Topologia I Wykład 13 Homotopia i topologia płaszczyzny ...

Topologia I
Wykład 13
Homotopia i topologia płaszczyzny euklidesowej
Homotopia – przypomnienie
Stefan Jackowski
9 stycznia 2013
1. Homotopia – przekształcenie ciągłe F : X × [0, 1] → Y .
Przekształcenia f0, f1 : X → Y są homotopijne jeśli istnieje
homotopia
F : X × [0, 1] → Y , ∀x∈X F (x, 0) = f0(x), F (x, 1) = f1(x).
2. Homotopia ∼ jest relacją równoważności w zbiorze
Map (X , Y ). [X , Y ] := Map (X , Y )/ ∼
3. Jeśli f0, f1 : X → Y oraz g0, g1 : Y → Z oraz f0 ∼ f1, g0 ∼ g1,
to ich złożenia są homotopijne: g0f0 ∼ g1f1
4. Przekształcenie f : X → Y jest ściągalna jeśli jest homotopijne
z przekształceniem stałym w pewien punkt. Przestrzeń X
nazywa się ściągalna jeśli Id : X → X jest ściągalne.
5. Przeksztacenie f : X → Y nazywa się homotopiją
równoważnością jesli istnieje g : Y → X takie, że f ◦ g ∼ IdY
i g ◦ f ∼ IdX . Przestrzenie X , Y są homotopijnie równoważne.

Jednospójność
Definicja
Przestrzeń łukowo spójna X nazywa się jednospójna jeśli dowolne
odwzorowanie S 1 → X jest ściągalne.
1. Dowolna przestrzeń ściągalna jest jednospójna.
2. S 1 f −→ X – ściągalne ⇐⇒ ∃ ¯ f : D 2 → X , ¯ f |S 1 = f .
Twierdzenie
Dla n > 1 sfera S n jest jednospójna, a nawet dowolne
odwzorowanie S k → S n gdzie k < n jest ściągalne.
[S 1 , S 1 ] =??
Dowód jednospójności sfer S n , n > 1
Lemat
Dla dowolnej drogi α: [0, 1] → R n i ɛ > 0 istnieje droga kawałkami
afiniczna β : [0, 1] → R n taka, że α(0) = β(0), α(1) = β(1) oraz
dsup(α, β) < ɛ.

Odwzorowanie wykładnicze
Definicja
z = x + iy ∈ C, exp(z) := e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y).
p := exp: C → C ∗ := C \ {0}
Logarytm
1. p(z1 + z2) = p(z1)p(z2), p(0) = 1.
2. p(z + 2πi) = p(z).
3. L ∗ z := {tz : t ∈ R+, z ∈ S 1 } ⊂ C ∗ p −1 (L ∗ z) = proste
równoległe do osi rzeczywistej y = arg(z) + 2πk, k ∈ Z.
4. p −1 (C ∗ \ L ∗ z) jest sumą rozłączną pasów
Uk(z) := {z ∈ C: arg(z) + 2kπ < ℑ(z) < arg(z) + 2(k + 1)π}
a każdy z nich jest odwzorowywany przez p homeomorficznie
na C ∗ \ L ∗ z, a więc p jest otwartą surjekcją.
5. S 1 r := {z ∈ C ∗ : |z| = r}, p −1 (S 1 r ) = prosta x = log r.
Definicja
Logarytmem f : X → C ∗ nazywa się ˜ f : X → C takie, że
∀x∈X exp( ˜ f (x)) = f (x).
Stwierdzenie (Jednoznaczność logarytmu)
1. Niech f : X → C ∗ . Jeśli ˜ f : X → C jest logarytmem f , to
∀k∈Z ˜ fk(x) := ˜ f (x) + 2kπi jest także logarytmem f .
2. Jeśli X jest spójna, to i ˜ fk : X → C, k = 1, 2 są logarytmami
f , to ∃k∈Z∀x∈X f1(x) − f2(x) = 2kπi.

Kryterium ściągalności odwzororowania f : X → C ∗
Twierdzenie (S. Eilenberg)
Niech X będzie przestrzenią zwartą.
1. f : X → C ∗ jest ściągalne ⇐⇒ f posiada logarytm.
2. f ∼ g : X → C ∗ ⇐⇒ Iloraz f /g posiada logarytm.
Wniosek
Jeśli X jest ściągalna, to dowolne przekształcenie f : X → C ∗
posiada logarytm, jednoznaczny z dokladnością do stałej.
Lemat
X – zwarta. F : X × I → C ∗ homotopia taka, że ∀x∈X F (x, 0) = z0.
Dla dowolnego otoczenia otwartego 1 ∈ U ⊂ C ∗ istnieją funkcje
G1, . . . Gn : X × I → U ⊂ C ∗ takie, że
∀x∈X F (x, t) = z0G1(x, t) . . . Gn(x, t).
Grupa kohomologii (kohomotopii) H 1 (X ) := [X , C ∗ ]
Stwierdzenie
1. Mnożenie w C ∗ wyznacza strukturę grupy abelowej w [X , C ∗ ]:
[f ] · [g] := [f · g] gdzie (f · g)(z) := f (z)g(z).
2. ∀ φ: X → Y , φ ∗ : H 1 (Y ) → H 1 (X ), φ ∗ (f ) := f ◦ φ jest
homomorfizmem grup.
3. φ0 ∼ φ1 : X → Y =⇒ φ ∗ 0 = φ∗ 1
4. H1
(X1 X2) −→ H1 (X1) ⊕ H1 (X2).
5. Włożenie S1 ⊂ C∗ wyznacza izomorfizm [X , S 1 ] [X , C∗ ]
Wniosek
Jeśli przestrzenie X , Y są homotopijnie równoważne, to istnieje
izomorfizm grup H 1 (X ) H 1 (Y ).

Stopień odwzorowania
Definicja
α: [0, 1] → C∗ , α(0) = α(1)
deg(α) := 1
2πi (˜α(1) − ˜α(0))
gdzie ˜α jest logarytmem α tzn. ∀t∈[0,1] exp(˜α(t)) = α(t)
Stwierdzenie
Przyporządkowanie pętli α: [0, 1] → C ∗ jej stopnia deg(α) ma
następujące własności:
1. deg(α) ∈ Z i nie zależy od wyboru logarytmu ˜α.
2. α0 ∼ α1 : S 1 → C ∗ =⇒ deg(α0) = deg(α1).
3. ∀ α, β : S 1 → C ∗ deg(αβ) = deg(α) + deg(β).
4. Dla n ∈ Z i φn : S 1 → C ∗ , φn(z) := z n , deg(φn) = n.
deg: [S 1 , C ∗ ] −→ Z
Twierdzenie
Stopień wyznacza izomorfizm grup deg: [S 1 , S 1 ] = [S 1 , C ∗ ] −→ Z.
Wniosek
1. Okrąg S 1 nie jest ściągalny, a zatem nie jest retraktem dysku
D 2 := {z ∈ C: ||z|| ≤ 1}.
2. (Tw. Brouwera) ∀ f : D 2 → D 2 ∃ p ∈ D 2 , f (p) = p
3. (Podstawowe tw. algebry) Dowolny wielomian dodatniego
stopnia o współczynnikach zespolonych posiada pierwiastek
zespolony.
4. (Tw. Borsuka – Ulama)
∀ f : S 2 → R 2 ∃ p ∈ S 2 , f (p) = f (−p).