] = [fσ] + [fτ] = Tpf([σ]) + Tpf([τ]).
Analogicznie sprawdzamy, że Tpf(r[σ]) = rTpf([σ]), dla r ∈ R. ⊠
Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie 7.6.3.
(1) Tp(1M ) = 1TpM .
(2) Tp(g ◦ f) = T f(p)g ◦ Tpf. ⊠
Wniosek 7.6.4. Jeśli f : M −→ N jest dyfeomorfizmem, to Tpf : TpM −→ T f(p)N jest izomorfizmem
przestrzeni liniowych. ⊠
Przedstawimy teraz wszystkie powyższe fakty w języku derywacji lokalnych.
Załóżmy, że f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim. Mamy wtedy R-algebrowy homomorfizm
C(f) : C(N) −→ C(M), α ↦→ αf. Jeśli δ : C(M) −→ R jest derywacją p-lokalną, to odwzorowanie
d = δ ◦ C(f) : C(N) −→ R jest derywacją f(p)-lokalną. Istotnie, niech α, β ∈ C(N). Wtedy:
d(αβ) = δC(f)(αβ) = δ(αβf) = δ((αf)(βf))
Mamy zatem odwzorowanie R-liniowe
Łatwo sprawdzić:
Stwierdzenie 7.6.5.
(1) Dp(1M ) = 1 Dp(C(M)).
(2) Dp(g ◦ f) = D ϕ(p)g ◦ Dpf. ⊠
= αf(p)δ(βf) + βf(p)δ(αf) = α(f(p))d(β) + β(f(p))d(α).
Dpf : Dp(C(M)) −→ D f(p)(C(N)), δ ↦−→ δ ◦ C(f).
Wniosek 7.6.6. Jeśli f : M −→ N jest dyfeomorfizmem, to Dpf : DpM −→ D ϕ(p)N jest izomorfizmem
przestrzeni R-liniowych. ⊠
Niech Φ(M) : TpM −→ Dp(C(M)), [σ] ↦−→ d [σ], będzie izomorfizmem rozpatrywanym w Twierdzeniu
7.5.5. Niech Φ(N) : T f(p)N −→ D f(p)(C(N)), [τ] ↦−→ d [τ], będzie też takim izomorfizmem.
Stwierdzenie 7.6.7. Jeśli f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim i p ∈ M, to
Φ(N) ◦ Tpf = Dpf ◦ Φ(M). ⊠

8. Wiązka styczna 51
8 Wiązka styczna
Podamy trzy równoważne definicje wiązki stycznej. W pierwszej definicji wykorzystamy funkcje
przejścia, a w następnych krzywe i derywacje lokalne.
Zakładamy w tym rozdziale, że M jest rozmaitością gładką wymiaru n i A = {(Ui, ϕi)}i∈I jest jej
ustalonym atlasem.
8.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia
Wiemy (patrz Podrozdział 5.5), że wiązkę wektorową można definiować przy pomocy funkcji przejścia.
Jeśli x ∈ Ui ∩ Uj, to definiujemy automorfizm R-liniowy gij(x) : R n −→ R n , przyjmując:
Sprawdza się łatwo, że odwzorowania
gij(x) = D(ϕij)(ϕj(x)).
gij : Ui ∩ Uj −→ AutR(R n )
spełniają warunki (1) i (2) definicji funkcji przejścia (patrz Podrozdział 5.5). Definiują nam zatem
wiązkę wektorową, którą nazywamy wiązką styczną do M.
8.2 Wiązka styczna i krzywe
Przypomnijmy, że przez TpM oznaczamy przestrzeń styczną do M w punkcie p. Pamiętamy, że
[σ] oznaczamy klasę abstrakcji krzywej σ : J −→ M. TpM jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji
krzywych na M o środku w punkcie p, tzn., TpM = {[σ]; σ(0) = p}.
Definicja 8.2.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji krzywych na M oznaczamy przez TM i nazywamy
wiązką styczną do rozmaitości M. Przez π oznaczamy odwzorowanie z TM do M określone wzorem
π([σ]) = σ(0).
Odwzorowanie π jest dobrze określone. Jeśli bowiem [σ] = [σ ′ ], to oczywiście σ(0) = σ ′ (0). Zauważmy,
że π −1 (p) = TpM jest przestrzenią wektorową nad R.
Stwierdzenie 8.2.2. Odwzorowanie π : TM −→ M jest surjekcją.
Dowód. Niech p ∈ M. Rozpatrzmy funkcją stałą σp : J −→ M, t ↦→ p. Funkcja ta jest krzywą na
M i π([σp]) = σp(0) = p. ⊠
Wykażemy, że trójka (TM, π, M) jest wiązką wektorową (w sensie topologicznym) oraz, że TM
jest rozmaitością gładką i π jest odwzorowaniem gładkim.
Przez e oznaczamy ustalony wektor bazowy przestrzeni R 1 .
Niech (Ui, ϕi) będzie mapą z atlasu A. Wtedy
π −1 (Ui) = {[σ] ∈ TM; σ(0) ∈ Ui}.
Definiujemy odwzorowanie Φi : π −1 (Ui) −→ Ui × R n , przyjmując:
Φi([σ]) = (σ(0), D(ϕiσ)(0)(e)).
Z definicji równoważności krzywych wynika, że odwzorowanie to jest dobrze określone.
Stwierdzenie 8.2.3. Odwzorowanie Φi : π −1 (Ui) −→ Ui × R n jest bijekcją.

52 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Dowód. Różnowartościowość wynika z definicji równoważności krzywych. Pokażemy, że Φi jest
surjekcją. Niech (x, v) ∈ Ui×R n . Rozpatrzmy krzywą τ : J −→ R n określoną wzorem τ(t) = tv+ϕi(x).
Niech σ = ϕ −1
i τ : J −→ M. Wtedy Φi([σ]) = (x, v). ⊠
Stwierdzenie 8.2.4. Niech x ∈ Ui ∩ Uj, v ∈ R n . Wtedy
ΦiΦ −1
j (x, v) = (x, D(ϕij)(ϕj(x))(v)).
Dowód. Niech (x, v) = Φj([σ]), gdzie [σ] ∈ π −1 (Ui), σ(0) = x. Wtedy:
ΦiΦ −1
−1
j (x, v) = ΦiΦj Φj([σ]) = Φi([σ])
= (σ(0), D(ϕiσ)(0)(e))
= (σ(0), D(ϕiϕ −1
j ϕjσ)(0)(e))
= (σ(0), D(ϕij)(ϕj(x)) ◦ D(ϕjσ)(0)(e)
= (x, D(ϕij)(ϕj(x))(v)). ⊠
Stwierdzenie 8.2.5. Niech (Ui, ϕi) będzie mapą punktu x ∈ M. Niech [σ], [τ] ∈ TxM, r ∈ R.
(a) Jeśli Φi([σ]) = (x, a), Φ([τ]) = (x, b), gdzie a, b ∈ R n , to Φi([σ] + [τ]) = (x, a + b).
(b) Jeśli Φi([σ]) = (x, a), gdzie a ∈ R n , to Φi(r[σ]) = (x, ra).
Dowód. Dowodzimy tak samo jak Stwierdzenie 7.5.3. ⊠
W zbiorze TM wprowadzamy minimalną topologię, w której wszystkie funkcje postaci Φi oraz
funkcja π są ciągłe. Zbiory otwarte w TM są sumami przekrojów skończonej liczby zbiorów Wj ⊆
π −1 (Ui) takich, że zbiór Φj(Wj) jest otwarty. Wtedy wszystkie odwzorowania Φi : π −1 (Ui) −→ Ui×R n
są homeomorfizmami. Mamy zatem następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 8.2.6. Trójka (TM, π, M) jest wiązką wektorową nad M. ⊠
Wyjaśnijmy jeszcze, że przestrzeń TM ma strukturę rozmaitości gładkiej taką, że surjekcja π :
TM −→ M jest odwzorowaniem gładkim. Atlas dla TM konstruuje się w następujący sposób.
Niech Ψi : π −1 (Ui) −→ R 2n będzie złożeniem
czyli
π −1 (Ui)
Φi
n ϕi×1
−→ Ui × R −→ R n × R n ,
Ψi([σ]) = (ϕi(σ(0)), D(ϕiσ)(0)(e)).
Oczywiście Ψi jest homeomorfizmem. Ze Stwierdzenia 8.2.4 wynika:
Stwierdzenie 8.2.7. ΨiΨ −1
j (a, v) = (ϕij(a), D(ϕij)(a)(v)). ⊠
Stąd otrzymujemy:
Wniosek 8.2.8. Odwzorowania Ψij = ΨiΨ −1
j
Mamy zatem
są klasy C ∞ . ⊠
Wniosek 8.2.9. Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n, to TM jest też rozmaitością gładką i
jej wymiar jest równy 2n. Atlasem rozmaitości TM jest rodzina {(π −1 (Ui), Ψi)}i∈I. ⊠
Z powyższych konstrukcji wynika, że jeśli M jest rozmaitością klasy C r , to T M jest rozmaitością klasy C r−1 .
Zauważmy jeszcze, że rozważana tu wiązka styczna (TM, π, M) pokrywa się z wiązką styczną
wprowadzoną w poprzednim podrozdziale (przy pomocy funkcji przejścia). Jeśli x ∈ Ui ∩ Uj oraz
gij(x) : R n −→ R n jest określone wzorem
gij(x)(v) = D(ϕij)(ϕj(x))(v),
to (na mocy Stwierdzenia 8.2.4) (x, gij(x)(v)) = ΦiΦ −1
j (x, v).

8. Wiązka styczna 53
8.3 Wiązka styczna i derywacje lokalne
Zdefiniujemy wiązkę styczną do M przy pomocy derywacji x-lokalnych z C(M) do R, gdzie x ∈
M. Wiązkę tę oznaczać będziemy (chwilowo) przez WM, a jej włókna przez WxM. Zachowujemy
poprzednie oznaczenia TM i TxM dla, dobrze nam znanych, zbiorów klas abstrakcji krzywych na
M. Przypomnijmy jeszcze, że przez Dx(C(M)) oznaczamy przestrzeń wektorową nad R, wszystkich
derywacji x-lokalnych z C(M) do R.
Definicja 8.3.1.
Zbiór WM nazywamy wiązką styczną do M.
WxM = {x} × Dx(C(M)), WM =
p : WM −→ M, (x, d) ↦−→ x.
Odwzorowanie p jest oczywiście surjekcją oraz p −1 (x) = WxM.
Podamy szkic dowodu następującego twierdzenia.
x∈M
WxM,
Twierdzenie 8.3.2.
(a) Na zbiorze WM można wprowadzić topologię taką, że trójka (WM, p, M) stanie się wiązką
wektorową nad M (w sensie topologicznym).
(b) Przestrzeń topologiczna WM, z topologią wprowadzoną w (a), ma naturalną strukturę rozmaitości
gładkiej taką, że odwzorowanie p jest gładkie.
(c) Wiązka styczna (TM, π, M), wprowadzona w poprzednim podrozdziale, jest izomorficzna z wiązką
(WM, p, M).
Szkic dowodu. Niech (Ui, ϕi) będzie mapą rozmaitości M. Mamy wtedy równość
p −1 (Ui) =
x∈Ui
WxM.
Przypomnijmy (patrz Podrozdział 7.3), że jeśli x ∈ Ui oraz d ∈ Dx(C(M)), to
d = d(ϕ [1]
i )∆ϕi 1 + · · · + d(ϕ[n] i )∆ϕi n ,
gdzie ∆ ϕi
1 , . . . , ∆ϕi n są derywacjami x-lokalnymi tworzącymi bazę przestrzeni Dx(C(M)) nad R, nato-
miast ϕ [1]
i , . . . , ϕ [n]
i : M −→ R są funkcjami gładkimi takimi, że ϕ [j]
i | Ui = ϕ (j)
i , dla j = 1, . . . , n, przy
czym (ϕ (1)
i , . . . , ϕ (n)
i ) = ϕi. Przypomnijmy również, że
∆ ϕi
j
∂fϕ−1 i (f) = ∂xj (ϕi(x)), dla f ∈ C(M), j = 1, . . . , n.
Widzimy więc, że z każdą derywacją d ∈ Dx(C(M)) stowarzyszony jest wektor
(d(ϕ [1]
i ), . . . , d(ϕ[n] i )) ∈ Rn .
Wektor ten zależy oczywiście od wybranej mapy (Ui, ϕi) punktu x.
Definiujemy teraz odwzorowanie
przyjmując, dla (x, d) ∈ WxM,
Φi : p −1 (Ui) −→ Ui × R n ,
Φi(x, d) = (x, (d(ϕ [1]
i ), . . . , d(ϕ[n] i )).
Jest jasne, że odwzorowania postaci Φi są bijekcjami.

54 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
W zbiorze WM wprowadzamy minimalną topologię, w której wszystkie funkcje postaci Φi oraz
funkcja p są ciągłe. Zbiory otwarte w WM są sumami przekrojów skończonej liczby zbiorów Wj ⊆
p −1 (Ui) takich, że zbiór Φj(Wj) jest otwarty. Wtedy wszystkie odwzorowania Φi : π −1 (Ui) −→ Ui×R n
są homeomorfizmami. Zatem trójka (WM, p, M) jest wiązką wektorową nad M.
Wprowadzimy teraz na WM strukturę różniczkową. Atlas dla WM konstruujemy dokładnie tak
samo, jak atlas dla wiązki stycznej TM, z poprzedniego podrozdziału. Powtórzmy to jeszcze raz.
Niech Ψi : p −1 (Ui) −→ R 2n będzie złożeniem
p −1 (Ui)
Φi
n ϕi×1
−→ Ui × R −→ R n × R n .
Oczywiście Ψi jest homeomorfizmem.
Teraz wykazuje się następujące dwa stwierdzenia, które są dokładnie takie same, jak odpowiednie
stwierdzenia z poprzedniego podrozdziału.
Stwierdzenie 8.3.3. Niech x ∈ Ui ∩ Uj, v ∈ R n . Wtedy
ΦiΦ −1
j (x, v) = (x, D(ϕij)(ϕj(x))(v)). ⊠
Stwierdzenie 8.3.4. ΨiΨ −1
j (a, v) = (ϕij(a), D(ϕij)(a)(v)). ⊠
Stąd widzimy, że wszystkie odwzorowania postaci Ψij = ΨiΨ −1
j
są klasy C ∞ . Jeśli więc M jest
rozmaitością gładką wymiaru n, to WM jest też rozmaitością gładką i jej wymiar jest równy 2n.
Atlasem rozmaitości WM jest rodzina {(p −1 (Ui), Ψi)}i∈I. Teraz jest oczywiste, że wiązka (WM, p, M)
jest izomorficzna z wiązką (TM, π, M). Dowód naszego twierdzenia został więc zakończony. ⊠

9. Pola wektorowe i derywacje 55
9 Pola wektorowe i derywacje
9.1 Gładkie wiązki wektorowe
W Rozdziale 5 przedstawiliśmy ogólne pojęcia dotyczące wiązek wektorowych nad przestrzeniami
topologicznymi. W poprzednim rozdziale podaliśmy równoważne opisy wiązki stycznej do rozmitości
gładkiej M. Wiązka styczna jest oczywiście wiązką wektorową w sensie Rozdziału 5. Ma ona jednak
dodatkowe własności. Przestrzenie topologiczne, występujące w wiązce stycznej, są rozmaitościami
gładkimi, a rzutowanie jest odwzorowaniem gładkim. Spełnione są jeszcze inne własności. Każda
wiązka styczna jest tzw. wiązką gładką, którą definiuje się następująco.
Definicja 9.1.1 ([4]48). Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Gładką wiązką wektorową
nad M nazywamy trójkę (E, p, M) taką, że:
(1) E jest rozmaitością gładką;
(2) p : E −→ M jest gładką surjekcją;
(3) dla każdego x ∈ M, zbiór p −1 (x) jest przestrzenią wektorową nad R i topologia tej przestrzeni
jest zgodna z topologią indukowaną z topologii na E;
(4) E jest loklanie trywialne, tzn., dla dowlnego x ∈ M istnieje zbiór otwarty U ⊆ M, zawierający
x taki, że zbiór p −1 (U) jest izomorficzny z U × R n w następującym sensie: istnieje dyfeomorfizm
Φ : U × R n −→ p −1 (U) taki, że
(a) pΦ(u, a) = u, dla (u, a) ∈ U × R n ,
(b) jeśli u ∈ U, to odwzorowanie Φ(u, ) : R n −→ p −1 (u) jest liniowym izomorfizmem.
Łatwo wykazać:
Stwierdzenie 9.1.2 ([4]48). Jeśli (E, p, M) jest gładką wiązką wektorową nad M i U ⊆ M jest
zbiorem otwartym, to trójka (p −1 (U), p|U, U) jest gładką wiązką wektorową nad U. ⊠
Definicja 9.1.3. Wiązkę (p −1 (U), p|U, U) (z powyższego stwierdzenia) oznaczamy przez E|U i nazywamy
ograniczeniem wiązki E do U.
Stwierdzenie 9.1.4. Wiązka styczna do rozmaitości gładkiej M jest gładką wiązką wektorową nad
M. ⊠
9.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych
O przekrojach dla rodzin wektorowych nad przestrzenią topologiczną mówiliśmy w Rozdziale 5. Teraz
przedstawimy pewne ogólne własności przekrojów gładkich dla gładkiej wiązki wektorowej.
Niech E = (E, p, M) będzie gładką wiązką wektorową (w sensie definicji z poprzedniego podrozdziału).
Definicja 9.2.1. Przekrojem (gładkim) wiązki E nazywamy każde odwzorowanie gładkie s : M −→ E
takie, że ps = 1M .
Odwzorowanie gładkie s : M −→ E jest więc przekrojem (gładkim) wiązki E, jeśli
s(x) ∈ Ex = p −1 (x), dla x ∈ M.
Zbiór wszystkich przekrojów gładkich wiązki E oznaczamy przez Γ(E). Przekroje można dodawać i
mnożyć przez funkcje gładkie z M do R. Jeśli s1, s2, s ∈ Γ(E) oraz f ∈ C(M), to przekroje s1 + s2
oraz f · s definiujemy nastąpująco. Jeśli x ∈ M, to
(s1 + s2)(x) = s1(x) + s2(x) dodawanie w przestrzeni p −1 (x),
(f · s)(x) = f(x)s(s) mnożenie przez skalar w przestrzeni p −1 (x).
Stwierdzenie 9.2.2. Zbiór Γ(E) jest C(M)-modułem. ⊠

56 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie 9.2.3 ([4]50). Niech s1, . . . , sn ∈ Γ(E) będą takimi przekrojami, że dla każdego punktu
x ∈ M, wektory s1(x), . . . , sn(x) tworzą bazę przestrzeni wektorowej p −1 (x). Wtedy, dla dowolnego
przekroju s ∈ Γ(E) istnieją jednoznacznie wyznaczone funkcje gładkie α1, . . . , αn ∈ C(M) takie, że
s = α1s1 + · · · + αnsn. ⊠
Stwierdzenie to możemy wysłowić również w następujący sposób.
Stwierdzenie 9.2.4. Załóżmy, że istnieją przekroje s1, . . . , sn ∈ Γ(E) takie, że dla każdego punktu
x ∈ M, wektory s1(x), . . . , sn(x) tworzą bazę przestrzeni wektorowej p −1 (x). Wtedy Γ(E) jest modułem
wolnym nad C(M) i przekroje s1, . . . , sn tworzą jego bazę. ⊠
Przykład 9.2.5. Niech E = M × R n , p(x, a) = x, gdzie M jest rozmaitością gładką. Trójka E =
(M × R n , p, M) jest gładką wizązką wektorową, zwaną wiązką trywialną. Jeśli e1, . . . , en jest bazą
przestrzeni R n nad R, to odwzorowania si : M −→ M × R n , si(x) = (x, ei), i = 1, . . . , n tworzą bazę
modułu Γ(E) nad C(M). ⊠
Ponieważ każda gładka wiązka wektorowa jest lokalnie trywialna, więc (na mocy powyższego przykładu)
każda gładka wiązka wektorowa posiada lokalną bazę, tzn.:
Stwierdzenie 9.2.6 ([4]51). Niech s ∈ Γ(E). Wtedy, dla każdego x ∈ M, istnieje zbiór otwarty
U ⊆ M, zwierający x, istnieją przekroje s1, . . . , sn ∈ Γ(E|U) i istnieją jednoznacznie wyznaczone
funkcje gładkie α1, . . . , αn ∈ C(U) takie, że dla wszystkich u ∈ U zachodzi równość:
9.3 Pola wektorowe
s(u) = α1(u)s1(u) + · · · + αn(u)sn(u). ⊠
Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Mamy wtedy wiązkę styczną TM = (TM, π, M),
która jest gładką wiązką wektorową nad M w sensie Definicji 9.1.1. Mamy zatem C(M)-moduł Γ(TM),
wszystkich przekrojów tej wiązki.
Definicja 9.3.1. Każdy element modułu Γ(TM) nazywamy polem wektorowym na M.
Polem wektorowym na M jest więc każde odwzorowanie gładkie s : M −→ TM takie, że s(x) ∈
TxM, dla wszystkich x ∈ M.
Niech Der(C(M)) będzie C(M)-modułem wszystkich R-derywacji pierścienia C(M)) (tzn. Rliniowych
odwzorowań z C(M) do C(M), spełniających warunek Leibniza). Udowodnimy następujące
twierdzenie.
Twierdzenie 9.3.2. C(M)-moduły Der(C(M)) i Γ(TM) są izomorficzne.
Podamy dwa dowody tego faktu. Najpierw jednak przedstawimy pewne uwagi o derywacjach pierścienia
C(M).
9.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich
Niech, tak jak poprzednio, M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Rozpoczynamy od następującego
oczywistego stwierdzenia.
Stwierdzenie 9.4.1. Jeśli d : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją i x ∈ M, to odwzorowanie
jest derywacją x-lokalną. ⊠
dx : C(M) −→ R, f ↦−→ d(f)(x),
Z tego stwierdzenia oraz Wniosku 7.3.7 otrzymujemy:

9. Pola wektorowe i derywacje 57
Stwierdzenie 9.4.2. Niech d : C(M) −→ C(M) będzie R-derywacją. Niech x ∈ M i niech (U, ϕ)
będzie mapą punktu x. Wtedy, dla wszystkich f ∈ C(M), zachodzi równość:
d(f)(x) = n ∂fϕ
i=1
−1
∂xi (ϕ(x))d(ϕ[i] )(x).⊠
W szczególności, dla M = R n (z jednoelementowym atlasem), mamy:
Stwierdzenie 9.4.3. Niech π1, . . . , πn : Rn −→ R będą rzutowaniami. Jeśli d : C(Rn ) −→ C(Rn )
jest R-derywacją, to
d = d(π1) ∂
∂
+ · · · + d(πn) . ⊠
∂x1 ∂xn
9.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie
Zakładamy, że wiązka styczna TM jest zdefiniowana przy pomocy krzywych. Podamy izomorfizm
F : Γ(TM) −→ Der(C(M)).
Istotną rolę odgrywać będzie Lemat 7.5.1 mówiący o tym, że jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są
równoważne i f ∈ C(M), to D(fσ)(0) = D(fτ)(0).
Niech s : M −→ TM będzie polem wektorowym na M. Definiujemy wtedy odwzorowanie δs :
C(M) −→ C(M), przyjmując
δs(f)(x) = D(fσ)(0)(e) = d(fσ)
dt (0),
dla f ∈ C(M), x ∈ M, gdzie σ : J −→ M jest krzywą taką, że s(x) = [σ] ∈ TxM. Element e jest,
tak jak zwykle, ustalonym wektorem bazowym z R 1 . Definicja ta jest poprawna. Wiemy bowiem, na
mocy Lematu 7.5.1, że δs(f)(x) nie zależy od wyboru reprezentanta σ.
Lemat 9.5.1. Odwzorowanie δs : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją.
Dowód. R-liniowość jest oczywista. Niech f, g ∈ C(M), x ∈ M. Wtedy
ds(fg)(x) = D((fg)σ)(0)(e) = D((fσ)(gσ))(0)(e)
Zatem ds(fg) = fds(g) + gds(f). ⊠
= fσ(0)D(gσ)(0)(e) + gσ(0)D(fσ)(0)(e)
= f(x)ds(g)(x) + g(x)ds(f)(x) = (fds(g) + gds(f))(x).
Lemat 9.5.2. Niech s1, s2, s ∈ Γ(TM), h ∈ C(M). Wtedy:
(1) δs1+s2 = δs1 + δs2 ,
(2) δhs = hδs.
Dowód. Niech f ∈ C(M), x ∈ M. Niech s1(x) = [σ1], s2(x) = [σ2], s(x) = [σ]. Załóżmy jeszcze,
że (U, ϕ) jest mapą punktu x i niech
ρ = ϕ −1 (ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x)), ω = ϕ −1 (h(x)ϕσ + (1 − h(x))ϕ(x)).
Wtedy (s1 + s2)(x) = ([σ1] + [σ2] = [ρ], (hs)(x) = h(x)[σ] = [ω]. Mamy zatem:
(δs1
+ δs2 )(f)(x) = δs1 (f)(x) + δs2 (f)(x)
= D(fσ1)(0)(e) + D(fσ2)(0)(e)
= D(fϕ −1 ϕσ1)(0)(e) + D(fϕ −1 ϕσ2)(0)(e)
= D(fϕ −1 )(ϕ(x)) ◦ D(ϕσ1)(0) + D(fϕ −1 )(ϕ(x) ◦ D(ϕσ2)(0) (e)
= D(fϕ −1 )(ϕ(x)) ◦ (D(ϕσ1)(0) + D(ϕσ2)(0)) (e)
= D(fϕ −1 )(ϕ(x)) ◦ (D(ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x))(0)) (e)
= D(fϕ −1 (ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x))(0)(e)
= D(fρ)(0)(e)
= δs1+s2 (f)(x).

58 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
(hδs)(f)(x) = f(x)δs(f)(x)
= h(x)D(fσ)(0)(e)
= h(x)D(fϕ −1 ϕσ)(0)(e)
= h(x)D(fϕ −1 )(ϕ(x)) ◦ D(ϕσ)(0)(e)
= D(fϕ −1 )(ϕ(x)) ◦ D(h(x)ϕσ + (1 − h(x)ϕ(x))(0)(e)
= D(fω)(0)(e)
= δhs(f)(x).
Zatem δs1+s2 = δs1 + δs2 oraz δhs = hδs. ⊠
Przypomnijmy, że zerem 0x w TxM jest klasa abstrakcji krzywej stałej J −→ M, t ↦→ x. Jeśli
σ : J −→ M jest krzywą o środku w x, to [σ] = 0x ⇐⇒ D(ϕσ)(0) = 0, gdzie (U, ϕ) jest mapą
punktu x (wynika to z definicji równoważności krzywych). Zerowym polem wektorowym na M jest
więc odwzorowanie s :−→ TM takie, że s(x) = 0x, dla wszystkich x ∈ M.
Lemat 9.5.3. Jeśli δs = 0, to s = 0.
Dowód. Niech x ∈ M, s(x) = [σ] i niech (U, ϕ) będzie mapą punktu x. Musimy pokazać, że
D(ϕσ)(0)(e) = 0. Niech ϕ [1] , . . . , ϕ [n] : M −→ R będą funkcjami gładkimi wprowadzonymi w podrozdziale
7.3. Ponieważ δs = 0, więc δs(ϕ [j] )(x) = 0, czyli D(ϕ [j] σ)(0)(e) = 0, dla j = 1, . . . , n. W
otoczeniu 0 ∈ J zachodzi oczywiście równość ϕσ = (ϕ [1] σ, . . . , ϕ [n] σ). Zatem:
⎡
D(ϕ
⎢
D(ϕσ)(0)(e) = ⎢
⎣
[1] σ)(0)(e)
.
D(ϕ [1] ⎤
⎥
⎦
σ)(0)(e)
=
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣ . ⎥ = 0. ⊠
⎦
0
Lemat 9.5.4. Jeśli d : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją, to istnieje doładnie jedno pole wektorowe
s na M takie, że d = δs.
Dowód. Jedyność wynika z poprzednich lematów. Niech x ∈ M. Zdefiniujemy element s(x) ∈
TxM. W tym celu niech (U, ϕ) będzie mapą punktu x i niech ϕ [1] , . . . , ϕ [n] : M −→ R będą funkcjami
gładkimi wprowadzonymi w Podrozdziale 7.3. Niech
a1 = d(ϕ [1] )(x), . . . , an = d(ϕ [n] )(x).
Wtedy a = (a1, . . . , an) ∈ R n . Rozpatrzmy krzywą σx : J −→ M określoną wzorem (dla t bliskich
zera):
σx(t) = ϕ −1 (at + ϕ(x)).
Wtedy σx(0) = x. Przyjmujemy: s(x) = [σx]. Nie jest trudno pokazać, że w ten sposób mamy zdefiniowane
odwzorowanie gładkie s : M −→ TM (patrz w jaki sposób określa się strukturę różniczkową na
wiązce stycznej TM, zadanej przy pomocy krzywych) i odwzorowanie to spełnia warunek s(x) ∈ TxM,
dla wszystkich x ∈ M. Zatem s jest polem wektorowym na M. Należy jeszcze wykazać, że d = δs. W
tym celu wystarczy pokazać, że (przy ustalonym x ∈ M) dla każdego f ∈ C(M) zachodzi równość
d(f)(x) = D(fσx)(0)(e). Jest to konsekwencja Stwierdzenia 9.4.2. Mamy bowiem:
d(f)(x) = n ∂fϕ
i=1
−1
∂xi (ϕ(x))d(ϕ[i] )(x)
= n ∂fϕ
i=1
−1
∂xi (ϕ(x))ai
= D(fϕ −1 )(ϕ(x))(a1, . . . , an)
= D(fϕ −1 )(ϕ(x))D(ϕσx)(0)(e)
= D(fσx)(0)(e). ⊠
Z powyższych czterech lematów otrzymujemy:

9. Pola wektorowe i derywacje 59
Wniosek 9.5.5. Odwzorowanie F : Γ(TM) −→ Der(C(M)), s ↦−→ δs, jest izomorfizmem C(M)modułów.
⊠
9.6 Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie
Zakładamy, że wiązka styczna TM jest zdefiniowana przy pomocy derywacji lokalnych. Podamy izomorfizm
G : Der(C(M)) −→ Γ(WM).
Wiemy, że jeśli d : C(M) −→ C(M) jest R-derywacją, to dla każdego punktu x ∈ M, odwzorowanie
dx : C(M) −→ R, f ↦−→ d(f)(x),
jest derywacją x-lokalną. Z każdą więc derywacją d ∈ Der(C(M)) stowarzyszone jest odwzorowanie
sd : M −→ WM, sd(x) = (x, dx), dla x ∈ M.
Spełniony jest wtedy warunek sd(x) ∈ WxM (dla wszystkich x ∈ M) i można udowodnić, że s jest
odwzorowaniem gładkim. Mamy zatem:
Lemat 9.6.1. sd ∈ Γ(WM). ⊠
Dalej z łatwością dowodzimy:
Lemat 9.6.2. Jeśli d1, d2, d ∈ Der(C(M)), h ∈ C(M), to sd1+d2 = sd1 + sd2 oraz shd = hsd. ⊠
Lemat 9.6.3. Jeśli sd = 0, to d = 0. ⊠
Teraz wykażemy:
Lemat 9.6.4. Dla każdego pola wektorowego s : M −→ WM istnieje dokładnie jedna R-derywacja
d ∈ Der(C(M)) taka, że s = sd.
Dowód. Jedyność wynika z poprzedniego lematu. Ponieważ s jest polem wektorowym więc, dla
każdego x ∈ M, istnieje derywacja x-lokalna δx : C(M) −→ R taka, że s(x) = (x, δx). Definiujemy
d : C(M) −→ C(M) przyjmując
Jest jasne, że d jest R-derywacją oraz s = sd. ⊠
Z powyższych czterech lematów otrzymujemy:
d(f)(x) = δx(f), dla f ∈ C(M), x ∈ M.
Wniosek 9.6.5. Odwzorowanie G : Der(C(M)) −→ Γ(TM), d ↦−→ sd, jest izomorfizmem C(M)modułów.
⊠
9.7 Nawias Liego pól wektorowych
Definicja 9.7.1. Algebrą Liego (nad ciałem k) nazywamy przestrzeń liniową L wraz z dwuliniowym
działaniem [ , ] : L × L −→ L spełniającym warunki:
(1) [a, a] = 0, dla a ∈ A,
(2) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, dla a, b, c ∈ A (tożsamość Jacobiego).
Niech M będzie rozmaitością gładką. Wtedy Der(C(M)) jest algebrą Liego nad R z nawiasem
[d1, d2] = d1d2 − d2d1. Wiemy, że C(M)-moduły Γ(TM) i Der(C(M)) są izomorficzne. Są więc to
izomorficzne przestrzenie liniowe nad R. Ponieważ druga przestrzeń jest algebrą Liego, więc przestrzeń
Γ(TM) też ma strukturę algebry Liego.
Wniosek 9.7.2. Moduł Γ(TM) jest algebrą Liego nad R z nawiasem:
[s1, s2] = s ⇐⇒ [δs1 , δs2 ] = δs, ⊠
Dodatkowe informacje na ten temat są w PH431.

60 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
9.8 Uwagi
9.1 Dowody następujących dwóch stwierdzeń są w PH1191.
Stwierdzenie 9.8.1. Niech s ∈ Γ(E), gdzie E = (E, p, M) jest wiązką nad rozmaitością gładką M. Jeśli
s(x) = 0 dla wszystkich s ∈ M, to C(M)-moduł C(M)s jest wolny i s jest jego wolnym generatorem. ⊠
Stwierdzenie 9.8.2. Niech s ∈ Γ(E), gdzie E = (E, p, M) jest wiązką nad rozmaitością gładką M. Jeśli M
jest przestrzenią parazwartą, to następujące dwa warunki są równoważne.
(1) s(x) = 0 dla wszystkich x ∈ M;
(2) C(M)-moduł C(M)s jest modułem wolnym będącym składnikiem prostym modułu Γ(E). ⊠
9.2 Rozważmy sferę S n = {a ∈ R n+1 ; ||a|| = 1}. Jest to oczywiście rozmaitość gładka. Korzystając z teorii
homotopii (np. z faktu, że H2(S 2 ) = Z), można udowodnić:
Twierdzenie 9.8.3 (o zaczesaniu). Jeśli s ∈ Γ(TS 2n ), to istnieje x ∈ S 2n takie, że s(x) = 0. ⊠
Z tego twierdzenia oraz ze Stwierdzenia 9.8.2 wynika:
Wniosek 9.8.4. Jeżeli n jest liczbą parzystą, to Γ(TS n ) nie jest modułem wolnym, a nawet nie posiada
wolnego składnika prostego. ⊠

10. Działanie funktora na wiązkę 61
10 Działanie*funktora na wiązkę
Przez V oznaczamy kategorię skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad R. Będziemy rozważali
ciągłe funktory z V do V, tzn. takie funktory F : V −→ V, dla których ciągłe są wszystkie
odwzorowania postaci
F | Hom(V, V ′ ) : Hom(V, V ′ ) −→ Hom(F (V ), F (V ′ ))
w przypadku, gdy funktor F jest kowariantny i postaci
F | Hom(V, V ′ ) : Hom(V, V ′ ) −→ Hom(F (V ′ ), F (V )),
gdy funktor F jest kontrawariantny.
Zbiory postaci Hom(V, V ′ ) oraz Hom(F (V ), F (V ′ )) lub Hom(F (V ′ ), F (V )) są przestrzeniami wektorowymi nad R.
Są to więc przestrzenie topologiczne z naturalnymi topologiami przestrzeni wektorowych. Nie jest trudno pokazać, że
każdy addytywny funktor F : V −→ V jest ciągły.
Przedstawimy w skrócie dwa sposoby definiowania działania funktora F na wiązkę. Wspomnimy
o przekrojach pewnych wiązek i przypomnimy definicje i własności pewnych znanych funktorów.
10.1 Definicja przy pomocy funkcji przejścia
Niech M będzie rozmaitością gładką.
Definicja 10.1.1 (PH42). Niech E = (E, p, M) będzie wiązką (gładką) wyznaczoną przez funkcje
przejścia gij : Ui ∩ Uj −→ AutR(V ), gdzie {Ui} jest pokryciem trywializującym. Jeśli F : V −→ V jest
funktorem ciągłym, to przyjmujemy
F (E) = (F (E), F (p), M),
gdzie (F (E), F (p), M) jest wiązką o tym samym pokryciu trywializującym {Ui} i funkcjach przejścia
gij : Ui ∩ Uj −→ AutR(F (V ),
zdefiniowanych (dla każdego x ∈ Ui ∩ Uj) wzorem
F (gij(x)), gdy F jest funktorem kowariantnym,
gij(x) =
10.2 Definicja poglądowa
F (gji(x)), gdy F jest funktorem kontrawariantnym.
Niech E = (E, p, M) będzie wiązką i niech F : V −→ V będzie funktorem ciągłym. Definiujemy wiązkę
F (E) = (F (E), F (p), M) przyjmując:
F (E) =
x∈M F (Ex).
Odwzorowanie F (p) : F (U) −→ M określamy tak by F (p) −1 (x) = F (Ex): jeśli u ∈ F (Ex), to
przyjmujemy F (p)(u) = x.
Należy jeszcze wprowadzić topologię w zbiorze F (E). Topologię tę wprowadza się stopniowo w
następujący sposób.
1.
Przypadek 1. E = M × V . Topologię przenosi się poprzez kanoniczne bijekcje:
F (E) =
x∈M F (Ex) =
x∈M F ({x} × V ) ≈ x∈M F (V ) ≈ M × F (V ).
Przypadek 2. E ≈ M × V . Wykorzystujemy bijekcję F (E) ≈ M × F (V ) i stosujemy Przypadek
Przypadek 3. E jest dowolne. Jeśli U ⊆ M jest zbiorem otwartym oraz E|U ≈ U × V , to mamy
indukowany izomorfizm
F (E) | U = F (E|U) ≈ U × F (V ).
Podzbiór W ⊆ F (E) jest otwarty o ile, dla każdego zbioru otwartego U ⊆ M takiego, że wiązka E|U
jest trywialna, zbiór W ∩ F (E|U) jest otwarty.

62 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
10.3 Wiązka kostyczna
Zastosujemy poprzednie definicje dla wiązki stycznej TM i funktora kontrawariantnego ∗ : V −→ V.
Jeśli V jest przestrzenią wektorową nad R, to V ∗ = HomR(V, R). Jeśli f : V −→ W jest przekształceniem
liniowym, to przekształcenie liniowe f ∗ : W ∗ −→ V ∗ jest określone wzorem
f ∗ (α) = α ◦ f, dla α ∈ W ∗ .
Niech M będzie rozmaitością gładką. Zadziałajmy funktorem ∗ na wiązkę styczną TM. Otrzymujemy
wtedy wiązkę, którą oznaczamy przez (TM) ∗ lub TM ∗ i nazywamy wiązką kostyczną do
rozmaitości M. Mamy wtedy:
TM ∗ =
x∈M (TxM) ∗ (suma rozłączna).
Rzutowanie p : TM ∗ −→ M jest takie, że p −1 (x) = (TxM) ∗ , tzn. jeśli u ∈ (TxM) ∗ , to p(u) =
x. Strukturę różniczkową na TM ∗ zadajemy podobnie jak strukturę różniczkową na TM. Wiązka
kostyczna TM ∗ jest wiązką gładką.
C(M)-moduł przekrojów wiązki TM ∗ oznaczamy, tak jak zwykle, przez Γ(TM ∗ ). Moduł ten odgrywać
będzie w dalszym ciągu ważną rolę. Nazywa się go modułem form różniczkowych pierwszego rzędu.
Tym zajmiemy się później. Przypomnijmy tylko, że przekrojem wiązki TM ∗ jest każde odwzorowanie
gładkie s : M −→ TM ∗ takie, że s(x) ∈ (TxM) ∗ , dla wszystkich x ∈ M.
10.4 Potęga zewnętrzna
Niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą. Rozważmy kowariantny funktor p : V −→ V, p-tej potęgi
zewnętrznej. Zadziałajmy tym funktorem na wiązkę styczną lub wiązkę kostyczną do rozmaitości
gładkiej M. Otrzymujemy wtedy wiązki gładkie p p ∗ TM lub TM . Dla nas szczególnie interesująca
będzie wiązka p ∗ TM . Mamy tu:
p ∗ p(TxM)
TM = x∈M
∗ (suma rozłączna).
Rzutowanie p : p TM ∗ −→ M jest takie, że p −1 (x) = p(TxM) ∗ , tzn. jeśli u ∈ p (TxM) ∗ , to
p(u) = x.
C(M)-moduł Γ(TM ∗ ), przekrojów wiązki TM ∗ odgrywać będzie w dalszym ciągu ważną rolę.
Nazywa się go modułem form różniczkowych p-tego rzędu. Tym zajmiemy się później. Przypomnijmy
tylko, że przekrojem wiązki p TM ∗ jest każde odwzorowanie gładkie s : M −→ p TM ∗ takie, że
s(x) ∈ p (TxM) ∗ , dla wszystkich x ∈ M.
Nie jest trudno wykazać następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 10.4.1. Istnieje naturalny izomorfizm C(M)-modułów:
Γ( p (TM ∗ )) ≈ p(Γ(TM ∗ )). ⊠

11. Formy różniczkowe 63
11 Formy różniczkowe
11.1 Moduł form różniczkowych
Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą.
Definicja 11.1.1 (PH42). Formą różniczkową p-tego rzędu na M nazywamy każdy przekrój (gładki)
wiązki p (TM ∗ ).
O takich formach wspomnieliśmy już w podrozdziale 10.4.
Formy różniczkowe p-tego rzędu na M to nic innego, jak elementy C(M)-modułu Γ( p (TM ∗ )).
Moduł ten w dalszym ciągu oznaczać będziemy przez Ω p (M) i nazywać modułem form różniczkowych
p-tego rzędu na M. Zatem:
Ω p (M) = Γ( p (TM ∗ )).
W szczególności:
Nie jest trudno wykazać:
Ω 0 (M) = C(M),
Ω 1 (M) = Γ(TM ∗ ).
Stwierdzenie 11.1.2. Ω p (M) = Γ( p (TM ∗ )) ≈ p(Γ(TM) ∗ ) ≈ (Γ( p(TM))) ∗ ≈ · · · ⊠
Z własności p-tej potęgi zewnętrznej wynika:
Stwierdzenie 11.1.3. Jeśli p > dim M, to Ω p (M) = 0. ⊠
Jeśli M, N są rozmaitościami gładkimi oraz f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim, to w
naturalny sposób określa się homomorfizm
Ω p (f) : Ω p (N) −→ Ω p (M).
Jest to homomorfizm C(N)-modułów. Moduł Ω p (M) ma strukturę C(N)-modułu, zadaną poprzez
R-algebrowy homomorfizm C(f) : C(N) −→ C(M), α ↦→ αf.
Przez Ω(M) oznacza się algebrę z gradacją, zwaną algebrą form różniczkowych na M, zdefiniowaną
jako:
Ω(M) =
p0 Ωp (M) = p(Γ(TM) ∗
p0
).
Jest to oczywiście algebra zewnętrzna modułu Γ(TM) ∗ = Γ(TM ∗ ). Mnożenie w Ω(M), oznaczane
przez ∧, określa się tak jak w algebrze zewnętrznej. Jeśli ωp ∈ Ωp (M), ωq ∈ Ωq (M), to ωp ∧ ωq jest
elementem w Ωp+q (M) takim, że dla każdego x ∈ M,
11.2 Forma df
(ωp ∧ ωq)(x) = ωp(x) ∧ ωq(x).
Niech M będzie rozmaitością gładką. Jeśli f ∈ C(M), to definiujemy odwzorowanie
takie, że dla każdego x ∈ M,
jest przekształceniem liniowym. Przyjmujemy:
df : M −→ TM ∗
(df)(x) : TxM −→ R
(df)(x)([σ]) = D(fσ)(0)(1) = d(fσ)
dt (0),
gdzie [σ] ∈ TxM. Sprawdzaliśmy już (patrz Lemat 7.5.1), że powyższe określenie jest poprawne;
nie zależy od wyboru krzywej σ : J −→ M, reprezentującej element [σ]. Wykazuje się prosto, że
df : M −→ TM ∗ jest odwzorowaniem gładkim. Mamy więc:

64 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 11.2.1. Jeśli f ∈ C(M), to df ∈ Ω 1 (M). ⊠
Przypomnijmy, że Ω 0 (M) = C(M). Mamy zatem odwzorowanie
Łatwo sprawdzić:
d : Ω 0 (M) −→ Ω 1 (M), f ↦−→ df.
Stwierdzenie 11.2.2. Jeśli f, g ∈ C(M), r ∈ R, to:
(1) d(f + g) = df + dg,
(2) d(rf) = r(df),
(3) d(fg) = fdg + gdf. ⊠
Następny fakt ma również prosty dowód.
Twierdzenie 11.2.3. Niech ω ∈ Ω p (M). Dla każdego punktu x ∈ M istnieje otoczenie otwarte U ∋ x
i istnieje forma ω ′ ∈ Ω p (U) postaci
ω ′ =
k f0k(df1k) ∧ · · · ∧ (dfpk)
takie, że wszystkie elementy postaci fik należą do C(U) oraz ω | U = ω ′ . ⊠
11.3 Kompleks de Rhama
Niech M będzie rozmaitością gładką.
Twierdzenie 11.3.1. Istnieje dokładnie jeden ciąg odwzorowań liniowych (nad R)
d p : Ω p (M) −→ Ω p+1 (M), (p = 0, 1, . . . )
taki, że:
(1) d 0 = d,
(2) d 1 d 0 = 0,
(3) d p+q (ωp ∧ ωq) = d p (ωp) ∧ ωq + (−1) p ωp ∧ d q (ωq).
Odwzorowania d p spełniają ponadto własności:
(4) d p+1 d p = 0,
(5) jeśli f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim rozmaitości gładkich, to
Mamy zatem kompleks
0 −→ Ω 0 (M)
d p
M Ωp (f) = Ω p+1 (f)d p
N . ⊠
d 0
−→ Ω 1 (M)
d 1
−→ Ω 2 (M) −→ . . .
Jest to tzw. kompleks de Rhama. Oznacza się go (tak jak algebrę form różniczkowych) przez Ω(M).
Moduły H p (Ω(M)) nazywa się p-wymiarowymi grupami (przestrzeniami) kohomologii rozmaitości M
o współczynnikach w R i oznacza się je zwykle przez H p (M, R).

12. Rozmaitość R n 65
12 Rozmaitość R n
Przestrzeń R n jest n-wymiarową rozmaitością gładką z jednoelementowym atlasem {(R n , id)}. Dla tej
rozmaitości opiszemy wszystkie wprowadzone wcześniej pojęcia. Podamy też pewne specjalne własności
tej rozmaitości.
12.1 Krzywe i przestrzeń styczna
Niech J = (−1, 1). Każde odwzorowanie gładkie σ : J −→ Rn jest krzywą w Rn , o środku w punkcie
σ(0).
Jeśli σ : J −→ Rn jest krzywą w Rn , to σ = (σ1, . . . , σn), gdzie σ1, . . . , σn : J −→ R są funkcjami
gładkimi. Wówczas różniczka odwzorowania σ w punkcie 0 jest przekształceniem liniowym (nad R)
D(σ)(0) : R1 −→ Rn , o n × 1 macierzy [ dσi
dt (0)]. Jeśli więc e ∈ R, to
D(σ)(0)(e) = ( dσ1
dt
(0)e, . . . , dσn
dt
dσ1
dσn
(0)e) = e( dt (0), . . . , dt (0)).
Dwie krzywe σ = (σ1, . . . , σn), τ = (τ1, . . . , τn) : J −→ Rn są równoważne ⇐⇒ σ(0) = τ(0)
oraz D(σ)(0) = D(τ)(0), a zatem ⇐⇒ σi(0) = τi(0) (dla i = 1, . . . , n) oraz dσi
i = 1, . . . , n).
dτi
dt (0) = dt (0) (dla
Niech p ∈ R n będzie ustalonym punktem.
Wiemy, że przestrzeń styczna TpR n jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji zbioru krzywych o
środku w p, względem powyższej relacji równoważności. Dodawanie i mnożenie przez skalar w TpR n
definiuje się następująco. Jeśli σ, τ : J −→ R n są krzywymi o środku w p oraz r ∈ R, to
[σ] + [τ] = [σ + τ − p], r[σ] = [rσ + (1 − r)p].
Zerem w TpR n jest klasa abstrakcji krzywej stałej p : J −→ R n .
Jeśli a = (a1, . . . , an) ∈ R n , to definiujemy krzywą a (p) : J −→ R n przyjmując:
a (p) (t) = ta + p, dla t ∈ J.
Krzywe tego rodzaju wprowadziliśmy w podrozdziale 7.4. Oznaczaliśmy je przez a ϕ . Przypomnijmy
zatem (co łatwo sprawdzić bezpośrednio), że jeśli a, b ∈ R n i r ∈ R, to
[a (p) ] + [b (p) ] = [(a + b) (p) ], r[a (p) ] = [(ra) (p) ].
Zauważmy, że [0 (p) ] jest zerem w TpR n . Dla każdej krzywej σ : J −→ R n , o środku w p, istnieje
dokładnie jeden wektor a ∈ R n taki, że [σ] = [a (p) ]. Wektorem tym jest a = D(σ)(0)(1). Widzimy
zatem, że przyporządkowanie a ↦→ [a (p )] jest izomorfizmem przestrzeni liniowych R n i TpR n .
W dalszym ciągu możemy więc utożsamiać:
TpR n = {p} × R n .
Przy takim utożsamieniu stuktura przestrzeni liniowej na TpR n przedstawia się następująco:
dla wszystkich a, b ∈ R n , r ∈ R.
(p, a) + (p, b) = (p, a + b), r(p, a) = (p, ra), (12.1)
Chcąc zrozumieć strukturę różniczkową przestrzeni R n nie musimy znać wszystkich ogólnych definicji
i konstrukcji, wprowadzonych wcześniej. Przestrzeń styczną TpR n możemy zdefiniować tak, jak
powyżej, tzn. TpR n = {p} × R n i działania w TpR n są zdefiniowane wzorami (12.1). Taką definicję
znajdziemy np. w [25].

66 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
12.2 Derywacje lokalne
Niech p ∈ R n . Rozważmy przestrzeń liniową Dp(C(R n )), wszystkich derywacji p-lokalnych z C(R n ) do
R. Elementami tej przestrzeni są w szczególności derywacje p-lokalne ∆ (p)
1
określone wzorem:
∆ (p)
i (f) = ∂f
∂xi (p), dla f ∈ C(Rn ), i = 1, . . . , n.
(Derywacje te oznaczaliśmy wcześniej odpowiednio przez ∆ ϕ
i ).
, . . . , ∆(p)
n : C(R n ) −→ R,
Oznaczmy przez π1, . . . , πn : R n −→ R rzutowania. Z faktów udowodnionych Rozdziale 7 otrzymujemy:
Twierdzenie 12.2.1. Derywacje ∆ (p)
1 , . . . , ∆(p) n tworzą bazę przestrzeni Dp(C(Rn )) nad R. ⊠
Twierdzenie 12.2.2. Jeśli d : C(R n ) −→ R jest derywacją p-lokalną, to
d = d(π1)∆ (p)
1
+ · · · + d(πn)∆ (p)
n . ⊠
Wniosek 12.2.3. Jeśli d : C(R n ) −→ R jest derywacją p-lokalną, to
d(f) = d(π1) ∂f
∂f
(p) + · · · + d(πn) ∂x1 ∂xn (p), dla f ∈ C(Rn ). ⊠
Twierdzenie 12.2.4. Przestrzeń styczna TpR n = {p} × R n jest izomorficzna z przestrzenią
Dp(C(R n )). Izomorfizm zadaje przyporządkowanie
12.3 Derywacje
W Podrozdziale 9.4 wykazaliśmy:
(p, (a1, . . . , an)) ↦−→ a1∆ (p)
1
+ · · · + an∆ (p)
m . ⊠
Stwierdzenie 12.3.1. Jeśli d : C(R n ) −→ C(R n ) jest R-derywacją, to
Z faktu tego wynika:
d = d(π1) ∂
∂
+ · · · + d(πn) . ⊠
∂x1 ∂xn
Twierdzenie 12.3.2. Der(C(Rn )) jest C(Rn )-modułem wolnym rangi n. Jego bazę tworzą pochodne
cząstkowe ∂ ∂ , . . . , . ⊠
∂x1 ∂xn
Zajmujemy się funkcjami gładkimi, tzn. funkcjami klasy C ∞ . Rozważmy teraz przez moment
funkcje klasy C r , gdzie r < ∞. Jeśli M jest rozmaitością odpowiedniej klasy (np. rozmaitością gładką),
to przez C r (M) oznaczamy R-algebrę wszystkich funkcji z M do R klasy C r . W szczególności C 0 (M) =
C[M] jest R-algebrą wszystkich funkcji ciągłych.
Udowodniliśmy, że jedyną R-derywacją R-algebry C 0 (M) jest derywacja zerowa (Stwierdzenie
4.3.7). Opiszemy teraz drogę, która może doprowadzić do dowodu, że tę samą własność mają Ralgebry
postaci C r (M), gdzie r < ∞. Wyjaśnimy to w przypadku M = R n . Uzasadnienie dla dowolnej
rozmaitości M jest w [1] 235-237.
Wszystkie derywacje rozpatrywane do tej pory były odwzorowaniami z pierścienia do tego samego
pierścienia. Można badać derywacje w nieco szerszym sensie. Załóżmy, że A ⊂ B są R-algebrami
(np. przemiennymi z jedynkami). Derywacją z A do B nazywamy każde R-liniowe odwzorowanie
d : A −→ B takie, że d(xy) = xd(y) + d(x)y, dla wszystkich x, y ∈ A. Rozpatrzmy w szczególności
R-algebry A = C r+1 (R n ) i B = C r (R n ). Jest oczywiste, że C r+1 (R n ) ⊂ C r (R n ). Pochodne cząstkowe
∂
∂x1
, . . . , ∂
∂xn są derywacjami z Cr+1 (R n ) do C r (R n ). Powtarzając dowody faktów, które doprowadziły
do Stwierdzenia 12.3.1 (rozpoczynając od Lematu 7.3.1) i zamieniając przy tym odwzorowania gładkie
na odwzorowania odpowiedniej klasy, otrzymujemy:

12. Rozmaitość R n 67
Lemat 12.3.3. Jeśli d : C r+1 (R n ) −→ C r (R n ) jest derywacją, to
gdzie f1, . . . , fn ∈ C r (R n ). ⊠
d = f1 ∂
∂
+ · · · + fn ∂x1 ∂xn ,
Stwierdzenie 12.3.4. Jedyną derywacją R-algebry C r+1 (R n ), gdzie r < ∞, jest derywacja zerowa.
Dowód (szkic wymagający wyszlifowania). Niech d : Cr+1 (Rn ) −→ Cr+1 (Rn ) będzie Rderywacją.
Ponieważ Cr+1 (Rn ) ⊂ Cr (Rn ), więc derywacja d jest, na mocy poprzedniego lematu,
postaci d = f1 ∂
∂
+· · ·+fn ∂x1 ∂xn , gdzie f1, . . . , fn ∈ Cr (Rn ). Jeśli d = 0, to istnieje (o czym zapewniają
autorzy pracy [1] 237, nie podając jednak dowodu) funkcja g ∈ Cr+1 (Rn ) taka, że d(g) ∈ Cr (Rn )
Cr+1 (Rn ). ⊠
12.4 Wiązka styczna
Wiązką styczną do R n jest trójka (TR n = R 2n , p, R n ), gdzie p : R n × R n −→ R n jest rzutowaniem
(a, b) ↦→ a. Jeśli x ∈ R n , to włókno p −1 (x) jest przestrzenią styczną TxR n = {x}×R n . Wiązka styczna
TR n jest oczywiście wiązką trywialną.
12.5 Pola wektorowe
Polem wektorowym na R n jest każde odwzorowanie gładkie s : R n −→ TR n = R 2n takie, że dla
każdego x ∈ R n , s(x) ∈ TxR n = {x} × R n . Zbiór wszystkich pól wektorowych na R n jest C(R n )modułem,
oznaczanym przez Γ(TR n ).
Niech s : R n −→ R 2n będzie polem wektorowym na R n . Wtedy, dla każdego x ∈ R n , mamy
równość:
s(x) = (x, (s1(x), . . . , sn(x))), (12.2)
gdzie s1(x), . . . , sn(x) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Z polem s stowarzyszone są więc jednoznacznie
wyznaczone funkcje s1, . . . , sn : R n −→ R. Ponieważ s, jako pole wektorowe, jest odwzorowaniem
gładkim, więc funkcje s1, . . . , sn również są gładkie. Zachodzi też oczywiście odwrotnie; każdy
ciąg s1, . . . , sn, funkcji gładkich z R n do R, wyznacza dokładnie jedno pole wektorowe na R n , określone
wzorem (12.2).
Oznaczmy s = (s1, . . . , sn). Wtedy s : R n −→ R n . Z tego co powiedzieliśmy powyżej wynika, że
s : R n −→ R 2n jest polem wektorowym na R n dokładnie wtedy, gdy odwzorowanie s jest gładkie.
Zapamiętajmy zatem:
Stwierdzenie 12.5.1. Odwzorowanie s : R n −→ R 2n jest polem wektorowym na R n wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje (dokładnie jedno) odwzorowanie gładkie s : R n −→ R n takie, że
dla wszystkich x ∈ R n , tzn. s = (id, s). ⊠
s(x) = (x, s(x)),
Wiemy, że C(R n )-moduł Γ(TR n ) jest izomorficzny z C(R n )-modułem Der(C(R n )), wszystkich
R-derywacji pierścienia C(R n ). Tak jest dla każdej rozmaitości gładkiej. W naszym przypadku mamy:
Stwierdzenie 12.5.2. Odwzorowanie Γ(TR n ) −→ Der(C(R n )), określone wzorem
jest izomorfizmem C(R n )-modułów. ⊠
s = (id, (s1, . . . , sn)) ↦−→ s1 ∂
∂
+ · · · + sn ∂x1 ∂xn ,
Przypomnijmy jeszcze raz, że Γ(TR n ) jest C(R n )-modułem wolnym rangi n. Wynika to na przykład
z powyższego stwierdzenia, gdyż wiemy już, że Der(C(R n )) jest C(R n )-modułem wolnym rangi n.
Wynika to również z (prostego w dowodzie) ogólnego faktu: moduł przekrojów wiązki trywialnej jest
wolny.

68 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
12.6 Nawias Liego pól wektorowych
Wiemy (patrz Podrozdział 9.7), że jeśli M jest rozmaitością gładką, to moduł Γ(TM), pól wektorowych
na M, jest algebrą Liego nad R z nawiasem:
[s1, s2] = s ⇐⇒ [δs1, δs2] = δs.
Poniższe stwierdzenie opisuje ten nawias w przypadku, gdy M = R n .
Stwierdzenie 12.6.1 (PH433). Niech s = (id, (s1, . . . , sn)), t = (id, (t1, . . . , tn)) będą polami wektorowymi
na Rn . Wtedy [s, t] = (id, (u1, . . . , un)), gdzie
uj =
n ∂tj
i=1 ∂xi si − ∂sj
∂xi ti
, j = 1, . . . , n.
Dowód. Rozpatrzmy derywacje δs, δt oraz δ = δ [s,t] = [δs, δt]. Wiemy, że:
Niech f ∈ C(R n ). Mamy wtedy:
i stąd wynika teza. ⊠
12.7 Forma df
δs = n ∂
i=1
si ∂xi , δt = n ∂
i=1
ti ∂xi , δ = n ∂
i=1
ui ∂xi .
n ∂f
j=1
uj ∂xj = δ(f) = [δs, δt](f) = δs (δt(f)) − δt (δs(f))
= δs
n
= n
j=1
j=1
= n n j=1 i=1
= n
j=1
∂f
∂xj tj
− δt
n
j=1
∂f
∂xj δs(tj) + tjδs( ∂f
∂xj
n
i=1
∂f
∂f
∂xj sj
) − ∂f
∂xj δt(sj) − sjδt( ∂f
∂xj )
∂tj
∂xj ∂xi si + tj ∂2f ∂xj∂xi si − ∂f ∂sj
∂xj ∂xi ti − sj ∂2f ∂xj∂xi ti
∂tj
∂xi si − ∂sj
∂xi ti
∂f
Niech f : R n −→ R będzie funkcją gładką. W Podrozdziale 11.2 zdefiniowaliśmy odwzorowanie gładkie
takie, że dla każdego x ∈ R n ,
df : R n −→ (TR n ) ∗
(df)(x) : TxR n −→ R
jest przekształceniem liniowym. Odwzorowanie to określiliśmy wzorem
(df)(x)([σ]) = D(fσ)(0)(1) = d(fσ)
dt (0), gdzie [σ] ∈ TxR n .
Wiemy, że TxR n = {x} × R n . Wiemy też, że każdy element postaci (x, a) ∈ TxR n , to nic innego,
jak klasa abstrakcji krzywej a (x) : J −→ R n , t ↦→ ta + x. Mamy zatem:
(df)(x)(x, a) = df(at+x)
dt (0) = ∂f
∂x1 (x)a1 + · · · + ∂f
∂xn (x)an.
W przypadku rozmaitości R n nie musimy znać wcześniejszych ogólnych pojęć, by zrozumieć co to
jest df. Odwzorowanie to można zdefiniować następująco.
Definicja 12.7.1. Jeśli f ∈ C(R n ), to przez df oznaczamy odwzorowanie z R n do (TR n ) ∗ takie, że
dla każdego x ∈ R n , (df)(x) jest elementem przestrzeni (TxM) ∗ (czyli jest przekształceniem liniowym
z {x} × R n do R) określonym wzorem
dla wszystkich (x, a) ∈ TxR n .
∂xj
(df)(x)(x, a) = ∂f
∂x1 (x)a1 + · · · + ∂f
∂xn (x)an, (12.3)

12. Rozmaitość R n 69
W szczególności dla rzutowań π1, . . . , πn : R n −→ R mamy:
(dπi)(x)(x, a) = ai, i = 1, . . . , n.
Niech e1, . . . , en będzie standardową bazą przestrzeni R n nad R. Wtedy, dla każdego x ∈ R n ,
wektory (x, e1), . . . , (x, en) stanowią bazę przestrzeni TxR n = {x} × R n . Przez ε x 1, . . . , ε x n oznaczać
będziemy bazę dualną w TxR n , tzn. ε x 1, . . . , ε x n : TxR n −→ R są przekształceniami liniowymi (nad R)
takimi, że
ε x i (x, ej) = δij,
gdzie δij jest deltą Kroneckera.
Lemat 12.7.2. ε x i = (dπi)(x), dla i = 1, . . . , n.
Dowód. ε x i (x, ej) = δij = (dπi)(x)(x, ej). ⊠
Z równości (12.3) wynika, że dla każdego x ∈ R n i dla każdego (x, a) ∈ TxR n zachodzi równość:
(df)(x)(x, a) = ∂f
∂x1 (x)(dπ1)(x)(x, a) + · · · + ∂f
∂xn (x)(dπn)(x)(x, a).
Stąd dalej wynika, że dla każdego x ∈ R n , zachodzi następująca równość elementów z (TxR n ) ∗ :
(df)(x) = ∂f
∂x1 (x)(dπ1)(x) + · · · + ∂f
∂xn (x)(dπn)(x).
Elementy postaci df należą oczywiście do C(R n )-modułu Ω 1 (R n ). Widzimy zatem, że w Ω 1 (R n ) mamy
równość:
Stwierdzenie 12.7.3. df = ∂f
∂x1 dπ1 + · · · + ∂f
∂xn dπn. ⊠
W analizie matematycznej powyższą równość zapisuje się często w postaci
df = ∂f
∂x1 dx1 + · · · + ∂f
∂xn dxn, ⊠
rozumiejąc przez to formalną sumę ze współczynnikami. Elementy dx1, . . . , dxn są w takim zapisie
tylko pewnymi symbolami. Widzimy zatem, że symbole te mają swoje znaczenie, są to po prostu
odwzorowania dπ1, . . . , dπn.
12.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu
W tym podrozdziale opiszemy C(R n )-moduł Ω(R n ) = Γ((TR n ) ∗ , form różniczkowych 1-go rzędu na
R n .
Przypomnijmy, że formą różniczkową 1-go rzędu na R n nazywamy każde odwzorowanie gładkie
ω : R n −→ (TR n ) ∗ takie, że ω(x) ∈ (TxR n ) ∗ , dla wszystkich x ∈ R n .
Każde odwzorowanie postaci df, gdzie f ∈ C(R n ) (którym zajmowaliśmy się w poprzednim podrozdziale)
jest przykładem takiej formy różniczkowej. Powiemy więc, że df ∈ Ω 1 (R n ). Co więcej,
ponieważ Ω 1 (R n ) jest C(R n )-modułem, więc każde odwzorowanie postaci
g1df1 + · · · + gkdfk, f1, g1, . . . , fk, gk ∈ C(R n )
jest formą różniczkową 1-go rzędu na R n .
Czy są inne przykłady? Pokażemy, że nie ma.
Niech ω ∈ Ω 1 (R n ). Niech x ∈ R n . Wtedy ω(x) ∈ (TxR n ) ∗ . Przypomnijmy (patrz poprzedni
podrozdział), że przekształcenia ε x 1, . . . , ε x n tworzą bazę przestrzeni (TxR n ) ∗ nad R. Zatem
ω(x) = w1(x)ε x 1 + · · · + wn(x)ε x n, (12.4)
gdzie w1(x), . . . , wn(x) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Tak jest dla każdego x ∈ R n . Pojawiły
nam się zatem funkcje w1, . . . , wn : R n −→ R. Pamiętajmy jednak, że ω : R n −→ (TR n ) ∗ jest
odwzorowaniem gładkim. Wnikając w struktuę (TR n ) ∗ , jako rozmaitości gładkiej, stwierdzamy, że
odwzorowania w1, . . . , wn są gładkie. Zatem w1, . . . , wn ∈ C(Rn ). Wiemy jednak, że εx i = dπi(x),
dla i = 1, . . . , n. Zatem ω = w1dπ1 + · · · + wndπn, gdzie w1, π1, . . . , wn, πn ∈ C(Rn ). W ten sposób
wykazaliśmy:

70 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 12.8.1. Moduł Ω 1 (R n ) jest generowany nad C(R n ) przez formy postaci df, gdzie f ∈
C(R n ). ⊠
Pokazaliśmy nawet więcej:
Stwierdzenie 12.8.2. Formy dπ1, . . . , dπn generują C(R n )-moduł Ω 1 (R n ). ⊠
Jest oczywiste, że formy dπ1, . . . , dπn są liniowo niezależne nad C(R n ). Mamy zatem:
Twierdzenie 12.8.3. Ω 1 (R n ) jest C(R n )-modułem wolnym rangi n. Formy dπ1, . . . , dπn tworzą jego
bazę. ⊠
Uwaga 12.8.4. Formy różniczkowe (gładkie) 1-go stopnia na R n można zdefiniować inaczej, nie powołując się przy
tym na wcześniejsze ogólne pojęcia. Potraktujmy wiązkę (T R n ) ∗ jako zwykłą mnogościową sumę (rozłączną) wszystkich
przestrzeni liniowych postaci (TxR n ) ∗ = ({x} × R n ) ∗ . Niech ω : R n −→ (T R n ) ∗ będzie zwykłą funkcją spełniającą
warunek: ω(x) ∈ (T R n ) ∗ , dla x ∈ R n . Wówczas, dla każdego x ∈ R n istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby rzeczywiste
w1(x), . . . , wn(x) takie, że zachodzi równość (12.4). Mówimy, że ω jest formą różniczkową 1-go rzędu na R n , jeśli
wszystkie funkcje w1, . . . , wn : R n −→ R są gładkie. Taką definicję spotykamy np. w [25]. ⊠
Wiemy, że odwzorowanie d : C(R n ) −→ Ω 1 (R n ), f ↦→ df jest R-derywacją C(R n )-modułu Ω 1 (R n ).
Twierdzenie 12.8.5. Para (Ω 1 (R n ), d) jest modułem różniczek R-algebry C(R n ), w sensie definicji
podanej w [19].
Dowód. Niech M będzie C(R n )-modułem i niech ∆ : C(R n ) −→ M będzie jego R-derywacją.
Oznaczmy
m1 = ∆(π1), . . . , mn = ∆(πn).
Ponieważ (jak wykazaliśmy) Ω 1 (R n ) jest modułem wolnym nad C(R n ) z bazą {dπ1, . . . , dπn}, więc
istnieje dokładnie jeden C(R n )-homomorfizm F : Ω 1 (R n ) −→ M taki, że F (dπi) = mi, dla i =
1, . . . , n. Zatem (F ◦ d)(πi) = ∆(πi) dla i = 1, . . . , n, czyli F ◦ d = ∆. ⊠
Pytanie 12.8.6. Czy powyższe twierdzenie prawdziwe jest dla dowolnej rozmaitości gładkiej?
12.9 Formy wyższych rzędów
Niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą. Pamiętamy, że formą różniczkową rzędu p na R n nazywamy
każdy element C(R n )-modułu
Ω p (R n ) = p (Γ((TR n ) ∗ )) = p Ω 1 (R n ).
Ponieważ moduł Ω 1 (R n ) jest wolny i jego bazą jest {dπ1, . . . , dπn}, więc struktura C(R n )-modułu
Ω 1 (R n ) jest dość oczywista.
Stwierdzenie 12.9.1. Każda forma różniczkowa ω rzędu p na Rn ma jednoznaczne przedstawienie
w postaci
ω =
wi1...ipdπi1 1i1

12. Rozmaitość R n 71
12.10 Kompleks de Rhama
Spójrzmy na Twierdzenie 11.3.1. Wiemy, na mocy tego twierdzenia, że istnieje dokładnie jeden ciąg
odwzorowań liniowych (nad R)
d p : Ω p (R n ) −→ Ω p+1 (R n ), (p = 0, 1, . . . )
taki, że:
(1) d 0 = d,
(2) d 1 d 0 = 0,
(3) d p+q (ωp ∧ ωq) = d p (ωp) ∧ ωq + (−1) p ωp ∧ d q (ωq), dla ωp ∈ Ω p (R n ), ωq ∈ Ω q (R n ).
Odwzorowania d p spełniają ponadto własność:
(4) d p+1 d p = 0.
Odwzorowania postaci d p można zdefiniować następująco.
Definicja 12.10.1. Niech ω ∈ Ω p (R n ). Załóżmy, że forma ω ma przedstawienie
ω =
1i1

72 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
W przypadku, gdy ω ∈ Ω 1 (R 2 ), to (jak pokazuje powyższy przykład) odpowiedź na Pytanie 12.10.4
jest pozytywna.
Wszystkie rozważane w tym rozdziale pojęcia mają podobne interpretacje, gdy zamiast rozmaitości
R n rozpatrzymy otwarty podzbiór U w R n . Wówczas odpowiedź na pytanie 12.10.4 może być
negatywna.
Przykład 12.10.6 ([25]102). Niech U = R 2 {(0, 0)}. Forma
jest zamknięta ale nie jest dokładna. ⊠
ω = −y
x 2 +y 2 dx + x
x 2 +y 2 dy
Definicja 12.10.7 ([25]). Mówimy, że podzbiór U ⊆ R n jest gwiaździsty, jeśli z tego, że x ∈ U
wynika, że odcinek łączący punkty 0 i x jest zawarty w U.
Twierdzenie 12.10.8 (Lemat Poincarégo). Jeśli U ⊆ R n jest otwartym zbiorem gwiaździstym,
to każda forma różniczkowa zamknięta na U jest dokładna.
Dowód. Patrz Spivak [25] 103. ⊠
Cała rozmaitość R n jest oczywiście zbiorem gwiaździstym. Mamy zatem odpowiedź na Pytanie
12.10.4.
Wniosek 12.10.9. Jeśli ω ∈ Ω p (R n ), to ω jest formą zamkniętą wtedy i tylko wtedy, gdy jest formą
dokładną. ⊠
Stąd dalej wynika:
Wniosek 12.10.10. Kompleks de Rhama
jest dokładny. ⊠
. . . −→ Ω p (R n )
d p
−→ Ω p+1 (R n )
d p+1
−→ Ω p+2 (R n ) −→ . . .

13. Całkowanie pól wektorowych 73
13 Całkowanie pól wektorowych
13.1 Krzywa całkowa pola wektorowego
Niech J = (−1, 1) ⊂ R będzie otwartym odcinkiem. Odcinek ten jest jednowymiarową rozmaitością
gładką (z jednoelementowym atlasem). Wiązka styczna TJ jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji
krzywych (gładkich) na J, tzn. odwzorowań gładkich z J do J.
Jeżeli a ∈ R 1 , to przez εa : J −→ R 1 oznaczmy krzywą określoną wzorem εa(t) = a + t, dla t ∈ J.
Jest to krzywa o środku w punkcie a = εa(0). Przez ε oznaczamy przekrój
Załóżmy, że M jest rozmaitością gładką.
ε : J −→ TJ, a ↦−→ [εa].
Definicja 13.1.1. Jeśli σ : J −→ M jest krzywą na M to przez σ ′ oznaczamy odwzorowanie
tzn. σ ′ (a) = [σεa], dla a ∈ J.
J
ε
−→ TJ
T(σ)
−→ TM,
Jeśli s : M −→ TM jest polem wektorowym na M oraz σ : J −→ M jest krzywą na M, to mamy
odwzorowanie
σ
J −→ M s
−→ TM.
Mamy więc wtedy dwa odwzorowania gładkie σ ′ , sσ : J −→ TM.
Definicja 13.1.2. Krzywą całkową pola wektorowego s : M −→ TM nazywamy każdą krzywą σ :
J −→ M taką, że σ ′ = sσ.
13.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R 1
Wyjaśnimy, co to są krzywe całkowe w przypadku, gdy M = R 1 .
Wiązka styczna TR 1 jest (na mocy definicji) zbiorem klas abstrakcji krzywych na R 1 . Wiemy
jednak, że wiązka ta jest izomorficzna z wiązką trywialną R 1 × R 1 . Izomorfizm zadaje odwzorowanie
F : TR 1 −→ R 1 × R 1 , [σ] ↦−→ (σ(0), dσ
dt (0)).
Niech s : R 1 −→ TR 1 będzie polem wektorowym na R 1 . Wiemy, że F s : R 1 −→ R 1 × R 1 jest
odwzorowaniem gładkim, jednoznacznie wyznaczonym przez odwzorowanie gładkie s : R 1 −→ R 1
takie, że
F s(x) = (x, s(x)), dla wszystkich x ∈ R 1 .
Rozważmy krzywą σ : J −→ R 1 . Niech ξ ∈ J. Wtedy:
Stąd wynika:
F sσ(ξ) = (σ(ξ), s(σ(ξ))),
F σ ′ (ξ) = F ([σεξ]) = (σεξ(0), dσεξ
dσ
dt (0)) = (σ(ξ), dt (ξ))
Stwierdzenie 13.2.1. Odwzorowanie σ : J −→ R 1 jest krzywą całkową pola s : R 1 −→ TR 1 wtedy i
tylko wtedy, gdy
dσ(t)
dt
= s(σ(t)). ⊠

74 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
13.3 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R n
Wiązka styczna TR n jest zbiorem klas abstrakcji krzywych na R n . Wiązka ta jest izomorficzna z
wiązką trywialną R n × R n . Izomorfizm zadaje odwzorowanie
F : TRn −→ Rn × Rn , [σ] ↦−→ σ(0), ( dσ1
dσn
dt (0), . . . , dt (0)) ,
gdzie σ1, . . . , σn : J −→ R 1 są funkcjami gładkimi takimi, że (σ1, . . . , σn) = σ.
Niech s : R n −→ TR n będzie polem wektorowym na R n . Wtedy F s : R n −→ R n × R n jest
odwzorowaniem gładkim, jednoznacznie wyznaczonym przez odwzorowanie gładkie s = (s1, . . . , sn) :
R n −→ R n takie, że
F s(x) = (x, s(x)), dla wszystkich x ∈ R n .
Rozważmy krzywą σ = (σ1, . . . , σn) : J −→ R n . Niech ξ ∈ J. Wtedy:
Stąd wynika:
F sσ(ξ) = (σ(ξ), s(σ(ξ))) = (σ(ξ), (s1(σ(ξ)), . . . , sn(σ(ξ))) ,
F σ ′ (ξ) = F ([σεξ]) =
σεξ(0), ( dσ1εξ
dt (0), . . . , dσnεξ
dt (0))
= σ(ξ), ( dσ1
dσn
dt (ξ), . . . , dt (ξ)) .
Stwierdzenie 13.3.1. Odwzorowanie σ = (σ1, . . . , σn) : J −→ R n jest krzywą całkową pola s =
(id, (s1, . . . , sn)) : R n −→ TR n wtedy i tylko wtedy, gdy
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dσ1(t)
dt = s1(σ1(t), . . . , σn(t)),
.
dσn(t)
dt = sn(σ1(t), . . . , σn(t)). ⊠
(13.1)
Powyższy układ równań różniczkowych (13.1) nazywa się dynamicznym układem stacjonarnym lub
układem autonomicznym.
Wniosek 13.3.2. Niech s = (id, (s1, . . . , sn)) : R n −→ TR n będzie polem wektorowym na R n . Pole
to posiada krzywą całkową wtedy i tylko wtedy, gdy układ (13.1) posiada rozwiązanie. ⊠
13.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych
Zanotujmy twierdzenie, które dowodzi się teorii równań różniczkowych.
Twierdzenie 13.4.1. Niech s = (s1, . . . , sn) : R n −→ R n będzie odwzorowaniem gładkim w pewnym
otoczeniu otwartym punktu a ∈ R n . Istnieją wówczas zbiory otwarte a ∈ U ⊆ R n , 0 ∈ J ⊆ R takie,
że dla każdego b ∈ U, istnieje dokładnie jedna krzywa gładka σ = (σ1, . . . , σn) : J −→ R n spełniająca
następujące dwa warunki:
(1) σ(0) = b,
(2) σ jest rozwiązaniem układu (13.1).
Ponadto, jeśli tę krzywą oznaczymy przez σb, to odwzorowanie
jest gładkie. ⊠
ψ : J × U −→ R n , ψ(t, b) = σb(t), dla (t, b) ∈ J × U,
Istnieje następujące uogólnienie tego twierdzenia dla dowolnych rozmaitości gładkich.
Twierdzenie 13.4.2. Niech M będzie rozmaitością gładką. Niech S : M −→ TM będzie polem wektorowym
i niech a ∈ M. Istnieją wówczas zbiory otwarte a ∈ U ⊆ M, 0 ∈ J ⊆ R takie, że dla każdego
b ∈ U, istnieje dokładnie jedna krzywa σb : J −→ R n , o środku w punkcie b, będąca krzywą całkową
pola s. Ponadto, odwzorowanie
jest gładkie. ⊠
ψ : J × U −→ M, ψ(t, b) = σb(t), dla (t, b) ∈ J × U,

13. Całkowanie pól wektorowych 75
Podobne twierdzenia zachodzą dla odwzorowań i rozmaitości ustalonej klasy C r .
Do tej pory przez krzywą na rozmaitości M rozumieliśmy odwzorowanie gładkie σ : J −→ M, gdzie
J był ustalonym odcinkiem otwartym J = (−1, 1) ⊂ R. Jest jasne, że ustalenie tego odcinka jest zbyteczne.
Wystarczy zamiast (−1, 1) przyjąć dowolny zbiór otwarty w R zawierający 0. Wszystkie fakty
podane wcześniej funkcjonują dla takich właśnie krzywych. Takie krzywe występują w powyższych
twierdzeniach.
Mając daną krzywą σ : J −→ M, np. krzywą całkową jakiegoś pola wektorowego na M, gdzie
0 ∈ J = R, można się spytać czy krzywą tę można przedłużyć do gładkiej krzywej określonej na całym
zbiorze R. Na ogół tego zrobić nie można.
Przykład 13.4.3. Rozważmy pole wektorowe (gładkie) s : R 1 −→ TR 1 określone wzorem
Wówczas krzywa σ : (−π/2, π/2) −→ R 1 ,
s(x) = (x, 1 + x 2 ), x ∈ R 1 .
σ(t) = tg(t),
jest jedyną krzywą całkową pola s, o środku w 0. Istotnie, σ(0) = 0 oraz
dσ(t)
dt = 1 + σ(t)2 .
Krzywej tej nie można przedłużyć na cały zbiór R. ⊠
Sytuacja taka, jak w powyższym przykładzie, nie zachodzi dla rozmaitości zwartych.
Twierdzenie 13.4.4. Niech s : M −→ TM będzie polem wektorowym na gładkiej rozmaitości zwartej
M. Wówczas, dla każdego punktu a ∈ M, istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa pola s, o środku w
punkcie a, której dziedziną jest cały zbiór R. ⊠
13.5 Formalne systemy równań różniczkowych
Twierdzenia podane w poprzednim podrozdziale mają swoje odpowiedniki dla układów równań
różniczkowych w pierścieniu szeregów formalnych. Wykazaliśmy to w pracy [18]. Przypomnijmy z tej
pracy najważniejsze fakty dotyczące omawianego zagadnienia.
Zakładamy, że k jest pierścieniem przemiennym zawierającym ciało Q liczb wymiernych, k[X] =
k[x1, . . . , xn] jest pierścieniem wielomianów n-zmiennych nad k oraz k[X][[t]] = k[x1, . . . , xn][[t]] jest
pierścieniem szeregów jednej zmiennej t nad pierścieniem k[X].
Niech s1, . . . , sn będą szeregami należącymi do k[X][[t]].
Twierdzenie 13.5.1 ([18] 14). Dla każdego punktu a = (a1, . . . , an) ∈ k n istnieją jednoznacznie
wyznaczone szeregi σ1, . . . , σn ∈ k[[t]] takie, że:
(1) wyrazy stałe szeregów σ1, . . . , σn są równe odpowiednio elementom a1, . . . , an;
(2) szeregi σ1, . . . , σn spełniają następujący układ równości:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dσ1(t)
dt = s1(σ1(t), . . . , σn(t)),
.
dσn(t)
dt = sn(σ1(t), . . . , σn(t)). ⊠
(13.2)
Jeśli a ∈ k n , to szeregi σ1, . . . , σn ∈ k[[t]], istniejące na mocy powyższego twierdzenia, oznaczamy
odpowiednio przez σ1(t, a), . . . , σn(t, a). Ciąg tych szeregów oznaczać będziemy przez σ(t, a), tzn.
σ(t, a) = (σ1(t, a), . . . , σn(t, a)).
Ciąg σ(t, a) nazywamy formalnym rozwiązaniem lub formalną krzywą całkową układu (13.2) w punkcie
a. Rozpatrywany układ równań różniczkowych zapisywać będziemy w skrócie przez
dX
dt = s(X), X [0] = a. (13.3)

76 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Twierdzenie 13.5.2 ([18] 17). Istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomiany wij ∈ k[X] (dla
i = 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . ) takie, że
σi(t, a) = ∞
j=0 wij(a)t n ,
dla wszystkich a ∈ k n oraz wszystkich i = 1, . . . , n. ⊠
Sytuacja się znacznie upraszcza, gdy dane szeregi s1, . . . , sn nie zależą od t, tzn., gdy są tylko wielomianami
należącymi do k[X] = k[x1, . . . , xn]. W takim przypadku, formalna krzywa całkowa σ(t, a)
nazywa się potokiem lub formalnym potokiem, natomiast (13.3) nazywa się układem stacjonarnym lub
autonomicznym. W tym przypadku można podać proste wzory wyznaczające σ(t, a).
Twierdzenie 13.5.3 ([18]). Niech s1, . . . , sn ∈ k[X] = k[x1, . . . , xn], niech a ∈ k n i niech d :
k[X] −→ k[X] będzie k-derywacją wyznaczoną przez wielomiany s1, . . . , sn, tzn.,
Wtedy
dla i = 1, . . . , n. ⊠
j=0
d = s1 ∂
∂
+ · · · + sn ∂x1 ∂xn .
σi(t, a) = ∞
j=0 1
j! dj (xi)(a)t j ,
Jest godne uwagi, że szeregi Ed(x1), . . . , Ed(xn) ∈ k[X][[t]], zdefiniowane jako
∞ 1
Ed(x1) =
j! dj (x1)t j , , . . . ,
∞ 1
Ed(xn) =
j! dj (xn)t j ,
(pojawiające się w powyższym twierdzeniu), wyznaczają k[[t]]-automorfizm Ed pierścienia k[X][[t]].
Przez cały czas k jest dowolnym pierścieniem przemiennym zawierającym Q. Można więc w szczególności
przyjąc zamiast k pierścień szeregów k[[u]], gdzie u jest analitycznie niezależne od t, wtedy
łatwo się pokazuje (patrz wcześniejsza wersja pracy [18]), że σ(t + u, a) i σ(t, σ(u, a)), to rozwiązania
układu
dX
dt = s(X), X [0] = σ(u, a).
Ponieważ takie rozwiązanie jest jedyne, więc stąd otrzymujemy:
Stwierdzenie 13.5.4. σ(t + u, a) = σ(t, σ(u, a)). ⊠
13.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów
Niech M będzie rozmaitością gładką. Przez DYF(M) oznaczać będziemy grupę wszystkich dyfeomorfizmów
(gładkich) z M do M.
Definicja 13.6.1. Każdy homomorfizm grup T : (R, +) −→ DYF(M) nazywamy jednoparametrową
grupą dyfeomorfizmów rozmaitości M.
Definicja 13.6.2. Mówimy, że pole wektorowe s : M −→ TM jest specjalne jeśli, dla każdego a ∈ M,
istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa tego pola, o środku w a i określona na całym zbiorze R, liczb
rzeczywistych.
Z twierdzenia 13.4.4 wynika:
Wniosek 13.6.3. Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każde jej pole wektorowe jest specjalne. ⊠
Załóżmy, że s : M −→ TM jest specjalnym polem wektorowym. Jeśli a ∈ M, to przez σa : R −→ M
oznaczamy jedyną krzywą całkową tego pola, o środku w a. Istnienie takiej krzywej wynika z definicji
pola specjalnego. Ustalmy a ∈ M oraz r ∈ R. Rozpatrzmy krzywą
j=0
η : R −→ M, η(t) = σa(t + r), dla t ∈ R,
oraz krzywą σ σa(r) : R −→ M. Są to dwie krzywe (gładkie) o środku w punkcie σa(r). Bez trudu
stwierdzamy, że są to krzywe całkowe pola s. Z jednoznaczności istnienia krzywych całkowych o
danym środku wynika zatem następujący analog Stwierdzenia 13.5.4.

13. Całkowanie pól wektorowych 77
Stwierdzenie 13.6.4. Jeśli s : M −→ TM jest polem specjalnym, to dla dowolnych r, t ∈ R, zachodzi
równość:
σa(r + t) = σ σa(r)(t). ⊠
Niech w dalszym ciągu s : M −→ TM będzie polem specjalnym. Jeśli t ∈ R, to oznaczmy przez
T t : M −→ M odwzorowanie określone wzorem
T t (a) = σa(t), dla a ∈ M.
Można udowodnić, że odwzorowanie T t jest gładkie. Mamy ponadto:
Lemat 13.6.5.
(1) T 0 =id,
(2) T t+r = T t ◦ T r .
Dowód. T 0 (a) = σa(0) = a,
T r+t (a) = σa(r + t) = σ σa(r)(t) = T t (σa(r)) = T t T r (a). ⊠
Z lematu tego wynika w szczególności, że id = T t ◦ T −t = T −t T t . Zatem T t jest dyfeomorfizmem
oraz (T t ) −1 = T −1 .
Z każdym więc polem specjalnym s stowarzyszona jest rodzina {T t }t∈R dyfeomorfizmów rozmaitości
M. Mamy zatem odwzorowanie R −→DYF(M), t ↦→ T t . Z powyższego lematu wynika, że
odwzorowanie to jest homomorfizmem grup, działającym z grupy (R, +) do grupy DYF(M). Zanotujmy:
Stwierdzenie 13.6.6. Jeśli s : M −→ TM jest specjalnym polem wektorowym, to odwzorowanie
T : (R, +) −→ DYF(M), T t (a) = σa(t), dla t ∈ R, a ∈ M,
jest jednoparametrową grupą dyfeomorfizmów rozmaitości M. ⊠
Teraz z Twierdzenia 13.4.4 wynika:
Twierdzenie 13.6.7. Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każde pole wektorowe na M wyznacza jednoparametrową
grupę dyfeomorfizmów tej rozmaitości. ⊠
Założenie o zwartości rozmaitości M potrzebne było do tego, by odpowiednie krzywe całkowe były globalne (tzn.
określone na całym zbiorze R). Bez założenia o zwartości, otrzymujemy podobne wyniki z tym, że krzywe całkowe określone
są na pewnych otwartych podzbiorach w R, zawierających 0. Wówczas otrzymujemy tzw. lokalną jednoparametrową
grupę dyfeomorfizmów rozmaitości M.
Powyższe fakty zachodzą również dla rozmaitości i odwzorowań klasy C r , r 1.
13.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa
Istnieje pewne uogólnienie Twierdzenia 13.4.4, o istnieniu krzywych całkowych dla zwartej rozmaitości
M. Do wysłowienia tego uogólnienia potrzebne są pewne nowe pojęcia, których nie będziemy
tu wprowadzać.
Zamiast jednego przekroju s : M −→ TM rozważa się p przekrojów s1, . . . , sp : M −→ TM takich,
że wektory s1(x), . . . , sp(x) ∈ TxM są liniowo niezależne nad R. Przekroje te tworzą tzw. p-wymiarowy
układ różniczkowy. Oznaczmy ten układ przez D. Definiuje się całkę układu D. Nie jest to krzywa,
ale pewne odwzorowanie gładkie f : N −→ M, gdzie N jest pewną rozmaitością gładką. Następnie
wprowadza się przestrzeń R-liniową A(D), zależną od D, która jest podprzestrzenią R-przestrzeni
Γ(TM), wszystkich pól wektorowych na rozmaitości M. Wprowadza się również pewien ideał I(D)
algebry Ω(M) = ∞
j=0 Ωj (M).
Wspomniane uogólnienie Twierdzenia 13.4.4 brzmi następująco:
Twierdzenie 13.7.1 (Frobeniusa). Niech D będzie p-wymiarowym układem różniczkowym na rozmaitości
M. Następujące warunki są równoważne.
(1) Układ D jest całkowalny.
(2) ∀ s,t∈A(D) [s, t] ∈ A(D), tzn., A(D) jest podalgebrą Liego algebry Liego Γ(TM).
(3) ∀ w∈I(D) d p w ∈ I(D) (gdzie d p jest p-tą różniczką z kompleksu de Rhama). ⊠

78 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
14 Grupy Liego i ich algebry Liego
14.1 Grupy Liego
Definicja 14.1.1. Grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G wraz z odwzorowaniami gładkimi
· : G × G −→ G i −1 : G −→ G, spełniającymi zwykłe aksjomaty grupy.
Grupą Liego jest więc każda grupa topologiczna G, która jest jednocześnie rozmaitością gładką,
przy czym struktury algebraiczna i różniczkowa są zgodne, tzn. odwzorowanie
G × G −→ G, (g, h) ↦−→ gh −1 ,
jest gładkie. Wymiarem grupy Liego G nazywamy wymiar rozmaitości G. Jeśli G1, G2 są grupami
Liego, to ich homomorfizmem nazywamy każdy homomorfizm grup ϕ : G1 −→ G2, będący odwzorowaniem
gładkim.
Przykład 14.1.2. Każda przestrzeń wektorowa V na R z dodawaniem wektorów, jako działaniem
grupowym, jest grupą Liego. W szczególności (R n , +) jest grupą Liego. ⊠
Przykład 14.1.3. Grupy GLn(R), GLn(C) są grupami Liego. Grupy te są rozmaitościami gładkimi,
gdyż są otwartymi podzbiorami rozmaitości odpowiednio Rn2 i R2n2. Odwzorowanie (A, B) ↦→ AB−1 jest oczywiście gładkie. ⊠
Przykład 14.1.4. Niech G = {(a, b) ∈ R 2 ; a = 0} = R 2 (0 × R). Zbiór ten jest otwarty w R 2 .
Ma zatem strukturę rozmaitości gładkiej (z jednoelementowym atlasem). Wprowadzamy w zbiorze G
mnożenie G × G −→ G przyjmując
(a, b)(c, d) = (ac, ad + b).
Łatwo sprawdzić, że G wraz z tym mnożeniem jest zwykłą grupą. Elementem neutralnym jest para
(1, 0). Ponadto, (a, b) −1 = (a −1 , −a −1 b). Widzimy zatem, że odwzorowania · : G × G −→ G oraz
−1 : G −→ G są gładkie. Rozmaitość G jest zatem grupą Liego.
Grupa ta jest izomorficzna z grupą odwracalnych 2 × 2 macierzy postaci
a b
0 1
, a, b ∈ R, a = 0.
Ta z kolei grupa jest izomorficzna z grupą wszystkich przekształceń afinicznych z R do R, tzn. odwzorowań
f : R −→ R postaci f(x) = ax + b, gdzie a = 0. ⊠
Przykład 14.1.5. Okrąg S 1 = {(x, y) ∈ R 2 ; x 2 + y 2 = 1} = {z ∈ C; |z| = 1} (z mnożeniem) jest
1-wymiarową grupą Liego. ⊠
Są tylko dwie 1-wymiarowe grupy Liego: (R 1 , +) i (S 1 , ·). Na sferze S 2 nie ma struktury grupy Liego.
Istnieje natomiast struktura grupy Liego na S 3 . Jeśli H jest ciałem kwaternionów, to (H {0}, ·) jest
grupą Liego (patrz [15]). Zachodzi fakt ogólniejszy:
Stwierdzenie 14.1.6 ([15]). Niech A będzie skończenie wymiarową R-algebrą z 1 i niech µ(A) będzie
jej grupą multyplikatywną. Wtedy µ(A) jest grupą Liego. ⊠
Zanotujmy także:
Stwierdzenie 14.1.7 ([15]).
(1) Jeśli G jest grupą Liego i H ⊆ G jest jej domkniętą podgrupą i podrozmaitością, to H jest
grupą Liego.
(2) Jeśli H jest domkniętym dzielnikiem normalnym grupy Liego G, to G/H jest grupą Liego.
(3) Produkt grup Liego jest grupą Liego. ⊠

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 79
Inne przykłady grup Liego podamy później.
Niech G będzie grupą Liego. Jeśli g ∈ G, to przez lg : G −→ G oznaczamy odwzorowanie, zwane
lewym przesunięciem, określone wzorem
lg(x) = gx, dla x ∈ G.
Analogicznie definiujemy prawe przesunięcie rg : G −→ G, x ↦→ xg. Przesunięcia (lewe i prawe) są
oczywiście dyfeomorfizmami rozmaitości G.
14.2 Niezmiennicze pola wektorowe
Niech G będzie grupą Liego. Każde lewe przesunięcie lg indukuje odwzorowanie
T(lg) : TG −→ TG,
wiązki stycznej do G. Dla każdego h ∈ G mamy wówczas odwzorowanie R-liniowe
określone wzorem
Th(lg) : ThG −→ T lg(h)G = TghG,
Th(lg)[σ] = [lg ◦ σ] = [gσ], dla [σ] ∈ ThG.
Ponieważ lg jest dyfeomorfizmem, więc Th(lg) : ThG −→ TghG jest izomorfizmem przestrzeni Rliniowych.
Niech s : G −→ TG będzie polem wektorowym. Wówczas, dla każdego g ∈ G mamy diagram
G
s
−→ TG
lg ↓ ↓ T(lg)
G
s
−→ TG
Diagramy tej postaci nie muszą być, na ogół, przemienne.
(14.1)
Definicja 14.2.1. Mówimy, że pole wektorowe s : G −→ TG jest niezmiennicze (lewostronnie) jeśli,
dla każdego g ∈ G, powyższy diagram jest przemienny.
Przez e oznaczamy element neutralny grupy G.
Stwierdzenie 14.2.2 (PH435). Niech s : G −→ TG będzie polem wektorowym. Następujące warunki
są równoważne.
(1) Pole s jest niezmiennicze.
(2) s(g) = Te(lg)(s(e)), dla wszystkich g ∈ G.
Dowód. Niech g ∈ G. Wtedy Te(lg) jest przekształceniem R-liniowym z TeG do T lg(e)G = TgG.
Ponadto, s(e) ∈ TeG, s(g) ∈ TgG. Zatem elementy Te(lg)(s(e) i s(g) należą do tej samej przestrzeni
TgG.
(1) ⇒ (2). Załóżmy, że wszystkie diagramy postaci (14.1) są przemienne i niech g ∈ G. Wtedy
T(lg)s = slg. Zatem, dla dowolnego h ∈ G, mamy
W szczególności, dla h = e, otrzymujemy:
slg(h) = T(lg)s(h) = Th(lg)s(h).
s(g) = slg(e) = Te(lg)s(e).
(2) ⇒ (1). Załóżmy, że zachodzi warunek (2). Należy pokazać, że
slg(h) = Th(lg)s(h), dla wszystkich h ∈ G.

80 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Sprawdzamy:
slg(h) = s(gh) = Te(lgh)s(e)
= Te(lg ◦ lh)s(e) = (Th(lg) ◦ Te(lh)) s(e)
= Th(lg) (Te(lh)s(e))
= Th(lg)s(h). ⊠
Powyższe stwierdzenie mówi, że niezmiennicze pola wektorowe są jednoznacznie wyznaczone przez
swoją wartość w punkcie e. Jeśli znamy s(e), to znamy s(g), dla dowolnego g ∈ G, bowiem s(g) =
Te(lg)(s(e)).
Przypomnijmy, że przez Γ(TG) oznaczamy zbiór wszystkich przekrojów z G do TG, czyli zbiór
wszystkich pól wektorowych rozmaitości G. Zbiór ten jest C(G)-modułem, zatem jest przestrzenią
liniową nad R.
Lemat 14.2.3. Zbiór A, wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy G, jest podprzestrzenią
przestrzeni Γ(TG).
Dowód. Niech s ∈ A, r ∈ R. Ponieważ, dla każdego g ∈ G, odwzorowanie Te(lg) : TeG −→ TgG
jest przekształceniem liniowym, więc
(rs)(g) = r · s(g) = r · Te(lg)(s(e)) = Te(lg)(r · s(e)) = Te(lg)(rs(e)).
Zatem, na mocy poprzedniego stwierdzenia, pole rs należy do A.
Niech s1, s2 ∈ A. Wówczas, dla każdego g ∈ G, mamy:
(s1 + s2)(g) = s1(g) + s2(g)
= Te(lg)(s1(e)) + Te(lg)(s2(e))
= Te(lg)(s1(e) + s2(e))
= Te(lg)((s1 + s2)(e)).
Z poprzedniego stwierdzenia wynika zatem, że s1 + s2 ∈ A. ⊠
Niech v będzie ustalonym wektorem przestrzeni TeG. Definiujemy odwzorowanie sv : G −→ TG,
przyjmując:
sv(g) = Te(lg)(v), dla g ∈ G. (14.2)
Lemat 14.2.4. Odwzorowanie sv jest niezmienniczym polem wektorowym grupy Liego G.
Dowód. Przypomnijmy, że p : TG −→ G jest odwzorowaniem gładkim, zdefiniowanym wzorem
p([σ]) = σ(0), gdzie [σ] ∈ TG. Sprawdzenie, że odwzorowanie sv jest gładkie zostawiamy czytelnikowi.
Sprawdźmy, że psv = id. Niech v = [σ], gdzie σ(0) = e. Niech g ∈ G. Wtedy:
psv(g) = pTe(lg)(v) = pTe(lg)([σ])
= p([lgσ]) = p([gσ]) = gσ(0) = ge = g.
Zatem sv jest polem wektorowym. Zauważmy teraz, że sv(e) = v. Istotnie,
sv(e) = Te(le)(v) = Te(id)(v) = v.
Stąd wynika, że sv(g) = Te(lg)(sv(e)), a zatem (na mocy poprzedniego stwierdzenia) pole sv jest
niezmiennicze. ⊠
Stwierdzenie 14.2.5 (PH435). Zbiór A, wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy Liego
G, jest przestrzenią liniową nad R izomorficzną z przestrzenią TeG. Dokładniej, odwzorowanie
α : TeG −→ A, v ↦→ sv, jest izomorfizmem przestrzeni liniowych.
Dowód. Jest oczywiste, że α jest przekształceniem liniowym. Jeśli sv = sv ′, to v = sv(e) =
sv ′(e) = v′ , a zatem α jest różnowartościowe. Jeśli s : G −→ TG jest dowolnym niezmienniczym
polem wektorowym, to s = sv, gdzie v = s(e). Istotnie, z poprzedniego stwierdzenia wynika, że:
Zatem α jest surjekcją. ⊠
sv(g) = Te(lg)(v) = Te(lg)(s(e)) = s(g).

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 81
14.3 Moduł pól wektorowych grupy Liego
Niech G będzie n-wymiarową grupą Liego. Wykażemy, że niezmiennicze pola wektorowe grupy G
generują (nad C(G)) moduł Γ(TG), wszystkich pól wektorowych grupy G. Wykażemy nawet więcej;
udowodnimy, że moduł ten jest wolny rangi n oraz, że ma bazę składającą się z niezmienniczych pól
wektorowych.
Stwierdzenie 14.3.1. Jeśli wektory v1, . . . , vn ∈ TeG są liniowo niezależne na R, to niezmiennicze
pola wektorowe s1 = sv1, . . . , sn = svn, zdefiniowane wzorami (14.2), są liniowo niezależne nad C(G).
Dowód. Niech n
i=1 fisi = 0, gdzie f1, . . . , fn ∈ C(G). Niech g ∈ G. Wtedy
n
i=1 fi(g)si(g) = 0,
a zatem
0 = Tg(l g −1) ( n
i=1 fi(g)si(g))
= n
i=1 fi(g)Tg(l g −1)(si(g))
= n
i=1 fi(g)Tg(l g −1)Te(lg)(vi)
= n
i=1 fi(g)Te(le)(vi)
= n
i=1 fi(g)(vi).
Z liniowej niezależności wektorów v1, . . . , vn wynika, że f1(g) = · · · = fn(g) = 0. ⊠
Stwierdzenie 14.3.2. Jeśli wektory v1, . . . , vn ∈ TeG generują (nad R) przestrzeń TeG, to niezmiennicze
pola wektorowe s1 = sv1, . . . , sn = svn, zdefiniowane wzorami (14.2), generują moduł Γ(TG)
nad C(G).
Dowód (szkic). Niech s : G −→ TG będzie dowolnym polem wektorowym. Ponieważ przekształcenie
liniowe Te(lg) : TeG −→ TgG jest izomorfizmem oraz
si(g) = Te(lg)(vi), i = 1, . . . , n,
więc wektory s1(g), . . . , sn(g) generują przestrzeń TgG nad R, dla dowolnego g ∈ G. Zatem
s(g) = f1(g)s1(g) + · · · + fn(g)sn(g), dla γ ∈ G,
gdzie f1(g), . . . , fn(g) są pewnymi elementami z R. Stąd s = n
i=1 fisi i można wykazać, że funkcje
f1, . . . , fn są gładkie. ⊠
Z powyższych dwóch stwierdzeń wynika:
Twierdzenie 14.3.3 (PH436). Jeśli G jest n-wymiarową grupą Liego, to C(G)-moduł Γ(TG) jest
wolny rangi n (tzn. wiązka TG jest trywialna). ⊠
14.4 Algebra Liego grupy Liego
indexalgebra*Liego*grupy Liego Wiemy, że przekrojom wiązki stycznej TG odpowiadają (w sposób
wzajemnie jednoznaczny) R-derywacje pierścienia C(G). Jeśli s : G −→ TG jest przekrojem (czyli
polem wektorowym na G), to odpowiadająca derywacja δs : C(G) −→ C(G) określona jest wzorem
δs(f)(g) = d(fσ)
dt (0), gdzie [σ] = s(g).
Niech δ : C(G) −→ C(G) będzie dowolną R-derywacją.

82 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Definicja 14.4.1. Mówimy, że derywacja δ : C(G) −→ C(G) jest niezmiennicza (lewostronnie) jeśli,
dla każdego g ∈ G, przemienny jest diagram
gdzie C(lg)(f) = f ◦ lg, dla f ∈ C(G).
C(G)
δ
−→ C(G)
C(lg) ↓ ↓ C(lg)
C(G)
Łatwo udowodnić następujące dwa lematy.
δ
−→ C(G)
, (14.3)
Lemat 14.4.2. Jeśli δ1, δ2 : C(G) −→ C(G) są derywacjami niezmienniczymi, to derywacja [δ1, δ2] =
δ1δ2 − δ2δ1 też jest niezmiennicza. ⊠
Lemat 14.4.3. Pole wektorowe s ∈ Γ(TG) jest niezmiennicze ⇐⇒ derywacja δs jest niezmiennicza.
⊠
Stąd wynika:
Wniosek 14.4.4. Jeśli pola s, t ∈ Γ(TG) są niezmiennicze, to przekrój [s, t] również jest niezmienniczy.
⊠
Wszystkie niezmiennicze pola wektorowe grupy G tworzą więc algebrę Liego nad R.
Definicja 14.4.5. Algebrę Liego wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy Liego G oznaczamy
przez L(G) i nazywamy algebrą Liego grupy G.
Z faktów wykazanych w tym i poprzednim podrozdziale wynika:
Twierdzenie 14.4.6. Algebrą Liego grupy Liego G jest przestrzeń R-liniowa TeG, w której iloczyn
Liego określony jest wzorem
[u, v] = [su, sv](e),
dla u, v ∈ TeG. ⊠
14.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni R n
Wiemy (patrz Podrozdział 12.3), że każda R-derywacja δ pierścienia C(Rn ) ma jednoznaczne
przedstawienie w postaci
δ = f1 ∂
∂
+ · · · + fn ∂x1 ∂xn ,
gdzie f1, . . . , fn są funkcjami należącymi do C(Rn ). Wtedy fi = δ(πi), dla i = 1, . . . , n, gdzie πi :
Rn −→ R jest i-tym rzutowaniem.
Stwierdzenie 14.5.1. R-derywacja δ : C(R n ) −→ C(R n ) jest niezmiennicza ⇐⇒
δ = v1 ∂
∂
+ · · · + vn ∂x1 ∂xn , gdzie v1, . . . , vn ∈ R. (14.4)
Dowód. Załóżmy, że derywacja δ jest niezmiennicza. Wtedy, dla wszystkich a ∈ R n oraz g ∈
C(R n ), zachodzi równość
C(la)δ(g) = δC(la)(g), czyli δ(g) ◦ la = δ(g ◦ la),
gdzie la : R n −→ R n jest przesunięciem określonym wzorem la(x) = x+a, dla x ∈ R n . W szczególności,
jeśli g = πi : R n −→ R jest i-tym rzutowaniem oraz δ(πi) = vi ∈ C(R n ), to
vi(x + a) = vi(x),

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 83
dla wszystkich a, x ∈ R n . To implikuje, że vi jest funkcją stałą, tzn. vi ∈ R. Zatem
δ = n ∂
i=1 δ(πi) ∂xi = n ∂
i=1
vi ∂xi ,
gdzie v1, . . . , vn ∈ R. Wykazaliśmy więc, że jeśli derywacja δ jest niezmiennicza, to jest postaci (14.4).
Implikacja w przeciwnym kierunku jest oczywista. ⊠
Inny dowód powyższego stwierdzenia jest w PH447.
Stwierdzenie 14.5.2. Jeśli R-derywacje δ1, δ2 ∈ Der(C(R n )) są niezmiennicze, to [δ1, δ2] = 0.
Dowód. Z poprzedniego stwierdzenia wiemy, że δ1 = n ∂
i=1
vi ∂xi , δ2 = n ∂
i=1
ui ∂xi , gdzie v1, . . . , vn, u1, . . . , un ∈
R. Zatem:
n ∂
[δ1, δ2] = i=1
vi ∂xi ,
n ∂
j=1
uj = ∂xj
n n i=1 j=1 viuj
∂ ∂ , ∂xi ∂xj
= n n i=1 j=1 viuj0 = 0. ⊠
Z powyższych dwóch stwierdzeń otrzymujemy:
Twierdzenie 14.5.3 (PH447). Algebrą Liego grupy Liego (R n , +) jest przestrzeń R n z zerowym
nawiasem Liego. ⊠
14.6 Algebra Liego grupy GLn(R)
Przez Mn(R) oznaczamy R-liniową przestrzeń wszystkich (n × n)-macierzy o współczynnikach
w R. Przez GLn = GLn(R) oznaczamy podzbiór w Mn(R), składający się z wszystkich macierzy
odwracalnych. Podzbiór ten jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Wyjaśniliśmy już wcześniej
(patrz Podrozdział 14.1), że GLn jest n 2 -wymiarową grupą Liego. Opiszemy algebrę Liego tej grupy
Liego.
Przez E oznaczać będziemy (n×n)-macierz jednostkową. Jeśli A ∈ Mn(R), to przez τA oznaczamy
częściowe odwzorowanie
τA : J −→ GLn, t ↦−→ E + tA.
Jest jasne, że dla małych t ∈ J, macierz E + tA jest odwracalna. Ponadto, τA(0) = E. Funkcja τA
jest więc określona w pewnym otoczeniu otwartym liczby 0. Mamy zatem krzywą na GLn o środku w
punkcie E.
Wiemy, że algebrą Liego dowolnej grupy Liego G jest przestrzeń R-liniowa TeG, czyli zbiór klas
abstrakcji wszystkich krzywych na G o środku w punkcie e. W naszym przypadku należy zatem zbadać
R-przestrzeń liniową TE(GLn).
Lemat 14.6.1. Dla każdej krzywej σ : J −→ GLn, o środku w E, istnieje dokładnie jedna macierz
A ∈ Mn(R) taka, że [σ] = [τA].
Dowód. Zauważmy najpierw, że
dτA
dt
d(E+tA)
(0) = dt (0) = A.
Jeśli więc [τA] = [τB], to A = B. Stąd wynika jedyność macierzy A. Niech σ : J −→ GLn będzie
dowolną krzywą taką, że σ(0) = E. Niech A = dσ
dt (0). Wtedy [σ] = [τA]. ⊠
Stąd z łatwością otrzymujemy:
Stwierdzenie 14.6.2. Przyporządkowanie
jest izomorfizmem przestrzeni R-liniowych. ⊠
Mn(R) −→ TE(GLn), A ↦−→ [τA],

84 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Spójrzmy na niezmiennicze pola wektorowe s : GLn −→ T(GLn). Jeśli G jest dowolną grupą Liego,
to wiemy (Stwierdzenie 14.2.5), że każde niezmiennicze pole wektorowe s : G −→ TG określone jest
wzorem
s(g) = Te(lg)(v), dla g ∈ G,
gdzie v jest wektorem należącym do TeG. Każdemu wektorowi v ∈ TeG odpowiada dokładnie jedno
takie pole.
W naszym przypadku wektory v ∈ TE(GLn) są jednoznacznie wyznaczone przez macierze A ∈
Mn(R n ). Dokładniej, każdy wektor z TE(GLn) jest postaci [τA], gdzie A jest jednoznacznie wyznaczoną
macierzą należącą do Mn(R). Każde zatem niezmiennicze pole wektorowe z GLn do T(GLn) ma
dokładnie jedną postać SA, gdzie
SA(X) = TE(lX)([τA]) = [lX ◦ τA] = [XτA], dla X ∈ GLn.
Wniosek 14.6.3. Jeśli s : GLn −→ T(GLn) jest niezmienniczym polem wektorowym, to istnieje
dokładnie jedna macierz A ∈ Mn(R) taka, że s = SA, tzn.
dla wszystkich X ∈ GLn. ⊠
s(X) = SA(X) = [X(E + tA)],
Przechodzimy teraz do opisu wszystkich R-derywacji pierścienia C(GLn), odpowiadających przekrojom
postaci SA. Przechodzimy więc do opisu derywacji niezmienniczych. W tym celu wprowadźmy
najpierw nowe oznaczenie.
Jeśli A ∈ Mn(R) oraz i, j ∈ {1, . . . , n}, to przez Aij oznaczać będziemy funkcję z GLn do R,
określoną wzorem
Aij(X) = (XA)ij, dla X ∈ GLn,
gdzie (XA)ij jest wspólczynnikiem macierzy XA, stojącym w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, tzn.
Z łatwością sprawdzamy:
Lemat 14.6.4.
∂Aij
∂xpq
Aij(X) = n
r=1 XirArj.
(X) =
0, gdy i = p,
aqj, gdy i = p. ⊠
Przypomnijmy, że jeśli M jest dowolną rozmaitością gładką oraz s : M −→ TM jest dowolnym
polem wektorowym, to z polem tym stowarzyszona jest jednoznacznie wyznaczona derywacja δs :
C(M) −→ C(M), określona wzorem (dla f ∈ C(M), x ∈ M):
δs(f)(x) = d(fσ)
dt (0), gdzie [σ] = s(x).
Definicja 14.6.5. Jeśli A ∈ Mn(R), to przez DA : C(GLn) −→ C(GLn) oznaczamy derywację δSA ,
tzn. derywację stowarzyszoną z polem SA.
Ponieważ pole wektorowe SA jest niezmiennicze, więc derywacja DA też jest niezmiennicza.
Stwierdzenie 14.6.6. DA = n
i=1
n ∂
j=1
Aij ∂xij .
Dowód. Wiemy, że jeśli X ∈ GLn, to SA(X) = [X(E + tA)]. Niech f ∈ C(GLn), X ∈ GLn.
Wtedy:
DA(f)(X) = df(X(E+tA))
dt (0)
∂f
d(X(E+tA))ij
= i,j (X(E + tA)) ∂xij dt (0)
=
∂f
i,j (XA)ij ∂xij (X)
= n n ∂f
i=1 j=1 Aij(X) (X). ⊠
∂xij

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 85
Stwierdzenie 14.6.7. Jeśli A, B ∈ Mn(R), to [DA, DB] = D [A,B], gdzie [A, B] = AB − BA.
Dowód. Niech X ∈ GLn oraz f ∈ C(GLn). Wykażemy najpierw, że prawdziwe są następujące
dwie równości:
Wykazujemy równość (14.5):
ij
DA(Bij) − DB(Aij) (X) =
s,t
Wykazujemy równość (14.6):
ij
BijDA( ∂f
∂f
) − AijDB(
∂xij ∂xij )
Z powyższych równości wynika:
∂xij
DA(Bij) − DB(Aij) = [A, B] ij , (14.5)
BijDA( ∂f
∂f
) − AijDB(
∂xij ∂xij )
= 0. (14.6)
14.6.4
=
=
n
t=1
Ast(X) ∂Bij
∂xst
Ait(X) ∂Bij
∂xit
∂Aij
(X) − Bst(X) ∂xst (X)
(X) − Bit(X) ∂Aij
∂xit (X)
n
t=1 ((XA)itBtj − (XB)itAtj)
= ((XA)B − (XB)A)ij
= (X(AB − BA))ij
= [A, B] ij (X).
=
ij
Bij
=
ij
= 0.
p,q Apq
∂ 2 f
− Aij
∂xpqxij
pq BijApq
∂ 2 f
∂xpqxij
−
ij
p,q ( ∂2f ∂xpqxij )
pq AijBpq
∂ 2 f
∂xpqxij
[DA, DB](f)(X) = (DADB(f) − DBDA(f))(X)
= DA( ∂f
∂f
i,j
Bij − DB( ∂xij i,j
Aij (X)
∂xij
= i,j
DA(Bij) ∂f
∂f
∂f
∂f
+ BijDA( ) − DB(Aij) − AijDB(
∂xij ∂xij ∂xij ∂xij )
(X)
(14.6)
= i,j
DA(Bij) − DB(Aij)
∂f
(X)
∂xij
(14.5)
= ij [A, B]
∂f
ij (X)
= D [A,B](f)(X).
Zatem [DA, DB] = D [A,B]. ⊠
Udowodniliśmy więc:
Twierdzenie 14.6.8 (PH440). Algebrą Liego grupy Liego GLn(R) jest przestrzeń liniowa
Mn(R), wszystkich (n × n)-macierzy nad R, z nawiasem Liego [A, B] = AB − BA. ⊠
14.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLn
Przez K oznaczamy ciało R lub C. Grupa GLn(K) (dla n > 1) nie jest zwarta ([27] 44). Algebrą
Liego grupy Liego GLn(K) jest przestrzeń Mn(K), wszystkich (n × n)-macierzy nad K, z nawiasem
Liego [A, B] = AB − BA.
Grupa specjalna SLn.
SLn(K) = {A ∈ GLn(K); det A = 1}.

86 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
SLn(R) nazywamy specjalną grupą rzeczywistą, a SLn(C) specjalną grupą zespoloną. Grupy te (dla
n > 1) nie są zwarte ([27] 44). Algebry Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez sln(R) i
sln(C).
Twierdzenie 14.7.1 ([27] 125). sln(K) = L(SLn(K)) = {A ∈ Mn(K); trA = 0}. ⊠
Grupa ortogonalna On. Mówimy, że macierz A ∈ GLn(K) jest ortogonalna jeśli A T A =
E. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych, należących do GLn(K), jest podgrupą (Liego) grupy
GLn(K), którą oznaczamy przez On(K). Zatem:
On(K) = {A ∈ GLn(K); A T A = E}.
On(R) nazywamy ortogonalną grupą rzeczywistą, a On(C) ortogonalną grupą zespoloną. Rzeczywista
grupa ortogonalna jest zwarta, natomiast zespolona (dla n > 1) nie jest zwarta ([27] 45). Algebry
Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez on(R) i on(C).
indexgrupa*Liego*ortogonalna
Twierdzenie 14.7.2 ([27] 125). on(K) = L(On(K)) = {A ∈ Mn(K); A T = −A}. ⊠
Mówimy, że macierz A ∈ Mn(K) jest antysymetryczna, jeśli A T = −A. Algebra on(K) jest więc
zbiorem wszystkich (n×n)-macierzy antysymetrycznych (o współczynnikach należących do K). Pewne
informacje o on(K) znajdziemy w PH442.
Specjalna grupa ortogonalna SOn.
SOn(K) = SLn(K) ∩ On(K) = {A ∈ GLn(K); det = 1, A T A = E}.
SOn(R) nazywamy specjalną grupą ortogonalną rzeczywistą, a SOn(C) specjalną grupą ortogonalną
zespoloną. Specjalna grupa ortogonalna rzeczywista jest zwarta, natomiast zespolona (dla n > 1) nie
jest zwarta ([27] 45). Algebry Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez son(R) i son(C).
Twierdzenie 14.7.3 ([27] 125).
son(K) = L(SOn(K)) = sln(K) ∩ on(K) = {A ∈ Mn(K); A T = −A, trA = 0}. ⊠
Pewne informacje o son(K) znajdziemy w PH441.
Grupa unitarna Un. Mówimy, że macierz A ∈ GLn(C) jest unitarna jeśli A = (A T ) −1 , gdzie A
jest macierzą sprzężoną do macierzy A. Zbiór wszystkich macierzy unitarnych, należących do GLn(C),
jest podgrupą (Liego) grupy GLn(C), którą oznaczamy przez Un i nazywamy grupą unitarną. Zatem:
Un = {A ∈ GLn(C); A = (A T ) −1 }.
Grupa unitarna jest zwarta ([27] 45). Algebrę Liego grupy unitarnej Un oznaczamy przez un.
Twierdzenie 14.7.4 ([27] 125). un = L(Un) = {A ∈ Mn(C); A = −A}. ⊠
Specjalna grupa unitarna SUn.
SUn = SLn(C) ∩ Un = {A ∈ GLn(C); det = 1, A = (A T ) −1 }.
SUn nazywamy specjalną grupą unitarną. Specjalna grupa unitarna jest zwarta ([27] 45). Algebrę
Liego tej grupy oznacza się przez sun.
Twierdzenie 14.7.5 ([27] 125).
sun = L(SUn) = sln(C) ∩ un = {A ∈ Mn(C); A = −A, trA = 0}. ⊠

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 87
Grupy symplektyczne Spn. Opiszemy teraz trzy grupy: Spn, Spn(R) i Spn(C). Niech En
będzie (n × n)-macierzą jednostkową i niech Ω będzie (2n × 2n)-macierzą zdefiniowaną wzorem
Ω =
0
−En
En
0
.
Definiujemy następujące trzy grupy macierzy zachowujących macierz Ω.
Sp n = {A ∈ U2n; A T ΩA = Ω},
Sp n(R) = {A ∈ GL2n(R); A T ΩA = Ω},
Sp n(C) = {A ∈ GL2n(C); A T ΩA = Ω}.
Grupy te nazywamy odpowiednio: symplektyczną, liniową symplektyczną rzeczywistą, liniową symplektyczną
zespoloną. Grupa symplektyczna Spn jest zwarta. Pozostałe dwie grupy nie są zwarte ([27]
45). Algebry Liego tych grup oznaczamy odpowiednio przez spn, spn(R), spn(C).
Twierdzenie 14.7.6 ([27] 125).
spn(R) = L(Sp n(R)) = {A ∈ M2n(R); A T Ω = −ΩA},
spn(C) = L(Sp n(C)) = {A ∈ M2n(C); A T Ω = −ΩA},
spn = L(Sp n) = {A ∈ M2n(C); A T Ω = −ΩA, A = −A} = spn(C) ∩ u2n. ⊠
Grupy zwarte. Wszystkie powyższe grupy są lokalnie zwarte (bo są rozmaitościami gładkimi).
Każda z nich jest domkniętą podgrupą pewnej grupy postaci GLn(K). Podczas przedstawiania tych
grup zaznaczaliśmy, które z nich są zwarte, a które nie.
Stwierdzenie 14.7.7 ([27] 44). Grupy On(R), SOn(R), Un, SUn, Sp n są zwarte. Pozostałe grupy,
tzn. GLn(R), GLn(C), SLn(R), SLn(C), On(C), SOn(C), Sp n(R), Sp n(C) nie są zwarte.
Wymiary. (Patrz [27] 44).
GLn(C) 2n 2
GLn(R) n 2
SLn(C) 2n 2 − 2
SLn(R) n 2 − 1
On(C) n 2 − n
On(R) (n 2 − n)/2
14.8 Informacje o lokalnych grupach Liego
SOn(C) n2 − n − 1
SOn(R) (n2 − n)/2
Un
n 2
SUn n2 − 1
Spn(C) 4n2 + 2n
Spn(R) n2 + n2
Spn 2n2 + n
Wiemy już, że z każdą grupą Liego G stowarzyszona jest algebra Liego L(G). Może się tak zdarzyć,
że dwie grupy Liego nie są izomorficzne, natomiast odpowiadające im algebry Liego są izomorficzne.
Takimi nieizomorficznymi grupami Liego są np. (R 1 , +) i (S 1 , ·). Grupy te mają wspólną algebrę
Liego, którą jest R 1 z zerowym nawiasem.
Podobna niejednoznaczność już nie zachodzi, gdy zamiast grup Liego rozpatrzymy lokalne grupy
Liego.
W Encyklopedii [17] lokalna grupa Liego zdefiniowana jest następująco.
Definicja 14.8.1 ([17]). Lokalną grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G wraz z elementem
e ∈ G (zwanym jedynką) i parą gładkich odwzorowań · : U × U −→ U, −1 : U −→ U, gdzie U ∋ e jest
otwartym podzbiorem w G, przy czym spełnione są warunki:
(1) Istnieje otoczenie otwarte V takie, że e ∈ V ⊆ U oraz xe = ex = x, dla x ∈ V .
(2) Istnieje otoczenie otwarte V ′ takie, że e ∈ V ′ ⊆ U oraz xx −1 = x −1 x = e, dla x ∈ V ′ .
(3) Istnieje otoczenie otwarte W takie, że e ∈ W ⊆ U oraz x(yz) = (xy)z, dla x, y, z ∈ W .

88 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Kiriłow [15], lokalną grupę Liego definiuje tak:
Definicja 14.8.2 ([15]). Lokalną grupą Liego nazywamy parę (V, ϕ), w której V jest otwartym
podzbiorem w R n zawierającym 0, a ϕ : V × V −→ R n jest odwzorowaniem gładkim. Zakładamy
ponadto, że:
(1) ϕ(x, ϕ(y, z)) = ϕ(ϕ(x, y), z),
(2) ϕ(0, x) = ϕ(x, 0) = x,
(3) istnieje odwzorowanie gładkie η : V −→ R n takie, że ϕ(x, η(x)) = ϕ(η(x), x) = 0;
przy czym warunki te są spełnione o ile mają sens.
Przyjmijmy pierwszą z tych definicji. Odcinek (−1, 1) z dodawaniem jest oczywiście lokalną grupą
Liego. Każdy przedział otwarty w R 1 , zawierający 0 jest też taką grupą. Każdy zbiór otwarty w R
zawierający 1 jest lokalną grupą Liego, ze względu na mnożenie.
Definicja 14.8.3. Homomorfizmem lokalnych grup Liego (G1, e1) i (G2, e2) nazywamy każde odwzorowanie
gładkie f : U1 −→ G2, gdzie U1 ∋ e1 jest otwartym podzbiorem w G1, takie, że:
(1) f(e1) = e2,
(2) f(ab) = f(a)f(b), dla a, b ∈ U ′ 1 ⊆ U1 (o ile to ma sens).
Homomorfizm taki oznaczamy jako f : G1 −→ G2.
Złożenie homomorfizmów lokalnych jest homomorfizmem lokalnym. Można więc zdefiniować izomorfizm
lokalnych grup Liego.
Z każdej grupy Liego można otrzymać nieskończenie wiele lokalnych grup Liego. Są one wszystkie
izomorficzne.
Załóżmy, że dane są dwie grupy Liego G1 i G2 i rozpatrzmy dwie lokalne grupy Liego G ′ 1 i G ′ 2,
otrzymane odpowiednio z G1 i G2. Może się tak zdarzyć, że grupy lokalne G ′ 1, G ′ 2 są izomorficzne,
natomiast grupy G1, G2 nie są izomorficzne.
Przykład 14.8.4 (PH468). G1 = R 1 , G2 = S 1 , G ′ 1 = (−π, π), G ′ 2 = S 1 {−1}. Lokalne grupy G ′ 1,
G ′ 2 są izomorficzne, gdyż np. odwzorowanie α(x) = e ix jest dyfeomorfizmem. Grupy Liego G1, G2 nie
są izomorficzne (bo np. π1(R) = 0, π1(S 1 ) = Z). ⊠
Z każdą lokalną grupą Liego można stowarzyszyć algebrę Liego. Konstruuje się ją dokładnie tak
samo, jak algebrę Liego grupy Liego.
Twierdzenie 14.8.5 ([15]).
(1) Każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest algebrą Liego pewnej lokalnej grupy Liego.
(2) Dwie lokalne grupy Liego są izomorficzne ⇐⇒ odpowiadające im algebry Liego są izomorficzne.
⊠
Twierdzenie 14.8.6 (o monodromii, [15]). Niech G będzie spójną, jednospójną grupą Liego i
niech H będzie dowolną grupą Liego. Wtedy każdy lokalny homomorfizm z G do H przedłuża się
jednoznacznie do globalnego homomorfizmu z G do H. ⊠
Twierdzenie 14.8.7 ([15]). Niech G będzie grupą Liego. Każda jednowymiarowa lokalna podgrupa
Liego w G przedłuża się do podgrupy Liego (już nie lokalnej). ⊠
14.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze
Niech G będzie grupą Liego. Przypomnijmy najpierw pewne fakty z Podrozdziałów 13.4 i 13.6.
Jeśli s : G −→ TG jest polem wektorowym i a ∈ G, to istnieje (dokładnie jedna) krzywa całkowa
σa : J −→ G, o środku w a, określona w pewnym otoczeniu liczby 0. Można udowodnić następujące
stwierdzenie.
Stwierdzenie 14.9.1 ([27] 116). Jeśli s : G −→ TG jest niezmienniczym polem wektorowym grupy
Liego G i a ∈ G, to krzywa σa (jedyna krzywa całkowa pola s, o środku w a) jest określona na całym
zbiorze liczb rzeczywistych. ⊠

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 89
Mówimy, że dane pole wektorowe jest specjalne (patrz Podrozdział 13.6), jeśli jego jedyne krzywe
całkowe są określone na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Z powyższego stwierdzenia wynika zatem,
że jeśli G jest grupą Liego, to każde jej niezmiennicze pole wektorowe jest specjalne, a zatem wyznacza
(na mocy Stwierdzenia 13.6.6) jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów rozmaitości G. Wiemy
ponadto, że niezmiennicze pola wektorowe na G są jednoznacznie wyznaczone przez wektory należące
do przestrzeni TeG, czyli do algebry Liego L(G). Mamy zatem:
Stwierdzenie 14.9.2. Jeśli G jest grupą Liego, to dla każdego wektora v ∈ L(G) istnieje dokładnie
jedna krzywa σv : R −→ G, o środku w e taka, że [σv] = v oraz
dla wszystkich t1, t2 ∈ R. ⊠
σv(t1)σv(t2) = σv(t1 + t2),
Niech v ∈ L(G) i niech σv będzie krzywą taką, jak w powyższym stwierdzeniu. Można pokazać,
że w otoczeniu liczby 0 krzywa ta jest różnowartościowa. Ponieważ σv(t1)σv(t2) = σv(t1 + t2), (oraz
σv(0) = e), więc:
Wniosek 14.9.3. Krzywa σv : (R, +) −→ G jest homomorfizmem grup Liego. W szczególności, obraz
σv(R) jest 1-wymiarową podgrupą Liego grupy Liego G. ⊠
Teraz możmy zdefiniować odwzorowanie wykładnicze.
Definicja 14.9.4. Niech G będzie grupą Liego i L = L(G) jej algebrą Liego. Odwzorowaniem wykładniczym
grupy G nazywamy odwzorowanie exp : L −→ G określone wzorem
dla wszystkich v ∈ L.
exp(v) = σv(1),
Odwzorowanie wykładnicze ma własności funktorialne.
Stwierdzenie 14.9.5 (PH470).
jący diagram
Jeśli ϕ : G1 −→ G2 jest homomorfizmem grup Liego, to następu-
L(G1) L(ϕ)
−→ L(G2)
exp ↓ ↓ exp
G1
ϕ
−→ G2
jest przemienny. (Odwzorowanie L(ϕ) : L(G1) −→ L(G2) jest przekształceniem liniowym Teϕ :
Te1 G1 −→ Te2 G2, gdzie e1, e2 są elementami neutralnymi odpowiednio grup G1, G2). ⊠
Załóżmy teraz, że G = GLn = GLn(R) jest grupą Liego wszystkich odwracalnych (n×n)-macierzy
nad R. Wiemy, że algebra Liego L(GLn) jest n 2 -wymiarową przestrzenią liniową Mn(R), wszystkich
(n × n)-macierzy nad R, z nawiasem Liego [A, B] = AB − BA. Jeśli A ∈ Mn(R), to macierz exp(A) ∈
GLn oznacza się często przez e A . Nie jest trudno wykazać:
Stwierdzenie 14.9.6 ([27] 116). e A = exp(A) = ∞
p=0 1
p! Ap . ⊠
Przez ∞ p=0 1
zbieżność jest względem normy:
p! Ap rozumiemy, tak jak zwykle, granicę odpowiednich sum cząstkowych, przy czym
||A|| =
ij A2 ij ,
a zatem po współrzędnych (patrz [27] 40). Mamy w szczególności:
Stwierdzenie 14.9.7. Niech A, B ∈ Mn(R).
(1) Jeśli AB = BA, to e A e B = e A+B ,
(2) e 0 = E,
(3) (e A ) −1 = e −A ,
(4) Odwzorowanie σA : (R, +) −→ GLn, t ↦→ e tA jest homomorfizmem grup Liego. ⊠

90 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
14.10 Związek między grupami Liego i algebrami Liego
Przypomnijmy jeszcze raz, że każdej grupie Liego G można przyporządkować jej algebrę Liego
L(G). Przyporządkowanie to nie jest jednak jednoznaczne. Istnieją nieizomorficzne grupy Liego posiadające
te same algebry Liego (np. (R 1 , +) i (S 1 , ·)). Przy pewnych dodatkowych założeniach można
jednak tę niejednoznaczność ominąć. Wyjaśnijmy to dokładniej.
W Podrozdziale 1.9 zdefiniowaliśmy nakrycia. Nakryciem jest każda ciągła (otwarta) surjekcja
p : E −→ X (gdzie E, X są przestrzeniami topologicznymi) spełniająca pewne warunki. Przestrzeń
E nazywa się wtedy przestrzenią nakrywającą. Jeśli przestrzeń nakrywająca jest jednospójna (tzn.
jeśli jej grupa podstawowa jest trywialna), to mówi się, że dane nakrycie jest uniwersalne. Można
udowodnić, że każda spójna grupa Liego posiada uniwersalne nakrycie. Dokładniej:
Twierdzenie 14.10.1 (PH449). Dla każdej spójnej grupy Liego G istnieją grupa Liego ˜ G oraz
gładka surjekcja p : ˜ G −→ G takie, że:
(1) p jest lokalnym homeomorfizmem,
(2) p jest homomorfizmem grup Liego,
(3) grupa ˜ G jest spójna i jednospójna.
Stąd w szczególności wynika, że algebry Liego L(G) i L( ˜ G) są izomorficzne. ⊠
Można udowodnić również:
Twierdzenie 14.10.2. Jeśli G1, G2 są spójnymi i jednospójnymi grupami Liego, to grupy te są izomorficzne
wtedy i tylko wtedy, gdy algebry Liego L(G1), L(G2) są izomorficzne. ⊠
Wspominaliśmy w poprzednim podrozdziale, że każda (skończenie wymiarowa) R-algebra Liego
jest algebrą Liego pewnej lokalnej grupy Liego. Można udowodnić więcej:
Twierdzenie 14.10.3 (Cartan). Każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest algebrą Liego
pewnej grupy Liego. ⊠
Dokładniejsze sformułowanie tego twierdzenia przedstawia się następująco:
Twierdzenie 14.10.4. Niech L będzie skończenie wymiarową R-algebrą Liego.
(1) Istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) spójna i jednospójna grupa Liego G
taka, że L = L(G).
(2) Wszystkie spójne grupy Liego G ′ takie, że L(G ′ ) = L, są postaci G/D, gdzie G jest taką grupą
Liego, jak w (1), a D jest dyskretnym dzielnikiem normalnym grupy G, leżącym w jej centrum. ⊠
Funktor L ustala więc równoważność kategorii spójnych i jednospójnych grup Liego z kategorią
skończenie wymiarowych R-algebr Liego.
Zanotujmy pewne dodatkowe własności funktora L.
Twierdzenie 14.10.5 ([17]III 247).
(1) L(G1 × G2) ≈ L(G1) ⊕ L(G2).
(2) Jeśli H jest podgrupą Liego grupy Liego G, to L(H) jest podalgebrą Liego w L(G). Jeśli podgrupa
H jest normalna, to L(H) jest ideałem Liego w L(G) oraz L(G/H) ≈ L(G)/L(H).
(3) (char = 0). L(
i Gi) ≈
i L(Gi).
(4) Jeśli f : G1 −→ G2 jest homomorfizmem grup Liego, to L(Kerf) ≈ KerL(f).
(5) Jeśli L ′ jest podalgebrą Liego w L(G), to istnieje jedyna podgrupa Liego H ⊆ G taka. że
L(H) = L ′ . Podgrupa H nie musi być domknięta.
(5) Algebra Liego L(G) jest rozwiązalna (odpowiednio: nilpotentna, półprosta) ⇐⇒ grup Liego G
jest taka. ⊠
Fakty przedstawione w powyższym twierdzeniu zapisaliśmy na podstawie Encyklopedii [17]III 247.
W innym miejscu tej encyklopedii (patrz III 255) czytamy: Grupa Liego jest dość trudnym obiektem
do badania. Pewne problemy można zredukować do problemów czysto algebraicznych. Grupie Liego
przyporządkowuje się algebrę Liego. Algebry Liego to obiekty bardziej uchwytne i mniej złożone.

14. Grupy Liego i ich algebry Liego 91
Twierdzenie 14.10.6 ([17]III). Niech H będzie podgrupą Liego spójnej grupy Liego H. Wtedy
podgrupa H jest normalna ⇐⇒ L(H) jest ideałem w L(G). Jeśli przy tym H jest domknięte, to
L(G/H) ≈ L(G)/L(H). ⊠
Twierdzenie 14.10.7 ([17]III). Grupa Aut(G), automorfizmów spójnej grupy Liego G, jest grupą
Liego, którą utożsamia się z podgrupą grupy Aut(L(G)). W szczególności, jeśli grupa G jest jednospójna,
to Aut(G) ≈ Aut(L(G) oraz L(Aut(G)) ≈ Der(L(G)). ⊠
Twierdzenia Liego. W Encyklopedii [17] (III 282) czytamy: Twierdzenia Liego, to trzy klasyczne
twierdzenia teorii grup Liego, opisujące związek lokalnej grupy Liego z jej algebrą Liego. Są to
podstawowe twierdzenia pochodzące z dziewiętnastego wieku, udowodnione przez Liego i jego uczniów.
Wysłowienie tych twierdzeń w takiej formie, jak to przedstawiono we wspomnianej encyklopedii,
wymaga skomplikowanych zapisów. Dzisiaj te twierdzenia można przedstawić (mniej więcej) w
następuącej postaci (o wszystkich faktach wspominaliśmy już wcześniej).
Twierdzenie 14.10.8 (Liego).
(1) Niech H będzie podzbiorem spójnej grupy Liego G. Wtedy
(a) H jest spójną podgrupą Liego ⇐⇒ L(H) jest podalgebrą Liego w L(G).
(b) H jest spójnym dzielnikiem normalnym w G ⇐⇒ L(H) jest ideałem Liego w L(G).
Ponadto, L(G)/L(H) ≈ L(G/H).
(2) Algebra Liego wyznacza jednoznacznie (z dokładnością do lokalnego izomorfizmu) lokalną grupę
Liego.
(3) Dla każdej (skończenie wymiarowej) R-algebry Liego L istnieje grupa Liego G taka, że L(G) ≈
L. ⊠
14.11 Grupy formalne
Na podstawie zeszytu A. Prószyńskiego [21].
Przedstawimy pewien związek pomiędzy grupami Liego, algebrami Liego i grupami formalnymi.
Niech k będzie ciałem. Grupy formalne to ciągłe (względem ⊗) struktury Hopfa na algebrach
szeregów k[[X]] = k[[x1, . . . , xn]].
Definicja 14.11.1. Grupą formalną nad ciałem k nazywamy każdą trójkę (k[[X]], ∆, ε), w której
∆ : k[[X]] −→ k[[X]]⊗k[[X]] = k[[X, Y ]], ε : k[[X]] −→ k,
(gdzie X = {x1, . . . , xn}, Y = {y1, . . . , yn}), są k-algebrowymi homomorfizmami spełniającymi warunki:
(1) ε(xi) = 0, dla i = 1, . . . , n,
(2) (1 ⊗ ∆)∆ = (∆ ⊗ 1)∆,
(3) (1 ⊗ ε)∆ = 1 = (ε ⊗ 1)∆.
Liczbę n (ilość zmiennych) nazywamy wymiarem grupy formalnej.
Zauważmy, że warunki (2), (3) występują w definicji koalgebry.
Przyjmując ∆(xi) = Fi(X, Y ) otrzymujemy:
Stwierdzenie 14.11.2. n-Wymiarową grupą formalną nad ciałem k jest każdy ciąg szeregów
F = (F1, . . . , Fn), spełniający następujące trzy warunki:
(a) Fi = Fi(X, Y ) ∈ k[[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn]], i = 1, . . . , n;
(b) F (X, Fi(Y, Z)) = F (Fi(X, Y ), Z), i = 1, . . . , n;
(c) F (X, 0) = X, F (0, Y ) = Y . ⊠
Oto dwa przykłady 1-wymiarowych grup formalnych:
Przykład 14.11.3. (n = 1), F (x, y) = x + y. ⊠

92 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Przykład 14.11.4. (n = 1), F (x, y) = x + y + xy. ⊠
W naturalny sposób definiuje się homomorfizm grup formalnych. Wszystkie grupy formalne tworzą
więc pewną kategorię. Oznaczmy ją przez GF. Oznaczmy ponadto przez GL i AL kategorie odpowiednio
grup Liego (analitycznych) i skończenie wymiarowych algebr Liego. Wprowadzimy teraz dwa
funktory H : GF −→ AL oraz M : GL −→ GF.
Niech F = (F1, . . . , Fn) będzie grupą formalną. Wtedy
F (X, Y ) = X + Y + B(X, Y ) + C(X, Y ),
gdzie B(X, Y ) jest ciągiem wielomianów jednorodnych stopnia 2, a C(X, Y ) jest ciągiem szeregów bez
składowych jednorodnych stopni 2. W tej sytuacji definiujemy k-algebrę Liego
H(F ) = (k n , [ , ]F ), gdzie [u, v]F = B(u, v) − B(v, u), dla u, v ∈ k n .
Chcąc wykazać, że H(F ) jest istotnie algebrą Liego, pokazuje się najpierw, że B(X, B(Y, Z)) =
B(B(X, Y ), Z) co oznacza, że działanie ∗ : k n × k n −→ k n , a ∗ b = B(a, b), jest łączne. Wtedy
[a, b] = a ∗ b − b ∗ a i dalej następują standardowe przeliczenia.
Określa się też H na morfizmach. Mamy więc kowariantny funktor H : GF −→ AL. Można
udowodnić:
Twierdzenie 14.11.5. Jeśli char(k) = 0, to funktor H ustala równowa ˙ność kategorii GF, grup formalnych,
z kategorią AL, skończenie wymiarowych k-algebr Liego. ⊠
Na grupy formalne (w przypadku zerowej charakterystyki) można więc patrzeć jak na kategorię
skończenie wymiarowych algebr Liego.
Przejdźmy do zdefiniowania funktora M : GL −→ GF. Załóżmy, że G jest grupą Liego. Niech
(U, ϕ) będzie mapą w G taką, że U ∋ e, ϕ(e) = 0, U · U ⊆ U. Określamy odwzorowania analityczne
Ψi : U × U
·
−→ U
ϕ
−→ k n πi
−→ k,
dla i = 1, . . . , n. W pewnym otoczeniu punktu (e, e) każde odwzorowanie postaci Ψi jest jednoznacznie
wyznaczone przez szereg formalny Fi(X, Y ). Przyjmujemy wtedy:
M(G) = (F1, . . . , Fn).
Sprawdza się teraz, że M(G) jest grupą formalną. Łączność mnożenia w G implikuje kołączność w
M(F ). Ponadto, Fi(X, 0) = X, F (0, Y ) = Y . Dalej określa się M na morfizmach i w ten sposób
otrzymuje się kowariantny funktor M : GL −→ GF. Można udowodnić (dla k = R):
Twierdzenie 14.11.6. Funktor L : GL −→ AL, przyporządkowujący każdej grupie Liego jej algebrę
Liego, jest złożeniem funktorów M : GL −→ GF i H : GF −→ AL. ⊠
14.12 Uwagi
14.1 Ponieważ grupy Liego są szczególnymi grupami topologicznymi, powstaje naturalne pytanie czy istnieje
ich charakteryzacja jedynie w terminach algebraiczno-topologicznych. Problem ten (zwany piątym problemem
Hilberta) był przez wiele lat jednym z centralnych zagadnień teorii grup Liego. Jego całkowite (pozytywne)
rozwiązanie podali Gleason, D. Montgomery i Zippin w latach pięćdziesiątych (patrz [27] 110). Pokazano
wtedy (patrz [15]), że każda grupa topologiczna, będąca rozmitością klasy C 0 , ma strukturę grupy Liego.
14.2 Grupę Liego zdefiniowaliśmy jako zwykłą grupę, będącą rozmaitośćią gładką z gładkimi działaniami.
Co się stanie, gdy ”gładkość” zamienimy na ”analityczność”? Można pokazać ([27]), że każda grupa topologiczna
ma co najwyżej jedną strukturę rozmaitości gładkiej, w której działania grupowe są odwzorowaniami
gładkimi. Innymi słowy: każda grupa topologiczna ma co najwyżej jedną strukturę (gładkiej) grupy Liego. Z
faktu tego można wywnioskować, że (gładkie) grupy Liego i analityczne grupy Liego, to dokładnie te same
obiekty.

15. Algebry Liego 93
15 Algebry Liego
Niniejszy rozdzial (jak również następny) został opracowany na podstawie książek [3], [13], [14], [15],
[11] oraz zeszytów [21], AL, PH1, PH4 i PN2. Przedstawiamy w nim podstawowe pojęcia i fakty dotczące
k-algebr Liego, gdzie k jest ciałem. Zajmujemy się głównie skończenie wymiarowymi algebrami
Liego.
15.1 Podstawowe definicje
Definicję algebry Liego podaliśmy w Podrozdziale 9.7. Przepiszmy ją jeszcze raz.
Definicja 15.1.1. Algebrą Liego nad ciałem k (lub k-algebrą Liego) nazywamy przestrzeń liniową L
wraz z dwuliniowym odwzorowaniem [ , ] : L × L −→ L (zwanym nawiasem Liego w L) spełniającym
warunki:
(1) [a, a] = 0, dla a ∈ A,
(2) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, dla a, b, c ∈ A (tożsamość Jacobiego).
Z warunku (1) wynika, że [a, b] = −[b, a], dla a, b ∈ L. Mówimy, że algebra Liego L jest przemienna,
jeśli [ , ] = 0.
Stwierdzenie 15.1.2. Niech L będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech [ , ] : L × L −→ L
będzie k-dwuliniowym odwzorowaniem. Niech {ei; i ∈ I} będzie bazą przestrzeni L nad k. Para (L, [ , ])
jest k-algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy:
(a) [ei, ei] = 0, dla i ∈ I,
(b) [ei, ej] = −[ej, ei], dla i, j ∈ I,
(c) [[ei, ej], ep] + [[ej, ep], ei] + [[ep, ei], ej] = 0, dla i, j, p ∈ I. ⊠
Dla małych wymiarów można założyć mniej:
Przykład 15.1.3. Niech L = ke1 ⊕ke2 oraz [e1, e1] = [e2, e2] = 0, [e1, e2] = −[e2, e1]. Wtedy (L, [ , ])
jest k-algebrą Liego. ⊠
Przykład 15.1.4. Niech L = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, [ei, ei] = 0, [ei, ej] = −[ej, ei], dla i, j = 1, 2, 3, oraz
[[e1, e2], e3] + [[e2, e3], e1] + [[e3, e1], e2] = 0. Wtedy (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego. ⊠
Stwierdzenie 15.1.5 (AL 41). Niech L będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech [ , ] :
L × L −→ L będzie k-dwuliniowym odwzorowaniem. Niech {ei; i ∈ I} będzie bazą przestrzeni L nad
k. Jeśli i, j ∈ I, to niech
[ei, ej] =
p∈I cijpep, gdzie cijp ∈ k.
Para (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy:
(a) ciip = 0,
(b) cijp = −cjip,
(c)
r∈I (cijrcrpq + cjprcriq + cpircrjq) = 0,
dla wszystkich i, j, p, q ∈ I. ⊠
Definicja 15.1.6. Jeśli L1, L2 są k-algebrami Liego, to ich homomorfizmem nazywamy każde przekształcenie
k-liniowe f : L1 −→ L2 spełniające warunek:
f([a, b]) = [f(a), f(b)], dla wszystkich a, b ∈ L1.
Niech L będzie k-algebrą Liego.
Jeśli A, B ⊆ L są podzbiorami, to przez [A, B] oznaczamy podprzestrzeń k-liniową w L generowaną
przez zbiór {[a, b]; a ∈ A, b ∈ B}.
Definicja 15.1.7. Podprzestrzeń k-liniową M ⊆ L nazywamy:
(a) podalgebrą Liego w L, jeśli [M, M] ⊆ M;
(b) ideałem Liego w L, jeśli [M, L] ⊆ M.

94 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Jeśli M ⊆ L jest ideałem Liego w L, to k-przestrzeń liniowa L/M jest k-algebrą Liego zwaną
ilorazową algebrą Liego. Nawias Liego w L/M określony jest wzorem
[a + M, b + M] = [a, b] + M, dla a, b ∈ L.
Jeżeli podzbiory A, B ⊆ L są ideałami Liego w L, to [A, B] również jest ideałem Liego.
Jeżeli L1, L2 są k-algebrami Liego, to ich produktem nazywamy k-przestrzeń L = L1 × L2 =
{(a, b); a ∈ L1, b ∈ L2} z nawiasem Liego
[(a1, b1), (a2, b2)] = ([a1, a2], [b1, b2]), a1, a2 ∈ L1, b1, b2 ∈ L2.
Rzutowania L1 × L2 −→ L1, L2 są homomorfizmami algebr Liego.
Centrum k-algebry Liego L, to zbiór
Centrum Z(L) jest ideałem Liego w L.
Z(L) = {x ∈ L; [x, y] = 0 dla y ∈ L}.
Mówimy, że k-algebra Liego L jest łączna jeśli [[a, b], c] = [a, [b, c]], dla wszystkich a, b, c ∈ L.
Stwierdzenie 15.1.8 (AL 49). Algebra Liego L jest łączna ⇐⇒ [L, L] ⊆ Z(L).
Dowód. Jeśli [L, L] ⊆ Z(L), to [[a, b], c] = [a, [b, c]], gdyż wtedy [[a, b], c] = 0 oraz [a, [b, c]] = 0.
Załóżmy teraz, że algebra L jest łączna i niech a, b, c ∈ L. Wtedy
a zatem [L, L] ⊆ Z(L). ⊠
15.2 Przykłady
0 = [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]]
= [[a, b], c] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]]
= [b, [c, a]],
Przykład 15.2.1. Jeśli A jest łączną k-algebrą, to A jest k-algebrą Liego z nawiasem [a, b] = ab−ba,
a, b ∈ A. ⊠
Szczególnym przypadkiem tego przykładu jest:
Przykład 15.2.2. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech A = Endk(V ) będzie
algebrą wszystkich k-endomorfizmów przestrzeni V . Wtedy A, z nawiasem [f, g] − f ◦ g − g ◦ f, jest
k-algebrą Liego. ⊠
W szczególności, jeśli V jest przestrzenią skończenie wymiarową, to otrzymujemy, dobrze nam
znany przykład k-algebry Liego Mn(k), wszystkich (n×n)-macierzy nad k, z nawiasem Liego [A, B] =
AB − BA. Tę k-algebrę Liego oznacza się zwykle przez gln(k).
W Podrozdziale 14.7 opisaliśmy pewne algebry Liego nad R, pochodzące od grup Liego. Godnym
zapamiętania jest fakt (Twierdzenie Cartana), że każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest
algebrą Liego pewnej grupy Liego.
Algebry Liego przedstawione w Podrozdziale 14.7 są podalgebrami Liego w gln(k), gdzie k jest
ciałem R, liczb rzeczywistych. Takie same algebry Liego istnieją dla dowolnego ciała k. Mamy zatem
następujące przykłady k-algebr Liego:
sln(k) = {A ∈ gl(k); trA = 0} specjalna,
on(k) = {A ∈ gln(k); A T = −A} ortogonalna
son(k) = {A ∈ gln(k); A T = −A, trA = 0} specjalna ortogonalna
spn(k) = {A ∈ gl2n(k); A T Ω = −ΩA}, symplektyczna.

15. Algebry Liego 95
Macierz Ω, występująca w symplektycznej algebrze Liego jest (2n×2n)-macierzą zdefiniowaną wzorem
Ω =
0 En
−En 0
Istnieją jeszcze co najmniej dwie ważne algebry Liego:
15.3 Małe wymiary
tn(k) = {A ∈ gl(k); Aij = 0, dla i > j} trójkątna,
tn(k) = {A ∈ gl(k); Aij = 0, dla i j} trójkątna z zerami.
Przedstawiamy opis (pochodzący z [15]102) wszystkich k-algebr Liego L wymiaru 3, gdzie k jest
ciałem charakterystyki zero.
dim L = 1. [ , ] = 0 (tylko przemienna).
dim L = 2. Są tylko dwie algebry Liego dwuwymiarowe:
1. przemienna,
2. L = ke1 ⊕ ke2, [e1, e2] = e1 (patrz ZAlg389).
dim L = 3. Niech L1 = [L, L]. Wtedy 0 dim L1 3.
1. dim L1 = 0. Wtedy [ , ] = 0 (algebra przemienna).
2. dim L1 = 1. Niech {x, y, z} będzie bazą przestrzeni L nad k. Istnieją wtedy dwie nieizomorficzne
algebry Liego:
(a) [x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0,
(b) [x, z] = z, [x, y] = [y, z] = 0.
3. dim L1 = 2. Niech {x, y} będzie bazą przestrzeni L1 i niech z będzie wektorem dopełniającym
do bazy przestrzeni L. Wtedy musi zachodzić równość [x, y] = 0. Ponadto,
[x, z] = ax + by, [y, z] = cx + dy, gdzie macierz A =
.
a b
c d
jest nieosobliwa.
Każda nieosobliwa macierz A zadaje strukturę k-algebry Liego na L. Dwie macierze nieosobliwe
A i B zadają izomorficzne struktury Liego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją α ∈ k {0} oraz
nieosobliwa (2 × 2)-macierz C takie, że αA = CBC −1 . W szczególności, macierze postaci
1 0
0 2 n
wyznaczają serię parami nieizomorficznych k-algebr Liego (char(k)=0).
4. dim L1 = 3. Wtedy L1 = [L, L] = L. W tym przypadku istnieją dwie nieizomorficzne k-algebry
Liego:
(a) [x, y] = z, [y, z] = x, [z, x] = y (iloczyn wektorowy);
(b) [x, y] = 2y, [y, z] = x, [z, x] = 2z.
Istnieje również opis (patrz [15] 103) wszystkich k-algebr Liego wymiaru 4.

96 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
15.4 Derywacje
Dobrze wiadomo, że jeśli A jest łączną k-algebrą, to zbiór Derk(A), wszystkich k-derywacji z A do
A, wraz z nawiasem [d1, d2] = d1d2 − d2d1, jest k-algebrą Liego. Tę samą własność ma zbiór Der(L),
wszystkich derywacji algebry Liego L.
Derywacją k-algebry Liego L nazywamy każde k-liniowe przekształcenie d : L −→ L takie, że
d([a, b]) = [d(a), b] + [a, d(b)], dla a, b ∈ L.
Stwierdzenie 15.4.1. Zbiór Der(L), z nawiasem [d1, d2] = d1d2 − d2d1, jest k-algebrą Liego. Jest to
podalgebra Liego w Endk(L).
Dowód.
(d1d2 − d2d1)([a, b]) = d1([d2(a), b] + [a, d2(b)]) − d2([d1(a), b] + [a, d1(b)])
= [d1d2(a), b] + [d2(a), d1(b)] + [d1(a), d2(b)] + [a, d1d2(b)]
−[d2d1(a), b] − [d1(a), d2(b)] − [d2(a), d1(b)] − [a, d2d1(b)]
= [d1d2(a), b] + [a, d1d2(b)] − [d2d1(a), b] − [a, d2d1(b)]
= [(d1d2 − d2d1)(a), b] + [a, (d1d2 − d2d1)(b)]. ⊠
Niech L będzie k-algebrą Liego. Jeśli x ∈ L, to przez adx oznaczamy odwzorowanie
adx : L −→ L, y ↦−→ [x, y].
Stwierdzenie 15.4.2 (AL 11).
(1) Odwzorowanie adx jest derywacją algebry Liego L.
(2) Odwzorowanie ad : L −→ Der(L), x ↦−→ adx, jest homomorfizmem k-algebr Liego. Jądrem
tego homomorfizmu jest centrum Z(L).
(3) Jeśli δ ∈ Der(L), x ∈ L, to [δ, adx] = ad δ(x). ⊠
Z tego stwierdzenia wynika:
Wniosek 15.4.3 (AL 56). Jeśli L jest k-algebrą Liego z zerowym centrum Z(L), to L można utożsamiać
z ideałem Liego w Der(L).
Dowód. Ponieważ Z(L) = 0, więc z (2) wynika, że homomorfizm ad: L −→ Der(L) jest injekcją.
Jego obraz ad(L) jest, na mocy (3), ideałem w Der(L). ⊠
Definicja 15.4.4. Każdą derywację postaci adx nazywamy wewnętrzną.
Stwierdzenie 15.4.5 ([3] 92, AL 57). Jeśli L jest k-algebrą Liego taką, że Z(L) = 0 i [L, L] = L,
to każda derywacja algebry Liego Der(L) jest wewnętrzna. ⊠
15.5 Reprezentacje
Definicja 15.5.1. Reprezentacją k-algebry Liego L nazywamy każdy homomorfizm k-algebr Liego
ϕ : L −→ Endk(V ),
gdzie V jest przestrzenią liniową nad k. Mówimy, że reprezentacja ϕ : L −→ Endk(V ) jest:
(a) skończenie wymiarowa, jeśli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa nad k;
(b) wierna, jeśli ϕ jest injekcją.
Ze Stwierdzenia 15.4.2 wynika:

15. Algebry Liego 97
Wniosek 15.5.2. Jeśli L jest k-algebrą Liego, to odwzorowanie
jest jej reprezentacją. ⊠
ad : L −→ Der(L) ↩→ Endk(L)
Przykład 15.5.3 (PH451). Rozpatrzmy R-algebrę Liego R 3 z nawiasem [u, v] = u × v, gdzie ×
jest iloczynem wektorowym w R 3 . Niech {x, y, z} będzie ortonormalną bazą przestrzeni R 3 nad R.
Wtedy [x, y] = z, [y, z] = x oraz [z, x] = y. Reprezentacja
jest wtedy określona wzorem:
ad : R 3 −→ EndR(R 3 ) ≈ gl3(R)
⎡
ad((a, b, c)) = ⎣
0 c −b
−c 0 a
b −a 0
Reprezentacja ta jest oczywiście wierna. Widzimy zatem, że algebra Liego (R 3 , [ , ]) jest izomorficzna
z ortogonalną algebrą Liego o3(R). ⊠
Można udowodnić:
Twierdzenie 15.5.4 (Ado). Każda skończenie wymiarowa k-algebra Liego posiada wierną, skończenie
wymiarową reprezentację. ⊠
Stąd wynika:
Wniosek 15.5.5. Każda skończenie wymiarowa k-algebra Liego jest podalgebrą Liego algebry Liego
gln(k), dla pewnego n.
Definicja 15.5.6. Niech ϕ : L −→ Endk(V ), ϕ ′ : L −→ Endk(V ′ ) będą reprezentacjami k-algebry
Liego L. Homomorfizmem tych reprezentacji nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : V −→ V ′
takie, że dla każdego x ∈ L, przemienny jest diagram
V
f
−→ V ′
ϕx ↓ ↓ ϕ ′ x
V
f
−→ V ′
Definicja 15.5.7. Jeśli L jest k-algebrą Liego, to L-modułem nazywamy każdą przestrzeń k-liniową
M, wraz z odwzorowaniem · : L × M −→ M, spełniającym warunki:
(a) (αx + βy)m = α(xm) + β(ym),
(b) [x, y]m = x(ym) − y(xm),
dla wszystkich α, β ∈ k, x, y ∈ L, m ∈ M.
Definicja 15.5.8. Jeśli M, M ′ są L-modułami, to ich homomorfizmem nazywamy każde przekształcenie
k-liniowe f : M −→ M ′ taki, że
.
⎤
⎦ .
f(xm) = xf(m), dla x ∈ L, m ∈ M.
Jeśli ϕ : L −→ Endk(V ) jest reprezentacją k-algebry Liego L, to przestrzeń V jest L-modułem, z
mnożeniem
(x, v) ↦−→ ϕ(x)(v).
Zachodzi również odwrotnie. Jeśli V jest L-modułem, to odwzorowanie
ϕ : L −→ Endk(V ), ϕ(x)(v) = xv,
jest reprezentacją k-algebry Liego L. Podobna wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość istnieje dla
homomorfizmów reprezentacji i homomorfizmów L-modułów.
Zdefiniowaliśmy dwie kategorie: kategorię R(L), wszystkich reprezentacji k-algebry Liego L oraz
kategorię L-Mod, wszystkich L-modułów. Kategorie te są równoważne. Kategorię L-Mod nazywa się
kategorią Grothendiecka.

98 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
15.6 Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego
Niech L będzie k-algebrą Liego. Definiujemy dwa zstępujące ciągi ideałów Liego w L:
przyjmując:
L0 = L ⊇ L1 ⊇ L2 ⊇ . . . oraz L 1 ⊇ L 2 ⊇ L 3 ⊇ . . . ,
L1 = [L, L], L2 = [L, L1], L3 = [L, L2], . . . ,
L 1 = L1 = [L, L], L 2 = [L1, L1], L 3 = [L2, L2], . . . .
Wtedy L n ⊆ Ln, dla wszystkich n. Ponadto, ilorazowe algebry Liego Ln/Ln+1 oraz L n /L n+1 są
przemienne.
Definicja 15.6.1. Mówimy, że k-algebra Liego L jest:
(1) rozwiązalna, jeśli istnieje n takie, że Ln = 0,
(2) nilpotentna, jeśli istnieje n takie, że L n = 0.
Każda przemienna algebra Liego jest nilpotentna. Każda nilpotentna k-algebra Liego jest oczywiście
rozwiązalna. Przykładem rozwiązalnej k-algebry Liego, nie będącej algebrą nilpotentną, jest
algebra trójkątna
tn(k) = {A ∈ gln(k); Aij = 0, dla i > j}.
Przykład 15.6.2 (PH476).
(1) Każda k-algebra Liego wymiaru 2, jest rozwiązalna. Niech L = kx ⊕ ky. Jeśli [x, y] = x, to
algebra L nie jest nilpotentna.
(2) Niech L = kx ⊕ ky ⊕ kz.
(a) Jeśli [y, z] = x, [x, z] = [x, y] = 0, to algebra L jest nilpotentna.
(b) Jeśli [x, y] = x, [z, y] = az, [x, z] = 0, gdzie a ∈ k 0, to algebra L jest rozwiązalna, ale nie
jest nilpotentna.
(c) Niech [x, y] = z, [y, z] = x, [z, x] = y, (iloczyn wektorowy). Wtedy algebra L nie jest
rozwiązalna. ⊠
Nazwa ”rozwiązalna algebra Liego” pochodzi od rozwiązalnych grup Liego. Te zaś zostały tak nazwane
w związku z równaniami różniczkowymi, rozwiązalnymi w kwadraturach (podobnie, jak zwykłe
grupy rozwiązalne w związku z rozwiązalnością w pierwiastnikach).
Nazwa ”nilpotentna algebra Liego” ma swoje uzasadnienie dzięki następującemu twierdzeniu.
Twierdzenie 15.6.3 (Engel). Skończenie wymiarowa k-algebra Liego L jest nilpotentna ⇐⇒ dla
każdego x ∈ L istnieje n takie, że ad n x = 0. ⊠
Zanotujmy kilka własności rozwiązalnych i nilpotentnych algebr Liego. Zakładamy, że k-algebra
Liego L ma skończony wymiar.
Stwierdzenie 15.6.4.
(1) Podalgebra Liego i obraz homomorficzny rozwiązalnej (odp. nilpotentnej) algebry Liego są rozwiązalnymi
(odp. nilpotentnymi) algebrami Liego.
(2) Niech A będzie ideałem Liego w L. Wówczas algebra Liego L jest rozwiązalna ⇐⇒ algebry
Liego A i L/A są rozwiązalne.
(3) Własność (2) nie zachodzi, na ogół , dla nilpotentnych algebr Liego.
(4) Niezerowa algebra Liego nilpotentna ma niezerowe centrum.
(5) Jeśli algebra Liego L/Z(L) jest nilpotentna, to L jest nilpotentną algebrą Liego. ⊠
Twierdzenie 15.6.5. Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego, gdzie k jest ciałem charakterystyki
zero. Wówczas L jest rozwiązalne ⇐⇒ [L, L] jest nilpotentne. ⊠

15. Algebry Liego 99
Następne twierdzenie jest pewnym wzmocnieniem twierdzenia Ado (patrz Twierdzenie 15.5.4)
o reprezentacjch.
Twierdzenie 15.6.6 (Lie, Kolchin). Niech L będzie rozwiązalną (skończenie wymiarową) algebrą
Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem k, charakterystyki zero. Niech ϕ : L −→ Endk(V ) będzie
skończenie wymiarową reprezentacją. Wtedy reprezentacja ta jest równoważna z pewną reprezentacją
trójkątną, tzn. jest równoważna z reprezentacją postaci ϕ ′ : L −→ Endk(k n ), dla pewnego n, gdzie
wszystkie macierze ϕ ′ (x) (dla x ∈ L) należą do tn(k). ⊠
Równoważność reprezentacji rozumie się tak jak zwykle. Reprezentacje ϕ : L −→ Endk(V ), ϕ ′ :
L −→ Endk(V ′ ) są równoważne jeśli istnieje izomorfizm k-liniowy f : V −→ V ′ taki, że dla każdego
x ∈ L, przemienny jest diagram
V
f
−→ V ′
ϕx ↓ ↓ ϕ ′ x
V
f
−→ V ′
Istotną rolę w dowodzie powyższego twierdzenia odgrywa następujący lemat (który oczywiście
wynika z tego twierdzenia).
Lemat 15.6.7. Niech L będzie rozwiązalną (skończenie wymiarową) algebrą Liego nad algebraicznie
domkniętym ciałem k, charakterystyki zero. Niech ϕ : L −→ Endk(V ) będzie skończenie wymiarową
reprezentacją. Istnieje wtedy niezerowy wektor v ∈ V , będący wspólnym wektorem własnym dla
wszystkich endomorfizmów ϕx : V −→ V , x ∈ L. ⊠
Z powyższego twierdzenia Lie-Kolchina wynika:
Wniosek 15.6.8 (Lie, Kolchin). Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad algebraicznie
domkniętym ciałem charakterystyki zero. Jeśli L jest rozwiązalne, to L jest podalgebrą Liego
trójkątnej algebry tn(k), dla pewnego n. ⊠
Wniosek ten nie zachodzi, na ogół, dla ciał char p > 0.
Przykład 15.6.9 (PH480). Niech p = 3, L = kx ⊕ ky ⊂ gl3(k), gdzie
⎡
0 0
⎤
0
⎡
0 1
⎤
0
x = ⎣ 0 1 0 ⎦ , y = ⎣ 0 0 1 ⎦ , [x, y] = −y.
0 0 2
1 0 0
Łatwo zauważyć, że x, y nie mają wspólnego wektora własnego w k 3 , a zatem k 3 nie ma L-podmodułu
wymiaru 1. ⊠
Zanotujmy jeszcze odpowiednik Wniosku 15.6.8 dla nilpotentnych algebr Liego.
Twierdzenie 15.6.10. Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad algebraicznie domkniętym
ciałem charakterystyki zero. Jeśli L jest nilpotentne, to L jest podalgebrą Liego trójkątnej
algebry z zerami tn(k), dla pewnego n. ⊠
Definicja 15.6.11. Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego, to przez BL : L × L −→ k
oznaczamy dwuliniową formę symetryczną, zwaną formą Killinga algebry L, określoną wzorem
BL(x, y) = tr(adx ◦ ady), dla x, y ∈ L.
Twierdzenie 15.6.12 (Cartan). Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego.
(1) L jest rozwiązalne ⇐⇒ BL(x, y) = 0, dla x ∈ L, y ∈ [L, L].
(2) L jest nilpotentne ⇐⇒ BL(x, y) = 0, dla x, y ∈ L. ⊠
.

100 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
16 Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina
16.1 Systemy pierwiastków
Przez E oznaczamy skończenie wymiarową przestrzeń euklidesową nad ciałem Q liczb wymiernych, z
iloczynem skalarnym ( , ).
Definicja 16.1.1. Jeśli α = 0, β ∈ E, to przez n(α, β) oznaczamy liczbę rzeczywistą, zwaną współczynnikiem
Cartana, określoną wzorem:
n(α, β) = 2 (β,α)
(α,α) .
Jak zwykle w przestrzeni euklidesowej, kąt ϕ pomiędzy niezerowymi wektorami α, β ∈ E, określony
jest przez warunek:
cos ϕ = (α,β)
||α||·||β|| , gdzie ||α|| = (α, α), ||β|| = (β, β).
Lemat 16.1.2. Jeśli ϕ jest kątem pomiędzy niezerowymi wektorami α, β ∈ E, to
Dowód.
0 n(α, β)n(β, α) = 4 cos 2 ϕ 4.
n(α, β)n(β, α) = 2 (β,α)
2 (α,β) (α,β)
(α,α) · 2 (β,β) = 4 ||α||·||β|| = 4 cos2 ϕ 4. ⊠
Definicja 16.1.3. Systemem pierwiastków w E nazywamy każdy niepusty podzbiór ∆ w E spełniający
następujące warunki.
(1) ∆ generuje przestrzeń E nad Q oraz 0 ∈ ∆.
(2) α ∈ ∆ =⇒ −α ∈ ∆.
(3) α, β ∈ ∆ =⇒ n(α, β) ∈ Z.
(4) α, β ∈ ∆ =⇒ β − n(α, β)α ∈ ∆.
Mówimy, że system pierwiastków ∆ jest zredukowany jeśli spełniony jest dodatkowo warunek:
(2 ′ ) α ∈ ∆, c ∈ Z =⇒ (cα ∈ ∆ ⇐⇒ c = ∓1).
Uwaga 16.1.4. Warunek (2) wynika z warunku (4). Jeśli bowiem α ∈ ∆, to
Z Lematu 16.1.2 wynika:
−α = α − 2α = α − 2 (α,α)
(α,α) α = α − n(α, α)α ∈ Z. ⊠
Stwierdzenie 16.1.5. Jeśli ∆ jest systemem pierwiastków w E, to:
(a) wszystkie liczby postaci n(α, β), gdzie α, β ∈ ∆, należą do zbioru
{0, ∓1, ∓2, ∓3, ∓4};
(b) kąt pomiędzy dwoma elementami z ∆ należy do zbioru
{0, π
6
, π
4
, π
3
, π
2
, 2π
3
, 3π
4
5π , 6 , π};
(c) jeśli α, β ∈ ∆ i n(α, β)n(β, α) = 4, to wektory α, β są współliniowe. ⊠
Stwierdzenie 16.1.6. Niech ∆ będzie zredukowanym systemem pierwiastków w E. Niech α, β ∈ ∆.
Jeśli wektory α, β są współliniowe, to α = ∓β.
Dowód. Niech α = qβ, gdzie q ∈ Q. Wtedy n(α, β) = 2q ∈ Z oraz n(β, α) = 2/q ∈ Z. Stąd łatwo
wynika, że β = ∓α, β = 2 ∓ α lub α = 2 ∓ β. Dwa ostatnie przypadki są wykluczone, gdyż system ∆
jest zredukowany. ⊠

16. Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 101
Stwierdzenie 16.1.7 (PH4101). Każdy system pierwiastków E jest zbiorem skończonym.
Dowód. Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E. Wtedy na każdej prostej przechodzącej
przez 0 leży co najwyżej 6 pierwiastków należących do ∆. Jeśli bowiem α, β ∈ ∆ i α = qβ, gdzie
q ∈ Q, to q = ∓1, ∓2, ∓1/2 (pokazaliśmy to w dowodzie poprzedniego stwierdzenia).
Niech {α1, . . . , αn} ⊆ ∆ będzie bazą przestrzeni E nad Q (baza jest skończona, bo dimQ E < ∞).
Każda prosta w E przechodząca przez 0, na której leżą pierwiastki z ∆, jest wyznaczona przez kąty,
jakie tworzy z wektorami α1, . . . , αn. Wiemy (na mocy Stwierdzenia 16.1.5(2)), że kątów takich jest
tylko skończona ilość. Stąd wynika, że ∆ jest zbiorem skończonym. ⊠
Niech α, β będą niezerowymi wektorami z E. Jeśli n(α, β) = 0, to (α, β) = 0, więc n(β, α) = 0 i
wtedy wektory α, β są prostopadłe. Jeśli (α, β) = 0, to
2 .
n(α,β)
n(β,α) =
||β||
||α||
Stwierdzenie 16.1.8 (PH4 66, 99). Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E. Załóżmy, że wektory
α, β ∈ ∆ nie są równoległe i nie są prostopadłe. Oznaczmy przez ϕ kąt pomiędzy α i β. Zachodzić
wtedy może dokładnie jeden (z dokładnością do permutacji) z natępujących przypadków:
(1) n(α, β) = 1, n(β, α) = 1, ϕ = π
3 , ||α|| = ||β||;
(2) n(α, β) = −1, n(β, α) = −1, ϕ = 2π
3 , ||α|| = ||β||;
(3) n(α, β) = 1, n(β, α) = 2, ϕ = π
4 , ||α|| = √ 2 · ||β||;
(4) n(α, β) = −1, n(β, α) = −2, ϕ = 3π
4 , ||α|| = √ 2 · ||β||;
(5) n(α, β) = 1, n(β, α) = 3, ϕ = π
6 , ||α|| = √ 3 · ||β||;
(6) n(α, β) = −1, n(β, α) = −3, ϕ = 5π
6 , ||α|| = √ 3 · ||β||. ⊠
Przykład 16.1.9 (PH499). Jeśli dimQ E = 2, to każdy zredukowany sytem pierwiastków ∆ w E
jest postaci
∆ = U ∪ −U,
gdzie U jest jednym z następujących czterech zbiorów (przez ϕ oznaczamy kąt pomiędzy α i β):
(A1 × A1) U = {α, β}, ϕ = π
2 ;
(A2) U = {α, α + β, β}, ϕ = 2π
3 ; ||α|| = ||β||;
(B2) U = {α, 2α + β, α + β, β}, ϕ = 3π
4 ; ||α|| = √ 2 · ||β||;
(G2) U = {α, 3α + β, 2α + β, 3α + 2β, α + β, β}, ϕ = 5π
6 ; ||α|| = √ 3 · ||β||. ⊠
16.2 Grupa Weyla
Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E.
Definicja 16.2.1. Jeśli α ∈ ∆, to przez Sα : E −→ E oznaczamy odwzorowanie określone wzorem
Łatwo sprawdzić:
Lemat 16.2.2 (PH4100).
(1) Sα(α) = −α,
(2) (x, α) = 0 =⇒ Sα(x) = x,
(3) Sα = S−α,
(4) S 2 α = idE,
(5) (Sα(x), Sα(y)) = (x, y),
(6) Sα(∆) = ∆. ⊠
Sα(x) = x − n(α, x)α = x − 2 (α,x)
(α,α) α, dla x ∈ E.

102 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 16.2.3 (PH4100). Odwzorowanie Sα jest automorfizmem Q-przestrzeni E. ⊠
Definicja 16.2.4. Grupą Weyla systemu pierwiastków ∆ nazywamy podgrupę W = W (∆) grupy
AutQ(E), wszystkich automorfizmów Q-przestrzeni E, generowaną przez wszystkie automorfizmy
postaci Sα, α ∈ ∆.
Przykład 16.2.5. Niech ∆ = A1 × A1 będzie systemem pierwiastków z Przykładu 16.1.9. Wtedy
W (A1 × A1) = Z2 ⊕ Z2. ⊠
Stwierdzenie 16.2.6. Grupa Weyla W (∆) jest skończona.
Dowód. Niech Sym(∆) będzie grupą permutacji zbioru ∆. Grupa ta jest skończona, gdyż wiemy
(Stwierdzenie 16.1.7), że ∆ jest zbiorem skończonym. Rozważmy odwzorowanie
W (∆) −→ Sym(∆), σ ↦−→ σ | ∆.
Jeśli σ ∈ W (∆), to σ(∆) = ∆ (patrz Lemat 16.2.2(6)). Powyższe odwzorowanie jest więc dobrze
określone. Jest ono ponadto różnowartościowe (ponieważ zbiór ∆ generuje przestrzeń E nad Q). Zatem
grupa W (∆) ma co najwyżej tyle elementów ile ma grupa Sym(∆). ⊠
16.3 Pierwiastki proste
Niech E, tak jak poprzednio, będzie skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową nad Q. W
przestrzeni E można wprowadzić liniowy porządek w taki sposób, że E będzie przestrzenią uporządkowaną,
tzn.:
(1) x > y ⇐⇒ x − y > 0,
(2) x > 0, y > 0 =⇒ x + y > 0,
(3) x > 0, q ∈ Q, q > 0 =⇒ qx > 0.
Można to zrobić np. w następujący sposób. Niech {e1, . . . , en} będzie bazą przestrzeni E nad Q. Wprowadzamy
w E porządek leksykograficzny: a1e1+· · ·+anen > b1+· · ·+bnen ⇐⇒ istnieje i ∈ {1, . . . , n}
takie, że a1 = b1, · · · , ai1 = bi−1 oraz ai > bi (lub a1 > b1). Jest oczywiste, że porządek ten spełnia
wszystkie powyższe warunki.
Załóżmy więc, że ustalony jest porządek liniowy na E i niech ∆ będzie zredukowanym systemem
pierwiastków w E.
Definicja 16.3.1. Mówimy, że pierwiastek α ∈ ∆ jest dodatni, jeśli α > 0. Zbiór wszystkich pierwiastków
dodatnich w ∆ oznaczamy przez ∆ + .
Oczywiście ∆ = ∆ + . ∪ − ∆ + .
Definicja 16.3.2. Mówimy, że pierwiastek α ∈ ∆ jest prosty, jeśli α ∈ ∆ + oraz α nie jest sumą
dwóch pierwiastków z ∆ + .
Stwierdzenie 16.3.3 (PH4102). Niech r = dimQ E.
(1) W systemie ∆ istnieje dokładnie r pierwiastków prostych.
(2) Niech α1, . . . , αr będą wszystkimi, parami różnymi, pierwiastkami prostymi w ∆. Wtedy:
(a) zbiór {α1, . . . , αr} jest bazą przestrzeni E nad Q;
(b) jeśli β ∈ ∆ + , to β = c1α1 + · · · + crαr, gdzie c1, . . . , cr 0. ⊠
16.4 Macierz Cartana i V-graf
Niech ∆ będzie zredukowanym systemem pierwiastków w E. Niech r = dimQ E i niech {α1, . . . , αr}
będzie zbiorem wszystkich parami różnych pierwiastków prostych w ∆. Wprowadzamy nowe oznacze-
nie:
dij = −n(αj, αi) = −2 (αi,αj)
(αj,αj) , dla i, j = 1, . . . , r.

16. Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 103
Definicja 16.4.1. Macierz [dij] nazywamy macierzą Cartana systemu ∆.
Stwierdzenie 16.4.2 (PH4103).
(1) dii = −2;
(2) dij 0, dla i = j;
(3) dijdji 3, dla i = j;
(4) (αj, αj)dij = (αi, αi)dji. ⊠
Stwierdzenie 16.4.3 (PH4104).
(1) Niech x ∈ E. Jeśli x = x1α1 + · · · xrαr, gdzie x1, . . . , xr ∈ Q, to
Sαi(x) = x1α1 + · · · + xi−1αi−1 + −xi +
j=i djixj
αi + xi+1αi+1 + · · · + xrαr.
(2) Niech x ∈ E. Wtedy x ∈ ∆ ⇐⇒ x = σ(αi), dla pewnego i ∈ {1, . . . , r} oraz pewnego
automorfizmu σ należącego do grupy Weyla W (∆).
(3) Grupa Weyla W (∆) jest generowana przez automorfizmy Sα1, . . . , Sαr. ⊠
Definicja 16.4.4. V -grafem systemu ∆ nazywamy graf, o wierzchołkach 1, . . . , r i krawędziach:
(dij, dji)
• −−−−−−−− •
i j
W podobny sposób definiuje się grafy Coxetera systemu ∆ (patrz PH4103). Tym nie będziemy się tu zajmować.
Definicja 16.4.5. Mówimy, że zredukowany system pierwiastków ∆ ⊂ E jest sumą prostą swoich
podzbiorów ∆1 i ∆2, jeśli:
(1) ∆ = ∆1 ∪ ∆2,
(2) ∆1 ∩ ∆2 = ∅,
(3) (∆1, ∆2) = 0, tzn. (α, β) = 0, dla wszystkich α ∈ ∆1, β ∈ ∆2.
Stwierdzenie 16.4.6 (PH4104). Jeśli zredukowany system ∆ ⊂ E jest sumą prostą podzbiorów ∆1 i
∆2, to przestrzeń E jest sumą prostą podprzestrzeni E1 i E2, gdzie E1 = Q∆1 oraz E2 = Q∆2. Wtedy
∆1 jest zredukowanym systemem pierwiastków w E1, a ∆2 jest zredukowanym systemem pierwiastków
w E2. ⊠
Stwierdzenie 16.4.7 (PH4104). Załóżmy, że zredukowany system pierwiastków ∆ ⊂ E jest sumą
prostą podzbiorów ∆1 i ∆2. Niech (Γ, d) będzie V -grafem systemu ∆ i niech (Γ ′ , d ′ ), (Γ ′′ , d ′′ ) będą
V -grafami odpowiednio systemów ∆1 i ∆2. Wtedy (Γ, d) = (Γ ′ , d ′ ) . ∪ (Γ ′′ , d ′′ ). ⊠
Stwierdzenie 16.4.8 (PH4104).
(1) Każdy zredukowany system pierwiastków jest sumą prostą nierozkładalnych systemów pierwiastków.
(2) System ∆ jest nierozkładalny ⇐⇒ V -graf systemu ∆ jest spójny. ⊠

104 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
16.5 Diagramy Dynkina
Twierdzenie 16.5.1 (PH4104). Niech ∆ ⊂ E będzie zredukowanym systemem pierwiastków i niech
(Γ, d) będzie V -grafem dla ∆. Załóżmy, że graf ten jest spójny. Niech • − • oznacza •
(1, 1)
−−−−− • .
Wtedy graf (Γ, d) jest izomorficzny z dokładnie jednym grafem następującej listy:
An
Bn
Cn
Dn
E6
E7
E8
F4
G2
• −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •
1 2 3 4 n − 1 n
(1, 2)
• −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •
1 2 3 4 n − 1 n
(2, 1)
• −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •
1 2 3 4 n − 1 n
2
•
|
• −−−−− • −−−−− • −−−−− • · · · • −−−−− •
1 3 4 5 n − 1 n
•
|
• −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− •
•
|
• −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− •
•
|
• −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− •
(1, 2)
• −−−−− • −−−−− • −−−−− •
(1, 3)
• −−−−− • ⊠
Uwaga 16.5.2. C2 ≈ B2, D3 ≈ A3. ⊠
(n 1)
(n 2)
(n 3)
(n 4)
Definicja 16.5.3. Wszystkie grafy występujące w powyższym twierdzeniu nazywamy diagramami
Dynkina.
Istnieją również tzw. rozszerzone diagramy Dynkina (patrz PH4105).

17. Półproste algebry Liego 105
17 Półproste algebry Liego
Zakładamy, że k jest algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero oraz, że L jest skończenie
wymiarową k-algebrą Liego.
17.1 Proste i półproste algebry Liego
Każdy ideał Liego w L jest oczywiście podalgebrą Liego w L. Mówimy, że ideał Liego jest rozwiązalny,
jeśli jest rozwiązalny jako algebra Liego.
Rozpoczynamy od następującego lematu.
Lemat 17.1.1 (PH484). Jeśli A, B są rozwiązalnymi ideałami Liego w L, to ideał Liego A + B
również jest rozwiązalny.
Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 15.6.4 oraz z izomorfizmu (A + B)/A ≈ B/(A ∩ B). Rozwiązalność
ideału B implikuje bowiem rozwiązalność algebry Liego B/(A ∩ B) (jako algebry ilorazowej),
czyli rozwiązalność algebry (A + B)/A. Ponieważ A jest też rozwiązalne, więc (Stwierdzenie 15.6.4)
A + B jest rozwiązalne. ⊠
Korzystając z tego lematu można wykazać:
Wniosek 17.1.2. Istnieje jedyny maksymalny rozwiązalny ideał Liego w L. Ideał ten jest sumą
(algebraiczną) wszystkich rozwiązalnych ideałów Liego w L. ⊠
Definicja 17.1.3. Jedyny maksymalny ideał rozwiązalny w L oznaczamy przez rad(L) i nazywamy
radykałem algebry Liego L.
Definicja 17.1.4. Mówimy, że k-algebra Liego L jest prosta, jeśli [L, L] = 0 i jedynymi ideałami
Liego w L są 0 i L.
Definicja 17.1.5. Mówimy, że k-algebra Liego L jest półprosta, jeśli rad(L) = 0.
Jeśli algebra Liego L jest prosta, to Z(L) = 0 i [L, L] = L. Każda prosta algebra Liego jest
oczywiście półprosta. Jeśli L jest dowolną (skończenie wymiarową) k-algebrą Liego, to ilorazowa kalgebra
Liego L/Rad(L) jest półprosta.
Twierdzenie 17.1.6. Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego (gdzie k jest algebraicznie
domkniętym ciałem charakterystyki zero), to następujące warunki są równoważne.
(1) Algebra L jest półprosta.
(2) Każdy przemienny ideał Liego w L jest zerowy, tzn. jeśli I jest ideałem Liego w L, to
[I, I] = 0 =⇒ I = 0.
(3) L jest skończoną sumą prostą pewnych prostych nieprzemiennych ideałów Liego w L.
(4) (Cartan). Forma Killinga BL jest nieosobliwa.
(5) (Weyl). Każdy skończenie generowany L-moduł jest półprosty. ⊠
Wyjaśnijmy pewne pojęcia potrzebne do zrozumienia treści powyższego twierdzenia.
Punkt (3) mówi, że L = I1 ⊕ · · · ⊕ Is, gdzie I1, . . . , Is są prostymi ideałami Liego (czyli prostymi jako podalgebry
Liego) w L. Stąd wynika, że algebra Liego L jest izomorficzna z produktem postaci I1 × · · · × Is, gdzie I1, . . . , Is są
prostymi k-algebrami Liego.
W punkcie (4) mówi się o formie Killinga BL : L × L −→ k. Wprowadziliśmy ją w Podrozdziale 15.6. Nieosobliwość
tej formy oznacza, że ideał {x ∈ L; B(x, L) = 0} jest zerowy.
Nie mówiliśmy jeszcze co to znaczy, że L-moduł jest półprosty. Pojęcie takie występuje w (5). L-moduł M nazywamy
prostym, jeśli M = 0 oraz M nie posiada istotnych L-podmodułów. Mówimy, że dany L-moduł M jest półprosty,
jeśli jest sumą prostą prostych L-modułów lub równoważnie, jeśli każdy L-podmoduł w M wydziela się jako składnik
prosty. Charakteryzacja L-modułów półprostych jest dokładnie taka sama, jak dobrze znana charakteryzacja zwykłych
modułów półprostych (nad dowolnym pierścieniem). Dodadkowe informacje o półprostych L-modułach znajdziemy w
PH4 86. Wspomnijmy jeszcze, że dla prostych L-modułów zachodzi Lemat Schura. W tym przypadku oznacza to, że jeśli
f : M −→ M jest endomorfizmem prostego L-modułu M, to istnieje a ∈ k takie, że f = a · 1M , (czyli EndL(M) ≈ k).
Zanotujmy kilka własności półprostych algebr Liego.

106 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 17.1.7 (PH485). Załóżmy, że k-algebra Liego L jest półprosta. Wtedy:
(1) Z(L) = 0;
(2) [L, L] = L;
(3) Podalgebry Liego w L i ilorazowe algebry Liego postaci L/A, są półproste. ⊠
Stwierdzenie 17.1.8 (PH485). Jeśli k-algebra Liego L jest półprosta, to homomorfizm Liego ad :
L −→ Der(L) jest izomorfizmem. ⊠
Stąd wynika:
Wniosek 17.1.9. Jeśli L jest półprostą k-algebrą Liego, to każda derywacja d : L −→ L jest wewnętrzna.
⊠
W następnym stwierdzeniu spotykamy sią z ważnym przykładem półprostej algebry Liego.
Stwierdzenie 17.1.10. Specjalna algebra Liego sln(k) = {A ∈ gln(k); tr(A) = 0} jest półprosta. ⊠
Dowód dla n = 2 przedstawimy w następnym podrozdziale.
Można udowodnić:
Twierdzenie 17.1.11. Niech L będzie półprostą, skończenie wymiarową, k-algebrą Liego. Jeśli ϕ :
L −→ Endk(k n ) jest reprezentacją, to ϕ(L) ⊆ sln(k). ⊠
Stąd w szczególności otrzymujemy:
Wniosek 17.1.12. Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego jest podalgebrą Liego w
sln(k), dla pewnego n. ⊠
17.2 Specjalna algebra Liego sl2(k)
W poprzednim podrozdziale wspomnieliśmy, że algebra sln(k), jest ważnym przykładem półprostej
k-algebry Liego. Każda skończenie wymiarowa i półprosta k-algebra Liego jest podalgebrą Liego tej
algebry.
W tym podrozdziale zajmiemy się przypadkiem n = 2. Wykażemy, że algebra sl2(k), jest istotnie
półprosta. Podamy również pewne informacje dotyczące prostych sl2(k)-modułów.
Przypomnijmy, że sl2(k) jest zbiorem wszystkich (2 × 2)-macierzy
a b
c d
, przy czym a + d = 0.
Rozpatrzmy następujące trzy macierze, należące do sl2(k):
A =
0 1
0 0
0 0
, B =
1 0
1 0
, C =
0 −1
Lemat 17.2.1. Macierze A, B, C tworzą bazę przestrzeni sl2(k) nad k
Dowód. Liniowa niezależność jest oczywista. Generowanie wynika z równości:
a
c
b
d
a
=
c
b
= aC + bA + cB. ⊠
−a
Bez trudu sprawdzamy następne dwa lematy.
Lemat 17.2.2. [C, A] = 2A, [C, B] = −2B, [A, B] = C. ⊠
.

17. Półproste algebry Liego 107
Lemat 17.2.3. Macierze przekształceń liniowych adA, adB, adC, są odpowiednio następujące:
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
0 0 −2 0 0 0 2 0 0
⎣ 0 0 0 ⎦ , ⎣ 0 0 2 ⎦ , ⎣ 0 −2 0 ⎦ . ⊠
0 1 0 −1 0 0 0 0 0
Wykażemy teraz następny lemat.
Lemat 17.2.4. Forma Killinga algebry sl2(k) ma macierz:
⎡ ⎤
0 4 0
⎣ 4 0 0 ⎦ ,
0 0 8
której wyznacznik jest równy −128.
Dowód. Niech B będzie formą Killinga algebry sl2(k). Wiemy, że B(X, Y ) =tr(adX ◦ adY ), dla
wszystkich macierzy X, Y ∈ sl2(k). Mamy zatem:
⎡
⎤ ⎡
0 0 −2 0
B(A, A) = tr( ⎣ 0 0 0 ⎦ · ⎣ 0
0
0
−2
0
⎤ ⎡
0
⎦) = tr ⎣ 0
−2
0
⎤
0
0 ⎦ = 0,
0 1 0 0 1 0
0 0 0
itd. ⊠
⎡
B(A, B) = tr( ⎣
0 0 −2
0 0 0
0 1 0
⎤
⎡
⎦ · ⎣
0 0 0
0 0 2
−1 0 0
Z ostatniego lematu i Twierdzenia 17.1.6(4) otrzymujemy:
⎤
⎡
⎦) = tr ⎣
2 0 0
0 0 0
0 0 2
Wniosek 17.2.5 (PH491). Algebra sl2(k) jest półprostą k-algebrą Liego. ⊠
⎤
⎦ = 4,
W następnym twierdzeniu zawarta jest klasyfikacja wszystkich prostych i skończenie wymiarowych
sl2(k)-modułów.
Twierdzenie 17.2.6. Dla dowolnej liczby całkowitej n 0 istnieje dokładnie jeden (z dokładnością
do izomorfizmu) sl2(k)-moduł prosty Vn, wymiaru n + 1. Każdy skończenie wymiarowy sl2(k)-moduł
prosty jest izomorficzny z pewnym sl2(k)-modułem postaci Vn. ⊠
Struktura sl2(k)-modułu na przestrzeni liniowej Vn (występującej w powyższym twierdzeniu) zadana
je poprzez reprezentację
ϕ (n) : sl2(k) −→ gln+1(k),
określoną na bazie {A, B, C} wzorami:
ϕ (n) ⎡
n
⎢ 0
⎢
(A) = ⎢ 0
⎢
⎣ .
0
n − 2
0
.
0
0
n − 4
.
. . .
. . .
. . .
0
0
0
.
⎤
⎥ ,
⎥
⎦
ϕ
0 0 0 . . . −n
(n) ⎡
0
⎢ 1
⎢
(B) = ⎢ 0
⎢
⎣ .
0
0
2
.
0
0
0
.
. . .
. . .
. . .
0
0
0
.
0
0
0
.
⎤
⎥ ,
⎥
⎦
0 0 0 . . . n 0
ϕ (n) ⎡
0
⎢ 0
⎢ 0
(C) = ⎢ .
⎣ 0
1
0
0
.
0
0
2
0
.
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
.
n
⎤
⎥ .
⎥
⎦
0 0 0 . . . 0
Uwaga 17.2.7. Istnieją sl2(k)-moduły proste nieskończonego wymiaru. Istnieje również nieskończenie
wymiarowy sl2(k)-moduł, który nie jest półprosty. ⊠

108 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
17.3 Rozkład Cartana-Levi-Malceva
Twierdzenie 17.3.1 (Cartan, Levi, Malcev). Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego,
to istnieje półprosta podalgebra Liego S w L taka, że
L = Rad(L) ⊕ S (suma prosta przestrzeni liniowych).
Jeśli S ′ jest drugą półprostą podalgebrą Liego w L taką, że L = Rad(L)⊕S ′ , to istnieje k-automorfizm
Liego ϕ : L −→ L taki, że ϕ | Rad(L) jest tożsamością oraz ϕ(S) = S ′ .
Z powyższego twierdzenia wynika, że problem klasyfikacji skończenie wymiarowych algebr Liego
sprowadza się do opisu wszystkich rozwiązalnych i półprostych algebr Liego. Algebry rozwiązalne
do tej pory nie zostały sklasyfikowane. Istnieje natomiast pełna klasyfikacja wszystkich skończenie
wymiarowych półprostych algebr Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem k, charakterystyki zero.
Wszystkie następne podrozdziały tego rozdziału zmierzają do przedstawienia tej klasyfikacji.
17.4 Podalgebry Cartana i torusy
Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego.
Definicja 17.4.1. Jeśli P jest zbiorem zawartym w L, to centralizatorem zbioru P w L nazywamy
ideał Liego
CP (L) = {x ∈ L; [x, P ] = 0} =
p∈P Ker adp.
W szczególności centralizator CL(L) pokrywa się z centrum Z(L).
Definicja 17.4.2. Podalgebrą Cartana w L nazywamy każdą nilpotentną podalgebrę Liego H w L
taką, że CL(H) = H.
Stwierdzenie 17.4.3. Podalgebra Cartana jest przemienną algebrą Liego (tzn. [H, H] = 0). ⊠
Przykład 17.4.4. Podalgebrą Cartana w gln(k) jest k-algebra Liego wszystkich (n × n)-macierzy
diagonalnych. Podalgebrą Cartana w sln(k) jest k-algebra Liego wszystkich (n × n)-macierzy diagonalnych
z zerowym śladem. ⊠
W przypadku skończenie wymiarowych półprostych k-algebr Liego (char(k) = 0) podalgebry Cartana
pokrywają się z maksymalnymi torusami.
Co to jest torus w L? Wiemy, że jeśli L jest półproste (i skończenie wymiarowe), to odwzorowanie
ad: L −→ Der(L) jest izomorfizmem algebr Liego. Każdy element x ∈ L możemy więc utożsamiać z
przekształceniem k-liniowym adx : L −→ L. Wiemy ponadto, że każdy k-endomorfizm ϕ : L −→ L
(ciało k jest algebraicznie domknięte!) ma jednoznaczny rozkład Jordana-Chevalley (patrz [13] lub [18])
ϕ = ϕn + ϕs. W szczególności więc każdy element x ∈ L ma (dzięki wspomnianemu utożsamieniu)
rozkład x = xn + xs. Rozkład ten nazywamy abstrakcyjnym rozkładem Jordana-Chevalley.
Definicja 17.4.5. Torusem w L (ang. toral subalgebra) nazywamy każdą podalgebrę Liego H w L
taką, że: x ∈ H =⇒ xn = 0.
Mówimy, że dany torus w L jest maksymalny, jeśli jest maksymalny w sensie inkluzji.
Zanotujmy zatem:
Stwierdzenie 17.4.6. Dla skończenie wymiarowych półprostych k-algebr Liego pojęcia maksymalny
torus i podalgebra Cartana pokrywają się. ⊠
Wykażemy teraz:
Stwierdzenie 17.4.7 (PH492). Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego L posiada
torus.

17. Półproste algebry Liego 109
Dowód. Ponieważ [L, L] = L, więc L nie jest nilpotentne. Istnieje więc (na mocy twierdzenia Engela)
x ∈ L takie, że endomorfizm adx nie jest nilpotentny. Zatem, jeśli x = xn +xs jest abstrakcyjnym
rozkładem Jordana-Chevalley, to xs = 0. Wówczas K = kxs jest torusem w L. ⊠
Stąd wynika:
Wniosek 17.4.8. Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego posiada podalgebrę Cartana.
⊠
Można, ponadto udowodnić:
Stwierdzenie 17.4.9 (PH4109). Jeśli H i H ′ są podalgebrami Cartana w L, to istnieje automorfizm
Liego σ : L −→ L taki, że σ(H) = H ′ . ⊠
Podalgebra Cartana w L jest więc wyznaczona jednoznacznie, z dokładnością do izomorfizmu.
17.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana
Niech L będzie skończenie wymiarową półprostą k-algebrą Liego i niech H będzie jej podalgebrą
Cartana (tzn. maksymalnym torusem). Przez H ∗ oznaczamy przestrzeń Homk(H, k), wszystkich
przekształceń k-liniowych z H do k.
Definicja 17.5.1. Jeśli α ∈ H ∗ , to przez Lα oznaczamy podzbiór w L, określony następująco:
Lα = {x ∈ L; [u, x] = α(u)x, dla wszystkich u ∈ H}.
Stwierdzenie 17.5.2.
(1) Lα jest podprzestrzenią liniową w L.
(2) Lα nie jest, na ogół, podalgebrą Liego w L.
(3) L0 = CL(H) = H.
Dowód. (1). Wynika to z równości:
[u, ax + by] = a[u, x] + b[u, y] = aα(u)x + bα(u)y = α(u)(ax + by),
dla u =∈ H, a, b ∈ k, x, y ∈ L.
(2). Łatwo sprawdzić, że jeśli x, y ∈ Lα i u ∈ H, to
[u, [x, y]] = 2α(u)[x, y].
(3). Podalgebra Cartana spełnia, na mocy definicji, warunek CL(H) = H. ⊠
Stwierdzenie 17.5.3 (PH493).
(1) Jeśli α, β ∈ H ∗ , to [Lα, Lβ] ⊆ Lα+β.
(2) Jeśli x ∈ Lα i α = 0, to odwzorowanie adx jest nilpotentne.
(3) Niech BL : L×L −→ k będzie formą Killinga algebry Liego L. Niech α, β ∈ H ∗ . Jeśli α+β = 0,
to BL(x, y) = 0 dla wszystkich x ∈ Lα, y ∈ Lβ.
(4) Forma Killinga BL, obcięta do podalgebry L0, jest niezdegenerowana. ⊠
17.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego
Zakładamy, tak jak poprzednio: L jest skończenie wymiarową półprostą k-algebrą Liego, H jest
podalgebrą Cartana w L. W poprzednim podrozdziale wprowadziliśmy podprzestrzenie liniowe w L,
postaci Lα, gdzie α ∈ H ∗ = Homk(H, k).
Definicja 17.6.1. Przez Φ oznaczamy zbiór wszystkich niezerowych przekształceń α ∈ H ∗ takich,
że Lα = 0.
Można wykazać:

110 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
Stwierdzenie 17.6.2.
(1) Φ jest zbiorem skończonym.
(2) Φ generuje przestrzeń H ∗ = Homk(H, k).
(3) Jeśli α ∈ Φ, to −α ∈ Φ.
(4) Jeśli α ∈ Φ, to dimk Lα = 1. ⊠
Twierdzenie 17.6.3 (Cartan).
L = H ⊕
Lα. ⊠
α∈Φ
Jest to tzw. rozkład Cartana półprostej k-algebry Liego L względem maksymalnego torusa H (ang.
root space decomposition).
Przypomnijmy, że przez BL : L × L −→ k oznaczamy formę Killinga algebry L.
Stwierdzenie 17.6.4. Odwzorowanie
jest izomorfizmem przestrzeni k-liniowych. ⊠
H −→ H ∗ , u ↦−→ BL(u, ),
Definicja 17.6.5. Jeśli α ∈ Φ ⊂ H ∗ , to przez tα oznaczamy jedyny element z H (istniejący na mocy
powyższego stwierdzenia) taki, że α = BL(tα, ).
Stwierdzenie 17.6.6 (PH494). Jeśli α ∈ Φ, to:
(1) [x, y] = BL(x, y)tα, dla wszystkich x ∈ Lα, y ∈ L−α;
(2) [Lα, L−α] = k · tα;
(3) α(tα) = BL(tα, tα). ⊠
Definicja 17.6.7. Jeśli α ∈ Φ, 0 = x ∈ Lα, 0 = y ∈ L−α, to przez Aα(x, y) oznaczamy liniową
podprzestrzeń w L określoną wzorem:
Aα(x, y) = k · x + k · y + k · [x, y].
Podprzestrzeń Aα(x, y) ma szczególne własności:
Stwierdzenie 17.6.8 (PH495).
(1) Podprzestrzeń Aα(x, y) nie zależy od wyboru punktów x, y. Dokładniej, jeśli 0 = x ∈ Lα,
0 = y ∈ L−α, to
Aα(x, y) = Lα + L−α + [Lα, L−α].
(2) Podprzestrzeń Aα(x, y) jest podalgebrą Liego w L.
(3) Algebra Liego Aα(x, y) jest izomorficzna z sl2(k). Izomorfizm zadaje przyporządkowanie:
0 1
0 0
1 0
x ↦−→ , y ↦−→ , [x, y] ↦−→
. ⊠
0 0
1 0
0 −1
Dzięki powyższym faktom można udowodnić następujące dwa stwierdzenia.
Stwierdzenie 17.6.9 (PH496). Jeśli α, β ∈ Φ, to BL(tα, tβ) ∈ Q. ⊠
Stwierdzenie 17.6.10 (PH495). Jeśli u, v ∈ H, to
BL(u, v) =
α(u)α(v). ⊠
Definicja 17.6.11. Przez EH oznaczamy Q-podprzestrzeń w H ∗ generowaną przez zbiór Φ.
α∈Φ
Można udowodnć (korzystając z powyższych stwierdzeń):

17. Półproste algebry Liego 111
Stwierdzenie 17.6.12. EH jest przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym
określonym (na generatorach α, β ∈ Φ) wzorem:
( , ) : EH × Eφ −→ Q,
(α, β) = BL(tα, tβ) = α(tβ). ⊠
Teraz już nie jest trudno udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 17.6.13 (PH496). Zbiór Φ jest zredukowanym systemem pierwiastków w EH, tzn.:
(1) Φ generuje przestrzeń EH nad Q;
(2) α ∈ Φ, c ∈ Z =⇒ (cα ∈ Φ ⇐⇒ c = ∓1);
(3) α, β ∈ Φ =⇒ 2 (β,α)
(α,α) ∈ Z;
(3) α, β ∈ Φ =⇒ β − 2 (β,α)
(α,α) α ∈ Φ. ⊠
Można ponadto udowodnić:
Stwierdzenie 17.6.14 (PH496). Jeśli elementy α1, . . . , αs ∈ Φ tworzą bazę przestrzeni H ∗ =
Homk(H, k), to dowolny element α ∈ Φ ma postać
gdzie c1, . . . , cs ∈ Q. ⊠
Stąd można otrzymać:
α = c1α1 + · · · + csαs,
Wniosek 17.6.15. dimQ EH = dimk H ∗ , H ∗ ≈ EH ⊗Q k. ⊠
17.7 Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego
Niech L będzie skończenie wymiarową półprostą algebrą Liego nad algebraicznie domkniętym
ciałem k charakterystyki zero.
Niech H będzie podalgebrą Cartana w L. Wiemy, że z algebrą H stowarzyszony jest zredukowany
system pierwiastków ΦH = Φ. Z systemem ΦH stowarzyszony jest natomiast V -graf ΓH.
Obiekty te są wyznaczone jednoznacznie, z dokładnością do izomorfizmu. Jeśli H i H ′ są podal-
gebrami Cartana w L, to istnieje automorfizm Liego ϕ : L −→ L taki, że ϕ(H) = H ′ i wtedy mamy
indukowane izomorfizmy: ΦH ≈ ΦH ′, ΓH ≈ ΓH ′. Ta jednoznaczność jest jeszcze w głębszym sensie:
Stwierdzenie 17.7.1. Załóżmy, że L i L ′ są izomorficznymi, półprostymi k-algebrami Liego (skończenie
wymiarowymi). Istnieje wtedy k-izomorfizm Liego ϕ : L −→ L ′ ustalający izomorfizm odpowiednich
algebr Cartana H, H ′ oraz zredukowanych systemów pierwiastków ΦH, ΦH ′, jak również V -grafów ΓH,
′. ⊠
ΓH
Istnieje więc wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy rozważanymi obiektami. Co więcej,
jeśli V -grafy odpowiednich półprostych algebr Liego L i L ′ są izomorficzne, to istnieje izomorfizm kalgebr
Liego L −→ L ′ indukujący izomorfizmy odpowiednich zredukowanych systemów pierwiastków,
podalgebr Cartana, itd.
Przy tej odpowiedniości prostym algebrom Liego odpowiadają nierozkładalne systemy pierwiastków
i konsekwentnie, spójne V -grafy czyli (na mocy Twierdzenia 16.5.1) diagramy Dynkina.
Istnieje zatem pełna klasyfikacja prostych, skończenie wymiarowych, algebr Liego na algebraicznie
domkniętym ciałem charakterystyki zero (np. nad ciałem C liczb zespolonych).
Każda półprosta, skończenie wymiarowa, k-algebra Liego jest sumą prostą prostych algebr Liego.
Rozkład jest jednoznaczny. Mamy zatem pełną klasyfikację wszystkich półprostych (skończenie
wymiarowych) algebr Liego na algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero.
Spójrzmy jeszcze raz na diagramy Dynkina (Twierdzenie 16.5.1). Z powyższych rozważań wynika,
że istnieje nieskończenie wiele, parami nieizomorficznych, prostych k-algebr Liego (skończenie

112 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa
wymiarowych). Są cztery nieskończone serie, odpowiadające diagramom An, Bn, Cn, Dn oraz pięc
”sporadycznych” algebr, odpowiadających diagramom E6, E7, E8, F4 i G2.
Wymiary (nad k) algebr sporadycznych wynoszą odpowiednio: 84, 133, 248, 52 i 14. Algebry
Liego (wraz z ich wymiarami d i nazwami) odpowiadające nieskończonym seriom przedstawiają się
następująco:
An : {X ∈ gln+1(k); trX = 0} d = n 2 + 2n (specjalna),
Bn : {X ∈ gl2n+1(k); XB + B T X = 0} d = 2n 2 + n (ortogonalna),
Cn : {X ∈ gl2n(k); XC + C T X = 0} d = 2n 2 + n (symplektyczna),
Dn : {X ∈ gl2n(k); XD + D T X = 0} d = 2n 2 − n (ortogonalna).
Macierze B, C, D, występujące powyżej, są odpowiednio (2n + 1 × 2n + 1), (2n × 2n), (2n × 2n)
macierzami zdefiniowanymi następująco:
⎡
⎤
1 0 0
B = ⎣ 0 0 En ⎦ 0 En
0 En
, C =
, D =
,
−En 0
En 0
0 −En 0
gdzie En jest (n × n)-macierzą jednostkową.
Tak jest dla ciała algebraicznie domkniętego, charakterystyki zero (w szczególności dla C). Istnieje
również klasyfikacja prostych, skończenie wymiarowych, algebr Liego nad ciałem R, liczb rzeczywistych.
W tym przypadku mamy 12 nieskończonych serii (wśród których są cztery powyższe serie) oraz
23 algebry sporadyczne (patrz np. [15] 106).

Literatura 113
Literatura
[1] R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis and Applications, Addison-
Wesley Publ. Comp., 1983.
[2] L. Auslander, R. E. Mac Kenzie, Introduction to differentiable manifolds, McGraw-Hill Book
Company, 1963 (Przekład polski: Rozmaitości różniczkowalne, PWN, Warszawa 1969).
[3] N. Bourbaki, Groupes et Algebras de Lie, I, II, III, Herman Paris, 1972 (tł. ros. Moskwa 1976).
[4] K. Cegiełka, Geometria różniczkowa, Skrypt UW, Warszawa, 1981.
[5] L. M. Drużkowski, Henri Poincaré - matematyk, fizyk, astronom i filozof, Wiadomości Matematyczne
30(1993), 73 - 84.
[6] R. Duda, Wprowadzenie do topologii, Część II, Topologia algebraiczna. Topologia rozmaitości,
PWN, Warszawa, 1986.
[7] R. Engelking, Zarys topologii ogólnej, PWN, Warszawa, 1965.
[8] R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa, 1975.
[9] R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia, PWN, Warszawa, 1980.
[10] J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa, 1987.
[11] M. Goto, F. D. Grosshans, Semisimple Lie Algebras, Marcel Deker, Inc., 1978 (tł. ros., MIR,
Moskwa, 1981).
[12] M. J. Greenberg, Lectures on Algebraic Topology, W. A. Benjamin, Inc., 1967 (tł. polskie PWN,
Warszawa, 1980).
[13] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, New
York Heidelberg Berlin, 1972.
[14] J. E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1981.
[15] A. A. Kirillow, Elementy teorii predstawlenij, Nauka, Moskwa 1972.
[16] Cz. Kosniowski, A first course in algebraic topology, Cambridge University Press, 1980 (tł. rosyjskie
Moskwa MIR, 1983).
[17] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1 - 5, Moskwa, 1977 - 1985.
[18] A. Nowicki, Polynomial derivations and their rings of constants, UMK, Toruń, 1994.
[19] A. Nowicki, Moduł różniczek, Preprint 1995.
[20] A. Nowicki, Elementy geometrii algebraicznej, Preprint 1995.
[21] A. Prószyński, Algebry Liego, Wykład D. Simsona, Zeszyt 1977 - 1978.
[22] A. Prószyński, Topologia różniczkowa, Wykład S. Balcerzyka, Zeszyt 1971 - 1972.
[23] A. Prószyński, Wiązki wektorowe, Zeszyt.
[24] M. Skwarczyński, Geometria rozmaitości Riemanna, PWN, Warszawa, 1993.
[25] M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Warszawa, 1977.
[26] F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, 1983
(tł. rosyjskie: Moskwa 1987).
[27] W. Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, Warszawa, 1986.

Skorowidz
algebra
form różniczkowych 65
funkcji
ciągłych 22
gładkich 35
ograniczonych 23
Liego 62, 97
grupy Liego 85, 93
ilorazowa 98, 110
łączna 98
małego wymiaru 99
nilpotentna 102
ortogonalna 89, 99, 117
półprosta 110, 117
prosta 110
przemienna 97, 113
rozwiązalna 102, 110
specjalna 89, 99, 111, 117
specjalna ortogonalna 89, 99
specjalna unitarna 90
symplektyczna 90, 99, 117
trójkątna 99, 102-103
trójkątna z zerami 99
unitarna 90
atlas 2, 33
maksymalny 33
automorfizm 38
liniowy 26, 29
Balcerzyk St. 23
baza
derywacji lokalnych 44, 68
lokalna 58
modułu przekrojów 58
brzeg kostki 14
butelka Kleina 5
całkowanie pól wektorowych 75
centralizator 113
centrum algebry Liego 98, 100
algebry Liego 113
ciało kwaternionów 81
coordinate transformations 29
cylinder 4
derywacja 23, 41, 57, 68
algebry Liego 100
wewnętrzna 100, 111
lokalna 23, 41, 48, 55, 68
modułu 41
niezmiennicza 85, 87
pierścienia funkcji gładkich 58, 68, 85
diagram Dynkina 109, 117
droga 7, 9
odwrotna 9
stała 9
zamknięta 9
114
dyfeomorfizm 34, 78, 91
działanie
funktora na wiązkę 63
grupy
na przestrzeń topologiczną 3-4, 15
na zbiór 15
wolne 18
wspólnie rozłączne 17-18
exp 92
forma
df 65, 70
dokładna 73
Killinga 104, 110, 112, 115
różniczkowa 65, 71
wyższego rzędu 72
zamknięta 73
formalne rozwiązanie 78
Friedman M. 14
funkcja
analityczna 33
gładka 34-35
odwracalna 22
przejścia 29, 53, 63
różniczkowalna 31
funktor
addytywny 63
ciągły 63
grupy podstawowej 11
homologii 9
kontrawariantny 20, 25, 35-36, 39, 63
kowariantny 28, 63, 95
G-przestrzeń 16-17, 19
G-zbiór 15
Gleason 96
graf-Coxetera 108
grupa
abelowa 13, 19
addytywna
liczb wymiernych 19
cykliczna 13, 19
dyfeomorfizmów 78, 92
formalna 94
homotopii 11
wyższa 14
ilorazowa 13
kohomologii 66
Liego 81, 93
analityczna 96
GLn(C) 81
GLn(R) 81, 86
jednospójna 93
lokalna 91, 93
przekształceń afinicznych 81
Rn 85

Indeks 115
rozwiązalna 102
specjalna 89
specjalna ortogonalna 89
specjalna unitarna 90
spójna 93
symplektyczna 90
symplektyczna liniowa 90
unitarna 89
zwarta 90
multyplikatywna 81
podstawowa 9, 11, 18
skończona 16-17
topologiczna 6, 13, 81, 96
Weyla 106
gwiaździsty zbiór 74
hipoteza
Poincar’e 14
homomorfizm
ad 100, 111
algebr Liego 97
grup Liego 81
lokalnych grup Liego 91
reprezentacji algebr Liego 101
homotopia 9
odwzorowań 12
homotopijna równoważność 4, 13
dróg 9
ideał
Liego 98, 110
rozwiązalny 110
maksymalny 22, 24, 37-38
iloczyn skalarny 30, 116
iloczyn wektorowy 101-102
jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów 78, 92
Jordan 7
kategoria
Grothendiecka 102
kąt między wektorami 105
kiełek 24, 38
kompleks
de Rhama 66, 73, 80
koniec drogi 9
krzywa 46, 53, 67
całkowa 75-76, 92
formalna 78
Jordana 7
równoważność 46
L-moduł 102, 110
lemat Schura 111
lokalny homeomorfizm 5
macierz
Cartana 108
Jacobiego 32
ortogonalna 89
unitarna 89
maksymalny torus 114-115
mapa 2
moduł
form różniczkowych 64-65, 72
pól wektorowych grupy Liego 84
projektywny 30
przekrojów 28, 58, 83
różniczek 24, 72
wolny 30, 68, 84
Montgomery D. 96
morfizm
przestrzeni stycznych 50
rodzin wektorowych 27
wiązek wektorowych 29
nakrycie 5-6, 17-18, 93
uniwersalne 93
naleśniki 7
nawias Liego 62, 70
Liego 97
niezmiennik typu homotopii 13
gładkich dyfeomorfizmów 39
homeomorfizmów 25
nośnik 1, 23
odwzorowanie wykładnicze 92
ograniczenie 20
rodziny wektorowej 27
wiązki 57
okrąg 81
orbita 15
Peano 7
pętla 9
pierścień
kiełków
ciągłych 24
gładkich 38
kołowy 13
lokalny 24, 38
ułamków 42
pierwiastek
dodatni 107
prosty 107
pochodna 31
cząstkowa 32
mieszana 32
początek drogi 9
podalgebra
Cartana 113-114
Liego 98
podwiązka 30
Poincaré H. 9, 14
pokrycie 2, 20
lokalnie skończone 1-2
trywializujące 29
wpisane 1
pole wektorowe 57-58, 69, 75
nawias Liego 62, 70

116 Indeks
niezmiennicze 82
specjalne 79, 92
potęga zewnętrzna 64-65
potok 78
formalny 78
powierzchnia 5, 18
presnop 20-21
produkt
algebr Liego 98
G-przestrzeni 16
grup Liego 82
przestrzeni topologicznych 1
rozmaitości różniczkowych 34
Prószyński 94
Prószyński A. 30
przekrój
rodziny wektorowej 28
wiązki 57
przestrzeń
derywacji lokalnych 41, 68
liniowa
M(s)/M(s+1) 42
nakrywająca 93
orbit 3-4, 15, 17-18
rzutowa 2, 5, 13, 16-17
styczna 46, 48, 67
topologiczna
dyskretna 5, 22
Hausdorffa 1, 17-19, 34
ilorazowa 1-5, 15
jednospójna 12-13, 18
lokalnie zwarta 1, 34
łukowo spójna 11-12, 34
metryczna 1, 6
nakrywająca 5
normalna 1
ośrodkowa 1, 34, 37
parazwarta 1-2, 30, 34, 37-38
quasi-zwarta 17
spójna 3-4, 18, 29, 34
ściągalna 12
Tichonowa 1, 23
wektorowa 26
zwarta 1, 3, 17-18, 22, 30, 37, 77, 79, 90
przesunięcie 82
punkt bazowy 11
radykał algebry Liego 110, 113
reprezentacja algebry Liego 101, 111
skończenie wymiarowa 101
wierna 101
retrakt 13
rodzina
lokalnie skończona 1
wektorowa 27
trywialna 27
zgodna 20
root space decomposition 115
rozkład Cartana 115
rozkład Cartana-Levi-Malceva 113
rozkład jedności 1, 37
rozmaitość
gładka 34
Grassmanna 40
R1 75
Rn 67, 76, 85
różniczkowa 33
topologiczna 2-3, 18, 33
spójna 5
zwarta 5
równoważność
krzywych 46
metryk 6
różniczka 31
odwzorowania 50
sfera 7-9, 13, 62, 81
sklejanie 21
Smale S. 14
snop 20-21
rozmaitości 37
stabilizator 16, 18
struktura różniczkowa 33
suma
powierzchni 5
systemów pierwiastków 108
Whithey’a 30
wiązek 30
system pierwiastków
nierozkładalny 108
zredukowany 105, 115
pierwiastków 105
teoria
homotopii 62
równań różniczkowych 76
snopów 21
topologia przestrzeni wektorowej 26
toral subalgebra 114
torus 5, 13, 17, 113
tożsamość Jacobiego 62, 97
twierdzenie
Ado 101, 103
Borsuka i Ulama 8
Brouwera 13
Cartana 93, 98, 104, 110, 115
Cartana-Levi-Malceva 113
de Rhama 66, 73
Dynkina 109
Engela 103
Frobeniusa 80
Jordana 7
Lie-Kolchina 103
Liego 94
Milnora 30
o istnieniu krzywych całkowych 76
o kanapce 8
o monodromii 92

Indeks 117
o zaczesaniu 62
Poincaré 14, 74
Weyla 110
Whitney’a 40
typ homotopii 13
układ równań różniczkowych 76
autonomiczny 76, 78
formalny 77
p-wymiarowy 80
stacjonarny 76, 78
V-graf 108
wiązka wektorowa 29
gładka 57
kostyczna 64
styczna 53, 55, 69, 75
trywialna 30, 84
włókno 27
współczynnik Cartana 105
wstęga Möbiusa 3-4, 13, 16
wymiar
grupy Liego 81, 90
rozmaitości 33
Zippin 96